第13讲 极点极线讲义-2026届高考数学二轮复习椭圆专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦极点极线这一圆锥曲线高频命题背景，围绕定点、定值、切线等核心考点，按考情分析、学习目标、知识要点、题型归纳的逻辑架构展开，通过考点梳理（如极点位置分类）、方法指导（半代换公式）、真题训练（8类典型题型及变式），帮助学生系统构建解题框架。 讲义以高观点揭示几何本质，融合数学思维与几何直观，如利用极线方程预判定点再用韦达定理规范证明，设置分层练习适配不同目标，助力学生秒解小题、突破大题，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第13讲 极点极线讲义 目 录 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 3 题型归纳 14 题型01: 证明直线过定点 14 题型02:证明动点在定直线上 27 题型03：三点共线问题 30 题型04:面积的最值 33 题型05:斜率问题 36 题型06:双曲线的极点极线 46 题型07:抛物线的极点极线 47 题型08:调和点列及其它问题 48 一. 地位与定位 1. 非课标显性考点：极点极线属于射影几何（高等几何）内容，不在高考大纲/课标要求范围内，试卷不会直接出现“极点”“极线”术语。 2.高频命题背景：是全国卷、新高考卷解析几何压轴题（选择/填空压轴、解答题第20/21题）的核心命题背景，近年几乎年年考查。 3.核心作用：用于命制定点、定值、切线、切点弦、轨迹、定点弦类问题。 二. 近年考情（全国/新高考） 1.频率：近5年（2021-2025）每年至少2套卷出现极点极线背景题。 2. 题型 ①小题：选填压轴（快速判断定点/切线） ②大题：圆锥曲线解答题（第2问，证明定点/定值） 3. 分值：5–12分（小题5分，大题约7分）。 4.难度：中高档/压轴，区分度强。 三. 命题趋势 1. 常态化：持续作为圆锥曲线压轴题的核心背景。 2. 隐蔽化：不直接提及极点极线，需识别背景、简化思路。 3.计算+思维双考：既考代数运算，也考几何本质理解。 四. 高考价值 1. 秒解小题：快速判断切线、切点弦、定点。 2.预判大题：先猜出结论，再用常规步骤书写。 3. 降维打击：高观点看清本质，减少计算、避免出错。 一. 基础目标（必会） 1. 理解极点、极线的几何定义（调和点列）。 2. 掌握三大曲线的极线方程（“半代换”公式）： 椭圆 　极点关于椭圆的极线方程是：． 双曲线　极点关于双曲线的极线方程是：． 抛物线　极点关于抛物线的极线方程是：． 3. 记住三种位置关系： ①若极点在曲线上，则极线为曲线在点的切线（验证：代入满足椭圆方程，极线方程即为切线方程）； ②若极点在曲线外，则极线为过作曲线两条切线的切点连线（切点弦）； ③若极点在曲线内，则极线为曲线的一条弦的极点轨迹（过的弦的两端点切线交点轨迹即为极线）. 二. 应用目标（解题） 1. 用极线快速写切线、切点弦方程。 2. 识别极点极线背景的定点/定值问题。 3.掌握配极原则：若P在Q的极线上，则Q在P的极线上。 4.会用极点极线预判答案，再用联立/韦达定理规范书写。 三. 拓展目标（培优） 1.理解调和点列、调和线束性质。 2. 用极点极线分析自极三角形、定点弦问题。 3. 能命题/变式：以极点极线为背景构造题目。 四. 素养目标 1. 提升几何直观、逻辑推理、数学运算素养。 2. 建立点—线对偶、数形结合思想。 3. 形成高观点下看高中题的思维。 极点极线是数学中的重要概念，尤其在圆锥曲线研究中占据关键地位。极点通常指圆锥曲线上的特殊点，其切线方程与曲线方程相同；对于不在曲线上的点，其关于曲线的调和共轭点轨迹形成的直线也被称为极线。极线则是与极点紧密相关的一条直线，对于曲线上的极点，其极线即为该点处的切线；对于曲线外的点，其极线则是通过该点作曲线的两条切线所得的切点弦. 知识点一：极点极线的代数定义　 对于二次曲线，我们称点（非二次曲线的中心）与直线是关于曲线的一对极点极线，也称点P为直线l关于曲线的极点，直线l为点P关于曲线的极线． 二次曲线的替换法则　 对于一般式的二次曲线，用代，用代，用代xy，用代x，用代y，常数项不变，可得方程： ． 知识点二：圆锥曲线中的极点极线（以椭圆为例） 设椭圆方程为，点为平面内任意一点，则： （1）极线：对应点的极线方程为； （2）极点：若直线是某点的极线，则该点（极点）坐标可通过极线方程反推：将直线方程化为，对比极线标准形式，得极点为（时极线过原点，极点在无穷远）. 2.极点与极线的几何性质（核心） （1）位置关系：极点位置决定极线位置 ①若极点在曲线上，则极线为曲线在点的切线（验证：代入满足椭圆方程，极线方程即为切线方程）； ②若极点在曲线外，则极线为过作曲线两条切线的切点连线（切点弦）； ③若极点在曲线内，则极线为曲线的一条弦的极点轨迹（过的弦的两端点切线交点轨迹即为极线）. （2）圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点，则 ①极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； 注：极点极线的相关结论在高考中不能直接使用，需要在解题过程中利用常规方法进行推导和证明．在运用极点极线解题时，要确保对基本概念和性质的准确理解和运用，避免因概念不清或错误运用性质导致解题错误． 高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下 (1) 圆　①极点关于圆的极线方程是：； ②极点关于圆的极线方程是： ； ③极点关于圆的极线方程是： ． (2) 椭圆　极点关于椭圆的极线方程是：． (3) 双曲线　极点关于双曲线的极线方程是：． (4) 抛物线　极点关于抛物线的极线方程是：． 知识点三：极点极线的几何意义　 (1)  若极点P在二次曲线上，则极线是过点P的切线方程． (2) 若极点P在二次曲线外部，极线在二次曲线内的部分是点P对二次曲线的切点弦AB； (3) 若极点P在二次曲线内部，则极线是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P的弦AB、CD的两端端点作切线，得到的直线MN即为点P对应的极线． 知识点四：自极三角形　 如下图，设是不在圆锥曲线上的一点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线。同理可知，为点对应的极线，为点所对应的极线，因而将称为自极三角形。 如何找自极三角形：先找到形成第一个极点P（或M或N）的曲线上的四个点，如A，B，C，D，再两两相连可以得到另外两个极点。 结论： ①点关于圆锥曲线的极线过点点关于的极线经过点; ②三个极点的坐标两两可以带入曲线的极线方程中，例如：成立。 5.中点弦公式 若极点P在二次曲线内部，以圆为例：极点关于圆的中点弦方程是： (1) 圆 （和极线方程相比，不光等号坐标要替换，等号右边也要全部替换） (2) 椭圆　极点关于椭圆的中点弦方程是：． (3) 双曲线 极点关于双曲线的中点弦方程是：． 应用极点极线解决圆锥曲线问题的解法策略： 1、判断极点与极线的对应关系 在题目中，首先需要判断所给的点和直线是否构成极点与极线的关系．例如，已知圆锥曲线方程和一个点的坐标，可以通过相应公式求出该点对应的极线方程；反之，已知一条直线方程和圆锥曲线方程，可以求出该直线对应的极点坐标． 2、利用极点极线性质简化计算 在证明与圆锥曲线相关的定点、定值问题时，若能发现极点与极线的关系，可以利用极点极线的性质将问题转化，简化计算过程． 例如：过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线的两条切线，切点分别为M、N，则直线MN为点P的极线；反之，若直线与圆锥曲线相交于M、N两点，点P在直线MN上，且MP：PN = λ（λ为非零常数），则点P的轨迹直线为点P关于圆锥曲线的极线． 对于共线点问题，若能找到极点极线关系，利用配极原则往往能快速得到结论． 例如：点A、B关于圆锥曲线的极线分别为，若点P在直线上，则点P的极线经过点A；若直线与相交于点Q，则点Q的极线为直线AB． 3、极点极线与几何性质的综合运用 结合圆锥曲线的几何性质（如离心率、焦点、准线、对称轴等）以及极点极线的性质，解决相关的位置关系、距离、面积等问题 （1）对偶性（核心思想） ①点在点的极线上点在点的极线上（互极原理）； ②直线过极点极点对应的极线过直线的极点； ③推论：共线点的极线共点，共点线的极点共线。 （2）特殊极点与极线 ①椭圆的焦点对应的极线为准线（双曲线、抛物线同理：焦点极线为准线）； ②原点对应的极线为 “无穷远直线”（无实际几何意义，仅用于射影几何）； ③对称轴上的点对应的极线垂直于对称轴（椭圆 / 双曲线中为垂直于轴的直线）. 4.极点极线的解题应用（高考高频场景） 场景 1：切点弦问题（极点在曲线外） 场景 2：切线交点问题（极点在曲线内） 场景 3：焦点弦相关问题（利用焦点极线为准线） 场景 4：共线 / 共点问题（利用对偶性） 5.解题技巧总结 （1）公式优先：遇到切点弦、切线交点、焦点弦切线交点问题，直接套用极线公式，避免联立方程的复杂计算； （2）对偶转化：将 “点在直线上” 转化为 “直线过点的极点”，将共线 / 共点问题转化为极线的共点 / 共线问题； （3）特殊点验证：焦点、准线、原点等特殊点的极线性质可快速验证结论是否正确； 6.易错点提醒 （1）极线公式中，点坐标与曲线方程的对应关系：椭圆 / 双曲线的分母是，抛物线是，切勿混淆； （2）极点在曲线内时，极线无实际切点，但仍可作为切线交点的轨迹； （3）双曲线的极线公式中有负号，需与椭圆区分. “极点极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点极线是圆锥曲线的一种基本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的说“极点极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向． 学生掌握了极点极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程解题． 1. 焦点准线模型（乘积为模型） 【结论1】从直线上任意一点向椭圆的左右顶点引两条割线与椭圆交于两点，则直线恒过定点． 【推论】椭圆左右顶点为，椭圆外一点（且），交椭圆于另一点交椭圆于另一点，则直线过定点，且满足． 【证明】（1）当直线斜率不为时，设为，点，由于，则直线分别为 分别在上，则① 在上，即② ①②得， ③ 联立直线与椭圆消去得，由韦达定理得 将此式代入③得：， 因式分解得：， 化简得，当时，如下图，直线过点，即此时共点，不符合题意，，再通分化简得：，即，即直线也过定点． （2）当直线斜率为时，经验证直线也过定点． 2. 斜率与斜率成等差模型 【结论2】如图1，已知椭圆椭圆，点，不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，则直线过定点等价于轴平分，即，双曲线类似． 图1 【结论3】如图2，已知椭圆，点，直线过点且与椭圆交于不同的两点，与直线交于，且点为直线上任意一点，直线的斜率分别为,,，则． 图2 3. 调和点列模型 (1)调和点列 直线上依次四点，若满足，则称成调和点列（为内分点，为外分点），特别地，若在无穷远处，则，即此时为中点． (2)调和点列与极点极线 P Q A B l 图2 如图2，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于，交于，则 ①；反之，若有①成立，则称点调和分割线段，或称点与关于调和共轭，或称点(或点)关于圆锥曲线的调和共轭点为点(或点).点关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点的极线，即点Q在的极线上。 极点极线垂直定理：如图3，设圆锥曲线的一个焦点为，与相应的准线为． 图3 ①若过点的直线与圆锥曲线相交于两点，则在两点处的切线的交点在准线上，且; ②若过准线上一点作圆锥曲线的两条切线，切点分别为，则直线过焦点，且； ③若过焦点的直线与圆锥曲线相交于两点，过作交准线于，则连线是圆锥曲线的两条切线． 极点极线推论1：如图4，设点关于圆锥曲线的调和共轭点为，则有B Q A P l 图4 ，反之也成立．即． 证明： 极点极线推论2：如图5，设点关于有心圆锥曲线（设其中心为）的调和共轭点为，直线经过圆锥曲线的中心，则有，反之，若有成立，则点与关于调和共轭． Q R P l 图5 O 证明：设直线与的另一交点为 若 化简即得；反之也成立． 4. 线段比模型 【结论4】已知调和线束，若有一条直线分别与调和线束交于四点，那么也成调和点列． 【结论5】己知调和线束，若有一条直线平行于调和线束中的一条，且与剩余三条分别交于三点，那么这三点中的内点平分该线段． 5. 切线模型 1．圆锥曲线的切线方程 （1）设是椭圆上一点，则过的椭圆的切线方程为：； （2）设是双曲线上一点，则过的双曲线的切线方程为：； （3）设是抛物线上一点，则过的抛物线的切线方程为：． 2．椭圆的光学性质 如图，从椭圆一个焦点出发的光线经过反射后穿过另一个焦点，即桶圆上任一点处的切线的垂线（法线）平分过该点的两条焦半径的夹角． 3．抛物线的光学性质 如图，从抛物线焦点出发的光线经过反射平行于抛物线对称轴．假设过抛物线上任意一点作切线与对称轴交于点，则且． 4．极点与极线的几何意义 （1）当在圆锥曲线上时，则点的极线是曲线在点处的切线； （2）当在圆锥曲线内时，过点任作一割线交于，，设在，处的切线交于点，则点的极线是动点的轨迹；【极线与圆锥曲线必定相离】 （3）当在圆锥曲线外时，过点作的两条切线，设其切点分别为，，则点的极线是直线（即切点弦所在的直线）．【极线与圆锥曲线必定相交】 s 6. 定点与定值模型 【结论6】已知椭圆，为过定点的动弦，为椭圆上任意一点，交直线于两点，则以为直径的圆恒过定点，特别地，当为椭圆的焦点时，以为直径的圆恒过焦点以及它关于准线的对称点． 【结论7】已知椭圆，过椭圆外一点向引两条切线，切点记为，再过作直线交于两点，过且平行于的直线与线段交于，点满足，则直线过定点． 【结论8】已知抛物线，过抛物线外一点向引两条切线，切点记为，再过作直线交于两点，过且平行于的直线与线段交于，点满足，则直线过定点． 题型01: 证明直线过定点 【典型例题1】已知椭圆E∶，若直线l是圆C∶x2+y2=9上的点处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【解析】由题意可知，直线l的方程为，即， 设G(x1，y1)，H(x2，y2)，M(x3，y3)，由题知，设直线MG的方程为，， ，化简得 所以，因为方程只有一解， 所以，故直线MG的方程为，化简得， 同理可得直线MH的方程为， 又因为两切线都经过点M(x3，y3)，所以所以直线GH的方程为， 又因为，所以直线GH的方程为，. 令，得所以直线GH恒过定点. 思路总结：直线过定点问题可以先通过找到自级三角形（内接四边形对角线的交点，两组对面的交点），设出要求的定点坐标（极点），并写出极线方程，然后根据题中有关极线方程的条件，求出极点坐标，即为要求的定点。最后就是证明直线过该定点。 【典型例题2】已知椭圆E :线段分别是它的长轴和短轴．是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线经过定点． ①，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q； ②，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q． 【详解】选①，则，设， 所以 消去得：， 所以，所以，则，所以， ，消去得：， ， 所以，所以，则，所以， 所以， 所以直线的方程为：， 所以，所以，故直线恒过定点. 选②，则，设， 所以 消去得：， 所以，所以， 所以 同理：，所以，所以 所以直线的方程为： 令，则 故直线恒过定点. 【典型例题3】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【答案】（1）；（2）证明详见解析. 【分析】（1）由已知可得：， ，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解. （2）方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程可得：， ， ， ， 椭圆方程为： （2）[方法一]：设而求点法 证明：设， 则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ， 解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 当时， 直线的方程为：， 整理可得： 整理得： 所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点． 故直线CD过定点． [方法二]【最优解】：数形结合 设，则直线的方程为，即． 同理，可求直线的方程为． 则经过直线和直线的方程可写为． 可化为．④ 易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有， 代入④式可得． 故，可得或． 其中表示直线，则表示直线． 令，得，即直线恒过点． 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题. 第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单. 【变式训练1-1】如图，已知的左、右顶点为、，设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，．设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）． 【变式训练1-2】已知椭圆，过点作任意直线与椭圆交于，两点，轴上是否存在定点使得直线，的斜率之和为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【变式训练1-3】如图，点分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆的上顶点，点是椭圆上异于顶点的任意一点，若直线与轴交于点，直线与直线交于点，求证：直线过定点． 【变式训练1-4】已知椭圆：，左右焦点分别为，，为上的两个动点，且，两点的纵坐标的乘积大于，是椭圆的左右顶点，且．证明：直线过定点． 【变式训练1-5】如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.    (1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程. (2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答) 极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点. ①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点； ②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标. 【变式训练1-6】已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点． （1）求椭圆M的离心率； （2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点． 练1-7】若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【变式训练1-8】如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为. （1）求椭圆E的方程； （2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式训练1-9】在平面直角坐标系中，如图所示，已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为.设过点的直线，与此椭圆分别交于点，，其中，， ． （Ⅰ）设动点满足：，求点的轨迹； （Ⅱ）设，求点的坐标； （Ⅲ）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关），并求出该定点的坐标． 【变式训练1-10】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【变式训练1-11】已知椭圆：的左焦点为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为直线上任意一点，直线，分别交椭圆于不同的两点，.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 【变式训练1-12】已知椭圆的焦距为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点(异于)，连结，且斜率是斜率的倍. （1）求椭圆的方程； （2）证明:直线恒过定点. 【变式训练1-13】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：直线过定点． 【变式训练1-14】设分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点. （1）若，求椭圆的方程； （2）设，是椭圆的右焦点，点是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点在轴上，求的面积. （3）设，点是直线上的动点，点和是椭圆上异于左右顶点的两点，且，分别在直线和上，求证：直线恒过一定点. 【变式训练1-15】已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点． （1）求椭圆M的离心率； （2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点． 【变式训练1-16】已知椭圆的离心率为，且过点，A，B分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线上的动点（不在x轴上），与椭圆E的另一交点为C，与椭圆E的另一交点为D，记直线与的斜率分别为，． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）证明：直线过一个定点，并求出此定点的坐标． 【变式训练1-17】如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为. （1）求椭圆E的方程； （2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式训练1-18】已知椭圆：的左焦点为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为直线上任意一点，直线，分别交椭圆于不同的两点，.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 【变式训练1-19】如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.    (1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程. (2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答) 极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点. ①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点； ②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标. 【变式训练1-20】设分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点. （1）若，求椭圆的方程； （2）设，是椭圆的右焦点，点是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点在轴上，求的面积. （3）设，点是直线上的动点，点和是椭圆上异于左右顶点的两点，且，分别在直线和上，求证：直线恒过一定点. 【变式训练1-21】在平面直角坐标系中，如图，已知的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，． （1）设动点满足，求点的轨迹； （2）设，，求点的坐标； （3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）． 【变式训练1-22】已知椭圆的焦距为，直线过点，且与椭圆相交于两点，是线段的中点，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若梯形的顶点都在椭圆上，且，对角线和交于点，线段的中点分别为. (i)证明：四点共线； (ii)试探究直线与直线的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由. 【变式训练1-23】已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点． （1）求的方程； （2）设过点的直线交于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足．证明：直线过定点． 【变式训练1-24】已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点． （1）求椭圆M的离心率； （2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点． 【变式训练1-25】的直线，与此椭圆分别交于点，，其中，，. （1）设动点满足：，求点的轨迹； （2）设，，求点的坐标； （3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关），并求出该定点的坐标. 【答案】(1) 的轨迹为直线. (2) (3) 直线必过轴上一定点. 【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得、、的坐标,设动点.根据条件,结合两点间距离公式,化简即可得解. （2）根据,代入椭圆方程即可求得、的坐标.进而求得直线与直线的方程.联立两条直线方程即可求得交点的坐标. （3）设出直线与直线的方程,分别联立椭圆方程即可表示出、的坐标.讨论与,并分别求得的值.即可求得所过定点的坐标. 题型02:证明动点在定直线上 【典型例题1】已知椭圆的离心率为，，分别为的上、下顶点，为坐标原点，直线与交于不同的两点，． (1)设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值； (2)若，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设，，由中点坐标公式和斜率公式，结合点差法证明定值. （2）由题意求出椭圆方程，与直线方程联立，韦达定理表示根与系数的关系，联立直线与直线的方程，化简可求得交点在定直线上． 【详解】（1）设，，则． 由两式相减得，即． 所以． （2）解法一： 由解得所以椭圆的方程为． 将直线的方程代入椭圆的方程，化简整理得．①    由，解得． 由韦达定理，得，．② 设，， 则直线的方程为，③ 直线的方程为，④ 由③④两式解得 ， 即，所以直线与直线的交点在定直线上． 解法二： 设直线（即直线）与直线（轴）的交点为，直线与直线的交点为， 则点，，构成椭圆的自极三点形，点一定在点对应的极线上，其方程为，即， 就是说直线与直线的交点在定直线上． 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 【典型例题2】已知椭圆的左、右焦点是，左右顶点是，过的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，直线与交于点M，求证直线与交点M在一条定直线l上。 【详解】 ，，，设直线PQ的方程是， 代入椭圆方程得：，易知， 设，，，则，， 直线的方程是：   ①，直线的方程是：   ②， 设，既满足①也满足②， 则 ， 故直线与交点M在一条定直线l：x＝2上. 【变式训练2-1】已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值. 【变式训练2-2】已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. (1)若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； (2)当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； (3)已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【变式训练2-3】设椭圆过点，且左焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，且满足，证明：点总在某定直线上． 【变式训练2-4】已知椭圆的左右顶点分别为A和B，离心率为，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）过点M（1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P，Q两点，连接AP、BQ，直线AP与BQ交于点N，探求点N是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由. 【变式训练2-5】椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点，线的倾斜角为. （1）求椭圆的方程； （2）过且斜率存在的动直线与椭圆交于、两点，直线与交于，求证：在定直线上. 【变式训练2-6】设椭圆过点，且左焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，且满足，证明：点总在某定直线上． 题型03：三点共线问题 【典型例题1】已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，离心率 为，直线与圆相切. (1)求椭圆的标准方程; (2)椭圆方程，平面上有一点. 定义直线方程 是椭圆在点处的极线. ① 若在椭圆上，证明: 椭圆在点处的极线就是过点的切线; ② 若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，割线交椭圆 于两点，过点分别作椭圆的两条切线，且相交于点. 证明: 三点共线. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 证明见解析 【分析】（1）由题意得，，再结合，从而可求出，进而可求出椭圆的标准方程； （2）①由定义可知椭圆在点 处的极线方程为 ，然后分和两种情况证明；②设点，然后由①可得过点的切线方程和过点的切线方程，则可求出割线的方程，同时可求出切点弦的方程，从而可证得结论. 【详解】（1）由已知，，则 所以直线 ，即 ， 该直线与圆 与相切，则， 所以解得，， 故椭圆的标准方程为 （2）① 由(1)得椭圆的方程是 . 因为在椭圆上，所以，即， 由定义可知椭圆在点 处的极线方程为 ， 当时，，此时极线方程为，所以处的极线就是过点的切线， 当时，极线方程为，即， 由，得， 所以， 所以处的极线就是过点的切线， 综上所述，椭圆在点处的极线就是过点的切线; ② 设点， 由①可知，过点的切线方程为， 过点的切线方程为， 因为都过点，所以有， 则割线的方程为， 同理可得过点的两条切线的切点弦的方程为，即， 又因为割线过点，代入割线方程得，即 ， 所以三点共线，都在直线上． 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的切线，考查椭圆中点共线问题，解题的关键是合理利用过椭圆上一点的切线方程的定义，考查计算能力，属于较难题. 【变式训练3-1】已知曲线. （1）若曲线C表示双曲线，求的范围； （2）若曲线C是焦点在轴上的椭圆，求的范围； （3）设，曲线C与轴交点为A，B（A在B上方），与曲线C交于不同两点M，N，与BM交于G，求证：A，G，N三点共线. 【变式训练3-2】已知椭圆过点，且椭圆的一个顶点的坐标为．过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，（，不同于点），直线与直线：交于点．连接，过点作的垂线与直线交于点． （1）求椭圆的方程，并求点的坐标； （2）求证：，，三点共线． 题型04:面积的最值 【典型例题1】“极点与极线”是圆锥曲线的一种基本特征，已知圆锥曲线，点，直线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.已知为圆：上一点，点，动点满足：，且三点共线，动点的轨迹为曲线，点为上一点. (1)若，对于曲线，与点对应的极线为. （i）证明：与有且仅有一个公共点； （ii）若点与相交于点，求的值. (2)过点且斜率为-1的直线与曲线的另一个交点为，证明：四边形的面积小于. 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2)证明见解析 【详解】（1）因为，即， 又三点共线，所以， 所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆， 所以的方程为. （1）（i）证明：因为为上一点，所以有，且点对应的极线为， 联立整理得， ， 由得，代入得， 所以与曲线相切，切点为，即与曲线有且仅有一个公共点. （ii）由（i）可知，的方程为， 设过与垂直的直线交轴于点，则该直线方程为 令，解得，即， ， 又因为， 同理， ， 所以为的内角平分线， 又直线，所以（在直线上，且在点的左侧）， 又与关于坐标原点对称， 所以， 所以，即. （2）证明：设直线的方程为， 联立整理得， 令，解得， 于是 因为，所以，即， 设直线与轴的交点为，则， 则四边形的面积 令， 函数， 则， 所以， 即四边形的面积小于. 【变式训练4-1】设椭圆：的左右焦点分别为，，设动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数．求面积的最大值． 【变式训练4-2】极点与极线的基本性质、定理：①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是从点P向曲线G所引两条切线的切点所在的直线l(即切点弦所在直线）；③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹．结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆． (1)点P是直线上的一个动点，过点P向椭圆G引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由． (2)点P在圆上，过点P作椭圆G的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最大值． 【变式训练4-3】已知分别是椭圆：的左、右顶点，为直线上的动点（不在轴上），与椭圆的另一交点为，与椭圆的另一交点为．求四边形面积的最大值． 【变式训练4-4】已知椭圆C : ，设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知，设和的面积分别为，求的最大值. 题型05:斜率问题 【典型例题1】如图，B，A是椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是，，. （1）求证：； （2）若直线PQ过定点，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）设，代入斜率公式求； （2）设直线的方程是，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示，再根据（1）的结论证明. 【详解】 （1）设 ； （2）设直线的方程是，设 与椭圆方程联立， 得： ， ， ， ， , 由（1）可知， 两式消去，解得：. 【点睛】 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值和定点，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具. 【典型例题2】已知椭圆的左、右顶点分别为，，为原点.以为对角线的正方形的顶点，在上. （1）求的离心率； （2）当时，过作与轴不重合的直线与交于，两点，直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是，，证明见解析. 【分析】 （1）由题意可知，将其代入椭圆方程中化简可得，从而可求出离心率； （2）当时，，所以椭圆的方程为，然后当直线的斜率不存在时，求出，两点的坐标，从而可求出，，进而可得的值，当直线的斜率存在时，设的方程为，，设，，然后将直线方程与椭圆的方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系得，，然后求，化简可得答案；或利用根与系数的关系后，由于 在椭圆上，所以，所以，再化简即可得答案；或由于，在椭圆上，代入椭圆方程中，化简可得，，设，则，从而可得，进而可得直线经过点，又过定点，故，从而可求得结果 【详解】 解法一：（1）以为对角线的正方形的顶点坐标分别为，，. 因为，在椭圆上，所以， 所以， 所以， 所以椭圆的离心率； （2）当时，，所以椭圆的方程为. 为定值，理由如下： ①当直线的斜率不存在时，的方程为，则，， 所以，，所以. ②当直线的斜率存在时，设的方程为，， 设，， 不妨设，且. 由可得， ，，. 要证，只要证明：， 只要证：， 只要证：， 只要证：， 因为，，即证， 因为，，所以. 所以成立， 综上所述：. 解法二：（1）同解法一； （2）当时，，所以椭圆的方程为. 设的方程为，， 设，，不妨设. 由可得， ，，. 所以，即. . 综上所述：. 解法三：（1）同解法一； （2）当时，，所以椭圆的方程为. 设的方程为，， 设，，不防设. 由可得， ，，. 因为在椭圆上，所以，即， 所以. ， . 所以. 综上所述：. 解法四：（1）同解法一； 当时，，所以椭圆的方程为. 设，， 因为在椭圆上，所以，所以. 所以， 同理. 设，则， 所以，① ，② ①+②得， 当时得，不合题意，舍去. 当时，， 所以直线经过点， 又过定点，故，解得. 综上所述：. 【点睛】 关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆离心率的求法，考查椭圆中的定值问题，解题的关键是当直线的斜率存在时，设的方程为，，设，，然后将直线方程与椭圆的方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系得，，然后求，化简可得答案，考查计算能力，属于中档题 【变式训练5-1】如图，椭圆的左、右顶点分别为为直线上一点，分别与椭圆交于点A，B，直线与x轴交于点P，与直线交于点M，记直线的斜率分别为，求证：    (1)成等差数列； (2)． 【变式训练5-2】已知椭圆E：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值． 【变式训练5-3】已知椭圆，过点作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的斜率分别为k1、k2，则是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【变式训练5-4】法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的定义：给定一点和一条直线，将直线称为点关于椭圆的极线.已知点关于椭圆的极线为直线. (1)求的方程； (2)若为上任意一点. ①过点作椭圆的割线交椭圆于A，B两点，记PQ，QA，QB所在直线的斜率依次为，求证：. ②过点作直线和椭圆相交于E，F两点，分别连接PE，PF交于点M，N，记EF，MN，PQ和轴的交点依次为，求证：为线段的中点. 【变式训练5-5】已知椭圆过点，且． （1）求椭圆的方程： （2）过点的直线交椭圆于点，直线分别交直线于点，求的值． 【变式训练5-6】如图，B，A是椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是，，. （1）求证：； （2）若直线PQ过定点，求证：. 【变式训练5-7】某同学利用导数方法求出了过椭圆上一点的切线的方程为.事实上，法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的结论：给定一点和一条直线，将点和直线分别称为椭圆的极点和极线.一般地，当点在椭圆上时，极线为椭圆在点处的切线；当点在椭圆外时，极线为过从点作椭圆的两条切线的切点的弦所在的直线；当点在椭圆内时，极线在椭圆外且与椭圆没有公共点.请利用这些结论解决下列问题： (1)已知点和直线分别为椭圆的极点和极线， ①求极线的方程； ②若为极线上任意一点，过点作椭圆的割线交椭圆于两点，记所在直线的斜率依次为，求证：. (2)给定椭圆和点，过点作斜率为的直线和椭圆相交于两点，分别连接交于点，记和轴的交点依次为，，求证：为线段的中点. 题型06:双曲线的极点极线 【典型例题】已知双曲线C：的中心为坐标原点，记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【详解】首先根据对称性可以判断定直线为。 半代换：由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，   直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，据此可得点在定直线上运动. 【变式训练6-1】已知双曲线：，过右焦点F且斜率为的直线与相交于、两点. 点关于轴的对称点为点.当时，求面积的最大值. 【变式训练6-2】曲线C：已知点，，直线与曲线C交于M，N两点（点M在第一象限，点N在第四象限），记直线，的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点． 【变式训练6-3】若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 题型07:抛物线的极点极线 【典型例题】 过点的直线与抛物线交于两点.抛物线在点A处的切线与直线交于点，过点N作交于点，证明以下结论 （1）直线与抛物线有1个公共点； （2）直线恒过定点； （3）点的轨迹方程是； 【详解】（1）由于点的极线为直线，点为直线上一点， 且直线与抛物线相切，则过点的直线为点的极线方程， 则直线为切点弦，故点为切点。则直线与抛物线有1个公共点。 设点，则直线方程为：，即， 则；又，且，则直线，， 故三点共线，则直线恒过定点； （3），即，则点为以 直径的圆，轨迹方程是； 【变式训练7-1】已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过另一条直线交于两点，其中在轴上方，设为直线与直线的交点，证明G在定直线上． 【变式训练7-2】已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且. （1）求C的方程. （2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上. 题型08:调和点列及其它问题 【典型例题1】 设椭圆，过点的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足．证明：点Q总在某定直线上． 【详解】方法一（极点极线）：已知，说明点关于椭圆调和共轭， 则点在点对应的极线上，此极线方程为，化简得． 故点总在直线． 方法二：设， 由题意可知：均不为0， 由，可得， 设，则，且， 又因为四点共线，则， 且， 则，可得，即， 可得 又因为在椭圆C上，则，即， 可得，即， 所以点Q总在直线上. 【典型例题2】 从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，椭圆方程：，椭圆方程：， 则有①， 由极线的定义得直线的方程为，即， 原点到直线的距离，化简得②， 对比①②式得出，， 则有， 因为椭圆的离心率在内，所以， 所以， 当且仅当，即时取等，此时， 所以的最大值为. 故选：D. 【典型例题3】 从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆、，它们的中心都在坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为定值1，则的最大值为 .    【答案】/ 【详解】设，椭圆，椭圆， 则有①，由极线的定义得直线的方程为 ， 由原点到直线的距离公式，化简可得②， 对比①②可得，所以， 所以， 当且仅当时，即“”成立. 故答案为： 【变式训练8-1】 已知双曲线C的方程为，设Q（1，0），直线（）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，求点N的轨迹围成的面积。 【变式训练8-2】已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上. 【变式训练8-3】已知椭圆的两个焦点，点满足． (1)求的取值范围； (2)判断直线与椭圆的位置关系． 【变式训练8-4】阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线：，则称点和直线：是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换；以替换，以替换，即可得到对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质､定理： ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是从点向曲线所引两条切线的切点所在的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆：. (1)点是直线：上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，，是否存在定点恒在直线上，若存在，当时，求直线的方程；若不存在，请说明理由. (2)点在圆上，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求面积的最大值. 【变式训练8-5】阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质､定理 ①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线； ②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程； (2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 极点极线讲义 目 录 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 3 题型归纳 14 题型01: 证明直线过定点 14 题型02:证明动点在定直线上 60 题型03：三点共线问题 71 题型04:面积的最值 77 题型05:斜率问题 85 题型06:双曲线的极点极线 102 题型07:抛物线的极点极线 106 题型08:调和点列及其它问题 109 一. 地位与定位 1. 非课标显性考点：极点极线属于射影几何（高等几何）内容，不在高考大纲/课标要求范围内，试卷不会直接出现“极点”“极线”术语。 2.高频命题背景：是全国卷、新高考卷解析几何压轴题（选择/填空压轴、解答题第20/21题）的核心命题背景，近年几乎年年考查。 3.核心作用：用于命制定点、定值、切线、切点弦、轨迹、定点弦类问题。 二. 近年考情（全国/新高考） 1.频率：近5年（2021-2025）每年至少2套卷出现极点极线背景题。 2. 题型 ①小题：选填压轴（快速判断定点/切线） ②大题：圆锥曲线解答题（第2问，证明定点/定值） 3. 分值：5–12分（小题5分，大题约7分）。 4.难度：中高档/压轴，区分度强。 三. 命题趋势 1. 常态化：持续作为圆锥曲线压轴题的核心背景。 2. 隐蔽化：不直接提及极点极线，需识别背景、简化思路。 3.计算+思维双考：既考代数运算，也考几何本质理解。 四. 高考价值 1. 秒解小题：快速判断切线、切点弦、定点。 2.预判大题：先猜出结论，再用常规步骤书写。 3. 降维打击：高观点看清本质，减少计算、避免出错。 一. 基础目标（必会） 1. 理解极点、极线的几何定义（调和点列）。 2. 掌握三大曲线的极线方程（“半代换”公式）： 椭圆 　极点关于椭圆的极线方程是：． 双曲线　极点关于双曲线的极线方程是：． 抛物线　极点关于抛物线的极线方程是：． 3. 记住三种位置关系： ①若极点在曲线上，则极线为曲线在点的切线（验证：代入满足椭圆方程，极线方程即为切线方程）； ②若极点在曲线外，则极线为过作曲线两条切线的切点连线（切点弦）； ③若极点在曲线内，则极线为曲线的一条弦的极点轨迹（过的弦的两端点切线交点轨迹即为极线）. 二. 应用目标（解题） 1. 用极线快速写切线、切点弦方程。 2. 识别极点极线背景的定点/定值问题。 3.掌握配极原则：若P在Q的极线上，则Q在P的极线上。 4.会用极点极线预判答案，再用联立/韦达定理规范书写。 三. 拓展目标（培优） 1.理解调和点列、调和线束性质。 2. 用极点极线分析自极三角形、定点弦问题。 3. 能命题/变式：以极点极线为背景构造题目。 四. 素养目标 1. 提升几何直观、逻辑推理、数学运算素养。 2. 建立点—线对偶、数形结合思想。 3. 形成高观点下看高中题的思维。 极点极线是数学中的重要概念，尤其在圆锥曲线研究中占据关键地位。极点通常指圆锥曲线上的特殊点，其切线方程与曲线方程相同；对于不在曲线上的点，其关于曲线的调和共轭点轨迹形成的直线也被称为极线。极线则是与极点紧密相关的一条直线，对于曲线上的极点，其极线即为该点处的切线；对于曲线外的点，其极线则是通过该点作曲线的两条切线所得的切点弦. 知识点一：极点极线的代数定义　 对于二次曲线，我们称点（非二次曲线的中心）与直线是关于曲线的一对极点极线，也称点P为直线l关于曲线的极点，直线l为点P关于曲线的极线． 二次曲线的替换法则　 对于一般式的二次曲线，用代，用代，用代xy，用代x，用代y，常数项不变，可得方程： ． 知识点二：圆锥曲线中的极点极线（以椭圆为例） 设椭圆方程为，点为平面内任意一点，则： （1）极线：对应点的极线方程为； （2）极点：若直线是某点的极线，则该点（极点）坐标可通过极线方程反推：将直线方程化为，对比极线标准形式，得极点为（时极线过原点，极点在无穷远）. 2.极点与极线的几何性质（核心） （1）位置关系：极点位置决定极线位置 ①若极点在曲线上，则极线为曲线在点的切线（验证：代入满足椭圆方程，极线方程即为切线方程）； ②若极点在曲线外，则极线为过作曲线两条切线的切点连线（切点弦）； ③若极点在曲线内，则极线为曲线的一条弦的极点轨迹（过的弦的两端点切线交点轨迹即为极线）. （2）圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点，则 ①极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； 注：极点极线的相关结论在高考中不能直接使用，需要在解题过程中利用常规方法进行推导和证明．在运用极点极线解题时，要确保对基本概念和性质的准确理解和运用，避免因概念不清或错误运用性质导致解题错误． 高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下 (1) 圆　①极点关于圆的极线方程是：； ②极点关于圆的极线方程是： ； ③极点关于圆的极线方程是： ． (2) 椭圆　极点关于椭圆的极线方程是：． (3) 双曲线　极点关于双曲线的极线方程是：． (4) 抛物线　极点关于抛物线的极线方程是：． 知识点三：极点极线的几何意义　 (1)  若极点P在二次曲线上，则极线是过点P的切线方程． (2) 若极点P在二次曲线外部，极线在二次曲线内的部分是点P对二次曲线的切点弦AB； (3) 若极点P在二次曲线内部，则极线是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P的弦AB、CD的两端端点作切线，得到的直线MN即为点P对应的极线． 知识点四：自极三角形　 如下图，设是不在圆锥曲线上的一点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线。同理可知，为点对应的极线，为点所对应的极线，因而将称为自极三角形。 如何找自极三角形：先找到形成第一个极点P（或M或N）的曲线上的四个点，如A，B，C，D，再两两相连可以得到另外两个极点。 结论： ①点关于圆锥曲线的极线过点点关于的极线经过点; ②三个极点的坐标两两可以带入曲线的极线方程中，例如：成立。 5.中点弦公式 若极点P在二次曲线内部，以圆为例：极点关于圆的中点弦方程是： (1) 圆 （和极线方程相比，不光等号坐标要替换，等号右边也要全部替换） (2) 椭圆　极点关于椭圆的中点弦方程是：． (3) 双曲线 极点关于双曲线的中点弦方程是：． 应用极点极线解决圆锥曲线问题的解法策略： 1、判断极点与极线的对应关系 在题目中，首先需要判断所给的点和直线是否构成极点与极线的关系．例如，已知圆锥曲线方程和一个点的坐标，可以通过相应公式求出该点对应的极线方程；反之，已知一条直线方程和圆锥曲线方程，可以求出该直线对应的极点坐标． 2、利用极点极线性质简化计算 在证明与圆锥曲线相关的定点、定值问题时，若能发现极点与极线的关系，可以利用极点极线的性质将问题转化，简化计算过程． 例如：过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线的两条切线，切点分别为M、N，则直线MN为点P的极线；反之，若直线与圆锥曲线相交于M、N两点，点P在直线MN上，且MP：PN = λ（λ为非零常数），则点P的轨迹直线为点P关于圆锥曲线的极线． 对于共线点问题，若能找到极点极线关系，利用配极原则往往能快速得到结论． 例如：点A、B关于圆锥曲线的极线分别为，若点P在直线上，则点P的极线经过点A；若直线与相交于点Q，则点Q的极线为直线AB． 3、极点极线与几何性质的综合运用 结合圆锥曲线的几何性质（如离心率、焦点、准线、对称轴等）以及极点极线的性质，解决相关的位置关系、距离、面积等问题 （1）对偶性（核心思想） ①点在点的极线上点在点的极线上（互极原理）； ②直线过极点极点对应的极线过直线的极点； ③推论：共线点的极线共点，共点线的极点共线。 （2）特殊极点与极线 ①椭圆的焦点对应的极线为准线（双曲线、抛物线同理：焦点极线为准线）； ②原点对应的极线为 “无穷远直线”（无实际几何意义，仅用于射影几何）； ③对称轴上的点对应的极线垂直于对称轴（椭圆 / 双曲线中为垂直于轴的直线）. 4.极点极线的解题应用（高考高频场景） 场景 1：切点弦问题（极点在曲线外） 场景 2：切线交点问题（极点在曲线内） 场景 3：焦点弦相关问题（利用焦点极线为准线） 场景 4：共线 / 共点问题（利用对偶性） 5.解题技巧总结 （1）公式优先：遇到切点弦、切线交点、焦点弦切线交点问题，直接套用极线公式，避免联立方程的复杂计算； （2）对偶转化：将 “点在直线上” 转化为 “直线过点的极点”，将共线 / 共点问题转化为极线的共点 / 共线问题； （3）特殊点验证：焦点、准线、原点等特殊点的极线性质可快速验证结论是否正确； 6.易错点提醒 （1）极线公式中，点坐标与曲线方程的对应关系：椭圆 / 双曲线的分母是，抛物线是，切勿混淆； （2）极点在曲线内时，极线无实际切点，但仍可作为切线交点的轨迹； （3）双曲线的极线公式中有负号，需与椭圆区分. “极点极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点极线是圆锥曲线的一种基本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的说“极点极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向． 学生掌握了极点极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程解题． 1. 焦点准线模型（乘积为模型） 【结论1】从直线上任意一点向椭圆的左右顶点引两条割线与椭圆交于两点，则直线恒过定点． 【推论】椭圆左右顶点为，椭圆外一点（且），交椭圆于另一点交椭圆于另一点，则直线过定点，且满足． 【证明】（1）当直线斜率不为时，设为，点，由于，则直线分别为 分别在上，则① 在上，即② ①②得， ③ 联立直线与椭圆消去得，由韦达定理得 将此式代入③得：， 因式分解得：， 化简得，当时，如下图，直线过点，即此时共点，不符合题意，，再通分化简得：，即，即直线也过定点． （2）当直线斜率为时，经验证直线也过定点． 2. 斜率与斜率成等差模型 【结论2】如图1，已知椭圆椭圆，点，不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，则直线过定点等价于轴平分，即，双曲线类似． 图1 【结论3】如图2，已知椭圆，点，直线过点且与椭圆交于不同的两点，与直线交于，且点为直线上任意一点，直线的斜率分别为,,，则． 图2 3. 调和点列模型 (1)调和点列 直线上依次四点，若满足，则称成调和点列（为内分点，为外分点），特别地，若在无穷远处，则，即此时为中点． (2)调和点列与极点极线 P Q A B l 图2 如图2，设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于，交于，则 ①；反之，若有①成立，则称点调和分割线段，或称点与关于调和共轭，或称点(或点)关于圆锥曲线的调和共轭点为点(或点).点关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点的极线，即点Q在的极线上。 极点极线垂直定理：如图3，设圆锥曲线的一个焦点为，与相应的准线为． 图3 ①若过点的直线与圆锥曲线相交于两点，则在两点处的切线的交点在准线上，且; ②若过准线上一点作圆锥曲线的两条切线，切点分别为，则直线过焦点，且； ③若过焦点的直线与圆锥曲线相交于两点，过作交准线于，则连线是圆锥曲线的两条切线． 极点极线推论1：如图4，设点关于圆锥曲线的调和共轭点为，则有B Q A P l 图4 ，反之也成立．即． 证明： 极点极线推论2：如图5，设点关于有心圆锥曲线（设其中心为）的调和共轭点为，直线经过圆锥曲线的中心，则有，反之，若有成立，则点与关于调和共轭． Q R P l 图5 O 证明：设直线与的另一交点为 若 化简即得；反之也成立． 4. 线段比模型 【结论4】已知调和线束，若有一条直线分别与调和线束交于四点，那么也成调和点列． 【结论5】己知调和线束，若有一条直线平行于调和线束中的一条，且与剩余三条分别交于三点，那么这三点中的内点平分该线段． 5. 切线模型 1．圆锥曲线的切线方程 （1）设是椭圆上一点，则过的椭圆的切线方程为：； （2）设是双曲线上一点，则过的双曲线的切线方程为：； （3）设是抛物线上一点，则过的抛物线的切线方程为：． 2．椭圆的光学性质 如图，从椭圆一个焦点出发的光线经过反射后穿过另一个焦点，即桶圆上任一点处的切线的垂线（法线）平分过该点的两条焦半径的夹角． 3．抛物线的光学性质 如图，从抛物线焦点出发的光线经过反射平行于抛物线对称轴．假设过抛物线上任意一点作切线与对称轴交于点，则且． 4．极点与极线的几何意义 （1）当在圆锥曲线上时，则点的极线是曲线在点处的切线； （2）当在圆锥曲线内时，过点任作一割线交于，，设在，处的切线交于点，则点的极线是动点的轨迹；【极线与圆锥曲线必定相离】 （3）当在圆锥曲线外时，过点作的两条切线，设其切点分别为，，则点的极线是直线（即切点弦所在的直线）．【极线与圆锥曲线必定相交】 s 6. 定点与定值模型 【结论6】已知椭圆，为过定点的动弦，为椭圆上任意一点，交直线于两点，则以为直径的圆恒过定点，特别地，当为椭圆的焦点时，以为直径的圆恒过焦点以及它关于准线的对称点． 【结论7】已知椭圆，过椭圆外一点向引两条切线，切点记为，再过作直线交于两点，过且平行于的直线与线段交于，点满足，则直线过定点． 【结论8】已知抛物线，过抛物线外一点向引两条切线，切点记为，再过作直线交于两点，过且平行于的直线与线段交于，点满足，则直线过定点． 题型01: 证明直线过定点 【典型例题1】已知椭圆E∶，若直线l是圆C∶x2+y2=9上的点处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【解析】由题意可知，直线l的方程为，即， 设G(x1，y1)，H(x2，y2)，M(x3，y3)，由题知，设直线MG的方程为，， ，化简得 所以，因为方程只有一解， 所以，故直线MG的方程为，化简得， 同理可得直线MH的方程为， 又因为两切线都经过点M(x3，y3)，所以所以直线GH的方程为， 又因为，所以直线GH的方程为，. 令，得所以直线GH恒过定点. 思路总结：直线过定点问题可以先通过找到自级三角形（内接四边形对角线的交点，两组对面的交点），设出要求的定点坐标（极点），并写出极线方程，然后根据题中有关极线方程的条件，求出极点坐标，即为要求的定点。最后就是证明直线过该定点。 【典型例题2】已知椭圆E :线段分别是它的长轴和短轴．是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线经过定点． ①，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q； ②，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q． 【详解】选①，则，设， 所以 消去得：， 所以，所以，则，所以， ，消去得：， ， 所以，所以，则，所以， 所以， 所以直线的方程为：， 所以，所以，故直线恒过定点. 选②，则，设， 所以 消去得：， 所以，所以， 所以 同理：，所以，所以 所以直线的方程为： 令，则 故直线恒过定点. 【典型例题3】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【答案】（1）；（2）证明详见解析. 【分析】（1）由已知可得：， ，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解. （2）方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程可得：， ， ， ， 椭圆方程为： （2）[方法一]：设而求点法 证明：设， 则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ， 解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 当时， 直线的方程为：， 整理可得： 整理得： 所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点． 故直线CD过定点． [方法二]【最优解】：数形结合 设，则直线的方程为，即． 同理，可求直线的方程为． 则经过直线和直线的方程可写为． 可化为．④ 易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有， 代入④式可得． 故，可得或． 其中表示直线，则表示直线． 令，得，即直线恒过点． 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题. 第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格；方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单. 【变式训练1-1】如图，已知的左、右顶点为、，设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，．设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）． 【详解】方法一（极点极线）：如图，点的轨迹方程为， 即，又交点在上，由性质知， 为极点, 为对应的极线，即交点为， 即过定点 方法二（联立求解）：点的坐标为， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，， 解得、， 若，且,得， 此时直线的方程为，过点； 若，则，直线的斜率， 直线的斜率， 所以,所以直线过点， 因此直线必过轴上一定点. 【变式训练1-2】已知椭圆，过点作任意直线与椭圆交于，两点，轴上是否存在定点使得直线，的斜率之和为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【详解】假设在轴上存在定点使得直线，的斜率之和为， 设，， ①当直线不是轴时，可设， 与联立，并整理得， ，即，，， 依题意有，即， ，，代入上式得， ，解得， 即在轴上存在定点使得直线，的斜率之和为； ②当直线为轴时，也符合直线，的斜率之和为. 综上所述，存在点使得直线，的斜率之和为0. 【变式训练1-3】如图，点分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆的上顶点，点是椭圆上异于顶点的任意一点，若直线与轴交于点，直线与直线交于点，求证：直线过定点． 【答案】证明见解析 【分析】解法一：设，则，且，联立直线与直线，解得点坐标，对于直线 ，令，可得点坐标，然后通过两点得直线的方程，故直线过定点.解法二：设与相交于点，由为完全四边形可知对应的极线即为直线，根据点在直线上，设的坐标为，得直线的方程，然后化解即可求定点. 【详解】解法一：常规方法 设，则，且，, 直线，直线：， 联立解得． 直线的方程为， 令，可得． 所以的斜率为 ． 直线的方程为， 即． 显然当时，， 因此直线过定点． 解法二：极点极线 如图，设与相交于点，由为完全四边形可知对应的极线即为． 因为点在直线：上， 设的坐标为， 则直线的方程为， 即． 由得 故直线过定点． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的定点问题，解题的关键在于设点，则，结合直线方程用表示的坐标，计算量较大，容易混淆. 【变式训练1-4】已知椭圆：，左右焦点分别为，，为上的两个动点，且，两点的纵坐标的乘积大于，是椭圆的左右顶点，且．证明：直线过定点． 【答案】 【详解】由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得． 则， 设，所以 设直线的倾斜角分别为， 因为，且两点的纵坐标的乘积大于0， 所以，则， 则，则 即. 所以 所以，化简可得， 则直线的方程为．故直线过定点 【变式训练1-5】如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.    (1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程. (2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答) 极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点. ①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点； ②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1)， (2)①证明过程见解析②证明过程见解析，定点坐标为 【详解】（1）由题意焦点在轴上，所以，解得，即的范围为， 且，解得， 所以椭圆方程为. （2）我们首先给出题目给出的引理的证明： 设，则Q在P的极线上， 现在如果经过P的直线交椭圆于： 那么，代入椭圆就得到， 所以 ， 由韦达定理有， 此时要证明的是：， 也就是， 也就是， 也就是，     也就是， 也就是，     也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 这显然成立，所以结论得证. 接下来我们回到原题，    ①首先由于Q在P的极线上，故由引理有，， 而， 所以，这表明Q是和的交点， 又由于，故， 设，而，，， 所以，也就是E是的中点； ②设，那么，所以， 这表明的方程是，即， 所以恒过点. 【变式训练1-6】已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点． （1）求椭圆M的离心率； （2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 （1）由已知两点坐标得，求得后可得离心率； （2）直线方程为，设（，），，．由三点共线求得点坐标（用点坐标表示），由共线求得点坐标（用点坐标表示），写出直线的方程，把代入化简对方程变形可得定点坐标． 【详解】 解：（1）因为点，都在椭圆上， 所以，． 所以． 所以椭圆的离心率． （2）由（1）知椭圆的方程为，． 由题意知：直线的方程为． 设（，），，． 因为三点共线，所以有，， 所以． 所以． 所以． 因为三点共线， 所以，即． 所以． 所以直线的方程为， 即． 又因为点在椭圆上，所以． 所以直线的方程为． 所以直线过定点． 【点睛】 关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，考查椭圆的直线过定点问题，解题方法是设椭圆上的点坐标，利用三点共线变为向量平行，求得直线交点的坐标，得出直线方程，再由在椭圆上，代入化简凑配出定点坐标． 【变式训练1-7】若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）直线l恒过定点．. 【分析】 （1）待定系数法椭圆的标准方程； （2）用“设而不求法”把直线和椭圆联立方程组，，表示出，整理出直线过定点. 【详解】 （1）由已知得双曲线的离心率为，又两曲线离心率之积为，所以椭圆的离心率为； 由题意知，所以，． 所以椭圆的标准万程为． （2）当直线l的斜率为零时，由对称性可知： ，不满足， 故直线l的斜率不为零．设直线l的方程为， 由，得：， 因为直线l与椭圆C交于P、Q两点， 所以， 整理得：， 设、，则 ，，，． 因为， 所以， 整理得：， ， 将，代入整理得： 要使上式恒成立，只需，此时满足， 因此，直线l恒过定点． 【点睛】 （1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程； （2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题； （3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式y=kx+b，过定点(0,b)； ②直线方程整理为点斜式y - yo=k(x- x0)，过定点(x0,y0) ． 【变式训练1-8】如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为. （1）求椭圆E的方程； （2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，Q点的坐标为. 【详解】 （1）由已知，点在椭圆E上. 因此，解得. 所以椭圆的方程为. （2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点. 如果存在定点Q满足条件，则，即. 所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为. 当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点. 则， 由，有，解得或. 所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件， 则Q点的坐标只可能为. 下面证明：对任意的直线，均有. 当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立. 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为， A、B的坐标分别为. 联立得. 其判别式， 所以，. 因此. 易知，点B关于y轴对称的点的坐标为. 又， 所以，即三点共线. 所以. 故存在与P不同的定点，使得恒成立. 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想. 【变式训练1-9】在平面直角坐标系中，如图所示，已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为.设过点的直线，与此椭圆分别交于点，，其中，， ． （Ⅰ）设动点满足：，求点的轨迹； （Ⅱ）设，求点的坐标； （Ⅲ）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关），并求出该定点的坐标． 【答案】（I）；（II）；（III）. 【解析】 试题分析：（I）设出点，利用坐标化简，得到点的轨迹；（II）由分别得出直线的方程为，直线的方程为，联立方程组即可求解点的坐标；（III）直线的方程为：，直线的方程为：，分别与椭圆的方程联立，由，求得，此时直线的方程为，过点，若，由，所以直线过点. 试题解析：（Ⅰ）由题设得，，设动点， 由， 代入化简得，.故点的轨迹为直线. （Ⅱ）由，，得，则点，直线的方程为， 由，，得，则点，直线的方程为， 由 （Ⅲ）由题设知，直线的方程为：，直线的方程为：， 点满足； 点满足； 若，且，得， 此时直线的方程为，过点； 若，则，直线的斜率， 直线的斜率， 所以，所以直线过点. 因此直线必过轴上一定点. 考点：轨迹方程的求解；直线的交点；直线过定点的判断． 【方法点晴】本题主要考查了曲线轨迹方程的求解和两直线的交点的计算、直线过定点问题的判定，着重考查了分类讨论的思想方法及函数与方程思想的应用，属于中档试题，本题的第三问题的解答中，由直线的方程，直线的方程，分别与椭圆的方程联立，利用韦达定理求得，再由和，由，两种情况分别判定直线过定点. 【变式训练1-10】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【答案】（1）；（2）证明详见解析. 【分析】 （1）由已知可得：， ，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解. （2）设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证. 【详解】 （1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程可得：， ， ， ， 椭圆方程为： （2）证明：设， 则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ，解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 当时， 直线的方程为：， 整理可得： 整理得： 所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点． 故直线CD过定点． 【点睛】 本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题. 【变式训练1-11】已知椭圆：的左焦点为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为直线上任意一点，直线，分别交椭圆于不同的两点，.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1）；（2）见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据椭圆定义确定a，再根据c求b（2）设根据直线与椭圆方程联立方程组解得，N坐标，再根据两点式求MN直线方程，化成点斜式，求出定点 试题解析：(1)椭圆的一个焦点，则另一个焦点为, 由椭圆的定义知:，代入计算得． 又, 所以椭圆的标准方程为． (2)设， 则直线，与联立，解得 同理 所以直线的斜率为= 所以直线 所以直线恒过定点，且定点坐标为 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 【变式训练1-12】已知椭圆的焦距为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点(异于)，连结，且斜率是斜率的倍. （1）求椭圆的方程； （2）证明:直线恒过定点. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【分析】 （1）根据题意列出方程组，解出方程组即可得椭圆方程；（2）连结设，由椭圆的性质可得出，故而可得，当斜率不存在时，设，解出，当直线斜率存在时，设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得出，得出与的关系，代入直线方程即可得定点. 【详解】 （1）因为，所以，即椭圆的方程为 （2）连结设则 因为点在椭圆上，所以 因为，所以 当斜率不存在时，设，不妨设在轴上方， 因为，所以 （ii）当斜率存在时，设， 即，所以 因为 所以，即或 当时，，恒过定点，当斜率不存在亦符合:当，，过点与点重合，舍去. 所以直线恒过定点 【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【变式训练1-13】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：直线过定点． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 （1）由，得到，再由点在该椭圆上，求得的值，即可求得椭圆的方程； （2）设的方程为，联立方程组求得，再由的的方程，联立方程组，求得，结合斜率公式，进而得到直线过定点. 【详解】 （1）由椭圆的离心率为，且点在椭圆上， 可得，所以， 又点在该椭圆上，所以，所以， 所以椭圆C的标准方程为 （2）由于的斜率为，设的方程为， 联立方程组，整理得， 所以，所以， 从而，即， 同理可得：由于的斜率为，则， 联立方程组，可得， 即， 所以，所以， 从而，即， 当时即；时，，过点， 当时，，，即，所以直线过点， 综上可得，直线过点. 【点睛】 解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 【变式训练1-14】设分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点. （1）若，求椭圆的方程； （2）设，是椭圆的右焦点，点是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点在轴上，求的面积. （3）设，点是直线上的动点，点和是椭圆上异于左右顶点的两点，且，分别在直线和上，求证：直线恒过一定点. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【分析】 （1）计算得，，代入解方程即可得，故可得椭圆的方程； （2）设另一焦点为，则轴，计算出点坐标，计算即可； （3）设点P的坐标为，直线：，与椭圆方程联立，由韦达定理计算得出，同理可得，分，两种情况表示出直线方程，从而确定出定点. 【详解】 （1）， ，，，解得 即椭圆的方程为. （2）椭圆的方程为，由题意，设另一焦点为， 设，由线段的中点在y轴上，得轴，所以， 代入椭圆方程得，即 ； （3）证明：由题意，设点P的坐标为， 直线：，与椭圆方程联立 消去得： 由韦达定理得即； 同理； 当，即即时， 直线的方程为； 当时，直线： 化简得，恒过点； 综上所述，直线恒过点. 【点睛】 关键点睛：解决第（3）的关键是能够运用韦达定理表示出点的坐标，从而表示出直线，并能通过运算整理成关于的方程，从而确定出定点，考查学生的运算求解能力，有一定的难度. 【变式训练1-15】已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点． （1）求椭圆M的离心率； （2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点． 【解析】（1）因为点，都在椭圆上， 所以，． 所以． 所以椭圆的离心率． （2）由（1）知椭圆的方程为，． 由题意知：直线的方程为． 设（，），，． 因为三点共线，所以有，， 所以． 所以． 所以． 因为三点共线， 所以，即． 所以． 所以直线的方程为， 即． 又因为点在椭圆上，所以． 所以直线的方程为． 所以直线过定点． 【变式训练1-16】已知椭圆的离心率为，且过点，A，B分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线上的动点（不在x轴上），与椭圆E的另一交点为C，与椭圆E的另一交点为D，记直线与的斜率分别为，． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）证明：直线过一个定点，并求出此定点的坐标． 【解析】（1）由条件可知：且，解得，所以椭圆的方程为； （2）因为，设， 所以，所以； （3）设，所以， 因为，所以， 所以，所以，所以，所以， 又因为，所以， 所以，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以直线过定点. 【变式训练1-17】如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为. （1）求椭圆E的方程； （2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由已知，点在椭圆E上. 因此，解得. 所以椭圆的方程为. （2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点. 如果存在定点Q满足条件，则，即. 所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为. 当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点. 则， 由，有，解得或. 所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件， 则Q点的坐标只可能为. 下面证明：对任意的直线，均有. 当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立. 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为， A、B的坐标分别为. 联立得. 其判别式， 所以，. 因此. 易知，点B关于y轴对称的点的坐标为. 又， 所以，即三点共线. 所以. 故存在与P不同的定点，使得恒成立. 14.已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【解析】（1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程可得：，， ， ， 椭圆方程为： （2）证明：设， 则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：， 整理得：，解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 当时， 直线的方程为：， 整理可得： 整理得： 所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点． 故直线CD过定点． 【变式训练1-18】已知椭圆：的左焦点为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为直线上任意一点，直线，分别交椭圆于不同的两点，.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 【解析】(1)椭圆的一个焦点，则另一个焦点为, 由椭圆的定义知:，代入计算得． 又,所以椭圆的标准方程为． (2)设， 则直线，与联立，解得 同理 所以直线的斜率为= 所以直线 所以直线恒过定点，且定点坐标为 【变式训练1-19】如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.    (1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程. (2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答) 极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点. ①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点； ②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标. 【解析】（1）由题意焦点在轴上，所以，解得，即的范围为， 且，解得， 所以椭圆方程为. （2）我们首先给出题目给出的引理的证明： 设，则Q在P的极线上， 现在如果经过P的直线交椭圆于： 那么，代入椭圆就得到， 所以 ， 由韦达定理有， 此时要证明的是：， 也就是， 也就是， 也就是，     也就是， 也就是，     也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 这显然成立，所以结论得证. 接下来我们回到原题， ①首先由于Q在P的极线上，故由引理有，， 而， 所以，这表明Q是和的交点， 又由于，故， 设，而，，， 所以，也就是E是的中点； ②设，那么，所以， 这表明的方程是，即， 所以恒过点. 【变式训练1-20】设分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点. （1）若，求椭圆的方程； （2）设，是椭圆的右焦点，点是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点在轴上，求的面积. （3）设，点是直线上的动点，点和是椭圆上异于左右顶点的两点，且，分别在直线和上，求证：直线恒过一定点. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【解析】（1）计算得，，代入解方程即可得，故可得椭圆的方程； （2）设另一焦点为，则轴，计算出点坐标，计算即可； （3）设点P的坐标为，直线：，与椭圆方程联立，由韦达定理计算得出，同理可得，分，两种情况表示出直线方程，从而确定出定点. 【详解】（1）， ，，，解得 即椭圆的方程为. （2）椭圆的方程为，由题意，设另一焦点为， 设，由线段的中点在y轴上，得轴，所以， 代入椭圆方程得，即 ； （3）证明：由题意，设点P的坐标为， 直线：，与椭圆方程联立 消去得： 由韦达定理得即； 同理； 当，即即时， 直线的方程为； 当时，直线： 化简得，恒过点； 综上所述，直线恒过点. 【点睛】关键点睛：解决第（3）的关键是能够运用韦达定理表示出点的坐标，从而表示出直线，并能通过运算整理成关于的方程，从而确定出定点，考查学生的运算求解能力，有一定的难度. 【变式训练1-21】在平面直角坐标系中，如图，已知的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，． （1）设动点满足，求点的轨迹； （2）设，，求点的坐标； （3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析． 【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得、、的坐标,设动点，根据条件，结合两点间距离公式,化简即可得解； （2）根据，代入椭圆方程即可求得、的坐标，进而求得直线与直线的方程，联立两条直线方程即可求得交点的坐标； （3）设出直线与直线的方程，分别联立椭圆方程即可表示出、的坐标，讨论与，并分别求得的值，即可求得所过定点的坐标. 【详解】（1）设点，则，，， 由，得， 化简得， 故所求点的轨迹为直线． （2）将，分别代入椭圆方程，以及，， 得，， 直线方程为，即， 直线方程为，即， 联立方程组，解得， 所以点的坐标为． （3）点的坐标为， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，， 解得、， 若，且,得， 此时直线的方程为，过点； 若，则，直线的斜率， 直线的斜率， 所以,所以直线过点， 因此直线必过轴上一定点. 【变式训练1-22】已知椭圆的焦距为，直线过点，且与椭圆相交于两点，是线段的中点，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若梯形的顶点都在椭圆上，且，对角线和交于点，线段的中点分别为. (i)证明：四点共线； (ii)试探究直线与直线的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)(i)证明见解析；(ii)，证明见解析 【分析】（1）利用直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理和中点坐标公式来求解椭圆方程； （2）(i)用点差法可得中点弦斜率与中点与原点的斜率之积为定值，利用斜率相等来证明三点共线； (ii)用坐标来研究斜率，再用三点共线得到斜率相等，来找到相等关系，最后求出定点. 【详解】（1）由直线过点，得， 联立，消得：，易知， 设，则，整理得：， 又因为，所以，解得， 即椭圆. （2） (i)不妨设的中点为，的中点为， 再设 由题可知直线斜率必存在，且， 以上两式相减得， 即，同理， 因为可得：，则，即三点共线； 又因为四边形是梯形，且与交于， 由平面几何知识可知三点共线， 即得证四点共线； (ii)由(i)可知，，而， 所以， 设直线的方程为：，设直线的方程为：， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得：，不妨设， 同理，， 因为，所以 化简得：， 即 上式两边平方化简得：， 由平面几何知识易知三点共线，故设， 由可得， ，， 所以，即或（舍去） 化简得：， 结合，可得， 故直线与直线的交点为定点. 【变式训练1-23】已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点． （1）求的方程； （2）设过点的直线交于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足．证明：直线过定点． 【答案】 【分析】（I）将给定点代入设出的方程求解即可；（II）设出直线方程，与椭圆的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解． 【详解】（I）解：设椭圆的方程为，过，则，解得，，所以椭圆的方程为：． （II）证法一：定点为，证明如下： 点对应的极线为，即，即为直线，则为调和线束，过作//，交于，由调和性质可知为中点，故直线过定点． 证法二：，所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线．代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到．求得方程：，过点． ②若过点的直线斜率存在，设． 联立得， 可得，，且 联立可得， 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得，显然成立． 综上，可得直线过定点． 【变式训练1-24】已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点． （1）求椭圆M的离心率； （2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）由已知两点坐标得，求得后可得离心率； （2）直线方程为，设（，），，．由三点共线求得点坐标（用点坐标表示），由共线求得点坐标（用点坐标表示），写出直线的方程，把代入化简对方程变形可得定点坐标． 【详解】解：（1）因为点，都在椭圆上， 所以，． 所以． 所以椭圆的离心率． （2）由（1）知椭圆的方程为，． 由题意知：直线的方程为． 设（，），，． 因为三点共线，所以有，， 所以． 所以． 所以． 因为三点共线， 所以，即．所以． 所以直线的方程为， 即． 又因为点在椭圆上，所以． 所以直线的方程为． 所以直线过定点． 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，考查椭圆的直线过定点问题，解题方法是设椭圆上的点坐标，利用三点共线变为向量平行，求得直线交点的坐标，得出直线方程，再由在椭圆上，代入化简凑配出定点坐标． 【变式训练1-25】的直线，与此椭圆分别交于点，，其中，，. （1）设动点满足：，求点的轨迹； （2）设，，求点的坐标； （3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关），并求出该定点的坐标. 【答案】(1) 的轨迹为直线. (2) (3) 直线必过轴上一定点. 【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得、、的坐标,设动点.根据条件,结合两点间距离公式,化简即可得解. （2）根据,代入椭圆方程即可求得、的坐标.进而求得直线与直线的方程.联立两条直线方程即可求得交点的坐标. （3）设出直线与直线的方程,分别联立椭圆方程即可表示出、的坐标.讨论与,并分别求得的值.即可求得所过定点的坐标. 【详解】（1）由题设得,,,,设动点, 由,,, 代入化简得. 故点的轨迹为直线 （2）由,,得,则点, 直线的方程为, 由,,得,则点. 直线的方程为, 由.解方程组可得 即 （3）由题设知,直线的方程为：,直线的方程为：, 点满足,,； 点满足,,； 若,且,得, 此时直线的方程为,过点； 若,则,直线的斜率, 直线的斜率, 所以,所以直线过点. 因此直线必过轴上一定点. 【点睛】本题考查了曲线轨迹方程的求法,点与椭圆的位置关系及直线交点的求法,直线与椭圆的位置关系及过定点问题,综合性强 题型02:证明动点在定直线上 【典型例题1】已知椭圆的离心率为，，分别为的上、下顶点，为坐标原点，直线与交于不同的两点，． (1)设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值； (2)若，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设，，由中点坐标公式和斜率公式，结合点差法证明定值. （2）由题意求出椭圆方程，与直线方程联立，韦达定理表示根与系数的关系，联立直线与直线的方程，化简可求得交点在定直线上． 【详解】（1）设，，则． 由两式相减得，即． 所以． （2）解法一： 由解得所以椭圆的方程为． 将直线的方程代入椭圆的方程，化简整理得．①    由，解得． 由韦达定理，得，．② 设，， 则直线的方程为，③ 直线的方程为，④ 由③④两式解得 ， 即，所以直线与直线的交点在定直线上． 解法二： 设直线（即直线）与直线（轴）的交点为，直线与直线的交点为， 则点，，构成椭圆的自极三点形，点一定在点对应的极线上，其方程为，即， 就是说直线与直线的交点在定直线上． 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 【典型例题2】已知椭圆的左、右焦点是，左右顶点是，过的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，直线与交于点M，求证直线与交点M在一条定直线l上。 【详解】 ，，，设直线PQ的方程是， 代入椭圆方程得：，易知， 设，，，则，， 直线的方程是：   ①，直线的方程是：   ②， 设，既满足①也满足②， 则 ， 故直线与交点M在一条定直线l：x＝2上. 【变式训练2-1】已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，为椭圆的左､右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值. 【答案】 【详解】因为点满足，所以，设直线的方程为， 联立，得， 设，易得，则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立得， 因为，所以，解得 所以动点的轨迹方程为. 由椭圆的对称性不妨设，直线的倾斜角分别为， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，此时，，所以的最大值为. 思路总结：通常动点所在定直线为横线或者竖线；首先找到自极三角形，然后根据极点坐标写出极线方程，接下来我们再去用常规联立的方法求动点的横坐标（或者是纵坐标）为定值。所以极点极线的结论可以帮助我们指明解题方向。 【变式训练2-2】已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. (1)若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； (2)当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； (3)已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据极线及焦点坐标分别列式即可求解即得椭圆方程； （2）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个根，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程，最后得出直线方程结合极线定义证明即可； （3）利用代数法证明点在椭圆C外，则点和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.根据题意中的概念求出点对应的极线MN方程，可得该直线恒过定点，最后利用点差法求出直线的斜率，即可求解. 【详解】（1）因为极点对应的极线l为，即，所以， 因为右焦点是，所以，所以， 所以椭圆C的方程为； （2）当斜率存在时，设切线方程为， 联立椭圆方程，设切点， 可得，化简可得： ， 由题可得： 化简可得：，该方程只有一个根，记作， ，为切点的横坐标， 切点的纵坐标， 由于，则， 则切线方程为：， 化简得：． 当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程， 综上上一点,的切线方程为； 同理上一点,的切线方程为； 设，点在两个切线上，所以， 所以的直线方程为，根据极线定义直线MN为极点Q的极线； （3）由题意，设点的坐标为(,)， 因为点在直线上运动，所以， 联立，得， ，该方程无实数根， 所以直线与椭圆C相离，即点在椭圆C外，又都与椭圆C相切， 所以点和直线是椭圆C的一对极点和极线. 对于椭圆，与点对应的极线方程为， 将代入，整理得， 又因为定点T的坐标与的取值无关， 所以，解得，所以存在定点恒在直线上. 当时，T是线段的中点， 设，直线的斜率为， 则，两式相减， 整理得，即， 所以当时，直线的方程为，即. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是应用点差法结合韦达定理计算求参解题. 【变式训练2-3】设椭圆过点，且左焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，且满足，证明：点总在某定直线上． 【解析】（1）因为椭圆的左焦点为， 所以， 设椭圆方程为， 又因为椭圆过点， 所以， 解得 所以椭圆方程为：； （2）设直线的参数方程是，（为参数），代入椭圆方程， 得：． 由， 得， 即， 则， 点轨迹的参数方程是， 则， 所以点在定直线上 【变式训练2-4】已知椭圆的左右顶点分别为A和B，离心率为，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）过点M（1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P，Q两点，连接AP、BQ，直线AP与BQ交于点N，探求点N是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）在，x=4. 【分析】 （1）根据离心率及椭圆上的点可求出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立方程，直线的方程为，直线的方程为，求出交点，由根与系数关系化简即可. 【详解】 （1）由题设， ，，且 所以， 椭圆方程为； （2）由（1）知，A（-2，0），B（2，0），设直线的方程为， 联立方程组，得， 因为，设， 所以， 设直线的方程为，直线的方程为， 则，即， 而， ∴， ∴x=4，即直线与直线的交点在直线x=4上. 【点睛】 本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆中的定值问题，属于中档题. 【变式训练2-5】椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点，线的倾斜角为. （1）求椭圆的方程； （2）过且斜率存在的动直线与椭圆交于、两点，直线与交于，求证：在定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由题意和过两点的直线的斜率公式可求得b，可得椭圆的方程. （2）设，，，设过的动直线：，代入椭圆的方程得： ，由韦达定理得：，，再由，，及，，三点共线，化简可得证明点在定直线上. 【详解】 （1），由题意，， 所以椭圆的方程. （2）设，，，过的动直线：，代入椭圆的方程得： ，得：，， ， 分别由，，及，，三点共线，得：，， 两式相除得： ， 得：，即在直线上. 【点睛】 本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题之动点在定直线上，属于较难题. 【变式训练2-6】设椭圆过点，且左焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，且满足，证明：点总在某定直线上． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】 （1）根据椭圆的左焦点为，得到，再根据椭圆过点，代入椭圆方程求解. （2）设直线的参数方程是，（为参数），代入椭圆方程，由，化简得到，即，再代入直线参数方程求解. 【详解】 （1）因为椭圆的左焦点为， 所以， 设椭圆方程为， 又因为椭圆过点， 所以， 解得 所以椭圆方程为：； （2）设直线的参数方程是，（为参数），代入椭圆方程， 得：． 由， 得， 即， 则， 点轨迹的参数方程是， 则， 所以点在定直线上 【点睛】 本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及直线的参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8． 题型03：三点共线问题 【典型例题1】已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，离心率 为，直线与圆相切. (1)求椭圆的标准方程; (2)椭圆方程，平面上有一点. 定义直线方程 是椭圆在点处的极线. ① 若在椭圆上，证明: 椭圆在点处的极线就是过点的切线; ② 若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，割线交椭圆 于两点，过点分别作椭圆的两条切线，且相交于点. 证明: 三点共线. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 证明见解析 【分析】（1）由题意得，，再结合，从而可求出，进而可求出椭圆的标准方程； （2）①由定义可知椭圆在点 处的极线方程为 ，然后分和两种情况证明；②设点，然后由①可得过点的切线方程和过点的切线方程，则可求出割线的方程，同时可求出切点弦的方程，从而可证得结论. 【详解】（1）由已知，，则 所以直线 ，即 ， 该直线与圆 与相切，则， 所以解得，， 故椭圆的标准方程为 （2）① 由(1)得椭圆的方程是 . 因为在椭圆上，所以，即， 由定义可知椭圆在点 处的极线方程为 ， 当时，，此时极线方程为，所以处的极线就是过点的切线， 当时，极线方程为，即， 由，得， 所以， 所以处的极线就是过点的切线， 综上所述，椭圆在点处的极线就是过点的切线; ② 设点， 由①可知，过点的切线方程为， 过点的切线方程为， 因为都过点，所以有， 则割线的方程为， 同理可得过点的两条切线的切点弦的方程为，即， 又因为割线过点，代入割线方程得，即 ， 所以三点共线，都在直线上． 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的切线，考查椭圆中点共线问题，解题的关键是合理利用过椭圆上一点的切线方程的定义，考查计算能力，属于较难题. 【变式训练3-1】已知曲线. （1）若曲线C表示双曲线，求的范围； （2）若曲线C是焦点在轴上的椭圆，求的范围； （3）设，曲线C与轴交点为A，B（A在B上方），与曲线C交于不同两点M，N，与BM交于G，求证：A，G，N三点共线. 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】 （1）若曲线表示双曲线，则：，解得的范围；（2）若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得的取值范围；（3）联立直线与椭圆方程结合，解得，设，，，求出的方程，可得，从而可得，，欲证，，三点共线，只需证，共线，利用韦达定理，可以证明． 【详解】 （1）若曲线表示双曲线，则：， 解得：. （2）若曲线是焦点在轴上的椭圆， 则：， 解得： （3）当，曲线可化为：， 当时，， 故点坐标为：，， 将直线代入椭圆方程得：， 若与曲线交于不同两点，， 则，解得， 由韦达定理得：  ①，  ② 设，，， 方程为：，则， ∴，， 欲证，，三点共线，只需证，共线， 即， 将①②代入可得等式成立，则，，三点共线得证． 【点睛】 本题考查椭圆和双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解，属于中档题. 【变式训练3-2】已知椭圆过点，且椭圆的一个顶点的坐标为．过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，（，不同于点），直线与直线：交于点．连接，过点作的垂线与直线交于点． （1）求椭圆的方程，并求点的坐标； （2）求证：，，三点共线． 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【分析】 （1）根据题意列方程组，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标； （2）讨论直线的斜率，利用是平行的证明，，三点共线． 【详解】 （1） 因为点在椭圆上，且椭圆的一个顶点的坐标为， 所以解得 所以椭圆的方程为． 所以椭圆的右焦点的坐标为． （2）① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为． 显然，，或，． 当，时，直线的方程为，点的坐标为． 所以． 直线的方程为，点的坐标为． 则，． 所以，所以，，三点共线． 同理，当，时，，，三点共线． ② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为． 由得． 且． 设，，则，． 直线的方程为，点的坐标为． 所以． 直线的方程为，点的坐标为． 则，． 所以 ， ， ， ， ， ． 所以与共线， 所以，，三点共线． 综上所述，，，三点共线． 【点睛】 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 题型04:面积的最值 【典型例题1】“极点与极线”是圆锥曲线的一种基本特征，已知圆锥曲线，点，直线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.已知为圆：上一点，点，动点满足：，且三点共线，动点的轨迹为曲线，点为上一点. (1)若，对于曲线，与点对应的极线为. （i）证明：与有且仅有一个公共点； （ii）若点与相交于点，求的值. (2)过点且斜率为-1的直线与曲线的另一个交点为，证明：四边形的面积小于. 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2)证明见解析 【详解】（1）因为，即， 又三点共线，所以， 所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆， 所以的方程为. （1）（i）证明：因为为上一点，所以有，且点对应的极线为， 联立整理得， ， 由得，代入得， 所以与曲线相切，切点为，即与曲线有且仅有一个公共点. （ii）由（i）可知，的方程为， 设过与垂直的直线交轴于点，则该直线方程为 令，解得，即， ， 又因为， 同理， ， 所以为的内角平分线， 又直线，所以（在直线上，且在点的左侧）， 又与关于坐标原点对称， 所以， 所以，即. （2）证明：设直线的方程为， 联立整理得， 令，解得， 于是 因为，所以，即， 设直线与轴的交点为，则， 则四边形的面积 令， 函数， 则， 所以， 即四边形的面积小于. 【变式训练4-1】设椭圆：的左右焦点分别为，，设动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数．求面积的最大值． 【答案】 【详解】①设直线，由，消得， 设，，所以，， 所以， 因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以， 所以，所以， 即，所以， 因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点． ②由①知，，，且，即， 又， 令，则， 所以，当且仅当时取“=”，   所以． 【变式训练4-2】极点与极线的基本性质、定理：①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是从点P向曲线G所引两条切线的切点所在的直线l(即切点弦所在直线）；③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹．结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆． (1)点P是直线上的一个动点，过点P向椭圆G引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由． (2)点P在圆上，过点P作椭圆G的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最大值． 【答案】(1)存在， (2) 【详解】（1）设点，由点P在直线上运动，得，    由，消去y并整理得， 显然， 即此方程组无实数解，于是直线与椭圆G相离，即点P在椭圆G外， 又PM，PN都与椭圆G相切，因此点P和直线MN是椭圆G的一对极点和极线， 对于椭圆，与点对应的极线方程为， 将代入，整理得， 显然定点T的坐标与的取值无关，即有，解得， 所以存在定点恒在直线MN上， 当时，T是线段MN的中点且在椭圆G内，设直线MN的斜率为k， 则，两式相减并整理得，即， 所以当时，直线MN的方程为，即． （2）由（1）知直线AB的方程为，由题意知，    由，消去y并整理得：， 而，则， 设，则， 所以 ， 点P到直线AB的距离为：， 因此面积， 当时，令， 求导得，即在单调递增，则的最大值为， 由对称性可知当时，的最大值也为，所以面积的最大值为． 【变式训练4-3】已知分别是椭圆：的左、右顶点，为直线上的动点（不在轴上），与椭圆的另一交点为，与椭圆的另一交点为．求四边形面积的最大值． 【答案】16 【详解】①因为不在轴上，所以直线的倾斜角不为零， 设直线，，， 联立，消去整理得， 所以，即， ，，所以． 由题意得直线，令，所以． 直线，令，所以， 故，即，化简得， 故， 化简得，即． 若，代入，，无解， 所以，即，所以直线，即直线恒过定点． ②所以直线，所以， 则，， 所以， ， 函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 此时取得最大值．所以， 所以四边形的面积， 所以四边形面积的最大值为16． 【变式训练4-4】已知椭圆C : ，设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知，设和的面积分别为，求的最大值. 【答案】. 【详解】①依题意，设， 若直线的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有，不合题意． 所以直线斜率必不为0，设其方程为， 与椭圆C联立，整理得：， 所以，且 因为是椭圆上一点，即， 所以，则，即 因为 ， 所以，此时， 故直线恒过x轴上一定点． ②由①得：， 所以 ， 而，当时的最大值为． 题型05:斜率问题 【典型例题1】如图，B，A是椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是，，. （1）求证：； （2）若直线PQ过定点，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）设，代入斜率公式求； （2）设直线的方程是，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示，再根据（1）的结论证明. 【详解】 （1）设 ； （2）设直线的方程是，设 与椭圆方程联立， 得： ， ， ， ， , 由（1）可知， 两式消去，解得：. 【点睛】 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值和定点，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具. 【典型例题2】已知椭圆的左、右顶点分别为，，为原点.以为对角线的正方形的顶点，在上. （1）求的离心率； （2）当时，过作与轴不重合的直线与交于，两点，直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是，，证明见解析. 【分析】 （1）由题意可知，将其代入椭圆方程中化简可得，从而可求出离心率； （2）当时，，所以椭圆的方程为，然后当直线的斜率不存在时，求出，两点的坐标，从而可求出，，进而可得的值，当直线的斜率存在时，设的方程为，，设，，然后将直线方程与椭圆的方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系得，，然后求，化简可得答案；或利用根与系数的关系后，由于 在椭圆上，所以，所以，再化简即可得答案；或由于，在椭圆上，代入椭圆方程中，化简可得，，设，则，从而可得，进而可得直线经过点，又过定点，故，从而可求得结果 【详解】 解法一：（1）以为对角线的正方形的顶点坐标分别为，，. 因为，在椭圆上，所以， 所以， 所以， 所以椭圆的离心率； （2）当时，，所以椭圆的方程为. 为定值，理由如下： ①当直线的斜率不存在时，的方程为，则，， 所以，，所以. ②当直线的斜率存在时，设的方程为，， 设，， 不妨设，且. 由可得， ，，. 要证，只要证明：， 只要证：， 只要证：， 只要证：， 因为，，即证， 因为，，所以. 所以成立， 综上所述：. 解法二：（1）同解法一； （2）当时，，所以椭圆的方程为. 设的方程为，， 设，，不妨设. 由可得， ，，. 所以，即. . 综上所述：. 解法三：（1）同解法一； （2）当时，，所以椭圆的方程为. 设的方程为，， 设，，不防设. 由可得， ，，. 因为在椭圆上，所以，即， 所以. ， . 所以. 综上所述：. 解法四：（1）同解法一； 当时，，所以椭圆的方程为. 设，， 因为在椭圆上，所以，所以. 所以， 同理. 设，则， 所以，① ，② ①+②得， 当时得，不合题意，舍去. 当时，， 所以直线经过点， 又过定点，故，解得. 综上所述：. 【点睛】 关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆离心率的求法，考查椭圆中的定值问题，解题的关键是当直线的斜率存在时，设的方程为，，设，，然后将直线方程与椭圆的方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系得，，然后求，化简可得答案，考查计算能力，属于中档题 【变式训练5-1】如图，椭圆的左、右顶点分别为为直线上一点，分别与椭圆交于点A，B，直线与x轴交于点P，与直线交于点M，记直线的斜率分别为，求证：    (1)成等差数列； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得P，H调和分割，由此即可得证； （2）由（1）中结论可得，化简得，由此即可得证. 【详解】（1）    由完全四边形的性质可知点Q在P的极线上，点为与轴的交点， 则P，H调和分割， 所以， （2）由（1）可知，得， 则，即P，H调和分割A1B1， 故，得. 【变式训练5-2】已知椭圆E：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值． 【答案】k＝ 【详解】 由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y＝kx＋1. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立方程组消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0. 所以由根与系数关系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－. 因为k1＝，k2＝，且k1＝2k2，所以＝.即＝.　① 又因为M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上， 所以＝ (4－)，＝ (4－)．　② 将②代入①可得：＝，即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0. 所以3＋10＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0. 解得k＝或k＝，又因为k>1，所以k＝. 【变式训练5-3】已知椭圆，过点作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的斜率分别为k1、k2，则是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【详解】依题意有，，，设直线的方程为， 由得，则，， ，所以为定值. 【变式训练5-4】法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的定义：给定一点和一条直线，将直线称为点关于椭圆的极线.已知点关于椭圆的极线为直线. (1)求的方程； (2)若为上任意一点. ①过点作椭圆的割线交椭圆于A，B两点，记PQ，QA，QB所在直线的斜率依次为，求证：. ②过点作直线和椭圆相交于E，F两点，分别连接PE，PF交于点M，N，记EF，MN，PQ和轴的交点依次为，求证：为线段的中点. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1）由题意易知，极线的方程为即. （2）①设，设直线AB的方程为：，    又椭圆方程可化为， 即， 由， 得， 设，则（★） 故为（★）的两个解， 所以， 因为AB过，故，故， 故， 又，所以. ②连接QM，QN，      由①中的结论可知， 又，故即Q，M，N三点共线， 如图所示，设， 则， 由①中结论知，，故， 故，故为线段的中点. 【变式训练5-5】已知椭圆过点，且． （1）求椭圆的方程： （2）过点的直线交椭圆于点，直线分别交直线于点，求的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1． 【分析】（Ⅰ）由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程； （II）首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA，NA的方程确定点P，Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值． （Ⅰ）设椭圆方程为：，由题意可得： ，解得：，故所求椭圆的方程为：． （II）解法一：点关于椭圆的极线方程为，即图中的直线，点为直线与直线的交点，由极点与极线的理论可知，四点成调和点列，在调和点列所在直线外选一点，则为调和线束．同时，直线与该调和线束交于，且直线与直线平行，故点为中点，则． 解法二：设，直线的方程为：， 与椭圆方程联立可得：，即：， 则：． 直线的方程为：， 令可得：， 同理可得：，很明显，且：，注意到： ， 而： ， 故，从而． 解法三：同解法二得， ， ． 解法四：设，，直线的方程为：，由得 ， 直线的方程分别为：，令，则， ． 又当直线的斜率为时，不妨设，则直线的方程为：，直线的方程为：，令，则，此时也有． 综上：． 【点睛】第二问看似是求值问题．解法一是发现，且相加后可以利用韦达定理整体代换，但是需要一定的直觉与应变能力，发现为的中点，需要一定的分析推理能力．解法二中出现分式结构，分子与分母有大部分相同，故第一步先分离分子，之后出现了不对称的结构，全部用韦达定理整体代换，此时只要保留相同的量，其余部分利用韦达定理整体代换后进行化简，需要一定的运算功底． 【评注】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 【变式训练5-6】如图，B，A是椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是，，. （1）求证：； （2）若直线PQ过定点，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）由题知，解方程即可得，，故椭圆的方程是. （2）先讨论斜率不存在时的情况易知直线，的交点的坐标是.当直线斜率存在时，设直线方程为，，，进而联立方程结合韦达定理得，，直线的方程是，直线的方程是，进而计算得时的纵坐标，并证明其相等即可. 【详解】解：（1）因为，椭圆离心率为， 所以，解得，. 所以椭圆的方程是. （2）①若直线的斜率不存在时，如图， 因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是. 所以点的坐标是，点的坐标是. 所以直线的方程是， 直线的方程是. 所以直线，的交点的坐标是. 所以点在直线上. ②若直线的斜率存在时，如图. 设斜率为.所以直线的方程为. 联立方程组 消去，整理得. 显然.不妨设，， 所以，. 所以直线的方程是. 令，得. 直线的方程是. 令，得. 所以 分子 . . 所以点在直线上. 【变式训练5-7】某同学利用导数方法求出了过椭圆上一点的切线的方程为.事实上，法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的结论：给定一点和一条直线，将点和直线分别称为椭圆的极点和极线.一般地，当点在椭圆上时，极线为椭圆在点处的切线；当点在椭圆外时，极线为过从点作椭圆的两条切线的切点的弦所在的直线；当点在椭圆内时，极线在椭圆外且与椭圆没有公共点.请利用这些结论解决下列问题： (1)已知点和直线分别为椭圆的极点和极线， ①求极线的方程； ②若为极线上任意一点，过点作椭圆的割线交椭圆于两点，记所在直线的斜率依次为，求证：. (2)给定椭圆和点，过点作斜率为的直线和椭圆相交于两点，分别连接交于点，记和轴的交点依次为，，求证：为线段的中点. 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）①由极点极线的定义可得极线方程；②利用齐次化可证； （2）利用（1）②的结论可证三点共线，从而可证为线段的中点. 【详解】（1）①因为，故在椭圆外，故极线为即直线的方程为. ②设，设直线的方程为：， 又椭圆方程可化为， 故， 由得： ， 设， 则（★） 故为（★）的两个解， 所以 因为过，故，故， 故 . （2） 由（1）可得椭圆的以点为极点的极线方程为， 故点在极线上，同样记，连接， 由（1）中的结论可知，，且， 故即三点共线， 如图所示，设， 则， 由（1）中②知，故， 故，故为线段的中点 题型06:双曲线的极点极线 【典型例题】已知双曲线C：的中心为坐标原点，记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【详解】首先根据对称性可以判断定直线为。 半代换：由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，   直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，据此可得点在定直线上运动. 【变式训练6-1】已知双曲线：，过右焦点F且斜率为的直线与相交于、两点. 点关于轴的对称点为点.当时，求面积的最大值. 【答案】 【详解】当时，此时，点、为双曲线的顶点，不合乎题意； 当时，设，则直线的方程为， 设点、，则点， 由对称性可知，直线过轴上的定点， 联立可得， 由题意可得，解得， 由韦达定理可得，， 则的斜率为，直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得， 可得， 此时，直线过定点.综上所述，直线过定点. 因为，则，且， ， 因为函数在上单调递减， 故当时，取最大值，且最大值为. 【变式训练6-2】曲线C：已知点，，直线与曲线C交于M，N两点（点M在第一象限，点N在第四象限），记直线，的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点． 【答案】 【详解】由题意知，直线的斜率不为0，设直线， 与方程联立并化简，得， 设，， 则，， 点在曲线上，， ， 又，， ， ，即， ， ， 得， ，， ， 直线的方程为，直线过定点． 【变式训练6-3】若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【解析】（1）由已知得双曲线的离心率为，又两曲线离心率之积为，所以椭圆的离心率为； 由题意知，所以，． 所以椭圆的标准万程为． （2）当直线l的斜率为零时，由对称性可知： ，不满足， 故直线l的斜率不为零．设直线l的方程为， 由，得：， 因为直线l与椭圆C交于P、Q两点， 所以， 整理得：， 设、，则 ，，，． 因为， 所以， 整理得：， ， 将，代入整理得： 要使上式恒成立，只需，此时满足， 因此，直线l恒过定点． 题型07:抛物线的极点极线 【典型例题】 过点的直线与抛物线交于两点.抛物线在点A处的切线与直线交于点，过点N作交于点，证明以下结论 （1）直线与抛物线有1个公共点； （2）直线恒过定点； （3）点的轨迹方程是； 【详解】（1）由于点的极线为直线，点为直线上一点， 且直线与抛物线相切，则过点的直线为点的极线方程， 则直线为切点弦，故点为切点。则直线与抛物线有1个公共点。 （2） 设点，则直线方程为：，即， 则；又，且，则直线，， 故三点共线，则直线恒过定点； （3），即，则点为以 直径的圆，轨迹方程是； 【变式训练7-1】已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过另一条直线交于两点，其中在轴上方，设为直线与直线的交点，证明G在定直线上． 【答案】 【详解】 由、、、， 则，由、， 故， 同理可得，联立两直线，即， 有， 即， 有，由，同理， 故， 故， 【变式训练7-2】已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且. （1）求C的方程. （2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 （1）解：设，，直线方程与抛物线方程联立方程组消去后应用韦达定理得，利用焦半径公式及韦达定理的结果可求得得抛物线方程； （2）设，，，把两点坐标代入抛物线方程相减琍，同理可得，然后求得交点的横坐标为常数即证（由．化为坐标表示后相加即可得）． 【详解】 （1）解：设，，由，得， 则， 从而， 解得，故的方程为. （2）证明：设，，，. 因为，所以. 根据得，则， 同理得. 又两式相加得， 即，由于，所以. 故点在定直线上. 【点睛】 方法点睛：本题考查直线与抛物线相交求抛物线的方程，点在定直线上等问题，解题方法一是应用韦达定理得出交点的坐标之和，利用焦半径公式求解，二是把交点坐标代入抛物线方程相减同弦中点坐标与弦所在直线斜率之间的关系． 题型08:调和点列及其它问题 【典型例题1】 设椭圆，过点的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足．证明：点Q总在某定直线上． 【详解】方法一（极点极线）：已知，说明点关于椭圆调和共轭， 则点在点对应的极线上，此极线方程为，化简得． 故点总在直线． 方法二：设， 由题意可知：均不为0， 由，可得， 设，则，且， 又因为四点共线，则， 且， 则，可得，即， 可得 又因为在椭圆C上，则，即， 可得，即， 所以点Q总在直线上. 【典型例题2】 从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，椭圆方程：，椭圆方程：， 则有①， 由极线的定义得直线的方程为，即， 原点到直线的距离，化简得②， 对比①②式得出，， 则有， 因为椭圆的离心率在内，所以， 所以， 当且仅当，即时取等，此时， 所以的最大值为. 故选：D. 【典型例题3】 从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆、，它们的中心都在坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为定值1，则的最大值为 .    【答案】/ 【详解】设，椭圆，椭圆， 则有①，由极线的定义得直线的方程为 ， 由原点到直线的距离公式，化简可得②， 对比①②可得，所以， 所以， 当且仅当时，即“”成立. 故答案为： 【变式训练8-1】 已知双曲线C的方程为，设Q（1，0），直线（）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，求点N的轨迹围成的面积。 【答案】 【详解】显然直线的斜率不为零， 设直线为，， 联立，消整理得， 依题意得且，即且， ， 直线的方程为， 令， 得.所以直线过定点. 过Q点作QN⊥AD于N，设的中点为R， 若N和M不重合，则△为直角三角形，所以， 若N和M重合，，所以点N在以QM为直径的圆上． 【变式训练8-2】已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由题知，解方程即可得，，故椭圆的方程是. （2）先讨论斜率不存在时的情况易知直线，的交点的坐标是.当直线斜率存在时，设直线方程为，，，进而联立方程结合韦达定理得，，直线的方程是，直线的方程是，进而计算得时的纵坐标，并证明其相等即可. 【详解】 解：（1）因为，椭圆离心率为， 所以，解得，. 所以椭圆的方程是. （2）①若直线的斜率不存在时，如图， 因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是. 所以点的坐标是，点的坐标是. 所以直线的方程是， 直线的方程是. 所以直线，的交点的坐标是. 所以点在直线上. ②若直线的斜率存在时，如图. 设斜率为.所以直线的方程为. 联立方程组 消去，整理得. 显然.不妨设，， 所以，. 所以直线的方程是. 令，得. 直线的方程是. 令，得. 所以 分子 . . 所以点在直线上. 【点睛】 本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设，，写出直线的方程是和直线的方程是，进而计算得时的纵坐标相等即可.考查运算求解能力，是中档题. 【变式训练8-3】已知椭圆的两个焦点，点满足． (1)求的取值范围； (2)判断直线与椭圆的位置关系． 【答案】(1) (2)椭圆与直线相离，没有公共点． 【分析】（1）由题意可知点在椭圆内部，且不与原点重合，由椭圆的定义和平面几何性质可得； (2)方法一：运用极点极线知识进行迅速判断；方法二：根据直线方程，分成两种情况考虑，①当时分析直线与椭圆的交点情况，②当时，联立直线与椭圆方程，分析其判别式的符号即得． 【详解】（1） 依题意知，点在椭圆内部且与原点不重合．由椭圆方程得，由数形结合可得， ①当点在线段上且不与原点重合时，； ②当点在线段的延长线或反向延长线上时，； ③当在椭圆内部且不在直线上时，如图延长交椭圆于点，连接， 则， 且， 综上，的取值范围为． （2）解法一：由题意知，点和直线恰好是椭圆的一对极点和极线， ∵点在椭圆内，∴极线与椭圆相离，故极线与椭圆公共点的个数为零． 解法二： 当时，直线，直线方程可化为， 由可得，，则或， ∴，而椭圆上的点的横坐标的取值范围是， ∴此时椭圆与直线无公共点； 当时，由，消去可得， ， 则 由，则，故 ， ∴此时椭圆与直线无公共点． 综上所述：椭圆与直线相离，没有公共点． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系的判断，属于较难题. 解题关键在于对所给直线方程中的参数进行分类，结合图形判断直线与椭圆关系，或者联立消元得到一元二次方程后，利用根的判别式进行判断. 【变式训练8-4】阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线：，则称点和直线：是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换；以替换，以替换，即可得到对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质､定理： ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是从点向曲线所引两条切线的切点所在的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆：. (1)点是直线：上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，，是否存在定点恒在直线上，若存在，当时，求直线的方程；若不存在，请说明理由. (2)点在圆上，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求面积的最大值. 【解析】（1）设点，由点在直线上运动，得， 由消去并整理得，显然， 即此方程组无实数解，于是直线与椭圆相离，即点在椭圆外， 又，都与椭圆相切，因此点和直线是椭圆的一对极点和极线， 对于椭圆，与点对应的极线方程为， 将代入，整理得， 显然定点的坐标与的取值无关，即有，解得，所以存在定点恒在直线上， 当时，是线段的中点有在椭圆内，设，直线的斜率为， 则，两式相减并整理得，即， 所以当时，直线的方程为，即. （2）由（1）知直线的方程为，由题意知， 由消去并整理得：， 而，则， 设，，则，， 所以，   点到直线的距离为：， 因此面积，当时，令， 求导得，即在单调递增，则的最大值为， 由对称性可知当时，的最大值也为， 所以面积的最大值为. 【变式训练8-5】阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质､定理 ①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线； ②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程； (2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点P(4,0)， 则，得，又， 所以，所以， 所以椭圆C的方程为. 根据阅读材料，与点P对应的极线方程为，即； （2）由题意，设点Q的坐标为(,)， 因为点Q在直线上运动，所以， 联立，得， ，该方程无实数根， 所以直线与椭圆C相离，即点Q在椭圆C外， 又QM，QN都与椭圆C相切， 所以点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线. 对于椭圆，与点Q(,)对应的极线方程为， 将代入，整理得， 又因为定点T的坐标与的取值无关， 所以，解得， 所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上. 当时，T是线段MN的中点， 设，直线MN的斜率为， 则，两式相减，整理得，即， 所以当时，直线MN的方程为，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $