专题05 圆及计算综合（辽宁专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题05 圆及计算综合 考点01 圆相关小题 1．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（    ）    A．2 B． C． D． 2．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（        ）    A． B． C． D． 4．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（    ）      A． B． C． D． 5．（2023·辽宁营口·中考真题）如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 考点02 圆的综合--求弧长 6．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 7．（2024·辽宁·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求的长． 8．（2023·辽宁·中考真题）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长． 考点03 圆的综合--求阴影面积 9．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．    (1)求证：是的切线． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 考点04 圆的综合--切线证明与三角函数值 10．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 11．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，内接于，为的直径，延长到点G，使得，连接，过点C作，交于点F，交点于点D，过点D作．交的延长线于点E．    (1)求证：与相切． (2)若，，求的长． 12．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若．    (1)求证：为的切线． (2)若，，求的半径． 13．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，为的直径，点C在上，与相切于点A，与延长线交于点B，过点B作，交的延长线于点D．    (1)求证：； (2)点F为上一点，连接，，与交于点G．若，，，求的半径及的长． 14．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，则的长为______ ． 15．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 16．（2023·辽宁·中考真题）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．    (1)求证：EF与相切； (2)若，求的长． 考点05 计算综合 17．（2025·辽宁·中考真题）计算： (1)； (2)． 18．（2024·辽宁·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 19．（2023·辽宁丹东·中考真题）先化简，再求值：，其中． 20．（2023·辽宁盘锦·中考真题）先化简，再求值：，其中． 21．（2023·辽宁鞍山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 22．（2023·辽宁阜新·中考真题）先化简，再求值：，其中． 23．（2023·辽宁锦州·中考真题）化简，再求值：，其中． 24．（2023·辽宁·中考真题）先化简，再求值：，其中． 25．（2023·辽宁沈阳·中考真题）计算：． 26．（2023·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：，其中． 27．（2023·辽宁·中考真题）先化简，再求值：，其中． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆及计算综合 考点01 圆相关小题 1．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，圆周角定理得到，勾股定理求出，三角形的中位线定理，即可求出的长． 【详解】解：连接，    ∵的半径为2．， ∴， ∴， ∵D，G分别为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理和三角形的中位线定理．熟练掌握相关定理，并灵活运用，是解题的关键． 2．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆周角定理求出，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 3．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，点A，B，C在上，，连接，．若的半径为3，则扇形（阴影部分）的面积为（        ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用圆周角定理求出的度数，然后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又的半径为3， ∴扇形（阴影部分）的面积为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形面积公式等，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解题的关键． 4．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论． 【详解】解：四边形内接于，， ， ， 的长． 故选：． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 5．（2023·辽宁营口·中考真题）如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，连接，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选D．    【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出的度数是解题的关键． 考点02 圆的综合--求弧长 6．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可； （2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形中，∵ ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 7．（2024·辽宁·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，则，故，由，得到，而，则，由，得，因此，故，则是的切线； （2）连接，可得，则，故，由，得，那么长为． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴长为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正确添加辅助线是解决本题的关键． 8．（2023·辽宁·中考真题）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由是的直径可得，进而可得，再根据圆周角定理可得，进而可证，，即可证明与相切； （2）连接，，先证是等边三角形，推出，再根据圆周角定理证明，进而可得，再根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，   是的直径， ， 平分交于点E， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：如图，连接，，   ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ，是的直径， ， ． 即的长为． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定理是解题的关键． 考点03 圆的综合--求阴影面积 9．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．    (1)求证：是的切线． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据，得出．根据平分，得出，则．根据得出，进而得出，即可求证； （3）连接，过点O作于点F，通过证明为等边三角形，得出，．求出．最后根据即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线． （2）解：连接，过点O作于点F， ∵， ∴． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，． ∵，，， ∴． ∴．    【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式． 考点04 圆的综合--切线证明与三角函数值 10．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，得出，进而得出，易得，根据，得出，则，即可求证是的切线； （2）易得，则，根据，求出，，则，根据勾股定理求出，，进而求出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴，则， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：，， ∴， ∴， ∴根据勾股定理可得：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，解题直角三角形，解题的关键是熟练掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及解直角三角形的方法和步骤． 11．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，内接于，为的直径，延长到点G，使得，连接，过点C作，交于点F，交点于点D，过点D作．交的延长线于点E．    (1)求证：与相切． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，结合圆周角定理，根据，可得，再根据平行的性质，即有，进而可得，问题随之得证； （2）过C点作于点K，先证明四边形是平行四边形，即有，求出，即有，利用三角形函数有，同理，即可得，，进而有，再证明，可得，即可得，在中，有，问题随之得解． 【详解】（1）连接，如图，    ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴半径， ∴与相切； （2）过C点作于点K，如图，    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在，， 同理， ∵在中，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题是一道综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定以及相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键． 12．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若．    (1)求证：为的切线． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）连接，根据同角的补角相等，得到，等角的余角相等，得到，等边对等角，得到，推出，得到，即可得证； （2）连接，推出，利用锐角三角函数求出的长，设的半径为，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵，， ∴， ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 又为的半径， ∴为的切线； （2）连接，则：，    ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 设的半径为，则：， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； ∴的半径为． 【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 13．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，为的直径，点C在上，与相切于点A，与延长线交于点B，过点B作，交的延长线于点D．    (1)求证：； (2)点F为上一点，连接，，与交于点G．若，，，求的半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为； 【分析】（1）根据与相切于点A 得到，再根据得到，再根据得到即可根据角的关系解答； （2）连接，过点D作，交延长线于点M，在等多个直角三角形中运用三角函数的定义求出半径，再根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，    ∵为的直径，与相切于点A， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）连接，过点D作，交延长线于点M，如图，    在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴设，， 在中，， ∵，， ∴，解得， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆、三角形的线段、角度关系并运用数学结合思想． 14．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，则的长为______ ． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】(1)利用圆周角定理，等腰三角形的性质定理，对顶角相等，三角形的内角和定理和圆的切线的判定定理解答即可得出结论； (2)利用直角三角形的边角关系定理得到设, 则, 利用x的代数式表示出线段，再利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论. 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 为的直径， 是的切线； （2）解：，， ， 设，则， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， 解得：不合题意，舍去或． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的切线的判定定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键. 15．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，，根据圆周角定理证明，再根据“三线合一”证明平分，即有，进而可得，根据，可得，问题得证； （2）先证明，，即有，在中结合勾股定理，可求出，即同理在中，可得，进而有， ，即，证明，即有，即，问题即可得解． 【详解】（1）连接，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵在中，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半径， ∴为的切线； （2）∵在中，， ∴， 在（1）中，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，解得：（负值舍去）， 即同理在中，可得， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得：（经检验，符合题意）， 即． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定以及三角函数，是解答本题的关键． 16．（2023·辽宁·中考真题）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．    (1)求证：EF与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）证明：连接，    ∵，∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴EF与相切； （2）解：设半径为x，则， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， ∴半径为4，则， 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 考点05 计算综合 17．（2025·辽宁·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别进行乘方、乘法运算，以及求立方根和绝对值，再进行加减计算； （2）先将除法化为乘法，再进行分式的减法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（2024·辽宁·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先化简二次根式，去绝对值，再进行加减运算； （2）先计算乘法，再计算加法即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 19．（2023·辽宁丹东·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，根据负整数幂和0次幂的运算法则，求出x的值，最后将x的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则，以及负整数幂和0次幂的运算法则是解题的关键． 20．（2023·辽宁盘锦·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】先将括号内的部分通分，再将分式分子、分母因式分解并化简，再计算出x的值后，将代入即可求解． 【详解】解：原式， ， ， ， 当时， 原式， ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值及实数的混合计算，熟悉通分、约分和分母有理化是解题的关键． 21．（2023·辽宁鞍山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： 当时，原式 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 22．（2023·辽宁阜新·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，最后将a的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握因式分解的方法，以及分式的混合运算法则是解题的关键． 23．（2023·辽宁锦州·中考真题）化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先把括号里的式子通分相减，然后把除数的分子、分母分解因式，再把除数分子分母颠倒后与前面的结果相乘，最后约成最简分式或整式；求值时把a值代入化简的式子算出结果． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算的顺序和运算法则，是解题的关键． 24．（2023·辽宁·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先用平方差公式因式分解，化除法为乘法，约分化简，最后将代入即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 25．（2023·辽宁沈阳·中考真题）计算：． 【答案】10 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，准确计算． 26．（2023·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据特殊角三角函数值和二次根式的性质求出m的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，化简二次根式等等，正确计算是解题的关键． 27．（2023·辽宁·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，5． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$