第14讲 圆锥曲线的切线方程与光学问题讲义-2026届高考数学二轮复习椭圆专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线切线方程与光学问题，覆盖极点极线应用、三大曲线切线及切点弦方程、光学性质等高考核心考点，按考情分析、知识要点、题型归纳逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建知识网络，突破定点定值等难点。 讲义以高观点整合射影几何背景，设基础到拓展分层目标，如用“半代换”公式快速写切线方程，结合典型例题培养逻辑推理与数学运算素养，通过变式训练实现分层突破，助力教师精准把控复习节奏，提升学生解题效率与应考能力。

第14讲 圆锥曲线的切线方程与光学问题 目 录 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 2 题型归纳 7 题型01：极点极线及其在圆锥曲线中的应用 7 题型02：椭圆中的切线方程和切点弦方程 43 题型03：双曲线中的切线方程和切点弦方程 54 题型04：抛物线中的切线方程和切点弦方程 63 题型05：切线方程及切点弦方程的应用 78 题型06：椭圆中的光学性质 93 题型07：双曲线中的光学性质 104 题型08：抛物线中的光学性质 117 一．地位与定位 1.非课标显性考点：极点极线属于射影几何（高等几何）内容，不在高考大纲/课标要求范围内，试卷不会直接出现“极点”“极线”术语。 2.高频命题背景：是全国卷、新高考卷解析几何压轴题（选择/填空压轴、解答题第20/21题）的核心命题背景，近年几乎年年考查。 3.核心作用：用于命制定点、定值、切线、切点弦、轨迹、定点弦类问题。 二. 近年考情（全国/新高考） 1.频率：近5年（2021-2025）每年至少2套卷出现极点极线背景题。 2.题型 ①小题：选填压轴（快速判断定点/切线） ②大题：圆锥曲线解答题（第2问，证明定点/定值） 3. 分值：5–12分（小题5分，大题约7分）。 4.难度：中高档/压轴，区分度强。 三. 命题趋势 1.常态化：持续作为圆锥曲线压轴题的核心背景。 2.隐蔽化：不直接提及极点极线，需识别背景、简化思路。 3.计算+思维双考：既考代数运算，也考几何本质理解。 四. 高考价值 1.秒解小题：快速判断切线、切点弦、定点。 2. 预判大题：先猜出结论，再用常规步骤书写。 3.降维打击：高观点看清本质，减少计算、避免出错。 一. 基础目标（必会） 1.理解极点、极线的几何定义（调和点列）。 2.掌握三大曲线的极线方程（“半代换”公式）： 3.记住三种位置关系： 二. 应用目标（解题） 1.用极线快速写切线、切点弦方程。 2.识别极点极线背景的定点/定值问题。 3.掌握配极原则：若P在Q的极线上，则Q在P的极线上。 4.会用极点极线预判答案，再用联立/韦达定理规范书写。 三. 拓展目标（培优） 1.理解调和点列、调和线束性质。 2.用极点极线分析自极三角形、定点弦问题。 3.能命题/变式：以极点极线为背景构造题目。 四. 素养目标 1.提升几何直观、逻辑推理、数学运算素养。 2.建立点—线对偶、数形结合思想。 3.形成高观点下看高中题的思维。 知识点一：极点极线的代数定义　 对于二次曲线，我们称点（非二次曲线的中心）与直线是关于曲线的一对极点极线，也称点P为直线l关于曲线的极点，直线l为点P关于曲线的极线． 二次曲线的替换法则　 对于一般式的二次曲线，用代，用代，用代xy，用代x，用代y，常数项不变，可得方程： ． 1.圆锥曲线中的极点极线（以椭圆为例） 设椭圆方程为，点为平面内任意一点，则： （1）极线：对应点的极线方程为； （2）极点：若直线是某点的极线，则该点（极点）坐标可通过极线方程反推：将直线方程化为，对比极线标准形式，得极点为（时极线过原点，极点在无穷远）. 2.极点与极线的几何性质（核心） （1）位置关系：极点位置决定极线位置 ①若极点在曲线上，则极线为曲线在点的切线（验证：代入满足椭圆方程，极线方程即为切线方程）； ②若极点在曲线外，则极线为过作曲线两条切线的切点连线（切点弦）； ③若极点在曲线内，则极线为曲线的一条弦的极点轨迹（过的弦的两端点切线交点轨迹即为极线）. （2）圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点，则 极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； 注：极点极线的相关结论在高考中不能直接使用，需要在解题过程中利用常规方法进行推导和证明．在运用极点极线解题时，要确保对基本概念和性质的准确理解和运用，避免因概念不清或错误运用性质导致解题错误． 3.高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下 (1) 圆　①极点关于圆的极线方程是：； ②极点关于圆的极线方程是： ； ③极点关于圆的极线方程是： ． (2) 椭圆　极点关于椭圆的极线方程是：． (3) 双曲线　极点关于双曲线的极线方程是：． (4) 抛物线　极点关于抛物线的极线方程是：． 4.极点极线的几何意义　 (1)  若极点P在二次曲线上，则极线是过点P的切线方程． (2) 若极点P在二次曲线外部，极线在二次曲线内的部分是点P对二次曲线的切点弦AB； (3) 若极点P在二次曲线内部，则极线是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P的弦AB、CD的两端端点作切线，得到的直线MN即为点P对应的极线． 5.自极三角形　 如下图，设是不在圆锥曲线上的一点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线。同理可知，为点对应的极线，为点所对应的极线，因而将称为自极三角形。 如何找自极三角形：先找到形成第一个极点P（或M或N）的曲线上的四个点，如A，B，C，D，再两两相连可以得到另外两个极点。 结论： ①点关于圆锥曲线的极线过点点关于的极线经过点; ②三个极点的坐标两两可以带入曲线的极线方程中，例如：成立。 6.中点弦公式 若极点P在二次曲线内部，以圆为例：极点关于圆的中点弦方程是： (1) 圆 （和极线方程相比，不光等号坐标要替换，等号右边也要全部替换） (2) 椭圆　极点关于椭圆的中点弦方程是：． (3) 双曲线 极点关于双曲线的中点弦方程是：． 知识点二：圆锥曲线的切线及切点弦方程 1 过圆 上一点 的切线方程: 2. 设 为椭圆 1上的点, 则过该点的切线方程为: 3. 设 为双曲线 上的点, 则过该点的切线方程为: 4. 设 为抛物 线 上的点, 则过该点的切线方程为 5. 设 为圆 外一点, 则切点弦的方程为: 6. 设 为椭圆 外一点, 过该点作椭圆的两条切线,切点为 , 则弦 的方程为: 7. 过 为双曲线 的两支作两条切线, 则切点弦方程为 8. 设 为抛物线 开口外一点, 则切点弦的方程为: 知识点三：圆锥曲线的光学性. 1.椭圆的光学性质 如图 所示, 从椭圆的一个焦点发出的光线, 被椭圆反射后,必定经过另一个焦点; 如图 所示, 椭圆在点 处的切线为 , 直线 交直线 于点 , 则 平分 , 由角平分线性质定理, . 2. 双曲线的光学性质 如图 所示, 从双曲线一个焦点发出的光线, 被双曲线反射后, 反射光线的反向延长线交于另一个焦点; 如图 所示, 双曲线在点 处的切线 与直线 相交于点 , 则 平分 , 由角平分线性质定理, 3. 抛物线的光学性质 如图 所示, 从抛物线的焦点 发出的光线, 被抛物线反射后, 得到的是一系列的与抛物线对称轴平行 (或重合) 的光线; 如图 所示, 设抛物线在 处的切线 l交对称轴于点 上切线 l交对称轴于点 , 则焦点 是 的中点. 题型01：极点极线及其在圆锥曲线中的应用 【典型例题1】从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义写出极线的方程，由点到直线距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到，的关系再进行求解. 【详解】设，椭圆方程：，椭圆方程：， 则有①， 由极线的定义得直线的方程为，即， 原点到直线的距离，化简得②， 对比①②式得出，， 则有， 因为椭圆的离心率在内，所以， 所以， 当且仅当，即时取等，此时， 所以的最大值为. 故选：D. 【典型例题2】已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据极点极线的定义，写出极点坐标和极线方程，再利用切点弦和弦中点斜率乘积为定值，得直线的方程. 【详解】设,则的直线方程为，， 整理得, 由解得，，定点 ，则为中点， ，即． 故选：A. 【典型例题3】如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.    (1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程. (2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答) 极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点. ①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点； ②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1)， (2)①证明过程见解析②证明过程见解析，定点坐标为 【详解】（1）由题意焦点在轴上，所以，解得，即的范围为， 且，解得， 所以椭圆方程为. （2）我们首先给出题目给出的引理的证明： 设，则Q在P的极线上， 现在如果经过P的直线交椭圆于： 那么，代入椭圆就得到， 所以 ， 由韦达定理有， 此时要证明的是：， 也就是， 也就是， 也就是，     也就是， 也就是，     也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 这显然成立，所以结论得证. 接下来我们回到原题，    ①首先由于Q在P的极线上，故由引理有，， 而， 所以，这表明Q是和的交点， 又由于，故， 设，而，，， 所以，也就是E是的中点； ②设，那么，所以， 这表明的方程是，即， 所以恒过点. 【典型例题4】定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”. 结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线. 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点. 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点. (1)求； (2)设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点； (3)若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值. 【答案】(1)3 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求的方程为，联立可得； （2）先求得和交于点，再求得直线的方程为，也过，即可证； （3）在点处的切线方程为，则与平行，由椭圆的光学性质可得，即为定值. 【详解】（1）根据定义，可得的方程为，即， 将其代入的方程得，解得， 不妨取，所以. （2）根据所给结论可知分别是关于点的极线， 如图（1），取，则. 由解得所以和交于点， 要证明直线相交于一点，只需证明直线过点即可. 设. 根据所给结论，可知直线，直线. 因为直线和都经过点，所以， 所以直线的方程为，将代入，得，方程也成立， 所以直线过点，故直线相交于一点. （3）由题意，在点处的切线方程为，则与平行，且经过坐标原点. 如图（2）所示，由椭圆的光学性质，可知. 又因为，所以，所以，所以. 过作，与交于点，则，所以. 另一方面，因为，所以， 从而，所以. 因此，故为定值. 【点睛】关键点点睛：本题第二问证明三点共线，先求两条直线的交点，再证交点在第三条直线上即可.第三问先考虑在点处的切线方程为与平行，进而根据椭圆的光学性质和平面几何相关知识可得. 【变式训练1-1】已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点． （1）求椭圆M的离心率； （2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 （1）由已知两点坐标得，求得后可得离心率； （2）直线方程为，设（，），，．由三点共线求得点坐标（用点坐标表示），由共线求得点坐标（用点坐标表示），写出直线的方程，把代入化简对方程变形可得定点坐标． 【详解】 解：（1）因为点，都在椭圆上， 所以，． 所以． 所以椭圆的离心率． （2）由（1）知椭圆的方程为，． 由题意知：直线的方程为． 设（，），，． 因为三点共线，所以有，， 所以． 所以． 所以． 因为三点共线， 所以，即． 所以． 所以直线的方程为， 即． 又因为点在椭圆上，所以． 所以直线的方程为． 所以直线过定点． 【点睛】 关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，考查椭圆的直线过定点问题，解题方法是设椭圆上的点坐标，利用三点共线变为向量平行，求得直线交点的坐标，得出直线方程，再由在椭圆上，代入化简凑配出定点坐标． 【变式训练1-2】若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）直线l恒过定点．. 【分析】 （1）待定系数法椭圆的标准方程； （2）用“设而不求法”把直线和椭圆联立方程组，，表示出，整理出直线过定点. 【详解】 （1）由已知得双曲线的离心率为，又两曲线离心率之积为，所以椭圆的离心率为； 由题意知，所以，． 所以椭圆的标准万程为． （2）当直线l的斜率为零时，由对称性可知： ，不满足， 故直线l的斜率不为零．设直线l的方程为， 由，得：， 因为直线l与椭圆C交于P、Q两点， 所以， 整理得：， 设、，则 ，，，． 因为， 所以， 整理得：， ， 将，代入整理得： 要使上式恒成立，只需，此时满足， 因此，直线l恒过定点． 【点睛】 （1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程； （2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题； （3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式y=kx+b，过定点(0,b)； ②直线方程整理为点斜式y - yo=k(x- x0)，过定点(x0,y0) ． 【变式训练1-3】如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为. （1）求椭圆E的方程； （2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，Q点的坐标为. 【详解】 （1）由已知，点在椭圆E上. 因此，解得. 所以椭圆的方程为. （2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点. 如果存在定点Q满足条件，则，即. 所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为. 当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点. 则， 由，有，解得或. 所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件， 则Q点的坐标只可能为. 下面证明：对任意的直线，均有. 当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立. 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为， A、B的坐标分别为. 联立得. 其判别式， 所以，. 因此. 易知，点B关于y轴对称的点的坐标为. 又， 所以，即三点共线. 所以. 故存在与P不同的定点，使得恒成立. 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想. 【变式训练1-4】已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值. 【答案】 【详解】因为点满足，所以，设直线的方程为， 联立，得， 设，易得，则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立得， 因为，所以，解得 所以动点的轨迹方程为. 由椭圆的对称性不妨设，直线的倾斜角分别为， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，此时，，所以的最大值为. 思路总结：通常动点所在定直线为横线或者竖线；首先找到自极三角形，然后根据极点坐标写出极线方程，接下来我们再去用常规联立的方法求动点的横坐标（或者是纵坐标）为定值。所以极点极线的结论可以帮助我们指明解题方向。 【变式训练1-5】已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. (1)若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； (2)当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； (3)已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据极线及焦点坐标分别列式即可求解即得椭圆方程； （2）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个根，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程，最后得出直线方程结合极线定义证明即可； （3）利用代数法证明点在椭圆C外，则点和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.根据题意中的概念求出点对应的极线MN方程，可得该直线恒过定点，最后利用点差法求出直线的斜率，即可求解. 【详解】（1）因为极点对应的极线l为，即，所以， 因为右焦点是，所以，所以， 所以椭圆C的方程为； （2）当斜率存在时，设切线方程为， 联立椭圆方程，设切点， 可得，化简可得： ， 由题可得： 化简可得：，该方程只有一个根，记作， ，为切点的横坐标， 切点的纵坐标， 由于，则， 则切线方程为：， 化简得：． 当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程， 综上上一点,的切线方程为； 同理上一点,的切线方程为； 设，点在两个切线上，所以， 所以的直线方程为，根据极线定义直线MN为极点Q的极线； （3）由题意，设点的坐标为(,)， 因为点在直线上运动，所以， 联立，得， ，该方程无实数根， 所以直线与椭圆C相离，即点在椭圆C外，又都与椭圆C相切， 所以点和直线是椭圆C的一对极点和极线. 对于椭圆，与点对应的极线方程为， 将代入，整理得， 又因为定点T的坐标与的取值无关， 所以，解得，所以存在定点恒在直线上. 当时，T是线段的中点， 设，直线的斜率为， 则，两式相减， 整理得，即， 所以当时，直线的方程为，即. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是应用点差法结合韦达定理计算求参解题. 【变式训练1-6】设椭圆过点，且左焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，且满足，证明：点总在某定直线上． 【解析】（1）因为椭圆的左焦点为， 所以， 设椭圆方程为， 又因为椭圆过点， 所以， 解得 所以椭圆方程为：； （2）设直线的参数方程是，（为参数），代入椭圆方程， 得：． 由， 得， 即， 则， 点轨迹的参数方程是， 则， 所以点在定直线上 【变式训练1-7】已知曲线. （1）若曲线C表示双曲线，求的范围； （2）若曲线C是焦点在轴上的椭圆，求的范围； （3）设，曲线C与轴交点为A，B（A在B上方），与曲线C交于不同两点M，N，与BM交于G，求证：A，G，N三点共线. 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】 （1）若曲线表示双曲线，则：，解得的范围；（2）若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得的取值范围；（3）联立直线与椭圆方程结合，解得，设，，，求出的方程，可得，从而可得，，欲证，，三点共线，只需证，共线，利用韦达定理，可以证明． 【详解】 （1）若曲线表示双曲线，则：， 解得：. （2）若曲线是焦点在轴上的椭圆， 则：， 解得： （3）当，曲线可化为：， 当时，， 故点坐标为：，， 将直线代入椭圆方程得：， 若与曲线交于不同两点，， 则，解得， 由韦达定理得：  ①，  ② 设，，， 方程为：，则， ∴，， 欲证，，三点共线，只需证，共线， 即， 将①②代入可得等式成立，则，，三点共线得证． 【点睛】 本题考查椭圆和双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解，属于中档题. 【变式训练1-8】已知椭圆过点，且椭圆的一个顶点的坐标为．过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，（，不同于点），直线与直线：交于点．连接，过点作的垂线与直线交于点． （1）求椭圆的方程，并求点的坐标； （2）求证：，，三点共线． 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【分析】 （1）根据题意列方程组，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标； （2）讨论直线的斜率，利用是平行的证明，，三点共线． 【详解】 （1） 因为点在椭圆上，且椭圆的一个顶点的坐标为， 所以解得 所以椭圆的方程为． 所以椭圆的右焦点的坐标为． （2）① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为． 显然，，或，． 当，时，直线的方程为，点的坐标为． 所以． 直线的方程为，点的坐标为． 则，． 所以，所以，，三点共线． 同理，当，时，，，三点共线． ② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为． 由得． 且． 设，，则，． 直线的方程为，点的坐标为． 所以． 直线的方程为，点的坐标为． 则，． 所以 ， ， ， ， ， ． 所以与共线， 所以，，三点共线． 综上所述，，，三点共线． 【点睛】 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 【变式训练1-9】设椭圆：的左右焦点分别为，，设动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数．求面积的最大值． 【答案】 【详解】①设直线，由，消得， 设，，所以，， 所以， 因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以， 所以，所以， 即，所以， 因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点． ②由①知，，，且，即， 又， 令，则， 所以，当且仅当时取“=”，   所以． 【变式训练1-10】极点与极线的基本性质、定理：①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是从点P向曲线G所引两条切线的切点所在的直线l(即切点弦所在直线）；③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹．结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆． (1)点P是直线上的一个动点，过点P向椭圆G引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由． (2)点P在圆上，过点P作椭圆G的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最大值． 【答案】(1)存在， (2) 【详解】（1）设点，由点P在直线上运动，得，    由，消去y并整理得， 显然， 即此方程组无实数解，于是直线与椭圆G相离，即点P在椭圆G外， 又PM，PN都与椭圆G相切，因此点P和直线MN是椭圆G的一对极点和极线， 对于椭圆，与点对应的极线方程为， 将代入，整理得， 显然定点T的坐标与的取值无关，即有，解得， 所以存在定点恒在直线MN上， 当时，T是线段MN的中点且在椭圆G内，设直线MN的斜率为k， 则，两式相减并整理得，即， 所以当时，直线MN的方程为，即． （2）由（1）知直线AB的方程为，由题意知，    由，消去y并整理得：， 而，则， 设，则， 所以 ， 点P到直线AB的距离为：， 因此面积， 当时，令， 求导得，即在单调递增，则的最大值为， 由对称性可知当时，的最大值也为，所以面积的最大值为． 【变式训练1-11】阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质，定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆的离心率为是上一点. (1)求椭圆的标准方程并写出与点对应的极线方程； (2)设分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为.证明： ①为定值； ②点在定直线上. 【答案】(1)椭圆方程为，极线方程为 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据离心率以及坐标即可求解得椭圆方程，根据极线方程的公式即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，即可根据斜率公式化简求解①，联立两直线方程可得交点坐标，即可求解②. 【详解】（1）因为离心率为，故 又是上一点，所以，故，所以 椭圆方程为， 由于点对应的极线方程为；故处的极线方程为，即极线方程为， （2）①由题意可知的斜率不为，设， 设， ， ，， ②根据①结果，可设，则 （1） （2） 联立（1）（2）可得： 故点，易知点恒在上 【变式训练1-12】几何学伴随着人类文明而产生，对人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.在现代数学里，几何学与代数、分析、数论等多个方向关系极为密切，几何的思想成为了数学最重要的思想之一，几何对物理、化学、生物、工程等各个领域也有着极其重要的作用.目前，几何学大致包含了欧式几何、射影几何、解析几何等几类不同思路的研究方法.其中，射影几何学中的极点与极线理论对于研究圆锥曲线提供了新的思考方式.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为：.已知椭圆：的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线MQ，NQ，PQ的斜率分别为，，（，，均存在）. (1)求极线的方程； (2)求证：. 【答案】(1). (2)证明见解析 【分析】（1）由长轴长和焦点坐标求出椭圆的的值，得到椭圆方程，按定义得到极线的方程； （2）作出图像，设出直线的方程后联立方程组，整理得到二元一次方程，由韦达定理得到的代数式，设点坐标，表示出，然后化简即可得证. 【详解】（1）由椭圆：的长轴长为， 则，解得， 又椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合， 所以，解得. 所以椭圆的方程为. 由题意可知，对于椭圆， 极点对应的极线的方程为，即. （2）如图：    显然不存在时，不存在交点，∴一定存在， 设， 联立方程组，整理得， ，即， 设交点，则，， 设，则，，， ， ， ， ， 即. 【变式训练1-13】如图，椭圆的左、右顶点分别为为直线上一点，分别与椭圆交于点A，B，直线与x轴交于点P，与直线交于点M，记直线的斜率分别为，求证：    (1)成等差数列； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得P，H调和分割，由此即可得证； （2）由（1）中结论可得，化简得，由此即可得证. 【详解】（1）    由完全四边形的性质可知点Q在P的极线上，点为与轴的交点， 则P，H调和分割， 所以， （2）由（1）可知，得， 则，即P，H调和分割A1B1， 故，得. 【变式训练1-15】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形． (1)求C的标准方程； (2)M，N为C上且在x轴上方的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)定值为． 【分析】（1）根据面积求出，即可得出椭圆方程； （2）设，根据相似三角形表示出，利用直线与椭圆方程化简可得的和积，代入化简即可得解. 【详解】（1）椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，因为四边形是面积为8的正方形， 所以有且，解得，故， 所以椭圆的标准方程为； （2）由已知，则， 设，因为， 所以． 又因为，所以， 所以 ． 即． 设，的方程分别为：，， 设，， 则， 所以， 因此， 同理可得：，因此，， 所以． 所以为定值，定值为． 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于运算，大量的运算保证了消参的进行，为求证定值的必要条件，运算能力的培养是解决问题的关键. 【变式训练1-16】如图，椭圆的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点， (1)若轴，求的面积； (2)若，求点的坐标； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题设条件，直接求出，即可求解； （2）设，直线的方程为，联立椭圆方程，求出，结合条件得到，即可求出，从而求解； （3）直接求出的纵坐标，从而得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，由椭圆，得，， 则，，，所以，， 当时，由，得，所以，       所以的面积为． （2）设，，则直线的方程为， 由，消可得，整理得， 所以，得， 所以，       因为，所以，可得， 所以，解得，代入，得出， 所以点的坐标为. （3）设，由（2）得，则直线的方程为， 由，消得到， 所以，得， 得到， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为． 【变式训练1-17】已知椭圆过和两点.    (1)求椭圆C的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q（不同于B，A）.证明：点B在以为直径的圆内. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）把给定点的坐标代入椭圆方程，求出即得. （2）设出点的坐标，求出直线的方程，分别与椭圆方程联立求出点坐标，再借助向量数量积求解即得. 【详解】（1）依题意，将点和的坐标代入椭圆，得，解得， 所以椭圆方程为 （2）由（1）知，显然点不在x轴上，设，， 直线斜率分别为，直线的方程为，的方程为， 由，消去得，显然， 于是，解得，则， 由，消去得，显然， 于是，解得，则， 因此，， 则， 则有为钝角， 所以点B在以为直径的圆内. 【变式训练1-18】已知椭圆：的离心率为，点和点 都在椭圆上，直线交轴于点． （Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）； （Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得 ？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）存在点． 【详解】（Ⅰ）由于椭圆：过点且离心率为，，，椭圆的方程为. ,直线的方程为：，令，； （Ⅱ），直线的方程为：，直线PB与x轴交于点N，令，则. 设 , , , 则，所以，（注：点在椭圆上，），则，存在点使得. 考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题. 【变式训练1-19】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：. 【答案】（1）的方程为或；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据与轴垂直，且过点，求得直线的方程为，代入椭圆方程求得点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程； （2）方法一：分直线与轴重合、与轴垂直、与轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果. 【详解】（1）由已知得，的方程为. 由已知可得，点的坐标为或. 所以的方程为或. （2）［方法一］：【通性通法】分类＋常规联立 当与轴重合时，. 当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以. 当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，， 则，直线、的斜率之和为. 由得. 将代入得. 所以，. 则. 从而，故、的倾斜角互补，所以. 综上，. ［方法二］：角平分线定义的应用 当直线l与x轴重合或垂直时，显然有．当直线l与x轴不垂直也不重合时，设直线l的方程为，交椭圆于，． 由得． 由韦达定理得． 点A关于x轴的对称点，则直线的方程为． 令，，则直线过点M，． ［方法三］：直线参数方程的应用 设直线l的参数方程为（t为参数）．（*） 将（*）式代入椭圆方程中，整理得． 则，． 又，则 ， 即．所以． ［方法四］：【最优解】椭圆第二定义的应用 当直线l与x轴重合时，． 当直线l与x轴不重合时，如图，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则有轴．    由椭圆的第二定义，有，，得，即． 由轴，有，即，于是，且．可得，即有． ［方法五］：角平分线定理逆定理＋极坐标方程的应用 椭圆以右焦点为极点，x轴正方向为极轴，得. 设． ． 所以，． 由角平分线定理的逆定理可知，命题得证． ［方法六］：角平分线定理的逆定理的应用 设点O（也可选点F）到直线的距离分别为，根据角平分线定理的逆定理，要证，只需证． 当直线l的斜率为0时，易得． 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：．由方程组得恒成立，．． 直线的方程为：． 因为点A在直线l上，所以，故． 同理，．． 因为，所以，即． 综上，． ［方法七］：【通性通法】分类＋常规联立 当直线l与x轴重合或垂直时，显然有． 当直线l与x轴不垂直也不重合时，设直线l的方程为，交椭圆于，． 由得． 由韦达定理得． 所以， 故、的倾斜角互补，所以. ［方法八］：定比点差法 设，， 所以， 由作差可得，，所以， ，又，所以，， 故，、的倾斜角互补，所以. 当时，与轴垂直，为的垂直平分线，所以. 故． 【整体点评】（2）方法一：通过分类以及常规联立，把角相等转化为斜率和为零，再通过韦达定理即可实现，是解决该类问题的通性通法； 方法二：根据角平分线的定义可知，利用点关于轴的对称点在直线上，证直线过点即可； 方法三：利用直线的参数方程证明斜率互为相反数； 方法四：根据点M是椭圆的右准线与x轴的交点，用椭圆的第二定义结合平面几何知识证明，运算量极小，是该题的最优解； 方法五：利用椭圆的极坐标方程以及角平分线定理的逆定理的应用，也是不错的方法选择； 方法六：类比方法五，角平分线定理的逆定理的应用； 方法七：常规联立，同方法一，只是设直线的方程形式不一样； 方法八：定比点差法的应用． 题型02：椭圆中的切线方程和切点弦方程 【典型例题1】已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题；椭圆，点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】设，根据题意，求得过点B的切线l的方程，即可求得C、D坐标，代入面积公式，即可求得面积S的表达式，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】设，由题意得，过点B的切线l的方程为：， 令，可得，令，可得， 所以面积， 又点B在椭圆上，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最小值为. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据题意，直接写出过点B的切线方程，进而求得面积S的表达式，再利用基本不等式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题. 【典型例题2】已知椭圆的右焦点，椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为. (1)求椭圆的离心率的值. (2)若直线经过点，且与椭圆相交于两点，已知点为弦的中点，求直线的方程. (3)已知平面内有点，求过这个点且和椭圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】（1）根据题意求出，再根据椭圆的离心率公式即可得解； （2）先求出椭圆的方程，再利用点差法求解即可； （3）分直线斜率是否存在讨论，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程，根据即可得解. 【详解】（1）由题意可得椭圆得焦半径，，故， 所以椭圆的离心率； （2）由（1）得， 所以椭圆得方程为， 设， 因为点为弦的中点， 所以， 由， 两式相减得， 即， 所以，即， 所以直线的方程为，即； （3）当所求直线斜率不存在时，直线方程为， 此时直线与椭圆相切，符合题意， 当所求直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，消得， 则，解得， 所以所求直线的方程为， 综上所述，过点且和椭圆相切的直线方程为和. 【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法： （1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解. 【变式训练2-1】在平面直角坐标中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上一点，记在点处的切线，过点作于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】首先求切线的方程，再求直线的方程，即可求交点的坐标，即可求解. 【详解】由条件可知，，解得：，， 所以椭圆，所以在点处的切线方程为，即， 因为，所以直线， 联立，解得：，，即，且 所以. 故答案为： 【变式训练2-2】已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题中所给的结论，求出过的切线方程，进而可以求出切线的斜率，利用互相垂直的直线之间斜率的关系求出过点且与直线垂直的直线的斜率，最后求出直线方程. 【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故选：B 【点睛】本题考查了求过点与已知直线垂直的直线方程，考查了数学阅读能力，属于基础题. 【变式训练2-3】设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程 . 【答案】 【分析】由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为，代入椭圆方程中整理化简，令判别式等于零，可求出的值，从而可求得切线方程 【详解】由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为， 将代入中得， ， 化简整理得， 令， 化简整理得，即，解得， 所以切线方程为，即， 故答案为： 【变式训练2-4】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点向圆引一条切线交椭圆于点，连接，如图，若，则椭圆的离心率 ． 【答案】 【分析】设直线与圆切于点，根据，得到 则，进而利用勾股定理求出离心率. 【详解】设直线与圆切于点，则， 由，则， 所以，，， 由勾股定理得， 即，解得， 则，． 故答案为： 【变式训练2-5】已知椭圆C：的焦距为2，，分别为其左，右焦点，过的直线l与椭圆C交于M，N两点，的周长为8． (1)求椭圆C的方程； (2)已知结论：若点为椭圆C上一点，则椭圆C在该点的切线方程为．点T为直线上的动点，过点T作椭圆C的两条不同切线，切点分别为A，B，直线AB交x轴于点Q．证明：Q为定点． 【答案】(1) (2)证明见详解. 【分析】（1）由已知可得，，求出的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设，，，根据已知可得以及方程，代入点坐标，即可得出直线的方程.令，可求得为常数. 【详解】（1） 如图1，由已知可得，， 所以. 又，所以，. 所以，椭圆的标准方程为. （2）设，，. 则由已知可得，方程为：，方程为：. 将代入、方程整理可得， ，. 显然、点坐标都满足方程. 即直线的方程为， 令，可得，即点坐标为. 所以，为定点. 【变式训练2-6】已知椭圆：上一点处的切线为，两焦点，在上的射影分别为，我们常常把过切点且与切线垂直的直线叫做法线，它平分，因此从一个焦点射出的光线经过切点反射后会经过另一个焦点如图记，，当点不在轴上时，记的面积为若.    (1)求证：； (2)试探究 是否为定值，如果为定值，求此定值；如果不为定值，请说明理由； (3)若椭圆的离心率为，且当时，四边形的面积，求椭圆的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)为定值， (3) 【分析】（1）根据椭圆的定义结合余弦定理，再应用二倍角正弦公式及余弦公式计算证明； （2）应用弦长计算化简结合关系计算求解； （3）根据面积公式计算化简结合离心率计算求解即可求出椭圆方程. 【详解】（1）记，，，则，. 在中， 又，两式相减，得， （2）题意得 故，，则， 由（1）得，，则. 当为椭圆左右顶点时，也满足上式 故，为定值； （3） ， ， ， 则， 由，知，故椭圆的方程为 【变式训练2-7】已知直线l：与圆O：相切. (1)求的值； (2)已知椭圆E：在点处的切线方程为，若直线l与椭圆E相交于A，B两点，分别过A，B作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q，求点Q的轨迹方程； (3)是否存在这样的二次曲线F：，当直线l与曲线F有两个交点M，N时，总有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线与圆相切得到，化简即可； （2）解法1：根据切线结论得到，再利用直线与圆相切得到方程，化简即可；解法2：根据切线方程结论变形得，再次化简有，最后平方即可得到方程； （3）联立得到韦达定理式，根据化简并代入韦达定理式即可. 【详解】（1）由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离， 即； （2）解法1：设，由条件所给的公式， 可知椭圆在点处的切线方程为. 又因为点在切线上，可得①， 同理可得②， 由①②，可知都在直线上， 即直线方程为③， 因为圆与直线相切， 所以点到直线的距离 所以， 由于点具有任意性，故点的轨迹方程为. 解法2:设，由条件所给的公式， 可知直线方程为①，直线方程为②， 由①②，得， 又， ， 由①②，得，则， 所以， 故点的轨迹方程为. （3）假设存在曲线满足条件，设， 联立，消去，得，， 由韦达定理，有. 由，所以 恒成立， 所以存在曲线，且. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是联立直线方程与曲线方程得到韦达定理式，再利用向量点乘为0代入化简即可. 【变式训练2-8】已知椭圆过点，且离心率为.直线经过点 (1)求椭圆的方程； (2)当直线与椭圆相切时，求两切点所在的直线方程 (3)若直线与交于不同两点，动直线与直线分别交于点和为线段的中点，求的最小值. 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）根据顶点坐标及离心率列方程组求解即可； （2）易知是椭圆的一条切线，设另一条切线为，切点为.且有：，与椭圆方程联立，由判别式得，得，即可求出另一条切线，得解； （3）设直线的方程为，.韦达定理得，求出的总坐标，利用是中点得，进而，可得点的轨迹方程为：，最后利用点线距离求解最小值即可. 【详解】（1）由题可知：，解得； 所以椭圆的方程为：. （2）由题易知：是椭圆的切线，切点为. 设另一条切线为，切点为.且有：. 联立，消去，得： ，即， 联立：；解得：； 所以，解得：. 所以直线的斜率.故切点所在直线方程为：. 综上所述：两切点所在的直线方程为或. （3）设直线的方程为.且有：.其中. 由（2）可知：. 直线的方程为：.得. 同理，可得. 因为是中点， 所以. 因为. 所以.点的轨迹方程为： 所以. 题型03：双曲线中的切线方程和切点弦方程 【典型例题1】过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 【答案】 【分析】设的斜率为，得到，联立方程组，根据和双曲线的方程，求得，得到的方程为，同理的方程为，进而得到，进而求得过的直线方程. 【详解】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为， 则，联立方程， 消去得， 因为与双曲线相切，所以， 即，即， 即， 因为，所以， 代入可得，即，所以， 所以，即， 同理可得的方程为， 因为在切线上，所以， 所以满足方程， 又由两点确定一条直线，所以满足直线方程， 所以过的直线方程为. 故答案为：. 【典型例题2】已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程． 【答案】 【分析】根据双曲线的切线方程（或切点弦方程）的结论直接代入即可得直线的方程. 【详解】如下图所示： 方法一： 根据题意，设切点坐标为， 根据结论：若点在双曲线上，则过点的双曲线的切线方程是． 则可得切线的方程分别为，； 又因为在切线上，可得，； 因此在方程的两根， 可知直线的方程为，也即. 方法二： 可直接利用结论：若点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点为点，则切点弦的直线方程是； 可得直线的方程为，也即 【变式训练3-1】过双曲线右支上的点作的切线，，为双曲线的左右焦点，为切线上的一点，且若，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先设出的坐标写出切线方程从而得到切线与轴交点的横坐标，再利用双曲线第二定义表示出的值，再根据得到相似比即可求的值进而求离心率. 【详解】设，则切线的方程为， 设切线与轴交点为，令可得点的横坐标， 根据双曲线第二定义可得， 由，即， 也即，解得， 则，故. 故答案为： 【变式训练3-2】求双曲线在点处的切线方程． 【答案】 【分析】根据仿射变换可解. 【详解】设变换，则， 可将双曲线变换为圆， 于是点可化为， 显然在圆上， 易得切线方程为，即， 双曲线在点处的切线方程为. 【变式训练3-3】（1）求双曲线在点处的切线方程； （2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由双曲线上一点的切线方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别表示出直线的方程，再将点的坐标代入计算，即可得到结果. 【详解】 （1）由双曲线上一点处的切线方程为， 所以双曲线在点处的切线方程为， 化简可得. （2）设切点，则，， 又点在直线上，代入可得，， 所以点均在直线上， 所以直线的方程为，即. 【变式训练3-4】已知双曲线的两个焦点为、，一条渐近线方程为，且双曲线经过点，． (1)求双曲线C的方程； (2)设点在直线，，且为常数)上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，求证：直线过某一个定点． 【答案】(1)x2﹣y2＝1； (2)证明见解析. 【分析】(1)依题意，建立关于、的方程组，解出、的值，即可求得双曲线的方程； (2)设，，，，直线，将其与双曲线方程联立，由相切可得，化简可得，由此表示直线方程，同理可得直线方程，进而得到直线方程，由此可得证． 【详解】（1）依题意，，解得， ：； （2）设，，，，直线， 由得，， 直线与双曲线相切， 且， ， ，即， 又， ， ， ，则， 直线，即， 同理，切线的方程为， 在切线、上， ， 、满足直线方程，而两点确定唯一一条直线， 直线，则当时，无论取何值，等式均成立， 点恒在直线上，故无论点在何处，直线恒过定点． 【变式训练3-5】已知：若点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为．如图，过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为P，Q，连结P，Q两点，并过线段的中点F分别再作双曲线两支的切线，切点分别为D，E，记与的面积分别为，． (1)求直线的方程（含m）； (2)证明直线过点C，并比较与的大小． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）利用易知分别求出两点处的切线方程，将分别代入两切线方程即可得直线的方程为；（2）联立双曲线和直线方程，利用韦达定理可得的中点，同理根据（1）中结论可得直线的方程为，显然在直线上；联立双曲线和直线方程可得即为中点即可得. 【详解】（1）根据题意可设， 由已知可得双曲线在处的切线方程为， 同理，在处的切线方程为； 又两切线交点为，所以满足， 即同时满足方程， 所以直线的方程为. （2）联立整理可得， 所以, 即可得线段的中点， 设， 根据已知可得在两点处的切线方程分别为，； 两切线交点为，所以 可得直线的方程为，整理可得； 易知满足直线方程， 即直线过点C； 联立双曲线与直线方程， 整理可得， 所以，可得， 所以的中点坐标为，即为的中点，即； 易知的面积为， 的面积； 又，可得； 即与的大小关系为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用题目提供的已知条件直接写出双曲线在某点处的切线方程，再根据两切线交点坐标得出两切点的直线方程，联立并利用韦达定理化简即可实现问题求解. 【变式训练3-6】如图，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线与有相同的渐近线和焦距．过上一点作的两条切线，切点分别为A，B，A在轴上方，连接AB交于点M． （注：过曲线外一点作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为）    (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线AB与切于点M，且； (3)当点在第三象限，且时，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据双曲线的渐近线及焦距列方程求解即可； （2）联立直线与双曲线方程，根据相切求出切点横坐标，再联立直线与双曲线方程，利用根与系数关系可得出为中点得证； （3）法一可由直线，联立求出点坐标，代入双曲线方程求出，再由三角形面积公式得解，法二利用，，求出即可得解. 【详解】（1）的渐近线方程为，， 的渐近线方程为，， 所以，得，，所以双曲线的方程为． （2）已知，且满足， 设切点，，， 根据题意得，直线AB方程为． 直线AB与联立，得， 化简得，， 所以直线AB与切于点． 所以，． 直线AB与联立，得，即， 得， 所以，即为中点， 所以． （3）法一：因为，则， 直线与直线联立， 得，即， 将点代入， 得，化简得， 由得，， 所以． 法二：因为，，点与点关于原点对称，所以． 因为，所以， 因为，所以，所以， ， 所以． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于直接算面积需要求出，或者利用三角形面积之间关系可转化为求，不论那种方法，都需要较强的运算能力. 题型04：抛物线中的切线方程和切点弦方程 【典型例题1】过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 . 【答案】 【分析】解法一：设切线方程为，联立切线方程与抛物线方程，由，得，则切线方程可求. 解法二：利用导数的几何意义直接可求切线斜率，再由点斜式方程求得答案. 【详解】解法一：由题意，切线方程一定存在，设切线方程为． 由⇒⇒， 由，得， ∴. 故切线方程为，即. 故答案为：. 解法二：由得，∴. ∴. ∴切线方程为，即. 故答案为：. 【典型例题2】过点作抛物线的切线，切点分别记为，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设切点，，利用导数求出点处的切线斜率结合点斜式得切线方程，再结合切线所过的点和切点在抛物线化简得，同理点B得解. 【详解】设切点，，由得，求导得， 则上切点处的切线斜率， 所以在点处的切线方程为， 因为切线过点，所以， 结合，化简得， 同理可得， 故点，均在直线上， 所以直线的方程为. 故答案为：. 【典型例题3】已知点是抛物线：上的一点. (1)若点横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程； (2)过点作圆：的两条切线，交抛物线的准线于、两点. ①若，求点纵坐标； ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①2；② 【分析】（1）将抛物线转化为二次函数，结合导数的意义求切线斜率，从而得到切线方程； （2）①利用切线长定理表示的周长，结合内切圆半径公式和三角形面积公式均可得到的面积，从而得到点纵坐标； ②利用三角形面积公式可将的面积表示为的式子，通过换元和均值不等式得到面积的最小值. 【详解】（1）的横坐标为4，， 又，求得， 抛物线在处的切线斜率为， 切线方程为， 即. （2）设与圆相切于点，与圆相切于点， 与圆相切于点，由切线长相等可得： ，，， 周长为， ， 设，由题意设，（在轴左侧时，由对称性可知三角形面积相同）， ， ， ， ①由，则， 解得，所以点的纵坐标为2. ②， 令，则， ，， 当且仅当，即时，面积最小值为. 【点睛】关键点点睛：解题关键在于利用切线长定理表示的周长，进而利用三角形内切圆半径公式表示的面积. 【变式训练4-1】抛物线中，以为切点的切线方程为 【答案】 【分析】先对抛物线方程求导，得到切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程. 【详解】已知抛物线方程，将其变形为. 因为点在抛物线上，所以在点处切线的斜率可对求导完成. ，切线过点，则斜率. 根据点斜式方程可得切线方程为，即. 故答案为：. 【变式训练4-2】抛物线在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】设出切线，联立抛物线与切线消x得一元二次方程，由解出参数即可得切线方程. 【详解】设切线为，联立抛物线与切线消x得，由得，故切线为. 故答案为：. 【变式训练4-3】已知抛物线C：过点. (1)求过点M的抛物线C的切线方程； (2)若A，B是抛物线C上异于M的两点记直线MA，MB的斜分别为，且，求点M到直线AB距离的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：将点的坐标代入抛物线方程求得，设出切线方程，与抛物线方程联立，利用判别式法求得切线斜率，代入点斜式方程即可求解；解法二：将点的坐标代入抛物线方程求得，利用导数法求得切线斜率，代入点斜式方程即可求解； （2）设，，利用得，设直线AB的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理代入得，从而求得直线AB过定点，易知当时，点M到直线AB的距离最大，利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】（1）将M的坐标代入抛物线C的方程中，得，故抛物线C的标准方程为. 解法一 ：由题意知过点M的抛物线的切线的斜率一定存在且不为0， 设过点M的抛物线的切线方程为， 将其代入，得， 由，得， 故过点M的抛物线C的切线方程为. 解法二 ：当时，由得，而， 所以过点M（1，2）的抛物线C的切线的斜率为1， 故过点M的抛物线C的切线方程为，即； （2）设，，则，同理， 故，化简得. 易知直线AB的斜率不为0，则可设直线AB的方程为， 将其代入，得，所以，， 所以，即， 直线AB的方程为，直线AB过定点. 连接MQ，易知当时，点M到直线AB的距离最大， 故点M到直线AB距离的最大值为. 【变式训练4-4】如下图所示，过圆上任意一点，作抛物线的两条切线，与抛物线相切于点，与轴分别交于点，求四边形面积的最大值．    【答案】． 【分析】设，，则切点弦的方程为，与抛物线方程联立即可求出，进而求出，再求切线方程即可求出，化简求出四边形的面积，最后结合的范围求一元二次函数的最值即可. 【详解】设点，，则切点弦的方程为， 设，联立，得， 从而， 则， 点到直线的距离为， 则， 由，得，则， 则直线， 则，同理可得，， 故， 故四边形的面积为 ， 当时，，， 当且仅当时，两个等号同时成立， 故四边形的最大值为． 【变式训练4-5】直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，． (1)求； (2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设，，根据中点坐标公式可得，利用抛物线的定义求焦点弦，列式求解即可； （2）易知直线斜率必存在，设为，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合两点式斜率公式即可证明； （3）利用焦半径公式及（2）的韦达定理求出点的坐标，利用焦半径求出，利用导数法求得在点处的切线方程，利用点到直线的距离求出的高，即可求解面积. 【详解】（1）设，，线段中点设为，则， 由题意，抛物线的焦点为， 根据抛物线的定义得，所以； （2）当直线斜率不存在时，，与抛物线只有一个交点，不符合题意. 所以直线斜率必存在，设为， 与抛物线联立得：，所以，得， 所以直线的斜率之积为，所以直线的斜率之积为定值，该定值为； （3）由（1）知，，由题意，所以， 所以或，当时，，此时，，由得， 所以过点A的切线方程为，即， 过点B的切线方程为，即， 联立得， 又的斜率，即，即， 所以到的距离，因为， 所以的面积为； 当时，， 此时，，由得， 所以过点A的切线方程为，即， 过点B的切线方程为，即， 联立得， 又的斜率，即，即， 所以到的距离，因为， 所以的面积为； 综上，的面积为 【变式训练4-61】如图，已知抛物线：与点，过点作的两条切线，切点分别为，．    (1)若，求切线的方程； (2)若，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）由题意设切线：，联立抛物线方程可得关于y的一元二次方程，由求出k即可求解； （2）易知直线PA斜率不存在求得直线，恒过定点；当直线PA斜率存在时，设，，切线：，联立抛物线方程得关于y的一元二次方程，由求出k，则PA：，同理可得：，结合题意可得：，根据直线恒过定点问题，即可证明. 【详解】（1）显然切线的斜率存在且不为0，设切线：， 代入，得， 由，解得 所以直线的方程为，即． （2）若直线PA的斜率存在，设，，：， 代入，得 由，解得． 所以直线的方程为，即 同理直线的方程为 因为在直线和上， 所以， 可得点，在直线上， 所以直线的方程为，因为， 所以，则直线的方程为， 由，得，故直线过定点. 若直线PA的斜率不存在，则，设直线， 代入，得，由，解得， 此时，解得，得， 即，所以，恒过定点； 综上：直线过定点.    【变式训练4-7】已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求直线l的方程； (3)过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标求得，即可求解； （2）根据点差法，结合斜率公式即可求解直线的斜率，进而可判断直线过焦点，由焦点弦公式即可求解； （3）设设抛物线的切线方程为，联立直线与抛物线得交点坐标关系，设的方程为，联立，求出、，进而求得，利用点到直线的距离公式求出点到直线线的距离，根据三角形面积公式列关系利用导数求出最值即可. 【详解】（1）因为抛物线：的焦点为， 所以， 所以抛物线. （2）由题易知直线的斜率存在．设，则可得． 因为线段的中点为，所以， 所以，则的方程为，即． （3）设抛物线的切线方程为， ，即，由，可得， ，设的方程为， 联立， ，同理， ， 点到直线线的距离，所以， 令， 因为，则，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，此时. 【变式训练4-8】已知抛物线． (1)若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程； (2)求过点的抛物线的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，，设直线的方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标求得参数值得直线方程； （2）设切线方程，代入抛物线方程后由判别式为0求得参数值，得切线方程． 【详解】（1）当直线的斜率为时，与抛物线只有一个交点，故不合题意， 所以直线的斜率不为0，设直线的方程为 由，消去得 则 设，，所以 因为的中点为，所以， 所以，所以直线的方程为， 即； （2）若过点的切线斜率为，则该直线与抛物线相交，所以不合题意， 所以过点的切线设为 由消去得, 则有 所以或， 所以所求切线方程为或 即或 【变式训练4-9】已知线段是抛物线的弦，且过抛物线焦点. (1)过点作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点，求证：三点共线(为坐标原点)； (2)设是抛物线准线上一点，过作抛物线的切线，切点为. 求证：（i）两切线互相垂直； （ii）直线过定点，请求出该定点坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析. 【分析】（1）由题知抛物线的焦点，准线为，故设直线的方程为：，，进而得，再结合韦达定理证明即可； （2）(i) 设，过作抛物线的切线，斜率为，则方程为,切线的切线斜率分别为，进而结合韦达定理即可得，进而证明； （ii）结合（i）得，进而得，直线的方程为，整理即可得，进而得定点坐标. 【详解】（1）解：由题知抛物线的焦点，准线为， 所以，设直线的方程为：， 所以，联立方程得， 设 ，则， 因为过点作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点，所以 因为，故 所以 ，， 所以，，即三点共线. （2）解：（i）设， 所以，设过作抛物线的切线，斜率为，则方程为， 所以，得， 所以，，即， 设切线的切线斜率分别为， 则为方程的实数根， 所以，， 所以，两切线互相垂直. (ii)由（i）知，， 所以，，即， 所以， 所以，， 所以，直线的方程为， 整理得，即 所以，直线过定点. 【变式训练4-10】已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②的取值范围为. 【分析】（1）由双曲线定义即可求解； （2）①由切线方程和导数几何意义依次求出和即可得证； ②求出直线的方程，与曲线联立，利用判别式结合焦半径公式即可求解. 【详解】（1）设， 则即 ， 所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且 所以动点的轨迹方程为. （2）①证明：由（1）曲线:,，设， 对函数求导得， 所以两切线方程为：，即， 又切线过点P，所以， 即满足，即满足方程， 所以， 设， 则由， 所以，即三点在直线上，即三点共线； ②由上得，所以直线的方程为即， 联立， 因为直线与有两个交点，则由题意可知方程有两个不等负根， 所以， 所以. 所以的取值范围为. 题型05：切线方程及切点弦方程的应用 【典型例题1】过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，则的重心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，的重心为，通过求导确定的方程.的方程为，再结合重心坐标公式得到，即可求解. 【详解】设，，，的重心为，的方程为， 对求导可得. 故，的方程为， 将，代入的方程化简得. 同理的方程为， 两方程联立解得，. ，则， ， 故的重心的轨迹方程为. 故选：C. 【典型例题2】已知双曲线过点分别为圆：的两条切线，且分别交双曲线于点． (1)求双曲线的离心率； (2)证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据点在双曲线上，将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再利用双曲线的离心率公式（对于双曲线）来计算离心率. （2）通过联立直线方程和双曲线方程，利用韦达定理求出交点坐标，再根据已知条件得出斜率关系，进而求出直线PQ的斜率. 【详解】（1）解：将的坐标代入，得， 所以双曲线的离心率． （2）证明：由题意知，直线的斜率都存在且不为0， 设直线的方程为，直线的方程为． 由消去，整理得． 由，得， 由，得． 由题意，解得，所以， 所以，同理． 由题意，，得． 因为，所以，故， 所以直线的斜率，即直线的斜率为定值． 【典型例题3】已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意列方程求得可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程； （2）（i）由题意可设可设，分析得知直线的方程为，令即可得证；（ii）联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可. 【详解】（1）由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． （2） 由（1）知，抛物线的准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【变式训练5-1】如果抛物线的切线交等轴双曲线于两点，求线段中点的轨迹方程. 【答案】 【分析】通过抛物线的切点求出切线方程，再根据双曲线的中点求出弦方程，利用两方程表示同一条直线得到坐标关系，最后结合切点在抛物线上得出中点的轨迹方程. 【详解】设与抛物线的切点为，的中点为， 因是抛物线切于的切线， 则方程：.① 同时是双曲线以，为中点的弦， 易求方程为.② ①②同一条直线，所以有， 从而：③ 但点在抛物线上，所以有. 将③代入得， 以代换动点的坐标得所求方程为. 【变式训练5-2】已知椭圆，是直线在第一象限上一点，由向已知椭圆作两切线，切点分别是，求直线的方程，使与两坐标轴围成的三角形面积最小，并求出这个最小值. 【答案】， 【分析】设，则切点弦所在直线方程为，可得，由结合基本不等式可得. 【详解】 设，所以切点弦所在直线方程为． 所以，，． 又，， 当且仅当，即，时， 故面积的最小值为，此时直线方程为． 【变式训练5-3】已知圆，动直线与圆交于两点，且，点，到直线的距离分别为，动点满足，，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程. (2)记为圆上一动点，过点作曲线的切线. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若，记与曲线的切点分别为，求的面积. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据圆的弦长与圆心到直线的距离关系，结合椭圆的定义求出曲线的方程； （2）（i）利用切线与椭圆的位置关系，通过联立方程，根据判别式为0得到切线斜率的关系，从而证明两切线垂直；（ii）先求出切线方程，再联立切线方程与椭圆方程求出切点坐标，最后计算三角形面积. 【详解】（1）设点到直线的距离为， 则，得. 因为点为的中点，所以， 由椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为，则，，故，， 所以曲线的方程为. （2）（ⅰ）设，当中有一条的斜率不存在时，不妨设的斜率不存在， 则的方程为，由与曲线相切，知， 将代入圆的方程得. 由于直线与曲线相切，故的方程为，此时. 当的斜率都存在时，，设的斜率分别为， 故过点的曲线的切线方程为（其中取或）， 则，消去得，. 则， 即，易知为此方程的两个根. 由及根与系数的关系知，故. 综上所述，. （ⅱ）设，， 易知的斜率都存在，设， 联立方程，得， 消去得，. 则 ， 即. 由知，，， 则，解得， 故. 同理可得. 由均过点，得，， 所以点的坐标满足方程，即直线的方程为. 联立直线与椭圆的方程得，消去得，. 由根与系数的关系知，， 所以. 又点到直线的距离， 所以， 即的面积为. 【变式训练5-4】椭圆：的离心率为，点在上. (1)求的方程； (2)圆：在椭圆内，过的右顶点作圆的两条切线，，斜率分别为，，且分别与交于，两点（均不与点重合）. ①求的值； ②当变化时，证明：直线与轴交于定点. 【答案】(1) (2)①1；②证明见解析 【分析】（1）根据离心率和点的坐标可求出的值，进而可得到椭圆方程. （2）①通过相切可求出点到直线的距离，结合方程根据韦达定理即可求出的值；②首先求出点的坐标，然后求出直线的斜率，进而得到直线的方程，从而可求出定点坐标. 【详解】（1）由题意可得，且， 又，解得，，，故的方程为. （2）①由题可得，设直线，的斜率分别为，， 则直线的方程为， 由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离， 整理得，同理， 则，为方程的两个根，所以. ②证明：设，，由得， 则，即，所以， 所以， 同理得， 直线的斜率 ， 所以直线的方程为， 令，得， 所以直线与轴交于定点. 【变式训练5-5】已知为坐标原点，抛物线：，过点（0，4）的直线与相交于M，N两点. (1)求； (2)过M，N分别作的两条切线，，记，的交点为P. （i）求面积的最小值； （ii）设A，B分别为，与x轴的交点，证明：的外接圆过定点. 【答案】(1) (2)（i）32  （ii）证明见详解 【分析】(1)设出直线MN的方程及点M、N的坐标，并与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，即可求解的值； (2)(i)将抛物线C的方程化为y关于x的函数，求导即可求得抛物线在点M、N处的切线斜率，写出切线方程，联立即可求得点P的坐标，结合韦达定理表示出弦MN的长，再表示出的面积，由函数的性质即可求解的面积最小值；(ii)求出点A、B的坐标，设的外接圆圆心，利用点A、B、P在圆上，结合韦达定理表示出m、n及圆E的半径，再写出圆E的方程，由方程的特点即可证明. 【详解】（1）根据题意直线斜率存在，设直线，，， 联立抛物线：得， 方程的判别式， ，， ， 所以. （2）（i）抛物线，，所以，的斜率分别为， 则，，交点即， 点到直线的距离，，，当时取等， 所以面积的最小值为32. （ii）证明：，与x轴的交点坐标，， ，，的中点为， 所以垂直平分线方程为， 又垂直平分线方程为，所以的外接圆圆心为即，半径， 所以外接圆方程为， 即，故， 所以恒过定点和， 故的外接圆过定点. 【变式训练5-6】已知抛物线仅经过中的一点． (1)求的方程． (2)过原点作圆的两条切线，切点分别为E，F．且E，F在的准线上． ①求； ②若是圆上纵坐标最大的点，点M，N在上，线段PM，PN的中点分别为，，且点G，H也在上，求|MN|． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）通过代入四个给定点，验证满足抛物线方程的点，确定参数的值； （2）①利用抛物线的准线方程，结合圆的切线性质，建立方程求解半径； ②通过参数方程设点，结合中点坐标公式和抛物线方程，解方程确定点M、N的坐标，最终计算距离. 【详解】（1）因为中的， 所以点不可能在上， 点关于轴对称，要么都在上，要么都不在上， 因为只经过四个点中的一点，所以都不在上， 所以点在上，将其坐标代入，得， 所以的方程为 （2）（i）由题可知，O，E，D，F四点共圆，该圆是以OD为直径的圆， 又，所以该圆的方程为，．． 与圆的方程相减，得直线EF即的准线的方程为， 解得． （ii）由（i）可知． 设． 因为点G，H在上，所以， 将代入，可得， 同理有， 所以是方程的两个根， 所以， 所以 . 【变式训练5-7】如图所示，设是圆上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别是、．求的最小值，以及取得最小值时点的坐标． 【答案】最小值，点的坐标是 【分析】设，过点的直线，与抛物线方程联立，求得，，由求得，计算并化简得，由代入化简得，求导判断函数的单调性即得其最小值. 【详解】设是圆上任意一点，依题意切线、的斜率存在，分别设为． 设过点的直线，将其代入可得，．（*） 若与抛物线相切，则，整理化简得． 依题意，是上述关于的二次方程的两个实根，则，．① 当时，方程（*）的两个相等的实根为． 若设，，则，．同理，，． 于是 ． 将①式代入并化简整理可得． 又因点是上的点，则有， 代入可得． 考察函数（其中）， 求导得． 令可得或． 当时，；当时，． 故在上递减，在上递增． 当时，取得最小值，即的最小值为． 此时对应的点的坐标是． 【变式训练5-8】如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程． (2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点． ①求证：直线过定点； ②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在， 【分析】（1）由抛物线的性质求得抛物线方程． （2）①设，设过点的切线，与抛物线方程联立，由判别式等于，得，设的斜率分别为，由韦达定理及中点坐标公式求出的中点为，由点斜式写出直线的方程即可求解； ②设，得到直线与的斜率，由斜率乘积为,得，再将①问中的韦达定理代入上式化简得，即可求解. 【详解】（1）设抛物线方程为，由抛物线定义知，， 抛物线的方程． （2）①设，由于切线斜率一定存在， 故设过点的切线， 代入中，得：， ，． 设的斜率分别为， 则 ，，， 得 ， 的中点为． 又，直线的方程：， 即：，过定点． ②设，则．同理：． ，． 把代入中得：， 所以由， ， ，解得． 存在定点，使得以为直径的圆恰过点． 题型06：椭圆中的光学性质 【典型例题1】如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义和光的反射定理，以及角平分线定理可得 【详解】由已知得，， 由椭圆定义可得， 根据光的反射定理可得为的角平分线， 由正弦定理， 所以，，又 所以 即. 故选：D. 【典型例题2】如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，.则截口宽长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出，再代入通径公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：，，解得，， 可得，所以. 故选：C. 【典型例题3】古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程=1(a>b>0)，F1、F2为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足AB⊥AD，cos∠ABC=，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 则，，即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，， 则. 故选：C. 【典型例题4】椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆E：=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与椭圆E交与点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若|AB|=, =，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题目所给信息及图形可得，后由椭圆定义及条件可得，.最后由可得答案. 【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线. 设，则，. 故，解得.又，所以，. 所以. 故选：A. 【变式训练6-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯，在其著作《圆锥曲线论》中提出了圆锥曲线的光学性质．光线从椭圆的一个焦点发出，经过椭圆反射，反射光线经过另一个焦点．已知点、是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线经过椭圆上一点M反射，反射光线交椭圆于另一点N．若点、N关于的角平分线对称，且，则椭圆C的离心率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点、N关于的角平分线对称，可得，设，根据椭圆的定义求出，再在中，利用余弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出的关系即可得解. 【详解】由题意可得共线， 因为点、N关于的角平分线对称，所以， 设，则， 故， 由，得， 在中，由余弦定理得，， 即，即， 解得或（舍去）， 所以， 在中，由余弦定理得，， 即，解得， 即椭圆C的离心率为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【变式训练6-2】椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】延长、交于点，由光学性质分析可知，则为的中点，且，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得的值. 【详解】由椭圆，则，长轴长. 如图，在平面直角坐标系中， 延长交于点，连接， 由题意可知，又因为， 则为的中点，且， 所以， 又因为为的中点，则为的中位线， 则. 故选：C. 【变式训练6-3】古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的平分线）.已知椭圆的焦距为，坐标原点到点处切线的距离为，且，则椭圆的长轴为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】作出辅助线，根据光学性质，得到点处切线与直线均为，求出点到的距离，结合椭圆的定义得到原点到点处切线的距离，得到方程，求出，，由余弦定理，，得到，结合焦距为即可求解. 【详解】如图，设点处的切线为为的平分线，交轴于点，则， 过点，分别作，垂足分别为，过点作于点. 设，则.因为，所以， 所以.因为为的中点， 所以由梯形的中位线定理， 得， 所以.因为，所以，所以.因为， 所以在中由余弦定理， 得， 即，所以，即.又因为， 所以，即椭圆的长轴为8. 故选：C. 【变式训练6-4】椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，C上的两点A，B的连线经过点，过点A作C的切线l，记点B关于l的对称点为D，若与的面积之比为22:9，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆的光学性质可得D，A，三点共线．设，则，，结合已知可求得，利用面积可求得，进而计算可求得. 【详解】如图，由椭圆的光学性质可得D，A，三点共线．设，则， ， 故，解得， 所以，，又，解得， 所以，于是得． 故选：C． 【变式训练6-5】椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用椭圆的光学性质，结合光的反射定律三角形面积公式求得，再利用椭圆的定义，借助勾股定理理建立方程求解. 【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线， 由与关于直线对称，得， 则，解得， ， 于是，即，， 因此，所以椭圆的离心率. 故选：D 【变式训练6-6】古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由角平分线性质得到，再结合余弦定理及椭圆定义即可求解. 【详解】    由可得：， 由角平分线的性质可得：， 所以，设， 由题意，因为，所以， 由余弦定理可得：， 解得：， 又， 所以， 得：， 故选：D 【变式训练6-7】椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 【变式训练6-8】光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时0.003秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；已知与的离心率之比为，则 秒. 【答案】0.018 【分析】根据椭圆和双曲线的定义推得和的周长，然后根据时间速度以及路程之间的关系列出等式，即可解得答案. 【详解】设 ，设椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ，光速为 ， 而与的离心率之比为，即 ，即 ， 在图①中， ， 两式相减得：， 即.即 的周长为， 在图②中，的周长为, 由题意可知： ， 则 ，故 （秒）， 故答案为：. 题型07：双曲线中的光学性质 【典型例题1】在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离心率为得到，，利用特殊值的思路，设双曲线的标准方程为，，，然后利用勾股定理列方程解得，最后求的余弦值即可. 【详解】因为，所以，，不妨设双曲线的标准方程为，设，则，所以，解得（已舍去），所以. 故选：A. 【典型例题2】智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如右图所示，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线交于左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），∠F1F2P的大小为（ ） A. B. C. D. 【解析】如图，因为双曲线的离心率为，所以不妨设其方程为，则， 由题意，，所以点P在圆上，不妨设P在第一象限，联立解得：，，所以，设， 则直线的斜率， 所以，故. 【答案】D 【典型例题3】智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1．已知入射光线F2P斜率为，且F2P和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2+ D． 【答案】D 【分析】由入射光线的斜率得出，进而得出，再由双曲线的定义得出双曲线的离心率. 【详解】因为入射光线斜率为，所以，又，， 所以，又， 所以. 故选：D 【典型例题4】双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线在双曲线上的点、处反射后射出共线），若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由对称性以及几何关系得出，，再由求出的离心率，即可得. 【详解】连接， 因为，则，即为等边三角形， 由对称性可知，则， 又因为，即， 整理得，解得或（舍）， 所以. 故选：A. 【变式训练7-1】根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，连双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：已知分别是双曲线C：的左.右焦点，若从发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】显然在第一象限，然后根据已知求出点的坐标，再求出点的坐标，由此可得轴，设角的角平分线为，求出直线的倾斜角，即可求解． 【详解】解：由已知可得在第一象限， 将点的坐标代入双曲线方程可得：，解得，所以， 又由双曲线的方程可得，，所以，则， 所以，且点，都在直线上，又， 设过点与双曲线相切的直线方程为，代入 所以， 设的角平分线为，则， 所以直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 因为，解得 所以直线的斜率为 故选：D． 【变式训练7-2】如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率. 【详解】由题意知延长 则必过点 ， ， 设， 则，， 由双曲线的定义可得 ，， 由可得， 在中，由余弦定理 可得， 在中，由余弦定理 可得 解得：， 则， 故选：D 【变式训练7-3】 “双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点（如图1），并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角（如图2）． 已知左、右焦点分别为的双曲线的离心率为，并且过点，坐标原点为双曲线的对称中心，点的坐标为（1，0），则下列结论不正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．若从射出一道光线，经双曲线反射，则其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 C． D．过点作垂直的延长线于点，则 【答案】B 【分析】A选项根据离心率找到关系，代点求方程即可；B选项可由双曲线渐近线的斜率得到；C选项判断直线为切线，再由题中所给定义得到结论；D选项联立两条直线方程求出点坐标，求出. 【详解】设双曲线的方程为． 对于A，由离心率，可得， 于是双曲线的方程为， 将代入，得， 所以双曲线的方程为，故A正确； 对于B，根据题中条件分析可知，反射光线所在直线与双曲线有两个交点，且过点， 则其斜率介于双曲线的两条渐近线斜率之间， 而双曲线渐近线斜率， 则其反射光线所在直线的斜率的取值范围为，故B错误； 对于C，因为，所以， 与双曲线方程联立，得到， 可知该直线与双曲线只有一个交点， 即直线为双曲线在点处的切线， 根据题中条件“过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角”可知， ，故C正确； 对于D，由C选项知， 因为直线垂直于直线，所以， 又，所以， 由，得，因此，故D正确； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用双曲线的光学性质判断选项. 【变式训练7-4】圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案. 【详解】椭圆；双曲线则双曲线和椭圆的焦点重合. 根据双曲线的定义有 所以 根据椭圆的定义由 所以路程 故选：B. 【变式训练7-5】阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知曲线的方程为，，从点发出的光线，沿与的渐近线垂直的方向射出后被反射，反射光线所在直线恰与渐近线平行，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的光学性质可得焦点三角形的性质，从而可得基本量的关系，故可求离心率. 【详解】 由题意知，表示的曲线为双曲线的右支， 点为双曲线的左焦点，光线射向双曲线上的点， 由双曲线的光学性质可知，反射光线所在直线过右焦点， 由已知，，所以， 点到直线：的距离，即， 所以， 所以，，且， 所以，,又，得， 所以，得， 故选：B. 【变式训练7-6】如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用题设条件得到.也就是，然后引入参数并得到等量关系故，最后使用余弦定理即可得到齐次方程并求解. 【详解】连接，，根据题意，，，三点共线，，，三点共线.，且由知，故. 所以. 可设，，. 由于 ，故. 从而，，故，. 在中，由余弦定理得， ，解得， 所以. 故选：C.    【变式训练7-7】阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论． 【详解】设，，，由题意知，，， 所以，，， 所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则， 则. 故选：C. 【变式训练7-8】如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答. 【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，    设，则，显然有，， ， 因此，，在，， 即，解得，即，令双曲线半焦距为c， 在中，，即，解得， 所以E的离心率为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）. 【变式训练7-9】双曲线的光学性质如下：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（三点共线），满足，，则 ． 【答案】或 【分析】设，由双曲线定义表示出，解三角形求出，，结合双曲线定义利用表示，从而建立关系式求出（用表示），可求得． 【详解】由题可知三点共线， 三点共线，如图，连接，， 设，则，因为，所以， 又，所以，， 所以，， 所以，得， 则． 故答案为： 题型08：抛物线中的光学性质 【典型例题1】抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点F发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线．若一条平行于x轴的光线从M(3，1)射出，经抛物线y2=4x上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B反射出，则直线AB的斜率为_______. 【解析】如图，由题干信息，A、F、B三点共线， 又，所以直线的斜率. 【答案】 【典型例题2】抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C:y2=2px(p>0)，一条光线从点P(4,2)沿平行于x轴的方向射出，与抛物线相交于点M，经点M反射后与C交于另一点N．若，则△MON的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出直线的方程，联立抛物线方程，用韦达定理和得出的值和、的坐标，然后由三角形的面积公式即可求解. 【详解】依题意，由抛物线性质知直线过焦点， 设，，直线的方程为， 由，得：，所以，， 则，又，所以， 而，故，所以. 故选：A. 【典型例题3】抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点F发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线.现有抛物线y2=2px(p>0)，如右图所示，一平行于x轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行于x轴的方向射出，若两平行光线间的最小距离为8，则p=_____. 【解析】如图，，设，，其中，， 则入射光线和反射光线所在的直线分别为，，由抛物线的光学性质，A、F、B三点共线，所以，化简得：，两平行光线之间的距离， 当且仅当时取等号，所以d的最小值为，由题意，，故. 【答案】4 【典型例题4】抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：，一条平行于y轴的光线，经过点，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，即可转化求解. 【详解】由题意可知，抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，所以，得， 所以抛物线的准线方程为. 故选：B 【变式训练8-1】用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为，平行于x轴的光线从点射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】由题意求出A点坐标，根据光线反射的性质求出反射光线的方程，即可求出B点坐标，利用两点间距离公式，即可求得答案. 【详解】由抛物线C的方程为，可得其焦点为， 由于，故点纵坐标为4，代入中，即， 即，由题意知反射光线经过点， 则的方程为，联立，得，即得， 故， 故选：C 【变式训练8-2】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，抛物线内部平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，一条光线沿射出，经过抛物线上的点（异于点）反射，反射光线经过点，若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线AB的方程，联立其与抛物线方程求出，代入抛物线方程可求出，再运用抛物线焦点弦公式可得，解方程即可. 【详解】如图所示， ，设，，直线AB的方程为， ， 则，解得：， 将代入得， 又因为， 即：，即：， 又因为， 所以，即：， 所以抛物线方程为. 故选：B. 【变式训练8-3】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ） A． B． C．13 D．15 【答案】D 【分析】求出点的坐标，利用抛物线的光学性质，结合三点共线求出点的坐标即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，由轴，点，得， 由抛物线的光学性质，得点共线，设，则， 解得，点，于是，，， 所以的周长为. 故选：D 【变式训练8-4】抛物线有一个重要性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点且平行于轴的一条光线射向抛物线：上的点，经过反射后的反射光线与相交于点，则（    ） A． B．24 C．32 D． 【答案】D 【分析】易得点A和C的焦点坐标，从而达到直线AB的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用抛物线的定义求解. 【详解】解：由题意得点A的坐标为，C的焦点为， 所以直线AB的方程为， 与抛物线方程联立，消去y得， 由韦达定理得， 所以， 所以由抛物线的定义得． 故选：D 【变式训练8-51】抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解抛物线的焦点坐标，再求解从抛物线的焦点发出的入射光线过点的直线方程，然后求解直线与抛物线的交点，得到反射光线所在直线方程即可. 【详解】抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的入射光线上， 且过点的直线方程：， 联立，可得，解得或， 结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：. 故选：D. 【变式训练8-6】抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线所在直线经过点，若，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义求出即可得解. 【详解】根据抛物线的光学性质可知与轴平行， 所以由抛物线定义可知， 解得， 所以抛物线的标准方程为， 故选：D 【变式训练8-71】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出直线方程，与抛物线方程联立求出点的坐标即得. 【详解】抛物线的焦点为，准线为，由点在抛物线上，则， 直线方程为：，即， 由，消去得，解得或，由，得， 于是，， 而， 所以的周长为. 故选：D    【变式训练8-8】抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图，抛物线的焦点为，由点发出的光线经点反射后经过点，若点在上，且，，，则 ． 【答案】 【分析】由题意可得，进而可得直线的方程为，设，，与抛物线方程联立方程可求得，可求得，进而可得，利用余弦定理可求得. 【详解】如图，在中，，所以， 所以， 又因为轴，所以，因此， 故直线的方程为，联立，得， 设，，则，由抛物线的定义知， 而，所以，在中，，， 由余弦定理，得， 解得． 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 圆锥曲线的切线方程与光学问题 目 录 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 2 题型归纳 7 题型01：极点极线及其在圆锥曲线中的应用 7 题型02：椭圆中的切线方程和切点弦方程 18 题型03：双曲线中的切线方程和切点弦方程 22 题型04：抛物线中的切线方程和切点弦方程 25 题型05：切线方程及切点弦方程的应用 30 题型06：椭圆中的光学性质 35 题型07：双曲线中的光学性质 41 题型08：抛物线中的光学性质 47 一．地位与定位 1.非课标显性考点：极点极线属于射影几何（高等几何）内容，不在高考大纲/课标要求范围内，试卷不会直接出现“极点”“极线”术语。 2.高频命题背景：是全国卷、新高考卷解析几何压轴题（选择/填空压轴、解答题第20/21题）的核心命题背景，近年几乎年年考查。 3.核心作用：用于命制定点、定值、切线、切点弦、轨迹、定点弦类问题。 二. 近年考情（全国/新高考） 1.频率：近5年（2021-2025）每年至少2套卷出现极点极线背景题。 2.题型 ①小题：选填压轴（快速判断定点/切线） ②大题：圆锥曲线解答题（第2问，证明定点/定值） 3. 分值：5–12分（小题5分，大题约7分）。 4.难度：中高档/压轴，区分度强。 三. 命题趋势 1.常态化：持续作为圆锥曲线压轴题的核心背景。 2.隐蔽化：不直接提及极点极线，需识别背景、简化思路。 3.计算+思维双考：既考代数运算，也考几何本质理解。 四. 高考价值 1.秒解小题：快速判断切线、切点弦、定点。 2. 预判大题：先猜出结论，再用常规步骤书写。 3.降维打击：高观点看清本质，减少计算、避免出错。 一. 基础目标（必会） 1.理解极点、极线的几何定义（调和点列）。 2.掌握三大曲线的极线方程（“半代换”公式）： 3.记住三种位置关系： 二. 应用目标（解题） 1.用极线快速写切线、切点弦方程。 2.识别极点极线背景的定点/定值问题。 3.掌握配极原则：若P在Q的极线上，则Q在P的极线上。 4.会用极点极线预判答案，再用联立/韦达定理规范书写。 三. 拓展目标（培优） 1.理解调和点列、调和线束性质。 2.用极点极线分析自极三角形、定点弦问题。 3.能命题/变式：以极点极线为背景构造题目。 四. 素养目标 1.提升几何直观、逻辑推理、数学运算素养。 2.建立点—线对偶、数形结合思想。 3.形成高观点下看高中题的思维。 知识点一：极点极线的代数定义　 对于二次曲线，我们称点（非二次曲线的中心）与直线是关于曲线的一对极点极线，也称点P为直线l关于曲线的极点，直线l为点P关于曲线的极线． 二次曲线的替换法则　 对于一般式的二次曲线，用代，用代，用代xy，用代x，用代y，常数项不变，可得方程： ． 1.圆锥曲线中的极点极线（以椭圆为例） 设椭圆方程为，点为平面内任意一点，则： （1）极线：对应点的极线方程为； （2）极点：若直线是某点的极线，则该点（极点）坐标可通过极线方程反推：将直线方程化为，对比极线标准形式，得极点为（时极线过原点，极点在无穷远）. 2.极点与极线的几何性质（核心） （1）位置关系：极点位置决定极线位置 ①若极点在曲线上，则极线为曲线在点的切线（验证：代入满足椭圆方程，极线方程即为切线方程）； ②若极点在曲线外，则极线为过作曲线两条切线的切点连线（切点弦）； ③若极点在曲线内，则极线为曲线的一条弦的极点轨迹（过的弦的两端点切线交点轨迹即为极线）. （2）圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点，则 极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； 注：极点极线的相关结论在高考中不能直接使用，需要在解题过程中利用常规方法进行推导和证明．在运用极点极线解题时，要确保对基本概念和性质的准确理解和运用，避免因概念不清或错误运用性质导致解题错误． 3.高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下 (1) 圆　①极点关于圆的极线方程是：； ②极点关于圆的极线方程是： ； ③极点关于圆的极线方程是： ． (2) 椭圆　极点关于椭圆的极线方程是：． (3) 双曲线　极点关于双曲线的极线方程是：． (4) 抛物线　极点关于抛物线的极线方程是：． 4.极点极线的几何意义　 (1)  若极点P在二次曲线上，则极线是过点P的切线方程． (2) 若极点P在二次曲线外部，极线在二次曲线内的部分是点P对二次曲线的切点弦AB； (3) 若极点P在二次曲线内部，则极线是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P的弦AB、CD的两端端点作切线，得到的直线MN即为点P对应的极线． 5.自极三角形　 如下图，设是不在圆锥曲线上的一点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线。同理可知，为点对应的极线，为点所对应的极线，因而将称为自极三角形。 如何找自极三角形：先找到形成第一个极点P（或M或N）的曲线上的四个点，如A，B，C，D，再两两相连可以得到另外两个极点。 结论： ①点关于圆锥曲线的极线过点点关于的极线经过点; ②三个极点的坐标两两可以带入曲线的极线方程中，例如：成立。 6.中点弦公式 若极点P在二次曲线内部，以圆为例：极点关于圆的中点弦方程是： (1) 圆 （和极线方程相比，不光等号坐标要替换，等号右边也要全部替换） (2) 椭圆　极点关于椭圆的中点弦方程是：． (3) 双曲线 极点关于双曲线的中点弦方程是：． 知识点二：圆锥曲线的切线及切点弦方程 1 过圆 上一点 的切线方程: 2. 设 为椭圆 1上的点, 则过该点的切线方程为: 3. 设 为双曲线 上的点, 则过该点的切线方程为: 4. 设 为抛物 线 上的点, 则过该点的切线方程为 5. 设 为圆 外一点, 则切点弦的方程为: 6. 设 为椭圆 外一点, 过该点作椭圆的两条切线,切点为 , 则弦 的方程为: 7. 过 为双曲线 的两支作两条切线, 则切点弦方程为 8. 设 为抛物线 开口外一点, 则切点弦的方程为: 知识点三：圆锥曲线的光学性. 1.椭圆的光学性质 如图 所示, 从椭圆的一个焦点发出的光线, 被椭圆反射后,必定经过另一个焦点; 如图 所示, 椭圆在点 处的切线为 , 直线 交直线 于点 , 则 平分 , 由角平分线性质定理, . 2. 双曲线的光学性质 如图 所示, 从双曲线一个焦点发出的光线, 被双曲线反射后, 反射光线的反向延长线交于另一个焦点; 如图 所示, 双曲线在点 处的切线 与直线 相交于点 , 则 平分 , 由角平分线性质定理, 3. 抛物线的光学性质 如图 所示, 从抛物线的焦点 发出的光线, 被抛物线反射后, 得到的是一系列的与抛物线对称轴平行 (或重合) 的光线; 如图 所示, 设抛物线在 处的切线 l交对称轴于点 上切线 l交对称轴于点 , 则焦点 是 的中点. 题型01：极点极线及其在圆锥曲线中的应用 【典型例题1】从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义写出极线的方程，由点到直线距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到，的关系再进行求解. 【详解】设，椭圆方程：，椭圆方程：， 则有①， 由极线的定义得直线的方程为，即， 原点到直线的距离，化简得②， 对比①②式得出，， 则有， 因为椭圆的离心率在内，所以， 所以， 当且仅当，即时取等，此时， 所以的最大值为. 故选：D. 【典型例题2】已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据极点极线的定义，写出极点坐标和极线方程，再利用切点弦和弦中点斜率乘积为定值，得直线的方程. 【详解】设,则的直线方程为，， 整理得, 由解得，，定点 ，则为中点， ，即． 故选：A. 【典型例题3】如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.    (1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程. (2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答) 极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点. ①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点； ②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1)， (2)①证明过程见解析②证明过程见解析，定点坐标为 【详解】（1）由题意焦点在轴上，所以，解得，即的范围为， 且，解得， 所以椭圆方程为. （2）我们首先给出题目给出的引理的证明： 设，则Q在P的极线上， 现在如果经过P的直线交椭圆于： 那么，代入椭圆就得到， 所以 ， 由韦达定理有， 此时要证明的是：， 也就是， 也就是， 也就是，     也就是， 也就是，     也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 这显然成立，所以结论得证. 接下来我们回到原题，    ①首先由于Q在P的极线上，故由引理有，， 而， 所以，这表明Q是和的交点， 又由于，故， 设，而，，， 所以，也就是E是的中点； ②设，那么，所以， 这表明的方程是，即， 所以恒过点. 【典型例题4】定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”. 结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线. 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点. 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点. (1)求； (2)设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点； (3)若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值. 【答案】(1)3 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求的方程为，联立可得； （2）先求得和交于点，再求得直线的方程为，也过，即可证； （3）在点处的切线方程为，则与平行，由椭圆的光学性质可得，即为定值. 【详解】（1）根据定义，可得的方程为，即， 将其代入的方程得，解得， 不妨取，所以. （2）根据所给结论可知分别是关于点的极线， 如图（1），取，则. 由解得所以和交于点， 要证明直线相交于一点，只需证明直线过点即可. 设. 根据所给结论，可知直线，直线. 因为直线和都经过点，所以， 所以直线的方程为，将代入，得，方程也成立， 所以直线过点，故直线相交于一点. （3）由题意，在点处的切线方程为，则与平行，且经过坐标原点. 如图（2）所示，由椭圆的光学性质，可知. 又因为，所以，所以，所以. 过作，与交于点，则，所以. 另一方面，因为，所以， 从而，所以. 因此，故为定值. 【点睛】关键点点睛：本题第二问证明三点共线，先求两条直线的交点，再证交点在第三条直线上即可.第三问先考虑在点处的切线方程为与平行，进而根据椭圆的光学性质和平面几何相关知识可得. 【变式训练1-1】已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点． （1）求椭圆M的离心率； （2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点． 【变式训练1-2】若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【变式训练1-3】如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为. （1）求椭圆E的方程； （2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式训练1-4】已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值. 【变式训练1-5】已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. (1)若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； (2)当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； (3)已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【变式训练1-6】设椭圆过点，且左焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，且满足，证明：点总在某定直线上． 【变式训练1-7】已知曲线. （1）若曲线C表示双曲线，求的范围； （2）若曲线C是焦点在轴上的椭圆，求的范围； （3）设，曲线C与轴交点为A，B（A在B上方），与曲线C交于不同两点M，N，与BM交于G，求证：A，G，N三点共线. 【变式训练1-8】已知椭圆过点，且椭圆的一个顶点的坐标为．过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，（，不同于点），直线与直线：交于点．连接，过点作的垂线与直线交于点． （1）求椭圆的方程，并求点的坐标； （2）求证：，，三点共线． 【变式训练1-9】设椭圆：的左右焦点分别为，，设动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数．求面积的最大值． 【变式训练1-10】极点与极线的基本性质、定理：①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是从点P向曲线G所引两条切线的切点所在的直线l(即切点弦所在直线）；③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹．结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆． (1)点P是直线上的一个动点，过点P向椭圆G引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由． (2)点P在圆上，过点P作椭圆G的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最大值． 【变式训练1-11】阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质，定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆的离心率为是上一点. (1)求椭圆的标准方程并写出与点对应的极线方程； (2)设分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为.证明： ①为定值； ②点在定直线上. 【变式训练1-12】几何学伴随着人类文明而产生，对人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.在现代数学里，几何学与代数、分析、数论等多个方向关系极为密切，几何的思想成为了数学最重要的思想之一，几何对物理、化学、生物、工程等各个领域也有着极其重要的作用.目前，几何学大致包含了欧式几何、射影几何、解析几何等几类不同思路的研究方法.其中，射影几何学中的极点与极线理论对于研究圆锥曲线提供了新的思考方式.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为：.已知椭圆：的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线MQ，NQ，PQ的斜率分别为，，（，，均存在）. (1)求极线的方程； (2)求证：. 【变式训练1-13】如图，椭圆的左、右顶点分别为为直线上一点，分别与椭圆交于点A，B，直线与x轴交于点P，与直线交于点M，记直线的斜率分别为，求证：    (1)成等差数列； (2)． 【变式训练1-15】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形． (1)求C的标准方程； (2)M，N为C上且在x轴上方的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式训练1-16】如图，椭圆的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点， (1)若轴，求的面积； (2)若，求点的坐标； (3)求的最大值． 【变式训练1-17】已知椭圆过和两点.    (1)求椭圆C的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q（不同于B，A）.证明：点B在以为直径的圆内. 【变式训练1-18】已知椭圆：的离心率为，点和点 都在椭圆上，直线交轴于点． （Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）； （Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得 ？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式训练1-19】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：. 题型02：椭圆中的切线方程和切点弦方程 【典型例题1】已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题；椭圆，点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】设，根据题意，求得过点B的切线l的方程，即可求得C、D坐标，代入面积公式，即可求得面积S的表达式，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】设，由题意得，过点B的切线l的方程为：， 令，可得，令，可得， 所以面积， 又点B在椭圆上，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最小值为. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据题意，直接写出过点B的切线方程，进而求得面积S的表达式，再利用基本不等式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题. 【典型例题2】已知椭圆的右焦点，椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为. (1)求椭圆的离心率的值. (2)若直线经过点，且与椭圆相交于两点，已知点为弦的中点，求直线的方程. (3)已知平面内有点，求过这个点且和椭圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】（1）根据题意求出，再根据椭圆的离心率公式即可得解； （2）先求出椭圆的方程，再利用点差法求解即可； （3）分直线斜率是否存在讨论，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程，根据即可得解. 【详解】（1）由题意可得椭圆得焦半径，，故， 所以椭圆的离心率； （2）由（1）得， 所以椭圆得方程为， 设， 因为点为弦的中点， 所以， 由， 两式相减得， 即， 所以，即， 所以直线的方程为，即； （3）当所求直线斜率不存在时，直线方程为， 此时直线与椭圆相切，符合题意， 当所求直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，消得， 则，解得， 所以所求直线的方程为， 综上所述，过点且和椭圆相切的直线方程为和. 【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法： （1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解. 【变式训练2-1】在平面直角坐标中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上一点，记在点处的切线，过点作于点，则的长为 ． 【变式训练2-2】已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程 . 【变式训练2-4】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点向圆引一条切线交椭圆于点，连接，如图，若，则椭圆的离心率 ． 【变式训练2-5】已知椭圆C：的焦距为2，，分别为其左，右焦点，过的直线l与椭圆C交于M，N两点，的周长为8． (1)求椭圆C的方程； (2)已知结论：若点为椭圆C上一点，则椭圆C在该点的切线方程为．点T为直线上的动点，过点T作椭圆C的两条不同切线，切点分别为A，B，直线AB交x轴于点Q．证明：Q为定点． 【变式训练2-6】已知椭圆：上一点处的切线为，两焦点，在上的射影分别为，我们常常把过切点且与切线垂直的直线叫做法线，它平分，因此从一个焦点射出的光线经过切点反射后会经过另一个焦点如图记，，当点不在轴上时，记的面积为若.    (1)求证：； (2)试探究 是否为定值，如果为定值，求此定值；如果不为定值，请说明理由； (3)若椭圆的离心率为，且当时，四边形的面积，求椭圆的方程. 【变式训练2-7】已知直线l：与圆O：相切. (1)求的值； (2)已知椭圆E：在点处的切线方程为，若直线l与椭圆E相交于A，B两点，分别过A，B作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q，求点Q的轨迹方程； (3)是否存在这样的二次曲线F：，当直线l与曲线F有两个交点M，N时，总有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练2-8】已知椭圆过点，且离心率为.直线经过点 (1)求椭圆的方程； (2)当直线与椭圆相切时，求两切点所在的直线方程 (3)若直线与交于不同两点，动直线与直线分别交于点和为线段的中点，求的最小值. 题型03：双曲线中的切线方程和切点弦方程 【典型例题1】过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ． 【答案】 【分析】设的斜率为，得到，联立方程组，根据和双曲线的方程，求得，得到的方程为，同理的方程为，进而得到，进而求得过的直线方程. 【详解】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为， 则，联立方程， 消去得， 因为与双曲线相切，所以， 即，即， 即， 因为，所以， 代入可得，即，所以， 所以，即， 同理可得的方程为， 因为在切线上，所以， 所以满足方程， 又由两点确定一条直线，所以满足直线方程， 所以过的直线方程为. 故答案为：. 【典型例题2】已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程． 【答案】 【分析】根据双曲线的切线方程（或切点弦方程）的结论直接代入即可得直线的方程. 【详解】如下图所示： 方法一： 根据题意，设切点坐标为， 根据结论：若点在双曲线上，则过点的双曲线的切线方程是． 则可得切线的方程分别为，； 又因为在切线上，可得，； 因此在方程的两根， 可知直线的方程为，也即. 方法二： 可直接利用结论：若点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点为点，则切点弦的直线方程是； 可得直线的方程为，也即 【变式训练3-1】过双曲线右支上的点作的切线，，为双曲线的左右焦点，为切线上的一点，且若，则双曲线的离心率为 . 【变式训练3-2】求双曲线在点处的切线方程． 【变式训练3-3】（1）求双曲线在点处的切线方程； （2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程． 【变式训练3-4】已知双曲线的两个焦点为、，一条渐近线方程为，且双曲线经过点，． (1)求双曲线C的方程； (2)设点在直线，，且为常数)上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，求证：直线过某一个定点． 【变式训练3-5】已知：若点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为．如图，过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为P，Q，连结P，Q两点，并过线段的中点F分别再作双曲线两支的切线，切点分别为D，E，记与的面积分别为，． (1)求直线的方程（含m）； (2)证明直线过点C，并比较与的大小． 【变式训练3-6】如图，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线与有相同的渐近线和焦距．过上一点作的两条切线，切点分别为A，B，A在轴上方，连接AB交于点M． （注：过曲线外一点作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为）    (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线AB与切于点M，且； (3)当点在第三象限，且时，求的值． 题型04：抛物线中的切线方程和切点弦方程 【典型例题1】过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 . 【答案】 【分析】解法一：设切线方程为，联立切线方程与抛物线方程，由，得，则切线方程可求. 解法二：利用导数的几何意义直接可求切线斜率，再由点斜式方程求得答案. 【详解】解法一：由题意，切线方程一定存在，设切线方程为． 由⇒⇒， 由，得， ∴. 故切线方程为，即. 故答案为：. 解法二：由得，∴. ∴. ∴切线方程为，即. 故答案为：. 【典型例题2】过点作抛物线的切线，切点分别记为，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设切点，，利用导数求出点处的切线斜率结合点斜式得切线方程，再结合切线所过的点和切点在抛物线化简得，同理点B得解. 【详解】设切点，，由得，求导得， 则上切点处的切线斜率， 所以在点处的切线方程为， 因为切线过点，所以， 结合，化简得， 同理可得， 故点，均在直线上， 所以直线的方程为. 故答案为：. 【典型例题3】已知点是抛物线：上的一点. (1)若点横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程； (2)过点作圆：的两条切线，交抛物线的准线于、两点. ①若，求点纵坐标； ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①2；② 【分析】（1）将抛物线转化为二次函数，结合导数的意义求切线斜率，从而得到切线方程； （2）①利用切线长定理表示的周长，结合内切圆半径公式和三角形面积公式均可得到的面积，从而得到点纵坐标； ②利用三角形面积公式可将的面积表示为的式子，通过换元和均值不等式得到面积的最小值. 【详解】（1）的横坐标为4，， 又，求得， 抛物线在处的切线斜率为， 切线方程为， 即. （2）设与圆相切于点，与圆相切于点， 与圆相切于点，由切线长相等可得： ，，， 周长为， ， 设，由题意设，（在轴左侧时，由对称性可知三角形面积相同）， ， ， ， ①由，则， 解得，所以点的纵坐标为2. ②， 令，则， ，， 当且仅当，即时，面积最小值为. 【点睛】关键点点睛：解题关键在于利用切线长定理表示的周长，进而利用三角形内切圆半径公式表示的面积. 【变式训练4-1】抛物线中，以为切点的切线方程为 【变式训练4-2】抛物线在处的切线方程为 ． 【变式训练4-3】已知抛物线C：过点. (1)求过点M的抛物线C的切线方程； (2)若A，B是抛物线C上异于M的两点记直线MA，MB的斜分别为，且，求点M到直线AB距离的最大值. 【变式训练4-4】如下图所示，过圆上任意一点，作抛物线的两条切线，与抛物线相切于点，与轴分别交于点，求四边形面积的最大值．    【变式训练4-5】直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，． (1)求； (2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积． 【变式训练4-61】如图，已知抛物线：与点，过点作的两条切线，切点分别为，．    (1)若，求切线的方程； (2)若，求证：直线恒过定点． 【变式训练4-7】已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求直线l的方程； (3)过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值. 【变式训练4-8】已知抛物线． (1)若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程； (2)求过点的抛物线的切线方程． 【变式训练4-9】已知线段是抛物线的弦，且过抛物线焦点. (1)过点作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点，求证：三点共线(为坐标原点)； (2)设是抛物线准线上一点，过作抛物线的切线，切点为. 求证：（i）两切线互相垂直； （ii）直线过定点，请求出该定点坐标. 【变式训练4-10】已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 题型05：切线方程及切点弦方程的应用 【典型例题1】过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，则的重心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，的重心为，通过求导确定的方程.的方程为，再结合重心坐标公式得到，即可求解. 【详解】设，，，的重心为，的方程为， 对求导可得. 故，的方程为， 将，代入的方程化简得. 同理的方程为， 两方程联立解得，. ，则， ， 故的重心的轨迹方程为. 故选：C. 【典型例题2】已知双曲线过点分别为圆：的两条切线，且分别交双曲线于点． (1)求双曲线的离心率； (2)证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据点在双曲线上，将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再利用双曲线的离心率公式（对于双曲线）来计算离心率. （2）通过联立直线方程和双曲线方程，利用韦达定理求出交点坐标，再根据已知条件得出斜率关系，进而求出直线PQ的斜率. 【详解】（1）解：将的坐标代入，得， 所以双曲线的离心率． （2）证明：由题意知，直线的斜率都存在且不为0， 设直线的方程为，直线的方程为． 由消去，整理得． 由，得， 由，得． 由题意，解得，所以， 所以，同理． 由题意，，得． 因为，所以，故， 所以直线的斜率，即直线的斜率为定值． 【典型例题3】已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意列方程求得可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程； （2）（i）由题意可设可设，分析得知直线的方程为，令即可得证；（ii）联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可. 【详解】（1）由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． （2） 由（1）知，抛物线的准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【变式训练5-1】如果抛物线的切线交等轴双曲线于两点，求线段中点的轨迹方程. 【变式训练5-2】已知椭圆，是直线在第一象限上一点，由向已知椭圆作两切线，切点分别是，求直线的方程，使与两坐标轴围成的三角形面积最小，并求出这个最小值. 【变式训练5-3】已知圆，动直线与圆交于两点，且，点，到直线的距离分别为，动点满足，，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程. (2)记为圆上一动点，过点作曲线的切线. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若，记与曲线的切点分别为，求的面积. 【变式训练5-4】椭圆：的离心率为，点在上. (1)求的方程； (2)圆：在椭圆内，过的右顶点作圆的两条切线，，斜率分别为，，且分别与交于，两点（均不与点重合）. ①求的值； ②当变化时，证明：直线与轴交于定点. 【变式训练5-5】已知为坐标原点，抛物线：，过点（0，4）的直线与相交于M，N两点. (1)求； (2)过M，N分别作的两条切线，，记，的交点为P. （i）求面积的最小值； （ii）设A，B分别为，与x轴的交点，证明：的外接圆过定点. 【变式训练5-6】已知抛物线仅经过中的一点． (1)求的方程． (2)过原点作圆的两条切线，切点分别为E，F．且E，F在的准线上． ①求； ②若是圆上纵坐标最大的点，点M，N在上，线段PM，PN的中点分别为，，且点G，H也在上，求|MN|． 【变式训练5-7】如图所示，设是圆上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别是、．求的最小值，以及取得最小值时点的坐标． 【变式训练5-8】如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程． (2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点． ①求证：直线过定点； ②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型06：椭圆中的光学性质 【典型例题1】如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义和光的反射定理，以及角平分线定理可得 【详解】由已知得，， 由椭圆定义可得， 根据光的反射定理可得为的角平分线， 由正弦定理， 所以，，又 所以 即. 故选：D. 【典型例题2】如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，.则截口宽长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出，再代入通径公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：，，解得，， 可得，所以. 故选：C. 【典型例题3】古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程=1(a>b>0)，F1、F2为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足AB⊥AD，cos∠ABC=，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 则，，即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，， 则. 故选：C. 【典型例题4】椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆E：=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与椭圆E交与点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若|AB|=, =，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题目所给信息及图形可得，后由椭圆定义及条件可得，.最后由可得答案. 【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线. 设，则，. 故，解得.又，所以，. 所以. 故选：A. 【变式训练6-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯，在其著作《圆锥曲线论》中提出了圆锥曲线的光学性质．光线从椭圆的一个焦点发出，经过椭圆反射，反射光线经过另一个焦点．已知点、是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线经过椭圆上一点M反射，反射光线交椭圆于另一点N．若点、N关于的角平分线对称，且，则椭圆C的离心率为（   ）． A． B． C． D． 【变式训练6-2】椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．4 D．8 【变式训练6-3】古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的平分线）.已知椭圆的焦距为，坐标原点到点处切线的距离为，且，则椭圆的长轴为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【变式训练6-4】椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，C上的两点A，B的连线经过点，过点A作C的切线l，记点B关于l的对称点为D，若与的面积之比为22:9，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-5】椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-6】古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-7】椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【变式训练6-8】光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时0.003秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；已知与的离心率之比为，则 秒. 题型07：双曲线中的光学性质 【典型例题1】在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离心率为得到，，利用特殊值的思路，设双曲线的标准方程为，，，然后利用勾股定理列方程解得，最后求的余弦值即可. 【详解】因为，所以，，不妨设双曲线的标准方程为，设，则，所以，解得（已舍去），所以. 故选：A. 【典型例题2】智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如右图所示，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线交于左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），∠F1F2P的大小为（ ） A. B. C. D. 【解析】如图，因为双曲线的离心率为，所以不妨设其方程为，则， 由题意，，所以点P在圆上，不妨设P在第一象限，联立解得：，，所以，设， 则直线的斜率， 所以，故. 【答案】D 【典型例题3】智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1．已知入射光线F2P斜率为，且F2P和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2+ D． 【答案】D 【分析】由入射光线的斜率得出，进而得出，再由双曲线的定义得出双曲线的离心率. 【详解】因为入射光线斜率为，所以，又，， 所以，又， 所以. 故选：D 【典型例题4】双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线在双曲线上的点、处反射后射出共线），若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由对称性以及几何关系得出，，再由求出的离心率，即可得. 【详解】连接， 因为，则，即为等边三角形， 由对称性可知，则， 又因为，即， 整理得，解得或（舍）， 所以. 故选：A. 【变式训练7-1】根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，连双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：已知分别是双曲线C：的左.右焦点，若从发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】 “双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点（如图1），并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角（如图2）． 已知左、右焦点分别为的双曲线的离心率为，并且过点，坐标原点为双曲线的对称中心，点的坐标为（1，0），则下列结论不正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．若从射出一道光线，经双曲线反射，则其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 C． D．过点作垂直的延长线于点，则 【变式训练7-4】圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式训练7-5】阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知曲线的方程为，，从点发出的光线，沿与的渐近线垂直的方向射出后被反射，反射光线所在直线恰与渐近线平行，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-6】如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）.    A． B． C． D． 【变式训练7-7】阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-8】如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【变式训练7-9】双曲线的光学性质如下：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（三点共线），满足，，则 ． 题型08：抛物线中的光学性质 【典型例题1】抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点F发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线．若一条平行于x轴的光线从M(3，1)射出，经抛物线y2=4x上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B反射出，则直线AB的斜率为_______. 【解析】如图，由题干信息，A、F、B三点共线， 又，所以直线的斜率. 【答案】 【典型例题2】抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C:y2=2px(p>0)，一条光线从点P(4,2)沿平行于x轴的方向射出，与抛物线相交于点M，经点M反射后与C交于另一点N．若，则△MON的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出直线的方程，联立抛物线方程，用韦达定理和得出的值和、的坐标，然后由三角形的面积公式即可求解. 【详解】依题意，由抛物线性质知直线过焦点， 设，，直线的方程为， 由，得：，所以，， 则，又，所以， 而，故，所以. 故选：A. 【典型例题3】抛物线有如下光学性质：从抛物线的焦点F发出的光线，经抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行（或重合）的光线.现有抛物线y2=2px(p>0)，如右图所示，一平行于x轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行于x轴的方向射出，若两平行光线间的最小距离为8，则p=_____. 【解析】如图，，设，，其中，， 则入射光线和反射光线所在的直线分别为，，由抛物线的光学性质，A、F、B三点共线，所以，化简得：，两平行光线之间的距离， 当且仅当时取等号，所以d的最小值为，由题意，，故. 【答案】4 【典型例题4】抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：，一条平行于y轴的光线，经过点，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，即可转化求解. 【详解】由题意可知，抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，所以，得， 所以抛物线的准线方程为. 故选：B 【变式训练8-1】用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为，平行于x轴的光线从点射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式训练8-2】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，抛物线内部平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，一条光线沿射出，经过抛物线上的点（异于点）反射，反射光线经过点，若，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ） A． B． C．13 D．15 【变式训练8-4】抛物线有一个重要性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点且平行于轴的一条光线射向抛物线：上的点，经过反射后的反射光线与相交于点，则（    ） A． B．24 C．32 D． 【变式训练8-51】抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-6】抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线的焦点射出，经抛物线上一点反射后，反射光线所在直线经过点，若，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-71】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-8】抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图，抛物线的焦点为，由点发出的光线经点反射后经过点，若点在上，且，，，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $