2026年中考数学模拟猜题卷（辽宁卷）

**基本信息** 2026年中考数学模拟猜题卷以C919客机、梅林水库压强等真实情境为载体，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配二轮专题复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图形性质、三视图、概率计算|结合倾斜水杯截面图考查几何直观| |填空题|5/15|函数取值、圆的切线、反比例函数|档案盒厚度计算体现空间观念| |解答题|13/75|二次函数、几何变换、统计分析|电力设备抛物线模型发展模型意识，正方形旋转探究提升推理能力|

2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（）． A． B． C． D． 4．如图，随机闭合开关、、中的两个，能让两盏灯泡、同时发光的概率为（    ） A． B． C． D． 5．某校连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩整理，绘制成如下所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列结论中不正确的是（   ） A．共有500名学生参加模拟测试 B．第2个月增长的“优秀”人数最多 C．从第1个月到第4个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D．第4个月测试成绩“优秀”的学生人数达到65人 6．如图是一个盛有水的倾斜水杯的截面图（矩形），杯中水面与桌面平行．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．图1是我市梅林水库最深处的某一截面图，水库水面及水面下任意一点的压强（单位：）与其离水面的深度（单位：）的函数解析式为，为常数且，其图象如图2所示．根据图中信息分析数据，下列选项错误的是（    ） A．水库水面大气压强为 B．与的函数解析式为 C．水库水深处的压强为 D．函数中自变量的取值范围是 8．是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．小南课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着一些档案盒，如图所示，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒的边与竖直放置的档案盒的边夹角为，，档案盒长．小南用学过的数学知识计算出了每个档案盒的厚度，它是（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 10．如图1，已知等边，点P从点A出发沿折线以的速度匀速移动，到达点C时停止，而点Q在边上随点P移动，且始终保持．设运动的时间为t，，y关于t的大致函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（     ） A．的边长为4 B．当时， C．若，则 D．当时，y随t的增大而减小 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．在函数中，自变量的取值范围是______． 12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为___________． 13．如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数等于_________． 14．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，点在反比例函数图象上，将绕点顺时针旋转至，点也在反比例函数图象上，且点、、刚好在一条直线上，若的面积为，则的值为______． 15．矩形中，E是对角线上一点，且，F是上一点，若，连接，过点E作交的延长线于G，则________． 三、解答题（本大题共13小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题8分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 17．（本题8分）为了共建安全有序的城市交通环境，深圳市全面推行骑行电动车佩戴安全头盔的管理规定．某商店准备购进甲、乙两种型号的头盔，已知一个甲种头盔进价比一个乙种头盔贵15元，用180元购进甲种头盔的数量与用120元购进乙种头盔的数量相同． (1)求甲、乙两种型号头盔的进货单价； (2)调查发现：某商家甲种头盔售价为60元/个．设甲种头盔降价t元，销售量为个，甲种头盔总利润为y元． ①则y与t的函数关系式为__________； ②当降价多少元时，甲种头盔总利润最大？最大利润是多少？ 18．（本题8分）跳绳可以提高新陈代谢，是非常好的有氧运动，而一分钟跳绳更是近年来中考体育考试的重要项目之一．某校为了解九年级学生一分钟跳绳情况，现从九年级男女生中各随机抽取了20名学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的跳绳个数记为，对数据进行整理，将所得的数据分为5组（组：：组：；组：；组：；组：）．学校对数据进行分析后，得到如下部分信息： I．被抽取的男生跳绳个数在组的数据是：181  187  187  187  187  185 II．被抽取的女生跳绳个数在组的数据是：183  185  185  188  188  188  188  188 III．被抽取的男、女生跳绳个数的平均数、中位数、众数如下表： 男生 女生 平均数 186 186 中位数 188 众数 179 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______；______；______； (2)根据以上数据分析，你认为该校九年级的男生跳绳成绩更优异，还是女生跳绳成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校九年级学生共1200名，估计九年级学生跳绳个数达到了满分标准的人数（一分钟跳绳达185个及以上即满分）． 19．（本题8分）某地举行春晚分会场彩排，电视台用无人机进行全程拍摄．如图，此时无人机镜头处的高度为200米，在无人机的镜头下，观测主舞台处（主舞台高度忽略不计）的俯角为，当无人机先上升30米，再后退40米到达处时，观测到主舞台处的俯角为，如果点、、、在同一平面内，则主舞台、两点间的距离为多少米？（结果精确到1米，参考数据：，，，，，） 20．（本题9分）如图，已知是的直径，C是上一点，，垂足为D，连接，过点A作的切线与的延长线相交于点E． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求的长． 21．（本题10分）如图①，是某地电力运输设备，由输电铁塔、电缆及绝缘支架组成．如图②，是电力运输设备某两段的截面示意图，高压电缆，及其正下方低压电缆均呈抛物线型，输电铁塔，塔间距，，，三点共线，，，及绝缘支架，均垂直于水平线，点，在上，点，在上，为，交点，，关于所在直线对称，，均在上，，分别为与，的交点，，，最低点与水平线距离均为．以为原点，，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，点，关于轴对称，且点到轴的距离小于的长，求点，之间的距离． 22．（本题12分）（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长． 23．（本题13分）我们将任意二次函数的图象关于直线作轴对称翻折，翻折前后的函数图象整体称为“翻折函数”，直线以上部分称为“上翻折函数”，直线以下部分称为“下翻折函数”（“上翻折函数”， “下翻折函数”均包括与直线的交点）．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在x轴负半轴，B在x轴正半轴），与y轴交于C点，且． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2，当时，取其“下翻折函数”， ①求出“下翻折函数”的表达式； ②若点P，Q在“下翻折函数”上，，点Q的横坐标为，且，求的最大值； (3)在图2的基础上，当时，已知，直线与“上翻折函数”有2个不同交点时，请直接写出k的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A． 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B． 该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C． 该图形是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选C． 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由几何体的三视图看，上方是一个圆锥，下方是一个圆柱，且圆柱和圆锥的底面相同， 只有选项D符合题意． 3．下列计算正确的是（）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别运用幂的乘方、同底数幂乘法、平方差公式、完全平方公式计算各选项，即可判断出正确结果． 【详解】对于选项A：，故A错误． 对于选项B：，故B错误． 对于选项C：根据平方差公式，令，， ，故C正确． 对于选项D：，故D错误． 4．如图，随机闭合开关、、中的两个，能让两盏灯泡、同时发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法进行求解即可. 【详解】解：由题意，随机闭合2个开关共有三种等可能的结果，其中，能让两盏灯泡、同时发光的结果只有一种情况， 故. 5．某校连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩整理，绘制成如下所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列结论中不正确的是（   ） A．共有500名学生参加模拟测试 B．第2个月增长的“优秀”人数最多 C．从第1个月到第4个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D．第4个月测试成绩“优秀”的学生人数达到65人 【答案】D 【详解】解：名， ∴共有名学生参加模拟测试，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴第个月增长的“优秀”人数最多，故B结论正确，不符合题意； 由折线统计图可知从第个月到第个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，故C结论正确，不符合题意； 第个月测试成绩“优秀”的学生人数达到人，故D结论错误，符合题意. 6．如图是一个盛有水的倾斜水杯的截面图（矩形），杯中水面与桌面平行．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得到，结合和即可求得． 【详解】解：如图所示， 水杯的截面图为矩形， ，， ， ， ， ，， ． 故选：B． 7．图1是我市梅林水库最深处的某一截面图，水库水面及水面下任意一点的压强（单位：）与其离水面的深度（单位：）的函数解析式为，为常数且，其图象如图2所示．根据图中信息分析数据，下列选项错误的是（    ） A．水库水面大气压强为 B．与的函数解析式为 C．水库水深处的压强为 D．函数中自变量的取值范围是 【答案】B 【分析】将代入求出，即可判断A；利用待定系数法求出即可判断B；将代入求出，即可判断C；根据水库最深处即可判断D． 【详解】解：A．∵ ∴当时， ∴水库水面大气压强为，故A正确； B．将点代入得， 解得 与的函数解析式为，故B错误； C．当时，， ∴水库水深处的压强为，故C正确； D．∵水库最深处， ∴函数中自变量的取值范围是，故D正确． 8．是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列分式方程．根据题干可得，等量关系式为：普通客机所用的时间-所用时间，据此列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 9．小南课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着一些档案盒，如图所示，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒的边与竖直放置的档案盒的边夹角为，，档案盒长．小南用学过的数学知识计算出了每个档案盒的厚度，它是（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是解直角三角形的实际应用问题，解题核心是通过构造直角三角形，利用锐角三角函数求出竖直放置档案盒的总宽度，再结合档案盒数量计算单个厚度． 【详解】解：设一个档案盒厚，， 在中，， 即，解得． 10．如图1，已知等边，点P从点A出发沿折线以的速度匀速移动，到达点C时停止，而点Q在边上随点P移动，且始终保持．设运动的时间为t，，y关于t的大致函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（     ） A．的边长为4 B．当时， C．若，则 D．当时，y随t的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查从函数图象上获取信息，等边三角形的性质与判定，平行线的性质与判定；当点在上运动时，为等边三角形，据此可判断A、C；当时，点为中点，据此可判断B；当时，点不断靠近点，y随t的增大而减小；当时，点与点重合，此时y减小为；当时，即点过了点后，y会从开始增大，据此可判断D． 【详解】解：当点在上运动时，如图所示： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴ ∴，即， ∴当时，即为的边长， ∵从图象上可知：当时，， ∴的边长为4，故A正确； ∵当时，点运动了 ∴ 又∵的边长为4， ∴ ∴此时点为中点，如图所示： 又∵是等边三角形， ∴，故B正确； ∵点P从点A出发沿折线以的速度匀速移动， ∴当时，点P都在边上， ∴， ∴，故C正确； ∵当时，点不断靠近点，y随t的增大而减小； 当时，点与点重合，此时y减小为； 当时，即点过了点后，y会从开始增大， ∴D错误． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件，即可求解自变量的取值范围． 【详解】解：由题意得，该函数分母含有二次根式，因此分式的分母不能为，且二次根式的被开方数为非负数，可得， 解得， ∴在函数中，自变量的取值范围是． 12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为___________． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 根据根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．即可列不等式，计算即可得答案， 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 且， 故答案为：且． 13．如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数等于_________． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质是解决问题的关键．连接，由切线的性质得出，结合，得出，由圆周角的性质得出，再由平行线的性质得出． 【详解】解：连接，如图， 切于点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，点在反比例函数图象上，将绕点顺时针旋转至，点也在反比例函数图象上，且点、、刚好在一条直线上，若的面积为，则的值为______． 【答案】 【分析】由旋转的性质可知是等边三角形，，又由证得，求得的值，注意反比例函数图象在第二象限，． 【详解】解：如图，过点作与点， 由旋转的性质可知，，，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵点、、刚好在一条直线上， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 15．矩形中，E是对角线上一点，且，F是上一点，若，连接，过点E作交的延长线于G，则________． 【答案】 【分析】先利用方程思想将设出来，利用勾股定理和平行线分线段成比例将线段用代数式表示出来，最后过点分别作线段的垂线，利用两角相等证和相似，用相似比和等量代换求出答案． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ， 即， ∵四边形是矩形， ∴，四边形为矩形， 则， ∵， ∴， ∴； ∵, ∴设，则在中，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， 则， 在和中, , ∴， ∴， ∴， 则， ∴． 三、解答题（本大题共13小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题8分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的化简求值． （1）利用二次根式的性质、特殊角三角函数、绝对值、零指数幂进行计算即可； （2）先计算括号内的减法，再计算除法即可． 【详解】（1）解： ． （2） 当时， 原式 ． 17．（本题8分）为了共建安全有序的城市交通环境，深圳市全面推行骑行电动车佩戴安全头盔的管理规定．某商店准备购进甲、乙两种型号的头盔，已知一个甲种头盔进价比一个乙种头盔贵15元，用180元购进甲种头盔的数量与用120元购进乙种头盔的数量相同． (1)求甲、乙两种型号头盔的进货单价； (2)调查发现：某商家甲种头盔售价为60元/个．设甲种头盔降价t元，销售量为个，甲种头盔总利润为y元． ①则y与t的函数关系式为__________； ②当降价多少元时，甲种头盔总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种头盔进货单价为元/个，乙种头盔进货单价为30元/个 (2)① ②当降价2.5元时，甲种头盔总利润最大是1562.5元 【分析】（1）利用等量关系式“”进行求解； （2）利用等量关系式“总利润（售价进价）数量”以及二次函数求最值解出答案． 【详解】（1）解：设乙种头盔进货单价为x元/个，甲种头盔的进货单价是元/个 则， 解得，经检验是原方程的解， ∴甲种头盔进货单价为元/个，乙种头盔进货单价为30元/个． 答：甲种头盔进货单价为元/个，乙种头盔进货单价为30元/个． （2）①解：总利润（售价进价）数量 ∴， 即或． ②方法1：令 则，， （）， ∵开口向下，∴当时，元 答：当降价2.5元时，甲种头盔总利润最大是1562.5元． 方法2： ， ∵，开口向下， ∴在顶点处取得最大值， ∴当时，.元 答：当降价2.5元时，甲种头盔总利润最大是1562.5元． 18．（本题8分）跳绳可以提高新陈代谢，是非常好的有氧运动，而一分钟跳绳更是近年来中考体育考试的重要项目之一．某校为了解九年级学生一分钟跳绳情况，现从九年级男女生中各随机抽取了20名学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的跳绳个数记为，对数据进行整理，将所得的数据分为5组（组：：组：；组：；组：；组：）．学校对数据进行分析后，得到如下部分信息： I．被抽取的男生跳绳个数在组的数据是：181  187  187  187  187  185 II．被抽取的女生跳绳个数在组的数据是：183  185  185  188  188  188  188  188 III．被抽取的男、女生跳绳个数的平均数、中位数、众数如下表： 男生 女生 平均数 186 186 中位数 188 众数 179 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______；______；______； (2)根据以上数据分析，你认为该校九年级的男生跳绳成绩更优异，还是女生跳绳成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校九年级学生共1200名，估计九年级学生跳绳个数达到了满分标准的人数（一分钟跳绳达185个及以上即满分）． 【答案】(1)，， (2)女生成绩更优异 (3)人 【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可计算、，先求出女生组所占百分比，即可求出． （2）根据平均数、中位数、众数判断即可． （3）用1200乘以九年级学生跳绳个数达到了满分标准的人数所占百分比可得． 【详解】（1）解：男生20名学生跳绳个数从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为 （个）， 因此中位数是，即， 女生20名学生跳绳个数188共出现5次占总数的，比其他组人数都多，因此女生跳绳个数出现次数最多的是188，中位数是188，即， 女生组所占百分比为，则组所占百分比为， ∴ 故答案为：，，； （2）解：平均数男女生都一样，但是中位数和众数都是女生更高，故女生成绩更优异； （3）解：女生满分人数为， 男生满分人数为， ∴该校九年级学生共1200名，估计九年级学生跳绳个数达到了满分标准的人数估计为（人）． 【点睛】本题考查的是频数（率分布直方图和扇形统计图的综合运用，中位数、众数，理解中位数、众数的意义，样本估计总体的思想． 19．（本题8分）某地举行春晚分会场彩排，电视台用无人机进行全程拍摄．如图，此时无人机镜头处的高度为200米，在无人机的镜头下，观测主舞台处（主舞台高度忽略不计）的俯角为，当无人机先上升30米，再后退40米到达处时，观测到主舞台处的俯角为，如果点、、、在同一平面内，则主舞台、两点间的距离为多少米？（结果精确到1米，参考数据：，，，，，） 【答案】主舞台、两点间的距离约为175米． 【分析】分别过点、作，，垂足为、，求出，，，根据进行解答即可． 【详解】解：分别过点、作，，垂足为、， 由题意得： 米，米，米，，． 在Rt中，， ， 米． 在Rt中，， ， 米． 又四边形为矩形， 米， （米）． 答：主舞台、两点间的距离约为175米． 20．（本题9分）如图，已知是的直径，C是上一点，，垂足为D，连接，过点A作的切线与的延长线相交于点E． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的内角和，垂径定理等相关的知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和即可得到； （2）利用相似三角形的判定与性质得到的长，再利用勾股定理即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，如图， 在中，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴， 在中， ． 21．（本题10分）如图①，是某地电力运输设备，由输电铁塔、电缆及绝缘支架组成．如图②，是电力运输设备某两段的截面示意图，高压电缆，及其正下方低压电缆均呈抛物线型，输电铁塔，塔间距，，，三点共线，，，及绝缘支架，均垂直于水平线，点，在上，点，在上，为，交点，，关于所在直线对称，，均在上，，分别为与，的交点，，，最低点与水平线距离均为．以为原点，，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，点，关于轴对称，且点到轴的距离小于的长，求点，之间的距离． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）根据列出方程，解方程并根据点，关于轴对称即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入得， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：， ， 解得，（舍去）， 点与轴的距离为， 点，关于轴对称， 点，之间的距离为． 22．（本题12分）（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3） 【分析】（1）根据正方形和正方形，得到继而得到；设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据题意，得；结合H是中点，得到，继而得到 ． （2）结论仍然成立．理由如下，延长到点P，使得，连接，根据正方形的性质，证明，延长二线交于点Q，根据三角形中位线定理，得到，得到，结合，证明即可． （3）延长到点Q，使得，连接，根据三角形中位线定理，得到，根据矩形的性质，证明，得，结合，得到，取的中点O，连接，结合是中点，得到，根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以为半径的圆上，其周长为． 【详解】（1），且．理由如下： ∵正方形和正方形， ∴ ∴； 设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 根据题意，得； ∵H是中点， ∴， ∴． 故答案为：． （2）结论仍然成立．理由如下， 延长到点P，使得，连接，延长二线交于点Q， ∵H是中点， ∴，， ∴， ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴，， 故． （3）如图，延长到点Q，使得，连接， 根据三角形中位线定理，得到， ∵矩形和矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 取的中点O， 连接， ∵是中点， ∴， 根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以为半径的圆上， ∴其周长为． 23．（本题13分）我们将任意二次函数的图象关于直线作轴对称翻折，翻折前后的函数图象整体称为“翻折函数”，直线以上部分称为“上翻折函数”，直线以下部分称为“下翻折函数”（“上翻折函数”， “下翻折函数”均包括与直线的交点）．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在x轴负半轴，B在x轴正半轴），与y轴交于C点，且． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2，当时，取其“下翻折函数”， ①求出“下翻折函数”的表达式； ②若点P，Q在“下翻折函数”上，，点Q的横坐标为，且，求的最大值； (3)在图2的基础上，当时，已知，直线与“上翻折函数”有2个不同交点时，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）先求得A、B、C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①根据题意和翻折性质求解即可； ②先求得，再求得直线的表达式，过点P作x轴的平行线，交于点N，设点P为，，则，可得，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得“上翻折函数”的表达式为，可画出草图，分别求得临界点时的 k值，根据图形可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴点，点，， 将点A、B、C坐标代入中， 得，解得， ∴二次函数表达式为； （2）解：①当，“下翻折函数”分为3段， 第1段，即，二次函数表达式为； 第2段，即，二次函数的表达式为； 第3段，即，二次函数的表达式为． 根据x的取值，得到不同范围下，“下翻折函数”的表达式 综上所述，“下翻折函数”的表达式为； ②∵，且即， ∴将代入中，得， ∴， 设直线的表达式，则，解得， ∴直线的表达式， 如图2，过点P作x轴的平行线，交于点N，设点P为，， 则， 又∵点N在直线上， ∴将代入， 可得， ∵，， ∴， ∵， ∴当时，； （3）解：或． 如图2，画出草图，当时，“上翻折函数”分为3段， 第1段，即，二次函数表达式为； 第2段，即，点，点， 设二次函数的表达式为，得，解得， ∴二次函数的表达式为； 第3段，即，二次函数的表达式为； ∴“上翻折函数”的表达式为， ①当与“第2段”相切时有两个交点，联立， 整理，得， 则，解得，此时直线与段也有一个交点； ②当与点C重合时，仅有一个交点，将点代入中，解得； ③当经过点时，解得，此时恰好也过点，与图象有三个交点． 综上所述，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $