专题06 几何与二次函数压轴题（辽宁专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题06 几何与二次函数压轴题 考点01 三角形与四边形压轴题 1．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积． 2．（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．    图1                图2                   图3 (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 3．（2023·辽宁丹东·中考真题）在中，，，，点D是的中点．四边形是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），，且，菱形可以绕点D旋转，连接和，设直线和直线所夹的锐角为．    (1)在菱形绕点D旋转的过程中，当点在线段上时，如图①，请直接写出与的数量关系及的值； (2)当菱形绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)设直线与直线的交点为P，在菱形绕点D旋转一周的过程中，当所在的直线经过点时，请直接写出的面积． 4．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是正方形，点M在上，点N在的延长线上，，连接，，点H在的延长线上，，点E在线段上，且，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，使得，交于点F．    (1)线段与线段的关系是______． (2)若，，求的长． (3)求证：． 5．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是，的中点，连接，，．    (1)如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当，时，与的位置关系是________，________． (2)如图2，点D在线段上，当，时，求证：． (3)当，时，直线与直线交于点N．若，，请直接写出线段的长． 6．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，在正方形中，线段绕点C逆时针旋转到处，旋转角为，点F在直线上，且，连接．    (1)如图1，当时， ①求的大小（用含的式子表示）． ②求证：． (2)如图2，取线段的中点G，连接，已知，请直接写出在线段旋转过程中（）面积的最大值． 7．（2023·辽宁·中考真题）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段,连接．交于点．        (1)如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)当，时，请直接写出的长． 8．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在纸片中，，，，点为边上的一点（点不与点重合），连接，将纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为、，射线与射线交于点．    (1)求证：； (2)如图，当时，的长为______ ； (3)如图，当时，过点作，垂足为点，延长交于点，连接、，求的面积． 9．（2023·辽宁·中考真题）在中，，，点为的中点，点在直线上（不与点重合），连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点． (1)如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系； (2)如图，当点在线段上时，求证：； (3)连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值． 10．（2023·辽宁营口·中考真题）在中，，点E在上，点G在上，点F在的延长线上，连接．，．        (1)如图1，当时，请用等式表示线段与线段的数量关系______； (2)如图2，当时，写出线段和之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，当点G是的中点时，连接，求的值． 11．（2023·辽宁锦州·中考真题）【问题情境】如图，在中，，．点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】 （1）如图1，当时，易知；    如图2，当时，则与的数量关系为 ；    （2）如图3，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；    【拓展应用】 （3）如图4，当，且点B，E，F三点共线时．若，，请直接写出的长．    考点02 二次函数压轴题 12．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 13．（2024·辽宁·中考真题）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． (1)求函数的“升幂函数”的函数表达式； (2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 14．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； (3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标． 15．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是轴上方抛物线上一点，射线轴于点，若，且，请直接写出点的坐标． (3)如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延长线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积． 16．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第一象限内抛物线上一动点．   　　   (1)求抛物线的解析式． (2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接．当时，求点E的横坐标． (3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，与交于点M．若，，求点E的坐标． 17．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 19．（2023·辽宁·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．    (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长是线段长度的2倍时，求点P的坐标； (3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点Q的坐标． 20．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与轴的交点为点和点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)点，在轴正半轴上，，点在线段上，以线段，为邻边作矩形，连接，设． 连接，当与相似时，求的值； 当点与点重合时，将线段绕点按逆时针方向旋转后得到线段，连接，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点，的对应点分别为、，连接当的边与线段垂直时，请直接写出点的横坐标． 21．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标； (3)在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2023·辽宁·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； (3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 几何与二次函数压轴题 考点01 三角形与四边形压轴题 1．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）利用等边对等角求得，再利用证明即可； （2）由题意得，得到，，，作于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，证明，推出，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）设，由旋转的性质得，则，利用三角形内角和定理以及平角的性质求得，，推出，求得，作于点，求得，再求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵，， ∴； （2）∵，即， ∴，，， 作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）设， 由旋转的性质得，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，即， ∴． 2．（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．    图1                图2                   图3 (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3)30 【分析】（1）利用“”即可证明； （2）可知，证明，则，可得，则，故； （3）①翻折得，根据等角的余角相等得到，故，则，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，设，，则，由翻折得，故，因此，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍，此时） ，在中，由勾股定理得：，解得：，则，由，得到，，因此，故． 【详解】（1）证明：如图，      由题意得，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）猜想： 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，    ∵， ∴， 设，， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 整理得，， 解得：或（舍，此时） ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴点M为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键． 3．（2023·辽宁丹东·中考真题）在中，，，，点D是的中点．四边形是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），，且，菱形可以绕点D旋转，连接和，设直线和直线所夹的锐角为．    (1)在菱形绕点D旋转的过程中，当点在线段上时，如图①，请直接写出与的数量关系及的值； (2)当菱形绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)设直线与直线的交点为P，在菱形绕点D旋转一周的过程中，当所在的直线经过点时，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)（1）中结论成立，证明见解析； (3)或 【分析】（1）根据，即可得出答案； （2）证明，即可求解； （3）证明、均为等边三角形，证明A、M、P、G共线，由（1）、（2）知，，则，在等边三角形中，，则，则，进而求解；当B、F重合时，也符合题意，由（1）、（2）知，，根据，在中，用解直角三角形的方法即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，， 则， 点D是的中点， ， 则， , 为等边三角形， ； （2）解：（1）的结论成立，理由： 证明：延长交于点T，交于点N，   ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：当B、E、F共线时，如下图，连接，    根据图形的对称性，当B、E、F共线时，且点D是的中点， 则F、G、C共线，分别过点G、E作的垂线，垂足分别为H、M，交于点P， ， 则， 则, 即，均为等边三角形， ， 由（1）知为等边三角形， 则，则A、M、P、G共线， 由（1）、（2）知，， 则， 在等边三角形中，， 则， ， ； 当B、F重合时，也符合题意，如下图：    在中，， ， 由（1）、（2）可知，， ， 设，则， ， ， 即， 解得：， ； 综上，的面积为：或． 【点睛】本题为四边形综合题，涉及到三角形全等、解直角三角形、面积的计算、勾股定理的运用，题目难度很大，分类求解是本题解题的关键． 4．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是正方形，点M在上，点N在的延长线上，，连接，，点H在的延长线上，，点E在线段上，且，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，使得，交于点F．    (1)线段与线段的关系是______． (2)若，，求的长． (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）求证，即可得证结论；     （2）由题知，，于是，可证，所以，于是； （3）连接，令，则，中，，可求，所以，得证；延长线段至点I，使，可证，得，于是． 【详解】（1）解： ∵四边形是正方形， ∴，. ∴ 又∵， ∴ ∴． （2）解：由题知，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：连接，令，则， 中，， ∴． 中，． ∴． ∴． ∴． 延长线段至点I，使，连接，则垂直平分， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴．      【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等；添加辅助线，构造全等三角形，从而求证线段之间的相等关系是解题的关键． 5．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是，的中点，连接，，．    (1)如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当，时，与的位置关系是________，________． (2)如图2，点D在线段上，当，时，求证：． (3)当，时，直线与直线交于点N．若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)垂直， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）连接并延长交于，根据等腰三角形的判定和性质，推出，四点共圆，进而得到，推出与垂直，利用斜边上的中线以及等腰三角形三线合一，得到，证明，得到，即可得出结果； （2）作于，作，交的延长线于点，连接，同（1）推出，得到，进而得到，变形得到，再根据等腰三角形三线合一，以及含30度角的直角三角形的性质，利用线段之间的等量代换，即可得证； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：连接并延长交于，      ∵， ∴， 同理：， ∴， ∴，四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴与垂直； ∵是的中点， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：垂直，； （2）作于，作，交的延长线于点，连接，    ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，四点共圆， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是梯形的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①当点在上时，作于，作，交的延长线于点，作，交的延长线与点，    由（2）知：为等边三角形，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； ②当点D在的延长线上时，作于，作于点，作，交的延长线与点，    同①可知：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查几何的综合应用，难度大，属于中考压轴题，重点考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，斜边上的中线，全等三角形和相似三角形的判定和性质，解直角三角形．解题的关键是添加合适的辅助线，构造特殊图形． 6．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，在正方形中，线段绕点C逆时针旋转到处，旋转角为，点F在直线上，且，连接．    (1)如图1，当时， ①求的大小（用含的式子表示）． ②求证：． (2)如图2，取线段的中点G，连接，已知，请直接写出在线段旋转过程中（）面积的最大值． 【答案】(1)①；②见解析； (2)面积的最大值为． 【分析】（1）①利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算得到，据此求解即可；②连接，计算得到，利用证明，推出是等腰直角三角形，据此即可证明； （2）先证明点G在以为直径的圆上，连接、交于点O，过O作于点H，延长，交于点G，连接，，根据，一定，得出最大时的面积最大，求出最大值即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：当时，根据解析（1）可知，为等腰直角三角形， ∵点G为的中点， ∴， ∴， 当时，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点G为的中点， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点G为的中点， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∴点G在以为直径的圆上， 连接、交于点O，过O作于点H，延长，交于点G，连接，，如图所示： ∵，一定， ∴最大时的面积最大， ∵此时最大， ∴此时的面积最大， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． 7．（2023·辽宁·中考真题）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段,连接．交于点．        (1)如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)当，时，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)仍然成立，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）可证得，进一步利用等腰三角形的三线合一得出结果； （2）连接、，可证明，从而，，进而得出，从而得出，从而，结合得出四边形是平行四边形，从而得出； （3）分为两种情形∶当点在的延长线上时，作于，可得出，，从而，进而得出，进一步得出结果；当点在上时，作于，可得出，，进一步得出结果． 【详解】（1）解∶∵是等边三角形，点是的中点， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，仍然成立，理由如下∶连接、，    ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）解：如图，当点在的延长线上时，作⟂于，    ∵， ∴，， ∴， ∴． 由（）知∶， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当点在上时，作于，        由上知∶， ∴， ∴， ∴， 综上所述∶或． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”等模型． 8．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在纸片中，，，，点为边上的一点（点不与点重合），连接，将纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为、，射线与射线交于点．    (1)求证：； (2)如图，当时，的长为______ ； (3)如图，当时，过点作，垂足为点，延长交于点，连接、，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质，得到，再根据折叠的性质，得到，然后结合邻补角的性质，推出，即可证明； （2）作，交的延长线于，先证明四边形是正方形，再利用特殊角的三角函数值，求出，进而得到，即可求出的长； （3）作，交的延长线于，作于，交的延长线于，作于，解直角三角形，依次求出、、、的值，进而求得的值，根据和，求得、，进而得出的值，解直角三角形，求出的值，进而得出的值，根据，得出，从而设，，进而表示出，最后根据，列出，求出，根据，得出，进而得到，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠性质可知，， ， ， ， ； （2）解：如图，作，交的延长线于，    ，， ，， ， ， ， 四边形是矩形， 由（1）可知：， 矩形是正方形， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，作，交的延长线于，作于，交的延长线于，作于，    四边形是平行四边形， ，，，， ， 在中，，， ， 在中，， 由（1）可知：， ， ， 又纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， 设，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形、轴对称的性质等知识，正确作辅助线，熟练解直角三角形是解题关键． 9．（2023·辽宁·中考真题）在中，，，点为的中点，点在直线上（不与点重合），连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点． (1)如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系； (2)如图，当点在线段上时，求证：； (3)连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)． (2)见解析． (3)或． 【分析】（1）可先证，得到，根据锐角三角函数，可得到和的数量关系，进而得到线段与线段的数量关系． （2）可先证，得到，进而得到，问题即可得证． （3）分两种情况：①点D在线段上，过点作垂直于，交于点，过点作垂直于，交于点，设，利用勾股定理，可用含的代数式表示，根据三角形面积公式，即可得到答案．②点D在线段的延长线上，过点作垂直于，交延长线于点,令交于点,连接,设，可证，进一步证得是等腰直角三角形，，利用勾股定理，可用含的代数式表示，根据三角形面积公式，即可得到答案 【详解】（1）解：． 理由如下： 如图，连接． 根据图形旋转的性质可知． 由题意可知，为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形斜边上的中线， ，． 又， ． 在和中， ． ，． ． ． ． （2）解：为等腰直角三角形斜边上的中线， ． ， ． ，， ． ，． ，． 在和中， ． ． ． （3）解：当点D在线段延长线上时，不满足条件，故分两种情况： ①点D在线段上，如图，过点作垂直于，交于点；过点作垂直于，交于点． 设，则． 根据题意可知，四边形和为矩形，为等腰直角三角形． ，． 由（2）证明可知， ． ． ． 根据勾股定理可知 ， 的面积与的面积之比 ②点D在线段的延长线上，过点作垂直于，交延长线于点,令交于点,连接,由题意知，四边形，是矩形， ∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ 而 ∴ ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∴ 中， 的面积与的面积之比 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利用全等三角形的判定及性质是解题的关键． 10．（2023·辽宁营口·中考真题）在中，，点E在上，点G在上，点F在的延长线上，连接．，．        (1)如图1，当时，请用等式表示线段与线段的数量关系______； (2)如图2，当时，写出线段和之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，当点G是的中点时，连接，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，在上截取，连接，证明，推出，，得到； （2）当时，得到，，过点G作交于点M，证明，推出，得到，由此得到，进而推出； （3）由（2）得，设，由点G是的中点，得到，推出，，过点E作于N，根据角的性质及勾股定理求出，，即可得到，根据公式计算即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵在中，， ∴，， ∴ ∴，    在上截取，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 当时，， ∴，， 过点G作交于点M，    ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ （3）∵，， ∴， 设， ∵点G是的中点， ∴， ∴, ∴， ∴，， 过点E作于N，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，求角的正切值，熟练掌握各知识点是解题的关键． 11．（2023·辽宁锦州·中考真题）【问题情境】如图，在中，，．点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】 （1）如图1，当时，易知；    如图2，当时，则与的数量关系为 ；    （2）如图3，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；    【拓展应用】 （3）如图4，当，且点B，E，F三点共线时．若，，请直接写出的长．    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）先证明，可得，再证得出，利用等腰三角形三线合一的性质得出，在中，利用余弦定义可求，即可得出，然后把代入计算即可； （2）仿照（1）的思路即可解答； （3）方法一：如图，过点D作于点M，过点C作，交延长线于点H，可求，得出，设，则，利用平行线分线段成比例得出，则可求，，，，，在中，利用勾股定理构建方程，求出．证明，利用相似三角形的性质即可求解； 方法二：如图，过点C作交延长线于点G，过点D作于点M，过点E作于点H，利用等腰三角形的性质与判断，平行线的性质可证明，，证明，可得出．设，则，设，则，利用平行线分线段成比例得出，求出，，，．然后在中，利用勾股定理构建方程，求出，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）如图，过点A作于点H，    ∵，， ∴， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，H为的中点， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． 又， ∴； （2）解：； 如图，过点A作于点H，    ∵，， ∴， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，H为的中点， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． （3）． 方法一： 如图，过点D作于点M，过点C作，交延长线于点H，    ∴． ∴． ∵线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴． ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，， ∴． ∴，解得． ∴． ∵， ∴． 方法二： 如图，过点C作交延长线于点G，过点D作于点M，过点E作于点H，    ∴． ∴． ∵线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴． ∵， ∴，． ∴． 设，则， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴． 在中，，， ∴． ∴，解得． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判断与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 考点02 二次函数压轴题 12．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，的值分别为 (2)①见解析②或 (3) 【分析】本题考查二次函数的图像综合问题，二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数，平行线的性质，相似三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先求出，，再分别代入，列出二元一次方程组，即可解答． （2）①设直线的解析式为，将，分别代入，得直线的解析式为，设点E的坐标为，求出，设，，则，，即可解答． ②当时，，当时，，再分类讨论，即可解答． （3）易得，当时，取得最小值为，解出；当时，函数的最大值为，解得；当时，，解得，或（舍去），，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴， 将代入，得， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得． 答：点的坐标为，的值分别为． （2）①证明：如图， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点E的坐标为 ∵， ∴， 将代入得， 将代入，得， ∴， ， ∴ ②如图 当时，， ∴， ∴， 即，解得． 当时，， ∴， ∴， 即，解得， ∴或． （3）∵次函数与二次函数组成新函数， ∴， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大．且当时，取得最小值． ∵当时，函数的最小值为，最大值为， ∴当时，取得最小值为，即， 解得． ∵时，函数的最大值为， ∴当时，函数的最大值为，即， 解得； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 解得，． 13．（2024·辽宁·中考真题）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． (1)求函数的“升幂函数”的函数表达式； (2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)①或；②；③或 【分析】（1）根据“升幂函数”的定义，可得，即可求解， （2）设，根据“升幂点”的定义得到，由，在点上方，得到，即可求解， （3）①由，，点与点重合，得到，即可求解，②由，得到对称轴为，、关于对称轴对称，结合，则，得到，进而得到，，由点在点的上方，得到点在点的上方，，解得：， ，当，，，当， ，，即可求解，③根据②中结论得到，，，将，，代入，得到，，，结合图像可得，当时，直线与函数的图象有3个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，结合，可得，当时，，解得：，由，得到，解得：，即可求解， 【点睛】本题考查了，求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数综合，根据系数关系，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质，将题目所给条件进行转化． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故答案为：， （2）解：设点，则， ∵，在点上方， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①根据题意得：，则， ∵点与点重合， ∴，解得：或， ②根据题意得：， ∴对称轴为，、关于对称轴对称， ∵，则， ∴，解得：， ∴，， ∵点在点的上方， ∴，解得：， ∴， 当，点在点右侧时，，， 当，点在点左侧时，，， ∴， ③∵， ∴，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， 当时，直线与函数的图象有3个交点， 当时，直线与函数的图象有2个交点， 直线与函数交于、两点，，即：， ∴，，， 直线与函数交于、两点，，即：， ∴，，， ∵， ∴，整理得：， 当时， ，解得：或（舍）， ∴， ∴，解得：， ∴， 或． 14．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； (3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点，代入解析式即可求解； （2）可求直线的解析式为，可得，，，①当时，可求，，即可求解；②当时，，，即可求解； （3）①当在对称轴的左侧时，得到是矩形，邻边之比为，即，即可求解；②当在对称轴的右侧时，同理可求． 【详解】（1）解：由题意得 解得， 故抛物线的表达式； （2）解：当时，， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 点D的横坐标是，过点D作直线轴， ，，， ①如图，当时，   ， ， ， 整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， ； ②如图，当时，   ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ； 综上所述：线段的长为或． （3）解：设点，， 当四边形是矩形时，则为直角， ①当在对称轴的左侧时， 如图，过作轴交轴于，交过作轴的平行线于，   ， ∵为直角， 则， ∵， ∴， ∴， ∵是矩形邻边之比为，即或， 即和的相似比为或， 即， 由题意得：，， ∴， 则， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）； ②当在对称轴的右侧时，    同理可得：， 解得：， 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合体，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，矩形的性质，三角形相似的性质等知识点，分类求解是解答本题的关键． 15．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是轴上方抛物线上一点，射线轴于点，若，且，请直接写出点的坐标． (3)如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延长线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点，代入抛物线得到，解方程组即可得到答案； （2）设，，则，则，，从而表示出点的坐标为，代入抛物线解析式，求出的值即可得到答案； （3）求出直线的表达式，利用，得到，求出点的坐标，再根据进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 设，， ， ， ， 点， ， ， 点的坐标为， 点是轴上方抛物线上一点， ， 解得：（舍去）或， ； （3）解：设点，直线的解析式为， ， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， 在抛物线中，当时，， ， ， ， 设点的坐标为， ，， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， ． 【点睛】本题为二次函数综合，主要考查了求二次函数的解析式、二次函数图象和性质、一次函数的应用、锐角三角函数、三角形面积的计算，确定关键点的坐标是解本题的关键． 16．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第一象限内抛物线上一动点．   　　   (1)求抛物线的解析式． (2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接．当时，求点E的横坐标． (3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，与交于点M．若，，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)或1 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法，把已知点坐标代入解析式即可求解函数的解析式； （2）分别过，向轴作垂线，垂足为，，根据证得 ，从而，设点坐标，分别表示出，坐标，再列方程求解即可； （3）将平移到，连接，则；过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，设，则，，，由可得，从而，设由 可得，， ，再求出点坐标为，代入抛物线解析式中即可求得或，从而可得点坐标 ． 【详解】（1）解：把和代入到解析式中可得 ，解得， 抛物线的解析式为：； （2）直线中，令，则，所以， 直线中，令，则，所以， 分别过，向轴作垂线，垂足为，，    根据题意可得， 轴，轴， 和为直角三角形， 在和中， ， ， ， 设， 则， ，， 从而，， 则有或， 解得（舍去），或，或 故点的横坐标为：或1； （3）将平移到，连接，则四边形为平行四边形，，过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于， ， 可设，则， ∴， 则，    设， 轴， ， ， ，，， ，，， ， ，， ， ， ，，则， ，， ， 代入抛物线解析式中有：， 解得：或， 当时，， 当时，． 【点睛】本题是二次函数与相似三角形综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切的定义等知识，解题关键是在坐标系中利用等线段构造全等进行计算，构造相似三角形解决问题． 17．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据抛物线的交点式直接得出结果； （2）作于，作于，交于，先求出抛物线的对称轴，进而求得，坐标及的长，从而得出过的直线与抛物线相切时，的面积最大，根据的△求得的值，进而求得的坐标，进一步求得上的高的值，进一步得出结果； （3）分两种情形：当点在线段上时，连接，交于，设，根据求得的值，可推出四边形是平行四边形，进而求得点坐标；当点在的延长线上时，同样方法得出结果． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：如图1， 作于，作于，交于， ，， ， ， 抛物线的对称轴是直线：， ， ， ， ， 故只需的边上的高最大时，的面积最大， 设过点与平行的直线的解析式为：， 当直线与抛物线相切时，的面积最大， 由得， ， 由△得， 得， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图2， 当点在线段上时，连接，交于， 点和点关于对称， ， 设， 由得，， ，（舍去）， ， ∵， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ∴； 如图3， 当点在的延长线上时，由上可知：， 同理可得：， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 18．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点G的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）方法一：连接，过点作轴交于点．先求得直线的表达式为：．再设，，则，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；方法二：令抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，设，利用面积构造一元二次方程求解即可得解； （3）如下图，连接，，由菱形及等边三角形的性质证明得．从而求得直线的表达式为：．联立方程组求解，又连接，，，证．得，又证．得．进而求得直线的表达式为：．联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得． ∴抛物线的表达式为：． （2）解：方法一：如下图，连接，过点作轴交于点．      ∵ ， ∴． 令中，则， 解得或， ∴， 设直线为， ∵过点，，， ∴， 解得， ∴直线的表达式为：． 设，， ∴ ． ∴ ． ∵， ∴． 整理得，解得． ∴． 方法二： 如下图，    抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点， 设， ∴， ∴ ． ∵， ∴． 整理得，解得． ∴． （3）解：存在，点的坐标为或． 如下图，连接，，    ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∵，，， ∴，，点与点关于对称轴对称， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴即，， ∴． ∴． ∴直线的表达式为：． 与抛物线表达式联立得． ∴点坐标为． 如下图，连接，，，     同理可证：是等边三角形，是等边三角形，． ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴直线的表达式为：． 与抛物线表达式联立得． ∴点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，一元二次方程的应用，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式是解题的关键． 19．（2023·辽宁·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．    (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长是线段长度的2倍时，求点P的坐标； (3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据直角三角形三角函数值可得，，进而可得的周长，结合已知条件可得，设，则，，从而可得方程，解方程即可； （3）先求出，，设，过点M作轴于点N，通过证明，求出，再求出直线的解析式为，将点代入解析式求出n的值即可． 【详解】（1）解：将，代入， 可得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：，， ，， ， ，， 的周长， 的周长是线段长度的2倍， ， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，， ， 解得，（舍）， ， ； （3）解：， 当时，y取最大值， ， 直线的解析式为， 当时，， ， 设，过点M作轴于点N，    由题意知， ， ， ， 又，， ， ，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 将点代入，得， 解得或， 或． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等，综合性较强，难度较大，熟练运用数形结合思想，正确作出辅助线是解题的关键． 20．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与轴的交点为点和点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)点，在轴正半轴上，，点在线段上，以线段，为邻边作矩形，连接，设． 连接，当与相似时，求的值； 当点与点重合时，将线段绕点按逆时针方向旋转后得到线段，连接，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点，的对应点分别为、，连接当的边与线段垂直时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）①利用已知条件用含a的代数式表示出点E，D，F，G的坐标，进而得到线段的长度，利用分类讨论的思想方法和相似三角形的性质，列出关于a的方程，解方程即可得出结论； ②利用已知条件，点的坐标的特征，平行四边形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质求得 ，和的长，利用分类讨论的思想方法分三种情形讨论解答利用旋转的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得相应线段的长度即可得出结论； 【详解】（1）二次函数的图象经过点，与轴的交点为点， 解得： 此抛物线的解析式为 （2）令，则 解得：或， ∴ ． ∵, ∴ 四边形为矩形， ∴ ∴ ∴ Ⅰ当时， ∴ ∴ ∴ Ⅱ当时， ∴ ∴ ∴ 综上，当与相似时，的值为或； 点与点重合， ∴ ∴ ∴ 四边形为平行四边形， 在和中， Ⅰ、当 所在直线与 垂直时，如图， ，，三点在一条直线上， 过点 作 轴于点 ， 则 ∴此时点 的横坐标为 Ⅱ当所在直线与垂直时，如图， ， ， 设的延长线交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则轴，． ， ， ． ， ． ， ， 此时点的横坐标为； Ⅲ当所在直线与垂直时，如图， ，， ， ，，三点在一条直线上，则， 过点作，交的延长线于点， ， 此时点的横坐标为． 综上，当的边与线段垂直时，点的横坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度和正确利用分类讨论的思想方法是解题的关键 21．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标； (3)在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）根据抛物线过点，对称轴为直线，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意求得，，求得，则，进而求得直线的解析式为，过点作轴，交于点，证明，根据已知条件得出设，则，将点代入，即可求解． （3）根据题意可得，以为对角线作正方形，则，进而求得的坐标，待定系数法求得的解析式，联立解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，则对称轴为直线， ∴， 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：由，当时，， 解得：， ∴， 当时，，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，则， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴，交于点，    ∵， ∴ ∵ ∴，则 设，则即， 将点代入 即 解得：或（舍去） 当时，， ∴； （3）∵，， 则，是等腰直角三角形， ∴，由（2）可得， ∵ ∴， 由（2）可得， 设直线的解析式为，则 解得： ∴直线的解析式为 如图所示，以为对角线作正方形，则，    ∵，则，则，， 设，则， 解得：，， 则，， 设直线的解析式为，直线的解析式为 则，， 解得：，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴解得：，则， 解得：,则， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 22．（2023·辽宁·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； (3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)； (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解； （3）先求得直线的解析式为，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，证明，推出，，设，则，由点M在直线上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质可得点N的坐标；设点，则点，当绕着点O逆时针旋转得到时，当点M绕点O逆时针得到点E时，根据旋转的性质，可得点N的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点和， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，且，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 依题意得， 解得（舍去）或， ∴； （3）解：令，则， 解得或， ∴， 同理，直线的解析式为， ∵四边形是正方形， ∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，     ，， ∴， ∴，， 设， ∴，， 则， ∵点M在直线上， ∴， 解得或， 当时，，， 即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时； 当时，，， 点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M， 则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N， ∴，即； 设点，则点， 当绕着点O逆时针旋转得到时，如图， ∵点E在的图象上， ∴， ∴点， ∵点E在的图象上， ∴， 解得：或0， ∴，， 当点M绕点O逆时针得到点E时，点，， ∵点E在的图象上， ∴， 解得：， ∴点，，，， ∴点N的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$