专题04 三角形与全等三角形（期末真题汇编，辽宁专用）七年级数学下学期新教材北师大版

**基本信息** 汇集辽宁多地期末真题，聚焦三角形与全等三角形四大核心考点，基础巩固题与综合应用题梯度分布，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约15题|等腰三角形定义、全等判定（SSS/SAS等）|通过线段组合判断三角形构成，强化三边关系；结合图形辨析全等条件，如玻璃破碎选块问题| |填空|约10题|等腰三角形周长计算、第三边取值范围|设置多解问题（如周长为18的等腰三角形边长），考查分类讨论能力| |解答|约10题|全等判定与性质综合、尺规作图、辅助线（倍长中线法）|结合阴影面积计算、动态秋千模型（妈妈爸爸接住位置），体现几何与实际结合；尺规作图要求两种方法，强化作图依据理解|

专题04 三角形与全等三角形 高频考点概览 考点01等腰三角形的定义与三角形的三边关系 考点02两个三角形全等的判定 考点03全等三角形的判定与性质综合 考点04尺规作图与全等三角形的辅助线问题 考点01 等腰三角形的定义与三角形的三边关系 1．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（   ） A．1，2，4 B．3，5，8 C．4，4，9 D．4，6，9 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（   ） A．2，2，3 B．2，3，3 C．2，2，4 D．2，3，4 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列长度的三条线段首尾顺次连接能组成三角形的是（   ） A．2，2，3 B．2，3，5 C．3，4，7 D．4，5，11 4．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）若等腰三角形的一边长为，另一边长为，则第三边长为（    ） A． B． C． D．或 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）已知等腰三角形的周长为18，且一边长为4，则腰长为（    ） A．4 B．7 C．10 D．4或7 6．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）用一条长的细绳围成一个等腰三角形，其中一边长为，另两条边长是（   ）． A．， B．， C．， D．， 7．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（　　） A．16 B．18 C．20 D．16或20 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）等腰三角形的底边是，腰长是，那么这个等腰三角形的周长为 ____． 9．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）已知等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则腰长为___________． 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）已知等腰三角形的周长为8，且一边长为3，则腰长为__ 11．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）若三角形两边a、b的长分别为3和4，则第三边c的取值范围是_______． 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）已知三角形两边的长分别为，第三边的长为整数，则第三边的长为_____． 考点02 两个三角形全等的判定 1．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E在线段上，点F在线段上，．则的理论依据是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，，要使，添加下列条件正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，点在同一条直线上，，，若要证明，则可添加的条件是（   ）． A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，，下列不能成为判定的依据是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，点、、、四点共线，，，添加一个条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，是高，添加下列条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，，若要使，则添加的一个条件不能是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在和中，添加一个条件，能判定的是_______（只需填写一个） 11．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是_________． 考点03 全等三角形的判定与性质综合 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，分别是边上的点，相交于点，若，，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，的角平分线交于点，于点，若与的周长分别为15和3，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．已知妈妈与爸爸到的水平距离，分别为1.3和1.8，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A．1 B．1.3 C．1.5 D．1.8 5．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，的面积为平分于P，连接，则的面积为（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．5 6．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，是的中点，分别过点作的垂线，垂足为．若，，则的面积是______． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，、、、在同一条直线上，，，．求证：． 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点．求证：． 9．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，，求证：． 10．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，点在同一直线上，点在同侧，，，．判断与的位置关系，并说明理由． 11．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点，在上，，，，，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，，，E，F是上两点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 13．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图．在和中，点，，，在同一条直线上．已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．（24-25八年级上·辽宁营口·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)试猜想线段与，之间存在怎样的数量关系，并证明． 15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)填空： ①若，则 ； ②若，则 ； (3)两块全等的特制直角三角板如图2所示放置，当A，O，D在同一直线上时，连接AC，BD．若，，求的面积； (4)两个等腰直角三角形和如图3所示放置，若，，则四边形面积的最大值为 ． 考点04 尺规作图与全等三角形的辅助线问题 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，以点B为圆心，以为半径作弧交于点D，再分别以C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，连接，则的度数为________． 3．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ___． 4．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）用直尺和圆规做一个三角形，使它和已知三角形全等（要求用两种方法做图，保留作图痕迹，不必写做法）． 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）已知：如图，． 求作：，使（要求：用两种不同的方法在答题卡指定区域尺规作图．不写作法，保留作图痕迹，并根据作图过程写出的依据）． 方法一： 作图区域： 结论： 作图依据： 方法二： 作图区域： 结论： 作图依据： ，6．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）校园一隅的轮廓如图所示，其中，表示围墙．学校园丁希望在图示的区域内挑选一点P来种植树木，要求点P到三个墙角A，B，C的距离相等． (1)请在图中确定满足条件的点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接BP，若，试说明平分． 7．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：___________； (2)如图2，．点D为的中点，连接．求证：． 8．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）（1）如图1，和都是直角三角形，直角顶点都在直线l上，，其中，则有：． 阅读下面的解答过程并将①，②处补充完整． 理由：因为 所以， 所以（①______） 又因为 所以（②______） （2）在中，．点D是直线上一动点，分别过点A，B作直线的垂线，垂足分别为点E，F． ①如图2，点D在线段上，试说明：； ②如图3，点D在线段延长线上，若，则______； ③连接，若，的面积为4，直接写出的面积． 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形与全等三角形 高频考点概览 考点01等腰三角形的定义与三角形的三边关系 考点02两个三角形全等的判定 考点03全等三角形的判定与性质综合 考点04尺规作图与全等三角形的辅助线问题 考点01 等腰三角形的定义与三角形的三边关系 1．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（   ） A．1，2，4 B．3，5，8 C．4，4，9 D．4，6，9 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边的性质是解题的关键． 根据两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可求解． 【详解】解：A：，不能组成三角形，故此选项不符合题意； B：，不能组成三角形，故此选项不符合题意； C：，不能组成三角形，故此选项不符合题意； D：，能组成三角形，故此选项符合题意． 故选：D ． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（   ） A．2，2，3 B．2，3，3 C．2，2，4 D．2，3，4 【答案】C 【分析】此题主要考查三角形三边关系，根据三角形三边关系，较短的两边之和必须大于最长的第三边，若两边之和等于或小于第三边，则无法组成三角形． 【详解】A 、2，2，3，较短两边为2和2，和为4，大于第三边3，能组成三角形； B 、2，3，3，较短两边为2和3，和为5，大于第三边3，能组成三角形； C 、2，2，4，较短两边为2和2，和为4，等于第三边4，无法组成三角形； D 、2，3，4，较短两边为2和3，和为5，大于第三边4，能组成三角形． 故选：C． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）下列长度的三条线段首尾顺次连接能组成三角形的是（   ） A．2，2，3 B．2，3，5 C．3，4，7 D．4，5，11 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，是解题的关键． 根据三角形三边关系定理，若两较小边之和大于较长边即能组成三角形，逐项验证即可． 【详解】解：A、，∴2，2，3能组成三角形．故此选项符合题意； B、，∴2，3，5不能组成三角形．故此选项不符合题意； C、，∴3，4，7不能组成三角形．故此选项不符合题意； D、，∴4，5，11不能组成三角形．故此选项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）若等腰三角形的一边长为，另一边长为，则第三边长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系， 根据等腰三角形的定义及三角形三边关系分情况进行判断． 【详解】分两种情况讨论： 当腰长为时，底边为． ∵，符合条件，可构成三角形． ∴第三边长为； 当腰长为时，底边为 ∵，无法构成三角形． 综上，第三边只能为． 故选：C． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）已知等腰三角形的周长为18，且一边长为4，则腰长为（    ） A．4 B．7 C．10 D．4或7 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，分两种情况：边长为4的边是腰，边长为4的边是底，求出各边长度后利用三角形三边关系判断即可． 【详解】解：分两种情况： 边长为4的边是腰时，底长为：， 三条边长分别为4，4，10， ， 不符合三角形三边关系，这种情况不存在； 边长为4的边是底时，腰长为：， 三条边长分别为4，7，7，符合三角形三边关系； 综上可知，腰长为7． 故选B． 6．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）用一条长的细绳围成一个等腰三角形，其中一边长为，另两条边长是（   ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的定义以及构成三角形的条件分类讨论，分析即可求解． 【详解】解：依题意，若长的边为腰，则三角形的底边长为，三边分别为，，，而，不能构成三角形； 若长的边为底，则三角形的腰长为，三边分别为，，，而，能构成三角形； ∴三角形的另两条边长是，． 故选：B． 7．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（　　） A．16 B．18 C．20 D．16或20 【答案】C 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，三角形的三边关系等知识点，结合等腰三角形的特点进行分类讨论，利用三边关系进行验证是解题关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再结合等腰三角形的性质和三角形三边关系确定周长． 【详解】解：由题意，， 因平方和绝对值均非负，故，解得，， 等腰的两边为4和8，需分情况讨论： 1. 若腰为4，则三边为4、4、8。此时，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），无法构成三角形， 2. 若腰为8，则三边为8、8、4，此时，，满足三边关系，周长为． 综上，的周长为20， 故选：C． 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）等腰三角形的底边是，腰长是，那么这个等腰三角形的周长为 ____． 【答案】18 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形定义是关键．根据等腰三角形定义计算求出周长即可． 【详解】解：∵等腰三角形的底边是，腰长是， ∴这个等腰三角形的周长为． 故答案为：18． 9．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）已知等腰三角形的周长为，若其中一边长为，则腰长为___________． 【答案】３ 【分析】根据等腰三角形的定义，三角形存在性解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形存在问题，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的一边长为，周长为， ∴等腰三角形的三边长为2，2，４或2，３，３， 当三边为2，2，４时，，三角形不存在， 当三边为2，３，３时，，三角形存在， 故腰长为：； 故答案为：３． 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）已知等腰三角形的周长为8，且一边长为3，则腰长为__ 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系，解本题的关键在分类讨论．分两种情况：当腰为时和当底为时，根据三角形的周长公式，结合三角形的三边关系，即可得出答案． 【详解】解：当腰为时， ∵等腰三角形的周长为8， ∴底为， ∵， ∴能构成三角形； 当底为时， ∵等腰三角形的周长为8， ∴腰为， ∵， ∴可以构成三角形， 综上可得：等腰三角形的底边为或． 故答案为：或． 11．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）若三角形两边a、b的长分别为3和4，则第三边c的取值范围是_______． 【答案】 【分析】此题考查的是根据三角形的两边长，求第三边的取值范围，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键．根据三角形的三边关系即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 ∴ 故答案为：． 12．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）已知三角形两边的长分别为，第三边的长为整数，则第三边的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边取值范围，结合第三边长为整数解题． 【详解】解：三角形两边的长分别为，令第三边长为， ， ， 第三边的长为整数， ， 即第三边长为． 考点02 两个三角形全等的判定 1．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的判定，根据根据三角形全等的判定方法可对选项进行判断；根据三角形的三边的关系可对选项进行判断，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、，，，根据两边及一边对角不能判定两三角形全等，即作出的三角形不唯一，故此选项不符合题意； 、，，，根据三角相等不能判定两三角形全等，即作出的三角形不唯一，故此选项不符合题意； 、，，，符合“”，所以根据条件能画出唯一，故此选项符合题意； 、，，，∵，∴不满足三角形三边的关系，即三边不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E在线段上，点F在线段上，．则的理论依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 由于，加上为公共角，所以根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：C． 3．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．解题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的判定定理：、、、、．本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，，要使，添加下列条件正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：． 由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、，不能判定； B、，不能判定； C、，故C符合题意； D、，不能判定． 故选：C． 5．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，点在同一条直线上，，，若要证明，则可添加的条件是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， 、当添加时，只有两个条件对应相等，不能证明，该选项不合题意； 、当添加时，对应条件为，不能证明，该选项不合题意； 、当添加时，得到，符合判定方法，能证明，该选项符合题意； 、当添加时，得到，只有两个条件对应相等，不能证明，该选项不合题意； 故选：． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，，下列不能成为判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定， 根据“边角边”，“角角边”“角边角”分别判断即可． 【详解】∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 所以A，B，C能判定，D不能判定． 故选：D． 7．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，点、、、四点共线，，，添加一个条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．求出，根据推出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：， ， 即， A．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．， ， ，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意． 故选：D． 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，是高，添加下列条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理(，， ，)，逐项判断即可． 【详解】解：在中，是高， ， 在和中，，， 添加后，根据可判定，故A选项不合题意； 添加后，根据可判定，故B选项不合题意； 添加后，根据可判定，故C选项不合题意； 添加后，不能判定，故D选项符合题意； 故选D． 9．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，，若要使，则添加的一个条件不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，添加时，不能判定，故选项A符合题意； B、，添加时，根据“”判定，故选项B不符合题意； C、如图， ∵， ∴， 添加时，根据“”判定，得出， 则，即， 再根据“”判定判定，故选项C不符合题意； D、，添加时，根据“”判定，故选项D不符合题意； 故选：A． 10．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在和中，添加一个条件，能判定的是_______（只需填写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．根据三角形全等的判定定理即可解答． 【详解】解：添加， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 11．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是_________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握“”是解答本题的关键． 根据“”所需的条件分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定的条件是． 故答案为：． 考点03 全等三角形的判定与性质综合 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质推出，，阴影的面积的面积．由全等三角形的性质推出，，得到，求出的面积，得到阴影的面积的面积 【详解】解：， ，， 的面积， 的面积的面积， 阴影的面积的面积 故选：A． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，分别是边上的点，相交于点，若，，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 利用线段的和差可判断A，证明，可判断B，证明，可判断D，选项C无法判断． 【详解】解：A、由，得，即，故本选项不符合题意； B、由，得，可得，故本选项不符合题意； C、根据题中条件，无法推出，故本选项符合题意； D、由可得，又， 可得，所以，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，的角平分线交于点，于点，若与的周长分别为15和3，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，推出，推出的周长的周长，由此即可解决问题． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长的周长， ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．已知妈妈与爸爸到的水平距离，分别为1.3和1.8，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A．1 B．1.3 C．1.5 D．1.8 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，由可判定，由全等三角形的性质得，，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ，，， ， ，， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ； 故选：C． 5．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，的面积为平分于P，连接，则的面积为（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质及全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键．延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 故选：A． 6．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，是的中点，分别过点作的垂线，垂足为．若，，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意得先证明，进而可得，，，根据即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵． ∴． 又∵． ∴． ∴，，， 又∵ ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质．根据平行线的性质、等角的补角相等求出，，利用证明，再根据“全等三角形的对应边相等”即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴． 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点．求证：． 【答案】见详解 【分析】此题考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由，得，而，，即可证明 ，则． 【详解】证明：点是的中点， ， 交的延长线于点， ， 在和中， ， ， ． 9．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，熟练相关的判定公理是解题的关键．由可推得，根据平行线的性质推出，运用判定两三角形全等，进而根据全等性质得到对应边相等． 【详解】证明：∵， ∴，即：， ∵，， ∴， 在和中 ∵ ∴， ∴ 10．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，点在同一直线上，点在同侧，，，．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】先利用平行线性质得到角相等，结合已知线段相等推出另一组线段相等，再通过全等三角形判定证明两个三角形全等，最后依据全等三角形性质及平行线判定确定与的位置关系．本题主要考查了平行线的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定条件（如 ）以及平行线的判定方法（同位角相等，两直线平行等 ）是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ∵，，， ∴（SAS）． ∴． ∴． 11．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点，在上，，，，，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据（1）中求出的长度，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）证明∶∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又， ∴． 12．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，，，E，F是上两点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，再根据证明即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理得出即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图．在和中，点，，，在同一条直线上．已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)17 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，根据性质解答即可． （1）根据平行线的性质得到，再根据全等三角形的判定定理即可证明． （2）根据全等三角形的性质得到，再由，，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·辽宁营口·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)试猜想线段与，之间存在怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）确定，可得，根据即可得证； （2）由（1）结论可得，，，继而得到，证明，可得，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）线段与，的数量关系：． 证明：∵， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，垂直的定义等知识点．证明和是解题的关键． 15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)填空： ①若，则 ； ②若，则 ； (3)两块全等的特制直角三角板如图2所示放置，当A，O，D在同一直线上时，连接AC，BD．若，，求的面积； (4)两个等腰直角三角形和如图3所示放置，若，，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】(1) (2)①11②2 (3)30 (4) 【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的判定和性质，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式的变形式进行求解即可； （3）先证明 三点共线， 可得 结合已知条件可得 再利用 ，求解，从而可得答案． （4）证明，则四边形面积的最大时，的面积最大，当时，取得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴； 故答案为：11； ②，， ∴ 即， ∴； 故答案为：2； （3）解：三点共线，且 三点共线， ，， ， ； （4）解：如图所示，延长至，使得，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，， 即， ∴， ∴； ∴四边形的面积等于， 当面积最大时，四边形面积最大， ∵是定值，是定值， ∴当时，的面积取得最大值， ∵，， ∴四边形的面积的最大值为 ． 故答案为：． 考点04 尺规作图与全等三角形的辅助线问题 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接和，根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：连接和， 由作图过程可知， ，，， 在和中， ， 所以， 所以． 故选：D． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，以点B为圆心，以为半径作弧交于点D，再分别以C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，连接，则的度数为________． 【答案】 【分析】由作图过程可知，，射线为的平分线，可得，进而可证明，则．由等腰三角形的性质可得，进而得到，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，，射线为的平分线， ． ， ， ． ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ___． 【答案】4.1 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算即可，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ∵， ， ∵， ， ，， ， 故答案为：4.1． 4．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）用直尺和圆规做一个三角形，使它和已知三角形全等（要求用两种方法做图，保留作图痕迹，不必写做法）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—作三角形，全等三角形的判定，先作射线，再以D为圆心，的长为半径画弧交射线于F，以D为圆心，的长为半径画弧，以F为圆心，的长为半径画弧，二者交于E，连接，则即为所求；先作射线，再以D为圆心，的长为半径画弧交射线于F，作，以D为圆心，的长为半径画弧交于E，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 如图所示，即为所求． 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）已知：如图，． 求作：，使（要求：用两种不同的方法在答题卡指定区域尺规作图．不写作法，保留作图痕迹，并根据作图过程写出的依据）． 方法一： 作图区域： 结论： 作图依据： 方法二： 作图区域： 结论： 作图依据： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，作全等三角形，根据题意方法一利用作一条线段等于已知线段，根据边边边可得出全等三角形；方法二，根据作一条线段等于已知线段及作一个角等于已知角，作图即可，利用边角边可得出全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和基本的作图方法是解题关键． 【详解】 方法一 方法二 作图区域： 作图区域： 结论：如图，为所求 结论：如图，为所求 作图依据：边边边或． 作图依据：边角边或． 6．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）校园一隅的轮廓如图所示，其中，表示围墙．学校园丁希望在图示的区域内挑选一点P来种植树木，要求点P到三个墙角A，B，C的距离相等． (1)请在图中确定满足条件的点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接BP，若，试说明平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识点，掌握垂直平分线的性质成为解题的关键． （1）作线段的垂直平分线的交点即为所求； （2）由（1）可知，再结合、可证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：如图：点P即为所求． （2）解：如图：， 由（1）可知， ∵、， ∴， ∴，即平分． 7．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：___________； (2)如图2，．点D为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形的内角和定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解即可； （2）如图：延长至G，使，连接，先证明，得到、，再证明，即可得到即可证明结论． 【详解】（1）解：如图：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得． 故答案为：； （2）证明：如图：延长至G，使，连接，则， ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）（1）如图1，和都是直角三角形，直角顶点都在直线l上，，其中，则有：． 阅读下面的解答过程并将①，②处补充完整． 理由：因为 所以， 所以（①______） 又因为 所以（②______） （2）在中，．点D是直线上一动点，分别过点A，B作直线的垂线，垂足分别为点E，F． ①如图2，点D在线段上，试说明：； ②如图3，点D在线段延长线上，若，则______； ③连接，若，的面积为4，直接写出的面积． 【答案】（1）同角的余角相等；；（2）①见解析；②8；③8或16 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，分类讨论和设参数求解是解答的关键． （1）根据等角的余角性质和“”求解即可； （2）①先根据余角性质证明，进而利用“”证明结论即可； ②证明得到，，进而求解即可； ③分当点D在线段上时，当点D在线段的延长线上时，当点D中线段的延长线上时，三种情况，分别利用全等三角形的性质和等高的三角形面积之间的关系求解即可． 【详解】解：（1）因为 所以， 所以（同角的余角相等） 又因为 所以； （2）①∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴； ②∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴，， ∴； ③当点D在线段上时，如图2，连接， ∵，的面积为4， ∴， 设，， ∵， ∴，，， ∴，则， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如图3， ∵， ∴不满足，故不符合题意，舍去； 当点D中线段的延长线上时，如图4，连接， 同理可证， ∴， 设，， ∵， ∴，，， ∴，则， ∴， 综上，的面积为8或16． 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，需熟练掌握角角边的证明方法，由角角边的证明方法证明三角形全等是解决本题的关键． （1）①根据角角边的证明方法即可证明≌； ②根据角角边的证明方法证明与全等，由此得到，即可得证； （2）根据角角边的证明方法证明与全等，由此可得，再由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，即可求解三角形的面积． 【详解】（1）①解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴在与中，， ∴≌； 故答案为：； ②解：，理由如下： 直线l，直线， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （2）解：分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为A、， 直线l，直线， ， ，， 在和中， 由， ， ， 直线， ，即， ， ，即， ， ，， 在和中， 由， ， ， ， ． 即的面积是4． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $