精品解析：湖北省襄阳市樊城区二十一中学2024—2025学年下学期期中考试八年级数学试题

八年级下学期期中测试数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形的对角线，相交于点O，过点B，点C分别作，的平行线交于点E．若，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 6. 如图在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ） A. 点A、点B、点D B. 点A、点C、点G C. 点B、点E、点F D. 点B、点G、点E 7. 如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点，；③分别以点，为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 8. 如图，在中，是直角，是中位线，点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 9. 的周长为，的周长是，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，连接，平分交于点E，F是边上一点，连接交于点G，，连接交于点H．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若与最简二次根式可以合并，则______． 12. 若式子有意义，则x的取值范围是____． 13. 如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______． 14. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使A点与C点重合，则折痕的长度为______． 15. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，AC＝6，BD＝10，则OE的长为______． 三、解答题：本题共9小题，共73分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 18. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 19. 如图，四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 20. 如图，在一条公路上有A、B两站相距，C、D为两个小镇，已知，，，．现要在公路边上修建一个加油站E． （1）若要求加油站E到两镇的距离相等，请问加油站E应建在距A站多远处？ （2）若要求加油站E到两镇的距离之和最小，求距离和的最小值． 21. 如图，点E，F分别在矩形的、边上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形为菱形，，，求的长． 22. 如图，的对角线交于点O，过点D作于E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，试求的长． 23. （1）【教材改编】如图1，四边形是正方形，点G、E分别是边、的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，求证：． （2）【类比探究】如图2，四边形是正方形，点E是边上的任意一点，，且交正方形外角的平分线于点P，求证：． （3）【知识迁移】如图3，在（2）问的条件下，连接，过点E作交于点M，连接，若，，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，是原点，矩形的顶点、分别在轴、轴上，已知点坐标为，且满足． （1）直接写出点坐标． （2）如图1，若点沿线段从向以每秒1个单位的速度运动至，同时动点沿线段从向以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为秒连接． ①求证：四边形是平行四边形． ②当 时，四边形是矩形？ （3）如图2将矩形沿着折叠，对应点恰好落在边上，求长； （4）如图3，为边的中点，是任意的一点．当，连接，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期期中测试数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求算术平方根．根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：． 故选：B 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原式各项利用二次根式的乘除法则，以及合并同类二次根式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A.是最简结果，不能合并，错误； B.是最简结果，不能合并，错误； C.正确； D.,错误. 故选C． 3. 在中，，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】∵在中，，，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理，牢记勾股定理（如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么）是解题的关键． 4. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、列一元一次方程，熟练掌握勾股定理是解题关键．利用勾股定理列出方程即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，尺，尺，尺，， 则在中，，即， 故选：D． 5. 如图，矩形的对角线，相交于点O，过点B，点C分别作，的平行线交于点E．若，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查矩形性质和菱形的判定；熟练掌握菱形的判定方法，矩形的性质是解决问题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质，得出四边形是菱形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是菱形． ， ， ， ， ∵四边形是菱形， ， 故选：C． 6. 如图在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ） A. 点A、点B、点D B. 点A、点C、点G C. 点B、点E、点F D. 点B、点G、点E 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析． 【详解】解：A、，不可以构成直角三角形，不符合题意； B、，不可以构成直角三角形，不符合题意； C、，可以构成直角三角形，符合题意； D、，不可以构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 7. 如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点，；③分别以点，为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】由作图过程可知，根据菱形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：由作图过程可知，， 所以依据是“四条边相等的四边形是菱形”． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了尺规作图和菱形的判定定理，理解并掌握菱形的判定定理是解题关键． 8. 如图，在中，是直角，是中位线，点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，三角形中位线定理，先根据图2求出的长度，再根据中位线定理求出的长度，然后根据三角形面积公式结合和重合时面积最大，求出的值． 【详解】解：由图象知，当点P在上运动时，的面积的面积不变， ∴， ∵是中位线， ∴， 当点P在线段上时，， 由图象知，当点P和点C重合时，即时，的面积， ∴， 故选：B． 9. 的周长为，的周长是，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对角线的长度的计算，结合平行四边形的性质和三角形的周长可得对角线的长度．先根据平行四边形的性质，首先计算的长度，再结合三角形的周长，进而计算对角线的长． 【详解】解：的周长为， ， 又的周长是， ， ， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，连接，平分交于点E，F是边上一点，连接交于点G，，连接交于点H．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 利用正方形的性质证明，可判断①；通过证明，可判断②；利用全等三角形对应角相等，通过证明，可判断③； 【详解】四边形是正方形， ，，， 在和中 ， ，故A选项正确， 在和中 ， ， ，故B选项正确， ， ， ， ， ， ， ，故C选项正确， ， ， F是边上一点，无条件知为三等分点， 不成立，故D选项不正确， 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若与最简二次根式可以合并，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，根据被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式进行求解即可． 【详解】解：∵，且与最简二次根式可以合并， ∴， ∴； 故答案为：2． 12. 若式子有意义，则x的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 13. 如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴M点所表示的数为：． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使A点与C点重合，则折痕的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由勾股定理求出，由折叠的性质可得，由垂直平分线的性质可得，设，则，由勾股定理可得，求出的值即可得到的长，再由勾股定理求出的长，再证明即可得到答案． 【详解】解：连接，记的交点为， 四边形是矩形，，， ，，， ， 由折叠的性质得：， 垂直平分， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理，是解题的关键． 15. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，AC＝6，BD＝10，则OE的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出OC=3，OD=5，进而利用勾股定理得出CD的长，利用三角形中位线的性质得出OE即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=10，AC=6， ∴OC=3，OD=5， ∵∠OCD=90°， ∴， ∵E是BC边的中点，O是BD的中点， ∴2OE=CD， ∴OE=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查平行四边形的性质以及中位线定理，勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质． 三、解答题：本题共9小题，共73分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先化简二次根式，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，计算乘方运算，化简绝对值，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查已知字母的值，求代数式的值， （1）将a变形后利用完全平方公式求解即可； （2）首先求得和的值，再利用平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解∵， ∴，， ∴， 即：． 18. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】 证明：如图，连接BC，设对角线交于点O． ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA=OD，OB=OC． ∵AE=DF， ∴OA﹣AE=OD﹣DF， ∴OE=OF． ∴四边形BECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论． 【详解】略 19. 如图，四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证：连接，如图所示， 由题意，在中，， ∵，， ∴， ∴是为斜边的直角三角形， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理及其逆定理证明即可； （2）结合（1）的结论，利用直角三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）可得是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，理解并熟练运用相关定理是解题关键． 20. 如图，在一条公路上有A、B两站相距，C、D为两个小镇，已知，，，．现要在公路边上修建一个加油站E． （1）若要求加油站E到两镇的距离相等，请问加油站E应建在距A站多远处？ （2）若要求加油站E到两镇的距离之和最小，求距离和的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称求最短路径，矩形的判定和性质，一元一次方程的应用，灵活运用勾股定理是解题关键． （1）设，则，利用勾股定理列方程，求出的值即可得解； （2）作点C关于的对称点F，连接交于点E，此最小，点E即为加油站的位置．作于点M，此时四边形时矩形，利用勾股定理，求出，即可得解． 【小问1详解】 解：设，则， 由勾股定理得：，， ， ， 即， 解得：； 答：加油站E建在距A站时，加油站E到两镇的距离相等． 【小问2详解】 解：如图，作点C关于的对称点F，连接交于点E， ，， 最小，点E即为加油站的位置． 作于点M，此时四边形时矩形， ，， ， 在中，， 即：加油站E到两镇的距离之和的最小值是． 21. 如图，点E，F分别在矩形的、边上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形为菱形，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴， 又∵， ∴ 又∵， ∴四边形BEDF是平行四边形 （2）3 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，菱形的性质和平行四边形的判定． （1）根据矩形的对边互相平行且相等得到，，再由已知证得，根据平行四边形的判定即可证明； （2）根据菱形的性质可得，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是矩形， ∴ ∵四边形BEDF为菱形， ∴ 在中，由勾股定理得：， 即 22. 如图，的对角线交于点O，过点D作于E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，试求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）先证得是等腰直角三角形，可得，在中，由勾股定理可得，再由直角三角形的性质，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 23. （1）【教材改编】如图1，四边形是正方形，点G、E分别是边、的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，求证：． （2）【类比探究】如图2，四边形是正方形，点E是边上的任意一点，，且交正方形外角的平分线于点P，求证：． （3）【知识迁移】如图3，在（2）问的条件下，连接，过点E作交于点M，连接，若，，求的长． 【答案】 证明：∵四边形形是正方形． ，， ∵ 点G、E分别为、的中点， ，， ； ， ， ∵是正方形外角的角平分线， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中 ， ； 证明：如图，在上截取， 四边形为正方形， ，， ，， ， 为正方形的外角平分线， ， ， ， ． ， ， 在和中， ， ． ； 【解析】 【分析】（1）证明，即可由全等三角形的性质得出结论； （2）在上取，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，即可由全等三角形的性质得出结论； （3）过点P作交于点F，交于点H，则四边形为正方形，继而证得，则，利用平行线的性质得，进一步证得，则，可证得四边形为平行四边形，则，利用勾股定理即可求得即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点P作交于点F，交于点H，如图， 则四边形为矩形， ∵为正方形外角的平分线， ∴四边形为正方形， ， ． ， ， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 则， 故的长为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定和性质、平行四边形的判定以及勾股定理等知识，此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择． 24. 在平面直角坐标系中，是原点，矩形的顶点、分别在轴、轴上，已知点坐标为，且满足． （1）直接写出点坐标． （2）如图1，若点沿线段从向以每秒1个单位的速度运动至，同时动点沿线段从向以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为秒连接． ①求证：四边形是平行四边形． ②当 时，四边形是矩形？ （3）如图2将矩形沿着折叠，对应点恰好落在边上，求长； （4）如图3，为边的中点，是任意的一点．当，连接，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） ①∵四边形为矩形， ∴，， ∵点沿线段从向以每秒1个单位的速度运动至，同时动点沿线段从向以同样的速度运动， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴，即， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②3秒 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）首先根据二次根式有意义的条件确定的值，进而可得的值，即可确定点坐标； （2）①证明四边形为平行四边形，易得，再证明四边形为平行四边形，可知，即可证明四边形是平行四边形；②证明，由相似三角形的性质可得，即可解得，然后计算的值； （3）由折叠的性质可得，，，在中，由勾股定理解得的值，设，则，在中，由勾股定理可得，代入数值并解得的值，即可获得答案； （4）连接，取中点，连接，利用勾股定理解得的长度，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，再证明为的中位线，由中位线的性质可得，然后根据三角形三边关系即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，解得， ∴可有，解得， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②四边形为矩形，， ∴，，， 当四边形是矩形时， 可有， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴秒． 故答案为：3； 【小问3详解】 ∵四边形为矩形，， ∴，，， 由折叠的性质可得，，， ∴在中，， ∴， 设，则， ∴在中，可有， 即， 解得， ∴； 【小问4详解】 如下图，连接，取中点，连接， ∵，，， ∴， ∵，点为中点， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴在中，可有， 在中，由三角形三边关系可得， ∴当点在同一直线，且点在点和点中间时，如下图， 此时取最小值，最小值为， 当点在同一直线，且点在点和点中间时，如下图， 此时取最大值，最大值为， ∴的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、坐标与图形、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、中位线的性质等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $