第16讲 阿波尼斯圆讲义-2026届高考数学二轮复习椭圆专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦阿波罗尼斯圆专题，覆盖平面几何、解析几何、圆锥曲线及向量最值等核心考点，按定义推导、性质应用、综合融合的逻辑架构梳理知识，通过考情分析、方法指导、分层题型训练及真题演练，帮助学生系统突破轨迹求解、加权距离最值等高频难点。 讲义突出数学眼光下的模型抽象与数学思维的推理转化，创新设计“三步突破法”，引导学生从距离比例条件识别阿氏圆模型，通过坐标法推导方程，结合三角形相似性质秒杀最值问题。设置基础到综合的分层练习，配合典型例题变式拓展，培养学生的模型意识与运算能力，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考效率提供有力支持。

第16讲 阿波尼斯圆 目 录 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 3 阿波罗尼斯圆 5 （一）单选题 5 （二）多选题 10 （三）填空题 12 （四）解答题 16 阿波罗尼斯圆在椭圆双曲线抛物线中的应用 18 （一）单选题 18 （二）多选题 20 （三）填空题 22 （四）解答题 26 一. 命题定位 阿氏圆是高中几何核心二级压轴模型，横跨平面几何、解析几何、圆锥曲线、向量最值；新高考高频出现在选填压轴、大题几何条件转化，是高一到高三都必考的经典模型。 二. 考查题型与分值 1.选择/填空：5分压轴常客，求轨迹、最值、定点、参数范围； 2.解答题：隐藏比例条件，结合圆锥曲线、向量、解三角形、立体几何综合设问； 3.常和：将军饮马、胡不归、定比点差、轨迹方程、圆的最值捆绑出题。 三. 核心考查角度 1. 定义考查 平面内动点到两定点距离之比为定值且不等于1，轨迹为阿氏圆。 2. 轨迹求解 给定两点+定比，求阿氏圆方程、圆心、半径。 3. 最值秒杀 利用阿氏圆性质求 PA+\lambda PB 型加权距离最值、线段最值、角度最值。 4. 隐形条件转化 题干给距离比例、向量比例、线段等分，实则隐含阿氏圆轨迹。 5. 综合融合 与椭圆双曲线定义、定点定值、圆与直线位置关系结合压轴。 四. 命题趋势 1.不直接提“阿氏圆”名称，隐给距离比例条件； 2.新高考偏爱加权距离最值，用阿氏圆替代繁琐坐标运算； 3.从平面几何向解析几何、立体几何、向量跨模块综合。 一. 知识目标 1. 熟记阿氏圆严格定义：两定点、定比\lambda>0,\lambda eq1，轨迹是圆； 2. 掌握坐标法推导阿氏圆方程全过程； 3. 会求阿氏圆的圆心、半径、直径端点； 4. 分清阿氏圆、胡不归、将军饮马三种最值模型的区别。 二. 能力目标 1. 看到「动点到两定点距离为定值比」立刻识别阿氏圆模型； 2. 能快速建系求阿氏圆标准方程，熟练计算圆心半径； 3. 会用阿氏圆解决加权距离最值； 4. 能把向量比例、线段分点条件转化为阿氏圆轨迹解题。 三. 应试目标 1. 选填题直接套阿氏圆结论秒杀轨迹与最值； 2. 解答题能规范写出建系、设点、列式、化简求轨迹完整步骤； 3. 能准确区分中垂线和阿氏圆，不踩易错坑。 知识点一：阿波罗尼斯圆 1.阿波罗尼斯圆：在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，（且），则点的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆． （当时，点的轨迹是线段的中垂线．） 证明：设，，则， 化简得：， ∴点的轨迹是圆心为，半径为的圆． 2．阿波罗尼斯圆的性质——三角形相似 当把点A，B的坐标分别记为，时，其阿波罗尼斯圆的方程为， 即，则阿波罗尼斯圆圆心为，半径为， 此时有，于是与相似． 知识点二：阿波罗尼斯圆的性质 性质1（单位圆）：已知两点，，点满足，（且），则点的轨迹是圆． 性质2（对应点的确定性）：已知是轴上的两个定点，点是圆上的动点，满足，（且），则，或，． 性质3（几何意义及证明）：为两已知点，分别为线段的定比为（且）的内外分点，设点在同一平面上，则点在以为直径的圆上． 图1 图2 证明：以时为例，点在圆外，点在圆内． （1）充分性：如图1，已知， 当点与点或重合时，点在以为直径的圆上． 当点不与点，重合时，中， ，（三角形内角平分线判定定理）， ，（三角形外角平分线判定定理）， ∴，∴点在以为直径的圆上． ∴点在以为直径的圆上． （2）必要性：如图2，已知点在以为直径的圆上， 设，，则，，圆的半径， ∴，， ∴， ， ∴，． 综上所述，点在以为直径的圆上． 在性质3的条件下，还有以下的结论： 1、直线平分，直线平分的外角； 2、当时，点在圆内，点在圆外； 当时，点在圆内，点在圆外； 3、过点作圆的切线，则与的交点即为点； 过点作的垂线交圆于，则是圆的切线； ，，，，，． 过点作的垂线交圆于，点作圆的切线，则两切线的交点即为点； 4、过点作圆的不与重合的弦，则点是的内心，平分. 阿波罗尼斯圆 （一）单选题 【典型例题1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，：，：，此时交点为； 当时，由直线：，斜率为， 由直线：，斜率为，， 又：，直线恒过， ：，直线恒过， 若为，的交点，则， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点、点； 综合以上两种情况，点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为，即， 又，，易知，在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取， 则，满足. 下面证明任意一点都满足，即， ， 又， ， ， 又， ， 如图，当且仅当，，三点共线，且位于，之间时，等号成立， 即的最小值为. 故选： 【典型例题2】阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点与两定点，的距离之比为(，且)，则点的轨迹就是圆，事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立.已知点，点为圆：上的点，若存在轴上的定点和常数，对满足已知条件的点均有，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，由已知可得，代入坐标可得选项. 【详解】如下图所示，由于圆上的任意一点均有，所以A,B两点也满足该关系式. ，，，，，解得，故选：B. 【变式训练1-1】已知平面直角坐标系内有两定点、．若动点满足，则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】已知平面直角坐标系上一动点P满足：到点的距离是到点的距离的2倍.若点P与点Q关于直线对称，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】在平面直角坐标系中，点、，动点P到点的距离之比为，当不共线时，面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，且点的轨迹关于直线对称，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式训练1-6】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的值为  （     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练1-7】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．现有一种防护新冠病毒消毒液，两地均有销售（两地价格相同），但是某地区的居民从两地往回采购商品时，每单位距离地的运费是地的运费的3倍，已知两地距离是10km（居民购买意愿是包括运费总费用最低），以的中点为原点建立直角坐标系，则两地销售区域的分界线的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-8】已知平面上两定点A，B，满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M，N满足，，，则直线MN的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-9】已知，，圆上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（    ） A．1或3 B．2 C．3 D．1或5 【变式训练1-10】已知在平面直角坐标系Oxy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（    ） A．曲线C的方程为 B．曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10 C．曲线C上存在点M，使得 D．曲线C上的点到直线的最大距离为9 【变式训练1-11】阿波罗尼斯是古希腊数学家，与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面内到两个定点的距离之比为常数的点的轨迹是“阿波罗尼斯圆”.已知曲线是平面内到两个定点和的距离之比等于常数的“阿波罗尼斯圆”，则下列结论中正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线关于轴对称 C．曲线关于坐标原点对称 D．曲线经过坐标原点 【变式训练1-12】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上存在点，使得 D．上至少3个点到直线的距离等于1，则 【变式训练1-13】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （二）多选题 【典型例题】古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（    ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 【答案】ABD 【详解】对A,直线，，所以直线过定点，A正确； 对B，设，因为动点满足 ，所以 ， 整理可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为圆，B正确； 对于 C，当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大， 且最大值为，C错误； 对于D，由，得，所以， 又因为点在圆内，点在圆外， 所以， 当且仅当为线段与圆的交点时取等号. 故选：ABD 【变式训练2-1】数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数（，且）的点的轨迹是圆．若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹围成区域的面积为 B．点的轨迹关于直线对称 C．点到原点的距离的最大值为6 D．面积的最大值为 【变式训练2-2】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（    ） A．点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆 B．轨迹C上的点到直线的最小距离为 C．若点在轨迹C上，则的最小值是 D．圆与轨迹C有公共点，则a的取值范围是 【变式训练2-3】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．动点满足，设动点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．关于直线对称的曲线方程为 C．在上存在点，使得到点的距离为3 D．若，，则在上不存在点，使得 【变式训练2-4】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．动点满足，设动点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．关于直线对称的曲线方程为 C．在上存在点，使得到点的距离为3 D．若，，则在上不存在点，使得 【变式训练2-5】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则（    ） A．轨迹的方程为 B．在轴上存在异于的两点，使得 C．当三点不共线时，射线是的角平分线 D．在轨迹上存在点，使得 （三）填空题 【典型例题1】已知在平面直角坐标系中，圆，点和点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】设点，令，利用阿波罗尼斯圆，求得定点，利用，可求最大值. 【详解】已知圆和点，且点不在圆上、不与点重合， 则根据性质知一定存在唯一一个定值和一个定点， 使得对于圆上的任意一点都有． 设点，令， 则，因此圆是关于点的阿波罗尼斯圆，且． 根据定点，圆心三点共线可知点在轴上， 由，和相似比可知点． 如图，当点位于图中的位置时， 的值最大，最大值为． 故答案为：． 【典型例题2】在平面直角坐标系中，已知圆，，，若，均为正整数，且圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，则 ． 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】设圆上任意一点，从而，对比圆的方程，结合，即可求解. 【详解】由题意设圆上任意一点，则， 所以， 整理后． 展开圆的方程：， 所以， 从而， 又知且，均为正整数，则，所以， 代入，得． 故答案为：10． 【变式训练3-1】已知两定点，若动点到两定点的距离之比为，则点的轨迹是一个圆，该圆称为阿波罗尼斯圆．已知点是圆上一动点，，，若为定值，则的最小值为 ． 【变式训练3-2】如图，已知点在边长为4的正方形的内切圆上运动，且为内切圆的圆心，则的最小值是 ． 【变式训练3-3】在平面直角坐标系中，已知点是圆上任意一点，平面内有两个定点，，则的最小值为 ． 【变式训练3-4】如图，在平面直角坐标系中，已知圆，，，为圆上的动点，则的最小值为 ．    【变式训练3-51】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为 ． 【变式训练3-6】古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为 ． 【变式训练3-7】阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为 . 【变式训练3-8】已知两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程为 ；若圆C：上存在满足条件的点M，则半径r的取值范围为 【变式训练3-9】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点与两个定点的距离之比为常数，那么点的轨迹为圆（人们称之为阿波罗尼斯圆）．在中，，，为的中点，且，求面积的最大值． 【变式训练3-10】在平面直角坐标系中，点，满足的动点的轨迹为，若在直线上存在点，在曲线上存在两点，使得，则实数的取值范围是 . 【变式训练3-11】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：一动点到两定点的距离之比等于定值，则点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系中，点，满足的动点的轨迹为，若在直线上存在点，在曲线上存在两点，使得，则实数的取值范围是 . 【变式训练3-12】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离比为，则点到圆上的点的距离最大值是 ． （四）解答题 【典型例题】古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆. (1)求圆的方程； (2)若直线为，证明：无论为何值，直线与圆恒有两个交点； (3)若点，当在上运动时，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最小值为，最大值为 【详解】（1）设，由，且， 可得， 整理得，所以圆的方程为； （2）由直线方程为得， 解得，所以直线过定点， 由，得点在圆内， 所以无论为何值，直线与圆恒有两个交点； （3）设， ， 其中， 因为， 所以当时，有最小值为， 当时，有最大值为. 【变式训练4-1】已知平面内点与两个定点的距离之比等于2. (1)求点的轨迹方程； (2)记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程. 【变式训练4-2】已知曲线C上任意一点到点的距离与到点的距离之比为． (1)求曲线的轨迹方程； (2)过直线上一点向曲线作切线，切点分别为，，若圆过，，三点，证明圆恒过定点，并求出所有定点的坐标． 【变式训练4-3】设是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，且. (1)求点所在圆的方程. (2)设直线与圆交于两点（不与原点重合）. ①若直线过点，且，求直线的方程. ②设直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点. 【变式训练4-4】已知定点，动点到定点距离之比为． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作的切线，切点为，求所在直线方程． 【变式训练4-5】古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（）的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点，.点P满足，设点P的轨迹为圆M，点M为圆心. (1)求圆M的方程； (2)若点Q是直线：上的一个动点，过点Q作圆M的两条切线，切点分别为E，F，求四边形的面积的最小值； (3)若直线：（，）始终平分圆M的面积，写出的最小值. 【变式训练4-6】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中且. (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程; (3)若点在（1）的轨迹上运动，求的取值范围. 阿波罗尼斯圆在椭圆双曲线抛物线中的应用 （一）单选题 【典型例题】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D．5 【答案】B 【分析】将圆用阿氏圆表示，得到，将问题转化为求最小值问题，利用二次函数求最值即可得到． 【详解】易知抛物线的焦点， 不在圆E上， 将圆变形为： 即， ，当且仅当三点共线时取等号； 设，则，当且仅当时取等号； 所以，故 所以的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题解题的关键是借助题目的背景提示，将圆用阿氏圆表示，分别用几何法和代数法求最值． 【变式训练1-1】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．现有一种防护新冠病毒消毒液，两地均有销售（两地价格相同），但是某地区的居民从两地往回采购商品时，每单位距离地的运费是地的运费的3倍，已知两地距离是10km（居民购买意愿是包括运费总费用最低），以的中点为原点建立直角坐标系，则两地销售区域的分界线的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（    ） A．轨迹的方程为 B．面积最大值为 C．若，则的最大值为 D．在上存在点，使得 【变式训练1-3】平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆又被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于点的阿波罗尼斯圆，其方程为，为定点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】阿波罗尼斯证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这类圆称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，点、，动点P到点的距离之比为，当不共线时，面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-51】定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D．5 【变式训练1-6】阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，记动点的轨迹为.对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （二）多选题 【典型例题】古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（    ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】选项A：利用直线过定点求解即可，选项B：设动点，然后根据条件列出，然后整理得到阿氏圆的方程， 选项C:易知最大值为.选项D：分析可知当且仅当为线段与圆的交点时取最小值. 【详解】对A,直线，，所以直线过定点，A正确； 对B，设，因为动点满足 ，所以 ， 整理可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为圆，B正确； 对于 C，当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大， 且最大值为，C错误； 对于D，由，得，所以， 又因为点在圆内，点在圆外， 所以， 当且仅当为线段与圆的交点时取等号. 故选：ABD 【变式训练2-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯（Apollonius，约公元前262-前190年）的著作《国锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，其中之一是他证明了“平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆”，后人将此圆称为“阿波罗尼斯圆”简称“阿氏圆”.现有平面内两个定点间的距离为4，平面内的点与的距离满足：，则（    ） A．若，则点的轨迹为“点圆”，即线段的中点 B．若，则点的轨迹是半径为的阿氏圆 C．当时，面积的最大值为 D．当时，点的轨迹对应的阿氏圆的半径的取值范围是 【变式训练2-2】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，若点Q为抛物线E：上的动点，Q在直线上的射影为H，F为抛物线E的焦点，则下列选项正确的有（    ） A．的最小值为2 B．的面积最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的最小值为 （三）填空题 【典型例题】已知平面上两定点A、B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，结合题意可得点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球.再根据球的性质求解即可. 【详解】在图1中，以为原点建立平面直角坐标系如图2所示， 设阿氏圆圆心为，半径为， 因为，所以，所以， 设圆与交于点，由阿氏圆性质，知， 又，所以， 又，所以，解得，所以， 所以点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球， 当点在面内部时，如图2所示，截面圆与分别交于点， 所以点在面内的轨迹为， 因为在中，，所以， 所以，所以点在面内部的轨迹长为， 同理，点在面内部的轨迹长为， 当点在面内部时，如图3所示，因为平面， 所以平面截球所得小圆是以为圆心，以长为半径的圆， 截面圆与分别交于点，且， 所以点在面内的轨迹为，且， 综上，点的轨迹长度为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长. 【变式训练3-1】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线：上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 . 【变式训练3-2】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点Q为抛物线E：上的动点，Q在轴y上的射影为H，则的最小值为 . 【变式训练3-3】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，则点的轨迹方程为 ；若圆上不存在满足条件的点，则实数的取值范围为 ． 【变式训练3-4】在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线虚轴的上，下端点，动点满足面积的最大值为4.点在双曲线上，且关于原点对称，是双曲线上一点，直线和的斜率满足，则双曲线方程是 ； 【变式训练3-5】将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论： ①曲线的方程为； ②曲线上存在点，使得到点的距离为； ③曲线上存在点，使得到点的距离大于到直线的距离； ④曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为. 其中所有正确结论的序号是 . 【变式训练3-6】在平面上给定相异两点A，B，点P满足，则当且时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆的离心率，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足，若的面积的最大值为3，则面积的最小值为 . 【变式训练3-7】古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆，现有椭圆，、为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，的面积的最大值为，的面积的最小值为，则椭圆的离心率为 . 【变式训练3-8】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点为抛物线上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为 ． 【变式训练3-9】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线：上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 . 【变式训练3-10】在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足，当 且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线， 分别为双曲线的左､右焦点，A，B为双曲线虚轴的上､下端点，动点P满足， 面积的最大值为4.点M，N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线和的斜率满足 ，则双曲线方程是 ；过的直线与双曲线右支交于C，D两点(其中C点在第一象限)，设点､分别为 ､的内心，则的范围是 . 【变式训练3-11】设双曲线的左右两个焦点分别为、，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线的方程 ；在曲线上，点，，则的最小值 . 【变式训练3-12】古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262-190年)，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家；他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他发现“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．比如在平面直角坐标系中，、，则点满足所得点轨迹就是阿氏圆；已知点，为抛物线上的动点，点在直线上的射影为，为曲线上的动点，则的最小值为 ．则的最小值为 ． （四）解答题 【典型例题1】古希腊数学家阿波罗尼斯在他的代表作《圆锥曲线》一书中指出：平面内动点与两定点的距离之比是一个常数，那么动点的轨迹是一个圆，且圆心在直线上，我们把由此产生的圆叫做阿波罗尼斯圆.已知阿波罗尼斯圆的两个定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为.    (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于（点在轴上方），点是椭圆上异于的两点，平分平分. ①求的取值范围； ②若外接圆的周长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)①；②. 【详解】（1）令，由阿波罗尼斯圆的定义知，且，解得，则， 故椭圆的方程为 （2）①由，又， 得（或由角平分线定理得） 令，设 联立，解得 则 所以，即， 则 又，所以，解得 又，所以， 综上 ②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知， 在以为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为， 则有，即，解得. 又外接圆的周长为，故，则， 又， 则 ， 得，解得 则，故直线的方程为.        【典型例题2】阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他的主要一生研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线轨迹的建模》此书最突出的成果是研究出阿波罗尼斯圆上动点与相关定点的距离比值问题，即定义：已知动点与两个定点Q，P的距离之比为一个不等于1的正常数，则动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，且圆心在直线上，已知动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，其方程是，定点分别为椭圆的右顶点与右焦点，且椭圆的离心率， (1)求椭圆的两条准线距离； (2)如图所示，过右焦点作一条斜率为正数的直线l与椭圆相交于B，D（点在轴的上方），点是椭圆上相异于B，D的两点，平分，TF平分， ①求的取值范围； ②若点S，F，T是另一个阿波罗尼斯圆上的三点，且外接圆的面积为，试求直线l方程， 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）设（且），， 则， 整理得，， 另一方面动点的阿波罗尼斯圆方程是， 于是，，解得，，，， 则椭圆的两条准线距离. （2）①由，又， 则（或由角平分线定理得）, 令，则，设，，则有， 又直线的斜率，则， 又得， 将其代入中， 得，即， 因，则， 故的取值范围为； ②因点S，F，T在以B，D为定点的阿波罗尼斯圆上，不妨设此圆半径为，直线与圆相交于点，显然点也在圆上， 根据阿波罗尼斯圆定义有：， 即，整理得， 因圆的面积，解得，即， 又， 则 解得，， 则，故直线l方程为. 【变式训练4-1】古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中的点，则满足的动点P的轨迹记为圆. (1)求圆的方程； (2)已知，，三点，点在圆上运动，求的最大值与最小值之差. (3)直线与圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； 【变式训练4-2】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”，现在人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，定点、，动点满足，则的轨迹为阿氏圆，以下称该阿氏圆为圆. (1)求圆的方程. (2)如图，过点斜率为的直线与圆相交于，（点在轴上方），点，是不在直线上的两点，满足平分，平分. （ⅰ）求的取值范围. （ⅱ）将点、、看作一个阿氏圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程. 【变式训练4-3】古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点Р满足. (1)求点P的轨迹的方程； (2)设点M为直线上的一点.过点作轨迹C的两条切线，切点为Q，R. （i）证明：直线过定点； （ⅱ）求线段长度的最小值. 【变式训练4-4】阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他的主要一生研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线轨迹的建模》此书最突出的成果是研究出阿波罗尼斯圆上动点与相关定点的距离比值问题，即定义：已知动点与两个定点Q，P的距离之比为一个不等于1的正常数，则动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，且圆心在直线上，已知动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，其方程是，定点分别为椭圆的右顶点与右焦点，且椭圆的离心率， (1)求椭圆的两条准线距离； (2)如图所示，过右焦点作一条斜率为正数的直线l与椭圆相交于B，D（点在轴的上方），点是椭圆上相异于B，D的两点，平分，TF平分， ①求的取值范围； ②若点S，F，T是另一个阿波罗尼斯圆上的三点，且外接圆的面积为，试求直线l方程， 【变式训练4-5】古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的3倍．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴的负半轴交于点为坐标原点，若点不在轴上，直线分别与直线交于两点，探究以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【变式训练4-6】设A，B是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，且点满足. (1)求点所在圆的方程; (2)已知圆与轴交于C，D两点（点在点的左边），斜率不为0的直线过点且与圆交于E，F两点，证明:. 【变式训练4-7】离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为． (1)求点的轨迹方程； (2)若，求点的轨迹的方程； (3)过作两条互相垂直的直线，与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值． 【变式训练4-8】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分． ①求的取值范围； ②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程． 【变式训练4-9】古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点A(0，6)，B(0，3)、动点M满足 ，记动点M的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程； (2)过点N(0、4)的直线l与曲线C交于P，Q两点，若P为线段NQ的中点，求直线l的方程. 【变式训练4-10】梅纳库莫斯（前375—前325）首研圆锥曲线.约百年后，阿波罗尼斯系统研究其光学性质：由椭圆焦点发出的光线经椭圆反射后必过另一焦点.椭圆的中心在原点，法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，焦点，由发出的光线经椭圆反射后至的路径长为4.任取椭圆上非长轴端点，其切线为在的射影为点.    (1)求椭圆的方程； (2)证明为定值； (3)已知切线与直线相交于两点，轴上是否存在定点，使得以为直径的圆过点，若存在，求出点，若不存在，请说明理由. 【变式训练4-11】古希腊数学家阿波罗尼斯在他的代表作《圆锥曲线》一书中指出：平面内动点与两定点的距离之比是一个常数，那么动点的轨迹是一个圆，且圆心在直线上，我们把由此产生的圆叫做阿波罗尼斯圆.已知阿波罗尼斯圆的两个定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为.    (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于（点在轴上方），点是椭圆上异于的两点，平分平分. ①求的取值范围； ②若外接圆的周长为，求直线的方程. 【变式训练4-12】阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他的主要一生研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线轨迹的建模》此书最突出的成果是研究出阿波罗尼斯圆上动点与相关定点的距离比值问题，即定义：已知动点与两个定点Q，P的距离之比为一个不等于1的正常数，则动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，且圆心在直线上，已知动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，其方程是，定点分别为椭圆的右顶点与右焦点，且椭圆的离心率， (1)求椭圆的两条准线距离； (2)如图所示，过右焦点作一条斜率为正数的直线l与椭圆相交于B，D（点在轴的上方），点是椭圆上相异于B，D的两点，平分，TF平分， ①求的取值范围； ②若点S，F，T是另一个阿波罗尼斯圆上的三点，且外接圆的面积为，试求直线l方程， 【变式训练4-13】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分． ①求的取值范围； ②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程． 【变式训练4-14】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，阿波罗尼斯圆指的是已知动点与两定点的距离之比且是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的上顶点与右顶点，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，过点斜率分别为的直线与椭圆的另一个交点分别为，且满足，试探究面积是否存在最大值，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【变式训练4-15】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，阿波罗尼斯圆指的是已知动点与两定点的距离之比且是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的上顶点与右顶点，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，过点斜率分别为的直线与椭圆的另一个交点分别为，且满足，试探究面积是否存在最大值，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 阿波尼斯圆 目 录 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 3 阿波罗尼斯圆 5 （一）单选题 5 （二）多选题 15 （三）填空题 21 （四）解答题 32 阿波罗尼斯圆在椭圆双曲线抛物线中的应用 40 （一）单选题 40 （二）多选题 45 （三）填空题 50 （四）解答题 64 一. 命题定位 阿氏圆是高中几何核心二级压轴模型，横跨平面几何、解析几何、圆锥曲线、向量最值；新高考高频出现在选填压轴、大题几何条件转化，是高一到高三都必考的经典模型。 二. 考查题型与分值 1.选择/填空：5分压轴常客，求轨迹、最值、定点、参数范围； 2.解答题：隐藏比例条件，结合圆锥曲线、向量、解三角形、立体几何综合设问； 3.常和：将军饮马、胡不归、定比点差、轨迹方程、圆的最值捆绑出题。 三. 核心考查角度 1. 定义考查 平面内动点到两定点距离之比为定值且不等于1，轨迹为阿氏圆。 2. 轨迹求解 给定两点+定比，求阿氏圆方程、圆心、半径。 3. 最值秒杀 利用阿氏圆性质求 PA+\lambda PB 型加权距离最值、线段最值、角度最值。 4. 隐形条件转化 题干给距离比例、向量比例、线段等分，实则隐含阿氏圆轨迹。 5. 综合融合 与椭圆双曲线定义、定点定值、圆与直线位置关系结合压轴。 四. 命题趋势 1.不直接提“阿氏圆”名称，隐给距离比例条件； 2.新高考偏爱加权距离最值，用阿氏圆替代繁琐坐标运算； 3.从平面几何向解析几何、立体几何、向量跨模块综合。 一. 知识目标 1. 熟记阿氏圆严格定义：两定点、定比\lambda>0,\lambda eq1，轨迹是圆； 2. 掌握坐标法推导阿氏圆方程全过程； 3. 会求阿氏圆的圆心、半径、直径端点； 4. 分清阿氏圆、胡不归、将军饮马三种最值模型的区别。 二. 能力目标 1. 看到「动点到两定点距离为定值比」立刻识别阿氏圆模型； 2. 能快速建系求阿氏圆标准方程，熟练计算圆心半径； 3. 会用阿氏圆解决加权距离最值； 4. 能把向量比例、线段分点条件转化为阿氏圆轨迹解题。 三. 应试目标 1. 选填题直接套阿氏圆结论秒杀轨迹与最值； 2. 解答题能规范写出建系、设点、列式、化简求轨迹完整步骤； 3. 能准确区分中垂线和阿氏圆，不踩易错坑。 知识点一：阿波罗尼斯圆 1.阿波罗尼斯圆：在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，（且），则点的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆． （当时，点的轨迹是线段的中垂线．） 证明：设，，则， 化简得：， ∴点的轨迹是圆心为，半径为的圆． 2．阿波罗尼斯圆的性质——三角形相似 当把点A，B的坐标分别记为，时，其阿波罗尼斯圆的方程为， 即，则阿波罗尼斯圆圆心为，半径为， 此时有，于是与相似． 知识点二：阿波罗尼斯圆的性质 性质1（单位圆）：已知两点，，点满足，（且），则点的轨迹是圆． 性质2（对应点的确定性）：已知是轴上的两个定点，点是圆上的动点，满足，（且），则，或，． 性质3（几何意义及证明）：为两已知点，分别为线段的定比为（且）的内外分点，设点在同一平面上，则点在以为直径的圆上． 图1 图2 证明：以时为例，点在圆外，点在圆内． （1）充分性：如图1，已知， 当点与点或重合时，点在以为直径的圆上． 当点不与点，重合时，中， ，（三角形内角平分线判定定理）， ，（三角形外角平分线判定定理）， ∴，∴点在以为直径的圆上． ∴点在以为直径的圆上． （2）必要性：如图2，已知点在以为直径的圆上， 设，，则，，圆的半径， ∴，， ∴， ， ∴，． 综上所述，点在以为直径的圆上． 在性质3的条件下，还有以下的结论： 1、直线平分，直线平分的外角； 2、当时，点在圆内，点在圆外； 当时，点在圆内，点在圆外； 3、过点作圆的切线，则与的交点即为点； 过点作的垂线交圆于，则是圆的切线； ，，，，，． 过点作的垂线交圆于，点作圆的切线，则两切线的交点即为点； 4、过点作圆的不与重合的弦，则点是的内心，平分. 阿波罗尼斯圆 （一）单选题 【典型例题1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，：，：，此时交点为； 当时，由直线：，斜率为， 由直线：，斜率为，， 又：，直线恒过， ：，直线恒过， 若为，的交点，则， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点、点； 综合以上两种情况，点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为，即， 又，，易知，在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取， 则，满足. 下面证明任意一点都满足，即， ， 又， ， ， 又， ， 如图，当且仅当，，三点共线，且位于，之间时，等号成立， 即的最小值为. 故选： 【典型例题2】阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点与两定点，的距离之比为(，且)，则点的轨迹就是圆，事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立.已知点，点为圆：上的点，若存在轴上的定点和常数，对满足已知条件的点均有，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，由已知可得，代入坐标可得选项. 【详解】如下图所示，由于圆上的任意一点均有，所以A,B两点也满足该关系式. ，，，，，解得，故选：B. 【变式训练1-1】已知平面直角坐标系内有两定点、．若动点满足，则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立设动点的坐标是，根据数量积的坐标运算得到轨迹方程，再检验即可. 【详解】    如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则两定点为、． 设动点的坐标是，则，．因为，所以，化简得．这表明，动点轨迹上任意点的坐标都满足这个方程． 反过来，设平面上一点的坐标也满足方程，即有， 则．从而以方程的解为坐标的点都在轨迹上．综上所述，方程就是所求的动点的轨迹方程． 【变式训练1-2】已知平面直角坐标系上一动点P满足：到点的距离是到点的距离的2倍.若点P与点Q关于直线对称，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，可以先求出点，的轨迹方程，可知，的轨迹均为圆，再由两个圆的位置关系求解． 【详解】设，由题意，得：，化简得，所以点的轨迹方程为设，因为点与点关于点对称， 则，解得，因为点在圆，即在上运动，所以点的轨迹方程为，所以两圆的圆心分别为，半径均为2，则． 【变式训练1-3】在平面直角坐标系中，点、，动点P到点的距离之比为，当不共线时，面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，根据题意，求得圆的方程，结合图象和圆的性质，即可求解. 【详解】以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，由，，设，则，整理得，即轨迹为以为圆心，半径为的圆，当点P到轴距离最大时，的面积最大，所以面积的最大值是，故选：A. 【变式训练1-4】已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，应用两点距离公式列方程求M轨迹，结合已知圆的方程求参数m，进而得，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】由题设，令，则，所以，则，即，又，即在圆外，，即在圆外， 由，当且仅当共线上等号成立，所以的最小值为. 【变式训练1-5】在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，且点的轨迹关于直线对称，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设，根据求出点的轨迹为圆心为的圆，圆心在上，列出方程，解得. 【详解】设，则，由于，故，化简得，故点的轨迹为圆心为的圆，由于点的轨迹关于直线对称，故圆心在上，故，解得.故选：A. 【变式训练1-6】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的值为  （     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设点，运用直接法求得点P的轨迹方程为：，依题意圆心在已知直线上，代入化简即得. 【详解】设点，则由可得，， 两边取平方，， 化简得：，即， 依题意，其圆心在直线上，可得， 故. 故选：B. 【变式训练1-7】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．现有一种防护新冠病毒消毒液，两地均有销售（两地价格相同），但是某地区的居民从两地往回采购商品时，每单位距离地的运费是地的运费的3倍，已知两地距离是10km（居民购买意愿是包括运费总费用最低），以的中点为原点建立直角坐标系，则两地销售区域的分界线的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、求平面轨迹方程 【分析】建立平面直角坐标系，设点坐标，从地往地采购的单位距离运费为，根据题意得到，写出关于与的关系式化简即可. 【详解】取的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，， 设是区域分界线上任意一点，从地往地采购的单位距离运费为， 根据题意可得，. 即， 整理得. 故选：A. 【变式训练1-8】已知平面上两定点A，B，满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M，N满足，，，则直线MN的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、相交圆的公共弦方程、求平面轨迹方程 【分析】根据题意得出点M，点N是两个圆的公共点，所以将两圆直接作差即可得到公共弦所在直线方程. 【详解】由题得，，设，∵，∴点M在圆：上． ∵，∴，整理得， ∴点M也在圆：上，同理点N也在这两个圆上， ∴MN是这两圆的公共弦，两圆方程作差，得，即直线MN的方程为， 故选：A． 【变式训练1-9】已知，，圆上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（    ） A．1或3 B．2 C．3 D．1或5 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】点在阿波罗尼斯圆上，且是圆上唯一一点，可知两圆相切，求参问题需求出阿波罗尼斯圆的圆心和半径. 【详解】设，由，两边平方得， 整理得，圆心为，半径为2． 圆的圆心为，半径为， 由题意知，两圆相切，圆心距为1，当两圆外切时无解， 所以只能是两圆内切，即， 解得或1． 时圆在内，时圆在外 故选：A 【变式训练1-10】已知在平面直角坐标系Oxy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（    ） A．曲线C的方程为 B．曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10 C．曲线C上存在点M，使得 D．曲线C上的点到直线的最大距离为9 【答案】D 【分析】根据两点坐标以及由两点间距离公式即可整理得点P所构成的曲线为C的方程为，即可判断A；利用点到圆上点距离的最大值，即可知在C上不存在点D，即可判断B；设，利用两点间距离公式得到方程和联立，无解，即可判断C；求出C的圆心到直线的距离，可得曲线C上的点到直线的最大距离为9，即可判断D. 【详解】对于A，由题意可设点，由，，，得， 化简得，即，故A错误；对于B，点到圆上的点的最大距离，故不存在点D符合题意，故B错误；对于C，设，由， 得，又，联立方程消去得，得无解，故C错误； 对于D，C的圆心到直线的距离为，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线的最大距离，故D正确.故选：D. 【变式训练1-11】阿波罗尼斯是古希腊数学家，与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面内到两个定点的距离之比为常数的点的轨迹是“阿波罗尼斯圆”.已知曲线是平面内到两个定点和的距离之比等于常数的“阿波罗尼斯圆”，则下列结论中正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线关于轴对称 C．曲线关于坐标原点对称 D．曲线经过坐标原点 【答案】A 【详解】设动点，曲线是平面内到两定点，距离之比等于常数， 所以，显然也满足方程，故曲线关于轴对称， 不关于轴、原点对称，且不过原点. 故选：A. 【变式训练1-12】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上存在点，使得 D．上至少3个点到直线的距离等于1，则 【答案】C 【详解】对于A，设点，由，得，整理得， 因此C的方程为，A正确； 对于B：的圆心，半径为，点到圆心 的距离，则圆上一点到点的距离的取值范围为， 而，因此在C上存在点D，使得D到点的距离为3，B正确； 对C：设点，由，则，整理得， 则点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆， 又，则两圆内含，在C上不存在点M，使得，C错误； 对于D：圆心到直线的距离为，由上至少3个点到 直线的距离等于1，得，即，解得，D正确. 故选：C 【变式训练1-13】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时，交点为. 当时，由，斜率为， 由，斜率为，， 综上，. 又， 直线恒过， ，直线恒过， 若为的交点，则，设点， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为， 即，则有. 又，易知O、Q在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取， 则，满足. 下面证明任意一点都满足，即， ， 又， . 所以， 又， 所以， 如图，当且仅当三点共线，且位于之间时，等号成立 即最小值为. 故选：A.    （二）多选题 【典型例题】古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（    ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 【答案】ABD 【详解】对A,直线，，所以直线过定点，A正确； 对B，设，因为动点满足 ，所以 ， 整理可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为圆，B正确； 对于 C，当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大， 且最大值为，C错误； 对于D，由，得，所以， 又因为点在圆内，点在圆外， 所以， 当且仅当为线段与圆的交点时取等号. 故选：ABD 【变式训练2-1】数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数（，且）的点的轨迹是圆．若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹围成区域的面积为 B．点的轨迹关于直线对称 C．点到原点的距离的最大值为6 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】设动点，则，，由，得动点的轨迹方程为，可得圆心坐标和半径，即可判断AB是否正确；对于D，只需，即可判断D是否正确；对于C：根据圆心到原点的距离加上半径即可求解. 【详解】设动点，则，，由，即，所以，所以，所以动点的轨迹方程为，所以点的轨迹是圆且圆心，半径为，对于A：点的轨迹 区域面积，故A正确；对于B，圆心在直线上，故点的轨迹关于直线对称，B正确，对于C，,故点到原点的距离的最大值为,C错误，对于D ，又，所以，而，则的最大值为．D正确，故选：ABD 【变式训练2-2】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（    ） A．点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆 B．轨迹C上的点到直线的最小距离为 C．若点在轨迹C上，则的最小值是 D．圆与轨迹C有公共点，则a的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用两点距离公式计算可判定A，利用直线与圆的位置关系可判定B、C，利用两圆的位置关系可判定D. 【详解】设，由，整理得，显然点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故A正确；圆心到直线的距离，所以轨迹C上的点到直线的最小距离为，故B错误；设，易知圆心到直线的距离，故C正确；易知圆的半径为2，则其与轨迹C相交或相外切时符合题意，则圆心距，解之得，故D正确. 故选：ACD 【变式训练2-3】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．动点满足，设动点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．关于直线对称的曲线方程为 C．在上存在点，使得到点的距离为3 D．若，，则在上不存在点，使得 【答案】ABD 【分析】设，应用两点距离公式及已知得的方程为判断A；利用对称性求对称圆的圆心，即得对称圆的方程判断B；求出与圆心距离，结合半径判断C；应用点斜式写出的中垂线，应用点线距离及半径的关系判断中垂线与圆的位置关系判断D. 【详解】设，则，所以，则，整理得，A对；由上，设对称圆的圆心为，则，所以对称的曲线方程为，B对；由到圆心的距离为，由圆半径，所以到圆的最短距离为，故不存在，使到的距离为3，C错；由中点为，且，则的中垂线为，圆心到的距离， 故在上不存在点，使得，D对. 故选：ABD 【变式训练2-4】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．动点满足，设动点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．关于直线对称的曲线方程为 C．在上存在点，使得到点的距离为3 D．若，，则在上不存在点，使得 【答案】ABD 【详解】设，则， 所以，则， 整理得，A对； 由上，设对称圆的圆心为，则， 所以对称的曲线方程为，B对； 由到圆心的距离为，由圆半径， 所以到圆的最短距离为，故不存在，使到的距离为3，C错； 由中点为，且，则的中垂线为， 圆心到的距离， 故在上不存在点，使得，D对. 故选：ABD 【变式训练2-5】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则（    ） A．轨迹的方程为 B．在轴上存在异于的两点，使得 C．当三点不共线时，射线是的角平分线 D．在轨迹上存在点，使得 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、数量积的坐标表示、轨迹问题——圆、求两圆的交点坐标 【分析】求出轨迹的方程判断A；设，，结合两点间距离公式及轨迹C的方程计算判断B；结合三角形面积公式确定角平分线判断C；设，由建立方程组，求出点坐标判断D. 【详解】对于A，设，则，整理得，即，A错误； 对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得， 设，，则， 整理得，而点的轨迹方程为， 于是，解得或（舍去），B正确； 对于C，如图所示， 当三点不共线时，，即， 于是，显然，因此， 射线是的角平分线，C正确； 对于D，假设在C上存在点M，使得，设，则，， 则，整理得，又， 联立解得或，D正确. 故选：BCD （三）填空题 【典型例题1】已知在平面直角坐标系中，圆，点和点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】设点，令，利用阿波罗尼斯圆，求得定点，利用，可求最大值. 【详解】已知圆和点，且点不在圆上、不与点重合， 则根据性质知一定存在唯一一个定值和一个定点， 使得对于圆上的任意一点都有． 设点，令， 则，因此圆是关于点的阿波罗尼斯圆，且． 根据定点，圆心三点共线可知点在轴上， 由，和相似比可知点． 如图，当点位于图中的位置时， 的值最大，最大值为． 故答案为：． 【典型例题2】在平面直角坐标系中，已知圆，，，若，均为正整数，且圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，则 ． 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】设圆上任意一点，从而，对比圆的方程，结合，即可求解. 【详解】由题意设圆上任意一点，则， 所以， 整理后． 展开圆的方程：， 所以， 从而， 又知且，均为正整数，则，所以， 代入，得． 故答案为：10． 【变式训练3-1】已知两定点，若动点到两定点的距离之比为，则点的轨迹是一个圆，该圆称为阿波罗尼斯圆．已知点是圆上一动点，，，若为定值，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设，则，即， 所以， 因为为定值，设为，所以， 整理得， 所以，解得，或（舍去）， 所以，， 因为点在圆内部，的最小值为， 所以的最小值为， 故答案为： 【变式训练3-2】如图，已知点在边长为4的正方形的内切圆上运动，且为内切圆的圆心，则的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】在线段上取点，使，再根据相似的判定得到，即可得到，从而得到，在中，利用勾股定理求出，进而即可得到答案. 【详解】由正方形的边长为4， 则内切圆的半径为，且， 则在线段上取点，使， 则由阿氏圆的性质得，即， 从而，当，，三点共线时取到最小值． 在中，， 所以的最小值是． 故答案为：． 【变式训练3-3】在平面直角坐标系中，已知点是圆上任意一点，平面内有两个定点，，则的最小值为 ． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】在线段上取点 ,设，构造，即可得到，即可求解. 【详解】在线段上取点，使，即，设,由于是圆上d点，故， ，故，从而，当，，三点共线,且在线段上时取到最小值． 故答案为：5 【变式训练3-4】如图，在平面直角坐标系中，已知圆，，，为圆上的动点，则的最小值为 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】本题是一个距离之和的最小值问题，两点之间线段最短，通过令，得到圆O是关于点，的阿氏圆，进而找出C点的坐标，再根据几何图形得到最小值；也可以通过构造“公共边”型相似找到C点的坐标，再根据几何图形得到最小值. 【详解】解法1：令， 则，由题意得圆是关于点，的阿氏圆，且． 下面确定点的坐标，设，，则， 整理得． 由题意得解得，. 故，，当点与或重合时，点与点，共线时，取到最小值，如图.    故答案为：. 解法2：通过构造“公共边”型相似，在射线上找一点，使得，如图.    从而，，. 所以，，． 故答案为：. 【变式训练3-51】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】由已知可得，则点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，得到的轨迹方程为， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】 当时，，此时交点为， 当时，由直线，斜率为k； 由直线，斜率为，， 又，所以直线恒过点， ，所以直线恒过， 若M为，的交点，则， 所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点, 综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故M的轨迹方程为，即， 又,易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点 满足，取，则，满足.下面证明任意一点都满足，即， 因为， 又,所以, 所以， 又，， 如图,当且仅当三点共线,且M位于N,D之间时,等号成立,即的最小值为. 故答案为： 【变式训练3-6】古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为 ． 【答案】9 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据数量关系可得，即，又，进而由可得答案. 【详解】由为圆上一动点，得， 由为圆上一动点，得， 又. 因为，所以， 于是. 当共线且时取得最小值，即. 所以， 当共线时等号成立. 故答案为：9． 【变式训练3-7】阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据阿波罗尼斯圆的定义结合待定系数法求出点坐标，再结合定义求转化为求的最小值，结合两点间线段最短，即可. 【详解】设，则，则，得，其即为，则，解得，则，，即共线时取得最小值，则. 【变式训练3-8】已知两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程为 ；若圆C：上存在满足条件的点M，则半径r的取值范围为 【答案】 【分析】根据两点间的距离公式可得到结果；根据两圆之间的位置关系可得到结果. 【详解】设，则，因为， 所以，化简可得，即，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；因为圆C：上存在满足条件的点M，则圆C与圆有公共点，则，两圆心之间的距离为， 即，所以，半径r的取值范围为， 【变式训练3-9】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点与两个定点的距离之比为常数，那么点的轨迹为圆（人们称之为阿波罗尼斯圆）．在中，，，为的中点，且，求面积的最大值． 【答案】． 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、轨迹问题——圆 【分析】方法一：根据题意．设点，得，圆心为，有圆上点到的最大距离为，进而点A到的最大距离为，最后求的最大面积．方法二：设，有，由，化简得，点轨迹为圆（与轴的交点除外），圆心为，可知圆上的点到的最大距离为，即点A到的最大距离为，最后求的最大面积． 【详解】方法一：因为为的中点，且，所以．设点， 则，化简得，其圆心为， 则圆上的点到的最大距离为，所以点A到的最大距离为， 所以的最大面积． 方法二：设，则，由， 得，化简得， 点轨迹为圆（与轴的交点除外），其圆心为，则圆上的点到的最大距离为， 即点A到的最大距离为，所以的最大面积为． 【变式训练3-10】在平面直角坐标系中，点，满足的动点的轨迹为，若在直线上存在点，在曲线上存在两点，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据平面轨迹的求法求得动点的轨迹方程曲线为圆，作出图象，根据题意可知点到直线距离的最大值为，从而利用点到直线的距离公式即可得解. 【详解】设，由，得，即，化简整理得，则此圆心为，半径为， 因为是曲线上的两点，当都与圆相切，可使最大，又，，此时四边形为正方形，，显然，当时，为锐角，不满足题意， 当时，才能取得直角，故，所以点到直线距离要满足，所以，化简得，解得，即实数的取值范围为. 【变式训练3-11】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：一动点到两定点的距离之比等于定值，则点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系中，点，满足的动点的轨迹为，若在直线上存在点，在曲线上存在两点，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设，由，得， 即，化简整理得， 则此圆心为，半径为，    因为是曲线上的两点， 当都与圆相切，可使最大， 又，， 此时四边形为正方形，， 显然，当时，为锐角，不满足题意， 当时，才能取得直角，故， 所以点到直线距离要满足， 所以，化简得，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练3-12】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离比为，则点到圆上的点的距离最大值是 ． 【答案】 【详解】设点，， ，整理得， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 圆的标准方程为， 圆是以为圆心，半径是， 圆心与之间的距离， ， 点到圆的距离的最大值为． 故答案为：． （四）解答题 【典型例题】古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆. (1)求圆的方程； (2)若直线为，证明：无论为何值，直线与圆恒有两个交点； (3)若点，当在上运动时，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最小值为，最大值为 【详解】（1）设，由，且， 可得， 整理得，所以圆的方程为； （2）由直线方程为得， 解得，所以直线过定点， 由，得点在圆内， 所以无论为何值，直线与圆恒有两个交点； （3）设， ， 其中， 因为， 所以当时，有最小值为， 当时，有最大值为. 【变式训练4-1】已知平面内点与两个定点的距离之比等于2. (1)求点的轨迹方程； (2)记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）由已知等量关系，利用直接步骤法坐标代入关系式化简整理可求轨迹；（2）分斜率存在与不存在两类情况分别求解.当斜率不存在时，验证弦长可得；当斜率存在时，设出点斜式直线方程，利用垂直关系将弦长转化为圆心到直线的距离，由点到直线距离公式得关于的方程求解可得. 【详解】（1）已知，由题意可知，，坐标代入得， 整理得，故点的轨迹方程为； （2）当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，由圆，则圆心为，半径为， 此时弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，不妨设斜率为，则直线的方程为，即，则圆心到直线的距离.因为直线被所截得的线段的长为，所以，则，所以，解得，所以直线的方程为. 综上，满足条件的直线的方程为或. 【变式训练4-2】已知曲线C上任意一点到点的距离与到点的距离之比为． (1)求曲线的轨迹方程； (2)过直线上一点向曲线作切线，切点分别为，，若圆过，，三点，证明圆恒过定点，并求出所有定点的坐标． 【答案】(1)；(2)证明见解析，定点和 【分析】（1）利用两点距离公式化简计算即可；（2）利用直线与圆的位置关系确定四点共圆，设，含参表示圆的轨迹方程，结合方程特征计算即可. 【详解】（1）设曲线上一点坐标为，由已知得，化简可得，即曲线的轨迹方程为； （2）由（1）知曲线是以为圆心，半径为的圆，过直线上一点向曲线作切线，切点分别为，，则，，所以，，，四点共圆，即圆为的外接圆，圆心为的中点，半径为．设，则，的中点为，，所以圆的方程为， 即．将变形， 得，所以，解得或 所以圆恒过定点和． 【变式训练4-3】设是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，且. (1)求点所在圆的方程. (2)设直线与圆交于两点（不与原点重合）. ①若直线过点，且，求直线的方程. ②设直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)①或；②直线恒过定点 【详解】（1）设，由得， 两边平方并整理得， ， 所以点所在圆的方程为：. （2）由（1）知圆T的圆心，半径， ①因为直线过点，所以， 由，根据垂径定理，圆心T到直线l的距离， 所以， 将代入上式并同时平方可得，解得或， 当时，直线l的方程为：， 当时，直线l的方程为：. ②设，， 联立， 由韦达定理得，， ， 因为，所以，即， 所以， 若，则，此时直线方程为，恒过定点； 若，此时直线方程为，代入圆的方程得，解得或， 则原点是直线与圆的其中一个交点，不符合题意. 所以直线l恒过定点. 【变式训练4-4】已知定点，动点到定点距离之比为． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作的切线，切点为，求所在直线方程． 【答案】(2) （2）根据条件得出四点共圆，进而求出以为直径的圆的方程，然后利用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程即可. 【详解】（1）设，由题意知，得， 所以点的轨迹的方程为 （2）连接PE，QE，则，所以四点共圆，其圆是以为直径的圆， 因为，的中点为，， 所以为直径的圆的方程为， 所以所在直线方程为，即。 【变式训练4-5】古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（）的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点，.点P满足，设点P的轨迹为圆M，点M为圆心. (1)求圆M的方程； (2)若点Q是直线：上的一个动点，过点Q作圆M的两条切线，切点分别为E，F，求四边形的面积的最小值； (3)若直线：（，）始终平分圆M的面积，写出的最小值. 【答案】(1) (2) (3)20 【详解】（1）设，由，得，化简得. （2）因为,是圆的切线,所以,， 四边形的面积,, 所以， 因为的最小值为圆心到直线的距离, 所以面积最小值为. （3）直线过圆心，则,即., 由,可得， 由基本不等式得：, 当且仅当,即时等号成立. 所以. 所以的最小值是20. 【变式训练4-6】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中且. (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程; (3)若点在（1）的轨迹上运动，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）设，则， 化简得：，故点P的轨迹方程为； （2）设，因为点M为AP的中点， 所以点P的坐标为， 将代入中，得到， 所以点M的轨迹方程为； （3）因为点在（1）的轨迹上运动， 所以，变形为， 即点为圆心为，半径为2的圆上的点， 则表示的几何意义为圆上一点与连线的斜率，如图： 当过的直线与圆相切时，取得最值， 设， 则由点到直线距离公式可得：， 解得：或·， 故的取值范围是. 阿波罗尼斯圆在椭圆双曲线抛物线中的应用 （一）单选题 【典型例题】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D．5 【答案】B 【分析】将圆用阿氏圆表示，得到，将问题转化为求最小值问题，利用二次函数求最值即可得到． 【详解】易知抛物线的焦点， 不在圆E上， 将圆变形为： 即， ，当且仅当三点共线时取等号； 设，则，当且仅当时取等号； 所以，故 所以的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题解题的关键是借助题目的背景提示，将圆用阿氏圆表示，分别用几何法和代数法求最值． 【变式训练1-1】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．现有一种防护新冠病毒消毒液，两地均有销售（两地价格相同），但是某地区的居民从两地往回采购商品时，每单位距离地的运费是地的运费的3倍，已知两地距离是10km（居民购买意愿是包括运费总费用最低），以的中点为原点建立直角坐标系，则两地销售区域的分界线的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，， 设是区域分界线上任意一点，从地往地采购的单位距离运费为， 根据题意可得，. 即， 整理得. 故选：A. 【变式训练1-2】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（    ） A．轨迹的方程为 B．面积最大值为 C．若，则的最大值为 D．在上存在点，使得 【答案】D 【分析】 【详解】设，不与、重合， 由、，有，， ，即，化简得， 所以点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，如图所示， 对于A选项，由曲线的方程为，选项A正确； 对于B选项，由图可知，当时，点到直线的距离取最大值， 所以，，B对； 对于C选项，设，可得， 由题意可知，直线与圆有公共点，则， 解得，故的最大值为，C对； 对于D选项，设，由得， 化简得，因为， 所以上不存在点，使得，故D错误. 故选：D. 【变式训练1-3】平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆又被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于点的阿波罗尼斯圆，其方程为，为定点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由动点的轨迹是关于的阿氏圆知点在轴上，设，， 所以．又，所以． 由动点的轨迹是，可知，整理得． 所以，解得，所以． 又,， 所以， 当三点共线时等号成立． 另解：由题意可得圆是关于定点的阿波罗尼斯圆，且，则， 根据点，阿氏圆的圆心三点共线可知点在轴上，且， 可知点的坐标为，所以， 由图形可知，当点位于或时取得最小值，且最小值为． 故选：C 【变式训练1-4】阿波罗尼斯证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这类圆称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，点、，动点P到点的距离之比为，当不共线时，面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，根据题意，求得圆的方程，结合图象和圆的性质，即可求解. 【详解】以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 由，，设，则， 整理得，即轨迹为以为圆心，半径为的圆， 当点P到轴距离最大时，的面积最大， 所以面积的最大值是， 故选：A.    【变式训练1-51】定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点分别是抛物线和上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D．5 【答案】B 【分析】将圆用阿氏圆表示，得到，将问题转化为求最小值问题，利用二次函数求最值即可得到． 【详解】易知抛物线的焦点， 不在圆E上， 将圆变形为： 即， ，当且仅当三点共线时取等号； 设，则，当且仅当时取等号； 所以，故 所以的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题解题的关键是借助题目的背景提示，将圆用阿氏圆表示，分别用几何法和代数法求最值． 【变式训练1-6】阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，记动点的轨迹为.对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设,因为，， 所以，化简可得， 所以曲线的圆心为，半径为. 因为对任意实数，直线：与曲线恒有公共点， 所以对任意实数，都有， 即任意实数恒成立. 因为,所以， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选:A. （二）多选题 【典型例题】古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（    ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】选项A：利用直线过定点求解即可，选项B：设动点，然后根据条件列出，然后整理得到阿氏圆的方程， 选项C:易知最大值为.选项D：分析可知当且仅当为线段与圆的交点时取最小值. 【详解】对A,直线，，所以直线过定点，A正确； 对B，设，因为动点满足 ，所以 ， 整理可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为圆，B正确； 对于 C，当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大， 且最大值为，C错误； 对于D，由，得，所以， 又因为点在圆内，点在圆外， 所以， 当且仅当为线段与圆的交点时取等号. 故选：ABD 【变式训练2-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯（Apollonius，约公元前262-前190年）的著作《国锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，其中之一是他证明了“平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆”，后人将此圆称为“阿波罗尼斯圆”简称“阿氏圆”.现有平面内两个定点间的距离为4，平面内的点与的距离满足：，则（    ） A．若，则点的轨迹为“点圆”，即线段的中点 B．若，则点的轨迹是半径为的阿氏圆 C．当时，面积的最大值为 D．当时，点的轨迹对应的阿氏圆的半径的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，易得时点的轨迹为线段的垂直平分线；对于B，只需建系设点，求出点的轨迹方程易得；对于C，求出轨迹方程后，结合图形，使边上的高最大即可满足；对于D根据推出的阿氏圆方程，求出圆的半径的表达式，利用函数的单调性即可求得半径的范围. 【详解】对于A，时，由可知点的轨迹为线段的垂直平分线，故A错误； 对于B，时，不妨取的中点为原点，中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 则，设点， 由可得：，化简得：， 故点的轨迹是半径为的阿氏圆，即B正确； 对于C，根据B项建系设点，由可得：，如图所示： 由图知，当点为过点垂直于轴的直线与圆的一个交点时，的边上的高最大， 为圆的半径，此时面积的最大值为，故C正确； 对于D，根据B项建系设点，由化简得：， 即，因，则该阿氏圆的半径， 因函数在上是减函数，故故得， 即点的轨迹对应的阿氏圆的半径的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：本题主要考查动点轨迹方程的求法及应用，属于难题. 求解动点轨迹的方程的方法主要有： （1）直接法：设出动点，利用已知等式代入坐标计算化简即得； （2）相关点法：利用与动点相关的点（轨迹方程一般已知）的联系求解； （3）定义法：利用题设条件与常见的圆锥曲线定义符合时常用. 【变式训练2-2】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，若点Q为抛物线E：上的动点，Q在直线上的射影为H，F为抛物线E的焦点，则下列选项正确的有（    ） A．的最小值为2 B．的面积最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A选项，由抛物线定义得到，数形结合得当三点共线时取得最小值，得到A正确；B选项，求出点的轨迹为以为圆心，3为半径的圆，求出到直线的距离最大值，从而得到面积的最大值；C选项，数形结合得到要想取得最大值，则需最大，当与垂直时，取得最大值，并根据求出正弦值，利用三角形面积公式求出此时的面积，D选项，由题意及抛物线定义得到，求出四点共线时，取得最小值，求出答案. 【详解】A选项，抛物线的准线方程为，， 由抛物线定义可得， 则， 由三角形三边关系可得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 故的最小值为，A正确； B选项，由题意得，点的轨迹方程为， 化简得，即以为圆心，3为半径的圆， 直线，即， 圆心到直线的距离为， 则到直线的距离最大值为， 又， 故的面积最大值为，B错误； C选项，为定值，由勾股定理得， 且，， 要想取得最大值，则需最大， 如图所示，当与垂直且在图中位置时，取得最大值， 其中，故，，， 故当最大时， ， 则的面积为，C正确； D选项，由题意得，， ， 连接，线段与圆和抛物线的交点分别为， 即四点共线时，取得最小值， 最小值为， 故最小值为，D正确. 故选：ACD 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． （三）填空题 【典型例题】已知平面上两定点A、B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，结合题意可得点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球.再根据球的性质求解即可. 【详解】在图1中，以为原点建立平面直角坐标系如图2所示， 设阿氏圆圆心为，半径为， 因为，所以，所以， 设圆与交于点，由阿氏圆性质，知， 又，所以， 又，所以，解得，所以， 所以点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球， 当点在面内部时，如图2所示，截面圆与分别交于点， 所以点在面内的轨迹为， 因为在中，，所以， 所以，所以点在面内部的轨迹长为， 同理，点在面内部的轨迹长为， 当点在面内部时，如图3所示，因为平面， 所以平面截球所得小圆是以为圆心，以长为半径的圆， 截面圆与分别交于点，且， 所以点在面内的轨迹为，且， 综上，点的轨迹长度为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长. 【变式训练3-1】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线：上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，利用关系列方程化简可得轨迹方程，由，抛物线定义可得，根据结论两点之间线段最短可求最小值. 【详解】设为所求轨迹上任意一点， ∵，，动点满足， ∴， ∴， ∴， 化简可得动点的轨迹方程为； ∵抛物线C：的焦点为，准线为， 所以， ∴ ， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， ∴的最小值为 故答案为：；    【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键在于结合条件及抛物线定义将问题转化为求的最小值. 【变式训练3-21】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点Q为抛物线E：上的动点，Q在轴y上的射影为H，则的最小值为 . 【答案】 / 【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，当且仅当四点共线时取等号. 【详解】设，已知，， 则，化简整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆； 抛物线的焦点，准线方程为， 则， 当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号， 又， 所以的最小值为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题第二空的关键是利用三角形两边之和大于第三边，当三点共线时取等号. 【变式训练3-3】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，则点的轨迹方程为 ；若圆上不存在满足条件的点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 或或. 【分析】由得到点M的轨迹方程为圆，再由两圆的位置关系求出a的范围. 【详解】设，因为， 所以2. 所以点M在以为圆心，2为半径的圆上， 因为的圆心，半径为1， 由题意圆C与圆D无公共点，满足：或， 即或， 可得或，解得或或. 故答案为：；或或. 【变式训练3-4】在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线虚轴的上，下端点，动点满足面积的最大值为4.点在双曲线上，且关于原点对称，是双曲线上一点，直线和的斜率满足，则双曲线方程是 ； 【答案】 【分析】据为双曲线虚轴的上，下端点，可设设，由两点间距离公式并化简可得动点的轨迹方程. 【详解】设， 由题意知，可得，即， 整理得，可得圆心为，半径， 所以的最大面积为，解得，即， 设，则， 则，可得，同理 则，则， 整理得，所以双曲线的方程为. 故答案为：. 【变式训练3-5】将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论： ①曲线的方程为； ②曲线上存在点，使得到点的距离为； ③曲线上存在点，使得到点的距离大于到直线的距离； ④曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①④ 【分析】设,根据满足,利用两点间距离公式化简整理，即可判断①是否正确； 由①可知，圆上的点到的距离的范围为,进而可判断②是否正确； 设，根据题意可知，再根据在曲线上，可得，由此即可判断③是否正确；由椭圆的定义，可知在椭圆上，再根据椭圆与曲线的位置关系，即可判断④是否正确. 【详解】设,因为满足,所以,整理可得：,即,所以①正确； 对于②中,由①可知，点在圆的外部,因为到圆心的距离,半径为,所以圆上的点到的距离的范围为,而,所以②不正确； 对于③中,假设存在，使得到点的距离大于到直线的距离, 又，到直线的距离， 所以，化简可得，又， 所以，即，故假设不成立，故③不正确； 对于④中,假设存在这样的点，使得到点与点的距离之和为，则在以点与点为焦点，实轴长为的椭圆上，即在椭圆上，易知椭圆与曲线有交点，故曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为；所以④正确. 故答案为：①④. 【变式训练3-6】在平面上给定相异两点A，B，点P满足，则当且时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆的离心率，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足，若的面积的最大值为3，则面积的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据求出圆的方程，再由的面积的最大值结合离心率求出和的值，进而求出面积的最小值. 【详解】解：由题意，设，， 因为 即 两边平方整理得： 所以圆心为，半径 因为的面积的最大值为3 所以，解得： 因为椭圆的离心率 即，所以 由得： 所以面积的最小值为： 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题先根据已知的比例关系求出阿波罗尼斯圆的方程，再利用已知面积和离心率求出椭圆的方程，进而求得面积的最值. 【变式训练3-7】古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆，现有椭圆，、为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，的面积的最大值为，的面积的最小值为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设点，根据可得出点的轨迹方程，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，求出的值，进而可得出椭圆的离心率的值. 【详解】设点，设点、， 由可得，即， 整理可得，即， 所以，点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆， 点到轴的距离的最大值为，则的面积的最大值为， 解得； 点到轴距离的最小值为，则的面积的最小值为， 可得. ，因此，椭圆的离心率为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【变式训练3-8】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点为抛物线上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】设点坐标，根据题意写出关于与的关系式化简即可；利用抛物线的定义可知，进而可得，即得. 【详解】设点，， ∴. 抛物线的焦点为点，由题意知，， ∴. 故答案为：；. 【变式训练3-9】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线：上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，利用关系列方程化简可得轨迹方程，由，抛物线定义可得，根据结论两点之间线段最短可求最小值. 【详解】设为所求轨迹上任意一点， ∵，，动点满足， ∴， ∴， ∴， 化简可得动点的轨迹方程为； ∵抛物线C：的焦点为，准线为， 所以， ∴ ， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， ∴的最小值为 故答案为：；    【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键在于结合条件及抛物线定义将问题转化为求的最小值. 【变式训练3-10】在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足，当 且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线， 分别为双曲线的左､右焦点，A，B为双曲线虚轴的上､下端点，动点P满足， 面积的最大值为4.点M，N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线和的斜率满足 ，则双曲线方程是 ；过的直线与双曲线右支交于C，D两点(其中C点在第一象限)，设点､分别为 ､的内心，则的范围是 . 【答案】 【分析】设，根据，求得，结合的最大面积得到，再根据，得出，设边上的切点分别为，根据内心的性质，得到轴，设直线的倾斜角为，在中，得到，进而求得的取值范围. 【详解】设， 由题意知，可得，即， 整理得，可得圆心为，半径， 所以的最大面积为，解得，即， 设，则， 则，可得，同理 则，则， 整理得，所以双曲线的方程为. 如图所示，设边上的切点分别为， 则横坐标相等，则， 由，即，即， 即，即点的横坐标为，则， 于是，可得， 同样内心的横坐标也为，则轴， 设直线的倾斜角为，则， 在中， ， 由双曲线的方程，可得，则， 可得， 又由直线为双曲线右支上的点，且渐近线的斜率为，倾斜角为， 可得，即， 可得的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 【变式训练3-11】设双曲线的左右两个焦点分别为、，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线的方程 ；在曲线上，点，，则的最小值 . 【答案】 【分析】延长与的延长线交于点，计算得到轨迹方程，取点，，解得答案. 【详解】如图所示：延长与的延长线交于点， 则， 故轨迹方程为. 取点，则，，故， ，当共线时等号成立. 故答案为：； 【点睛】本题考查了轨迹方程，长度的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，取点证明相似是解题的关键. 【变式训练3-12】古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262-190年)，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家；他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他发现“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．比如在平面直角坐标系中，、，则点满足所得点轨迹就是阿氏圆；已知点，为抛物线上的动点，点在直线上的射影为，为曲线上的动点，则的最小值为 ．则的最小值为 ． 【答案】 ； 【分析】（1）先利用阿氏圆的定义将转化为点到另一个定点D的距离，然后结合抛物线的定义容易求得的最小值； （2）由（1）知，又当过点M的圆的切线与直线平行且离直线近时，取得最小值即可求解. 【详解】解：设，由题意，即，整理得． 因为圆可以看作把圆向左平移两个单位得到的，那么点平移后变为，所以根据阿氏圆的定义，满足， 结合抛物线定义， （当且仅当，，，四点共线，且，在，之间时取等号），此时， 故的最小值为． （当且仅当M，Q，F三点共线时等号成立）， 根据光学的最短光程原理，我们从C点发出一束光，想让光再经过F点，光所用的时间一定是最短的，由于介质不变，自然可以把时间最短看作光程最短。 而光的反射性质为法线平分入射光线与反射光线的夹角，并且法线垂直于过这一点的切线。于是我们得到，当过点M的切线与的角平分线垂直，即当过点M的圆的切线与直线平行且离直线近时，取得最小值，此时切线方程为，联立可得，此时， 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：（1）问解题的关键是根据阿氏圆的定义，得满足； （2）问解题的关键是当过点M的圆的切线与直线平行且离直线近时，取得最小值. （四）解答题 【典型例题1】古希腊数学家阿波罗尼斯在他的代表作《圆锥曲线》一书中指出：平面内动点与两定点的距离之比是一个常数，那么动点的轨迹是一个圆，且圆心在直线上，我们把由此产生的圆叫做阿波罗尼斯圆.已知阿波罗尼斯圆的两个定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为.    (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于（点在轴上方），点是椭圆上异于的两点，平分平分. ①求的取值范围； ②若外接圆的周长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)①；②. 【详解】（1）令，由阿波罗尼斯圆的定义知，且，解得，则， 故椭圆的方程为 （2）①由，又， 得（或由角平分线定理得） 令，设 联立，解得 则 所以，即， 则 又，所以，解得 又，所以， 综上 ②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知， 在以为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为， 则有，即，解得. 又外接圆的周长为，故，则， 又， 则 ， 得，解得 则，故直线的方程为.        【典型例题2】阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他的主要一生研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线轨迹的建模》此书最突出的成果是研究出阿波罗尼斯圆上动点与相关定点的距离比值问题，即定义：已知动点与两个定点Q，P的距离之比为一个不等于1的正常数，则动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，且圆心在直线上，已知动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，其方程是，定点分别为椭圆的右顶点与右焦点，且椭圆的离心率， (1)求椭圆的两条准线距离； (2)如图所示，过右焦点作一条斜率为正数的直线l与椭圆相交于B，D（点在轴的上方），点是椭圆上相异于B，D的两点，平分，TF平分， ①求的取值范围； ②若点S，F，T是另一个阿波罗尼斯圆上的三点，且外接圆的面积为，试求直线l方程， 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）设（且），， 则， 整理得，， 另一方面动点的阿波罗尼斯圆方程是， 于是，，解得，，，， 则椭圆的两条准线距离. （2）①由，又， 则（或由角平分线定理得）, 令，则，设，，则有， 又直线的斜率，则， 又得， 将其代入中， 得，即， 因，则， 故的取值范围为； ②因点S，F，T在以B，D为定点的阿波罗尼斯圆上，不妨设此圆半径为，直线与圆相交于点，显然点也在圆上， 根据阿波罗尼斯圆定义有：， 即，整理得， 因圆的面积，解得，即， 又， 则 解得，， 则，故直线l方程为. 【变式训练4-1】古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中的点，则满足的动点P的轨迹记为圆. (1)求圆的方程； (2)已知，，三点，点在圆上运动，求的最大值与最小值之差. (3)直线与圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； 【答案】(1)； (2)16； (3)存在，点. 【详解】（1）设，由得， 即， 整理得①. （2）设，因为，，三点， 所以 ， ， 因为点P在圆上运动， 则，解得， 所以， 当时，取得最大值88， 当时，取得最小值72. 所以取的最大值与最小值之差为. （3）由消去并整理得， 设，， ， 假定在轴上存在定点，使得， 设，则， 即，整理得， 则，化简得， 当时，，当时，，因此当时，恒成立， 所以在轴上存在定点，使得，点. 【变式训练4-2】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”，现在人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，定点、，动点满足，则的轨迹为阿氏圆，以下称该阿氏圆为圆. (1)求圆的方程. (2)如图，过点斜率为的直线与圆相交于，（点在轴上方），点，是不在直线上的两点，满足平分，平分. （ⅰ）求的取值范围. （ⅱ）将点、、看作一个阿氏圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）设动点，因为、，又， 得，化简整理得：， 所以圆的方程为. （2）（ⅰ）由， 又，所以，令，则， 设，则有，又直线的斜率，则， 又由，得，代入， 得到，即， ∵，则，所以， 又，则，所以， 故的取值范围. （ⅱ）由（ⅰ）有，由阿氏圆定义知在以为定点的阿氏圆上， 设此阿氏圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为， 则有，即，整理得到， 又，解得，∴， 又， ∴， 设，则，整理得到， 解得或（舍去）， 由，解得， ， ∴，则直线的方程为，即. 【变式训练4-3】古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点Р满足. (1)求点P的轨迹的方程； (2)设点M为直线上的一点.过点作轨迹C的两条切线，切点为Q，R. （i）证明：直线过定点； （ⅱ）求线段长度的最小值. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）； 【详解】（1）设点P的坐标为，因为，又，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以点P的轨迹方程为． （2） （i）设点，而，则中点为，且， 以为直径圆的方程为， 整理得， 以为直径圆与圆的方程相减，得． 整理得，令，可得， 所以直线过定点． （ii）记圆的半径为，到直线的距离为，则． 当取最大值时有最小值，而，当且仅当时取到， 所以的最小值为． 【变式训练4-4】阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他的主要一生研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线轨迹的建模》此书最突出的成果是研究出阿波罗尼斯圆上动点与相关定点的距离比值问题，即定义：已知动点与两个定点Q，P的距离之比为一个不等于1的正常数，则动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，且圆心在直线上，已知动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，其方程是，定点分别为椭圆的右顶点与右焦点，且椭圆的离心率， (1)求椭圆的两条准线距离； (2)如图所示，过右焦点作一条斜率为正数的直线l与椭圆相交于B，D（点在轴的上方），点是椭圆上相异于B，D的两点，平分，TF平分， ①求的取值范围； ②若点S，F，T是另一个阿波罗尼斯圆上的三点，且外接圆的面积为，试求直线l方程， 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用定义整理得，再根据条件列式求得； （2）①首先由面积比值求得，令，则，利用坐标表示向量，求得，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知，在以为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得，求得，再根据，求得，即可计算直线方程. 【详解】（1）设（且），， 则， 整理得，， 另一方面动点的阿波罗尼斯圆方程是， 于是，，解得，，，， 则椭圆的两条准线距离. （2）①由，又， 则（或由角平分线定理得）, 令，则，设，，则有， 又直线的斜率，则， 又得， 将其代入中， 得，即， 因，则， 故的取值范围为； ②因点S，F，T在以B，D为定点的阿波罗尼斯圆上，不妨设此圆半径为，直线与圆相交于点，显然点也在圆上， 根据阿波罗尼斯圆定义有：， 即，整理得， 因圆的面积，解得，即， 又， 则 解得，， 则，故直线l方程为. 【变式训练4-5】古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的3倍．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴的负半轴交于点为坐标原点，若点不在轴上，直线分别与直线交于两点，探究以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)以为直径的圆过定点，或，理由见解析 【分析】 【详解】（1）设，由题意得， 即，化简得， 所以曲线的方程为； （2）以为直径的圆过定点，或，理由如下， 令，可得，或，所以， 设，直线的方程分别为、， 因为，所以，可得， 由得，由得， 可得的中点为，， 以为直径的圆的方程为 ， 整理得， 由，得或， 可得以为直径的圆过定点，或. 【变式训练4-6】设A，B是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，且点满足. (1)求点所在圆的方程; (2)已知圆与轴交于C，D两点（点在点的左边），斜率不为0的直线过点且与圆交于E，F两点，证明:. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）设，由， 得：，整理得：.即为圆的方程. （2）令，由或. 所以，. 设直线：. 代入得：，整理得：. 设，， 则，. 因为， 因为 所以. 【变式训练4-7】离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为． (1)求点的轨迹方程； (2)若，求点的轨迹的方程； (3)过作两条互相垂直的直线，与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】 【详解】（1）设点，点满足， 所以可得， 化简可得． （2）设点，， 由（1）点满足方程： ，， 即 ，， 代入上式消去可得的轨迹方程为． （3）设圆心到直线，的距离分别为，则， ， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，四边形面积的最大值为7． 【变式训练4-8】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分． ①求的取值范围； ②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）①；②． 【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2，利用定义整理得，再根据条件列式求得椭圆方程；方法3，利用定义进行整理，由为常数，求得系数，得到椭圆方程；（2）①首先由面积比值求得，令，则，利用坐标表示向量，求得，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知，，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得，求得，再根据，求得，即可计算直线方程. 【详解】（1）方法（1）特殊值法，令，，且，解得 ∴，，椭圆的方程为 方法（2）设，由题意（常数）， 整理得：， 故，又，解得：，． ∴，椭圆的方程为． 方法（3）设，则． 由题意 ∵为常数，∴，又，解得：，，故 ∴椭圆的方程为 （2）①由，又， ∴（或由角平分线定理得） 令，则，设，则有， 又直线的斜率，则，代入得： ，即， ∵，∴． ②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知， ，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为， 则有，即，解得：． 又，故，∴ 又， ∴， 解得：，， ∴，∴直线的方程为． 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，以及外接圆，新定义的综合应用，属于难题，本题的关键是读懂题意，并根据几何关系进行消参，转化与化归，是本题的关键也是难点. 【变式训练4-9】古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点A(0，6)，B(0，3)、动点M满足 ，记动点M的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程； (2)过点N(0、4)的直线l与曲线C交于P，Q两点，若P为线段NQ的中点，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点点距离公式，代入等量关系中化简即可求解方程， （2）联立直线与圆的方程，根据中点坐标公式以及根与系数的关系即可求解. 【详解】（1）设，由点A(0，6)，B(0，3)、动点M满足 得，两边平方化简得：， 故曲线C的方程 （2）当直线无斜率时；此时直线与圆相交P，Q两点，则或者,均不符合P为线段NQ的中点， 当直线有斜率时；设： ， 联立直线与圆的方程，化简得， ，故 设，则-① 若为线段的中点，则，所以，将其代入①中得：，进而得，满足， 所以，因此的方程为 【变式训练4-10】梅纳库莫斯（前375—前325）首研圆锥曲线.约百年后，阿波罗尼斯系统研究其光学性质：由椭圆焦点发出的光线经椭圆反射后必过另一焦点.椭圆的中心在原点，法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，焦点，由发出的光线经椭圆反射后至的路径长为4.任取椭圆上非长轴端点，其切线为在的射影为点.    (1)求椭圆的方程； (2)证明为定值； (3)已知切线与直线相交于两点，轴上是否存在定点，使得以为直径的圆过点，若存在，求出点，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，或. 【分析】（1）根据焦点及椭圆定义列式求解得出椭圆的方程； （2）根据图形特征结合定义计算求值； （3）先设切线方程为：，结合圆的方程应用在圆上计算求参即可. 【详解】（1）根据题意，椭圆的中心在坐标原点，焦点为， 所以椭圆的方程为，其中，且. 又因为由发出的光线经椭圆一次反射后到经过的路程为4， 所以，因此， 则椭圆方程为. （2）延长交于点， 则. 故为定值.    （3）设椭圆上点，其切线方程为：. 切线与直线和的交点分别为和. 以为直径的圆的方程为： . 若存在满足条件的定点，则可设在圆上， 代入得：. 化简得：. 利用椭圆方程，可得， 因此：，即，所以. 即的坐标为或. 【变式训练4-11】古希腊数学家阿波罗尼斯在他的代表作《圆锥曲线》一书中指出：平面内动点与两定点的距离之比是一个常数，那么动点的轨迹是一个圆，且圆心在直线上，我们把由此产生的圆叫做阿波罗尼斯圆.已知阿波罗尼斯圆的两个定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为.    (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于（点在轴上方），点是椭圆上异于的两点，平分平分. ①求的取值范围； ②若外接圆的周长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）依据阿波罗尼斯圆的定义，取圆上的特殊点，计算得的值； （2）①先证得角平分线定理，令，再设直线方程，得，再求得的范围，即可解得的范围； ②设外接圆与直线的另一个交点为，由几何关系可得，再通过几何关系解得，再利用弦长公式即可求得直线方程. 【详解】（1）令，由阿波罗尼斯圆的定义知，且，解得，则， 故椭圆的方程为 （2）①由，又， 得（或由角平分线定理得） 令，设 联立，解得 则 所以，即， 则 又，所以，解得 又，所以， 综上 ②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知， 在以为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为， 则有，即，解得. 又外接圆的周长为，故，则， 又， 则 ， 得，解得 则，故直线的方程为.        【变式训练4-12】阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他的主要一生研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线轨迹的建模》此书最突出的成果是研究出阿波罗尼斯圆上动点与相关定点的距离比值问题，即定义：已知动点与两个定点Q，P的距离之比为一个不等于1的正常数，则动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，且圆心在直线上，已知动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，其方程是，定点分别为椭圆的右顶点与右焦点，且椭圆的离心率， (1)求椭圆的两条准线距离； (2)如图所示，过右焦点作一条斜率为正数的直线l与椭圆相交于B，D（点在轴的上方），点是椭圆上相异于B，D的两点，平分，TF平分， ①求的取值范围； ②若点S，F，T是另一个阿波罗尼斯圆上的三点，且外接圆的面积为，试求直线l方程， 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用定义整理得，再根据条件列式求得； （2）①首先由面积比值求得，令，则，利用坐标表示向量，求得，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知，在以为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得，求得，再根据，求得，即可计算直线方程. 【详解】（1）设（且），， 则， 整理得，， 另一方面动点的阿波罗尼斯圆方程是， 于是，，解得，，，， 则椭圆的两条准线距离. （2）①由，又， 则（或由角平分线定理得）, 令，则，设，，则有， 又直线的斜率，则， 又得， 将其代入中， 得，即， 因，则， 故的取值范围为； ②因点S，F，T在以B，D为定点的阿波罗尼斯圆上，不妨设此圆半径为，直线与圆相交于点，显然点也在圆上， 根据阿波罗尼斯圆定义有：， 即，整理得， 因圆的面积，解得，即， 又， 则 解得，， 则，故直线l方程为. 【变式训练4-13】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分． ①求的取值范围； ②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）①；②． 【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2，利用定义整理得，再根据条件列式求得椭圆方程；方法3，利用定义进行整理，由为常数，求得系数，得到椭圆方程；（2）①首先由面积比值求得，令，则，利用坐标表示向量，求得，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知，，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得，求得，再根据，求得，即可计算直线方程. 【详解】（1）方法（1）特殊值法，令，，且，解得 ∴，，椭圆的方程为 方法（2）设，由题意（常数）， 整理得：， 故，又，解得：，． ∴，椭圆的方程为． 方法（3）设，则． 由题意 ∵为常数，∴，又，解得：，，故 ∴椭圆的方程为 （2）①由，又， ∴（或由角平分线定理得） 令，则，设，则有， 又直线的斜率，则，代入得： ，即， ∵，∴． ②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知， ，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为， 则有，即，解得：． 又，故，∴ 又， ∴， 解得：，， ∴，∴直线的方程为． 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，以及外接圆，新定义的综合应用，属于难题，本题的关键是读懂题意，并根据几何关系进行消参，转化与化归， 【变式训练4-14】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，阿波罗尼斯圆指的是已知动点与两定点的距离之比且是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的上顶点与右顶点，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，过点斜率分别为的直线与椭圆的另一个交点分别为，且满足，试探究面积是否存在最大值，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在最大值为2，直线方程为 【分析】（1）法一：设，上顶点，右顶点，由题意知：，化为标准方程，与圆的方程对比可求的值，可求椭圆的标准方程； 法二：圆心在两定点所在直线上，设直线为，进而可求得的值，可求椭圆的标准方程； （2）设，联立方程组可得，结合已知可得，可求得，求得点到直线的距离，进而求得的长，可求三角形面积的最大值. 【详解】（1）法一：设，上顶点，右顶点，由题意知：， 整理可得：， 又． 又圆的方程为，， 解得， 则椭圆方程为． 法二：圆心在两定点所在直线上，，又， 且圆心为， 则椭圆方程为. （2）由题可知，直线的斜率显然存在设， 则，解得：，需满足判别式大于0， 则，又 整理可得，即， 即或， 当时直线过点，不合题意， 此时点到直线的距离为， 又， ， 当时面积取得最大值，最大值为2，此时， 存在最大值为2，此时直线方程为． 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，以及定点坐标的求法，新定义的综合应用，属于难题，本题的关键是读懂题意，并根据几何关系进行消参，转化与化归，是本题的关键也是难点. 【变式训练4-15】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，阿波罗尼斯圆指的是已知动点与两定点的距离之比且是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的上顶点与右顶点，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，过点斜率分别为的直线与椭圆的另一个交点分别为，且满足，试探究面积是否存在最大值，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在最大值为2，直线方程为 【分析】（1）法一：设，上顶点，右顶点，由题意知：，化为标准方程，与圆的方程对比可求的值，可求椭圆的标准方程； 法二：圆心在两定点所在直线上，设直线为，进而可求得的值，可求椭圆的标准方程； （2）设，联立方程组可得，结合已知可得，可求得，求得点到直线的距离，进而求得的长，可求三角形面积的最大值. 【详解】（1）法一：设，上顶点，右顶点，由题意知：， 整理可得：， 又． 又圆的方程为，， 解得， 则椭圆方程为． 法二：圆心在两定点所在直线上，，又， 且圆心为， 则椭圆方程为. （2）由题可知，直线的斜率显然存在设， 则，解得：，需满足判别式大于0， 则，又 整理可得，即， 即或， 当时直线过点，不合题意， 此时点到直线的距离为， 又， ， 当时面积取得最大值，最大值为2，此时， 存在最大值为2，此时直线方程为． 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，以及定点坐标的求法，新定义的综合应用，属于难题，本题的关键是读懂题意，并根据几何关系进行消参，转化与化归，是本题的关键也是难点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $