精品解析：辽宁鞍山市岫岩满族自治县2025—2026学年第二学期期中学情调查 数学

辽宁鞍山市岫岩满族自治县2025—2026学年第二学期期中学情调查数学 （考试时间：90分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（ ） A. 常量为长方形的面积；变量为长，宽 B. 常量为长方形的面积、宽为，变量为长 C. 常量为长方形的面积、长为，变量为 D. 常量为长、宽，变量为长方形的面积 3. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. C. 6，8，10 D. 5，12，13 4. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，一个实心铁球静止在长方体水槽的底部，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x关系的是（　　） A. B. C. D. 7. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 8. 将一根30厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中（不计厚度），则细木棒露在盒外的部分最短为（ ） A. 13厘米 B. 17厘米 C. 18厘米 D. 26厘米 9. 如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若函数的表达式在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是_______． 12. 计算： =________． 13. 某款共享充电宝的租金规则是：前30分钟，每分钟按元计费；30分钟后，超过部分按每分钟元计费．设租用该款共享充电宝的时间为分钟，则总费用与时间的关系式是____． 14. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（E，F分别为、的中点）．若，则此时点距离地面的高度为__________． 15. 如图，正方形的边长为2，E是的中点，F，G是对角线上的两个动点，且，点是中点，连接，，，则的最小值为__________． 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． （1）求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 18. 如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米． （1）求的度数； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 19. 如图，在中，M，N是对角线的三等分点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 20. 如图，在中，，是的中点，过点作，过点作，两线相交于点，过点作于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21. 对一壶水加热，如表记录了加热12分钟内13个时间点的水的温度，其中表示加热时间，表示水的温度． 0 1 2 3 4 5 6 60 65 70 75 80 85 90 7 8 9 10 11 12 95 100 100 100 100 100 （1）在平面直角坐标系中描出这些数据对应的点，前9个点是否在一条直线上？后5个点是否在一条直线上？由此你能发现水的温度的变化规律吗？ （2）水的温度是否为加热时间的函数？如果是，请直接写出表示表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象． （3）从节省能源的角度考虑，加热多长时间后就应该停止对这壶水加热？ 22. 【问题情境】 在菱形中，为对角线，点M为射线上的一动点（不与点C重合）．连接交对角线于点E，过点C作，交或的延长线于点N． （1）问题1：如图①，当点M在边上时，猜想线段与线段的数量关系．（直接写出结论） 问题2：如图②，当点M在的延长线上时问题1中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【学以致用】 （2）如图③当（1）中的菱形内角，且点M为边中点，，其他条件不变时，求菱形的边长． 23. 生活中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸． （1）探索发现实验一：如图1，将正方形纸片沿对折，展开后沿折叠，使得落在折痕的点处，再将正方形纸片沿过点的直线进行折叠，使得点落在边上，点落在边上，折痕与分别交于．验证得知矩形纸片是标准纸． 实验二：如图2，将矩形纸片沿折叠，再沿折一次，折痕与交于点，通过测量得到，验证得知矩形纸片是标准纸． 请证明实验一或实验二中的矩形纸片是标准纸；（选择其中一个证明即可） （2）拓展应用如图3，在标准纸片中，，是线段上的点，且，是的中点，将沿折叠得到，连接并延长，交于点． ①求证：是的中点； ②将矩形纸片沿折叠，使得落在线段的点处，求证：三点共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁鞍山市岫岩满族自治县2025—2026学年第二学期期中学情调查数学 （考试时间：90分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据同类二次根式是最简二次根式的被开方数相同，可得答案． 【详解】解：A、与不是最简二次根式，故A错误； B、与被开方数相同，故与是同类二次根式，故B正确； C、，故与不是同类二次根式，故C错误； D、，故与不是同类二次根式，故D错误； 故选：B． 2. 要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（ ） A. 常量为长方形的面积；变量为长，宽 B. 常量为长方形的面积、宽为，变量为长 C. 常量为长方形的面积、长为，变量为 D. 常量为长、宽，变量为长方形的面积 【答案】A 【解析】 【分析】在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量，根据定义判断即可． 【详解】解：∵长方形的面积固定为，在变化过程中数值保持不变， ∴长方形的面积是常量， ∵长和宽的数值可以发生变化，满足， ∴和是变量． 3. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. C. 6，8，10 D. 5，12，13 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 4. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】C 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式和外角和定理建立方程求解． 【详解】设这个多边形的边数为n， 由题意得 解得： 故选C． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记多边形内角和公式，以及外角和360°，是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法，加法，算术平方根性质和除法运算法则，分别计算各选项即可判断正确结果． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，无法合并，，故B错误，不符合题意； C、 故C错误，不符合题意； D、，故D正确，符合题意． 6. 如图所示，一个实心铁球静止在长方体水槽的底部，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度y与注水时间x关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据长方体水槽的横断面示意图，可知水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可． 【详解】解：由长方体水槽的横断面示意图可得， 水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变， 故选：C． 【点睛】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 7. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，如图所示，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴较小的内角为，   故选： ． 8. 将一根30厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中（不计厚度），则细木棒露在盒外的部分最短为（ ） A. 13厘米 B. 17厘米 C. 18厘米 D. 26厘米 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理求出盒子的对角线长，从而即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：盒子底面对角线长为（厘米）， 盒子的对角线长：（厘米）， ∴细木棒露在盒外的部分最短为（厘米）． 9. 如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，直角三角形的性质． 由矩形的性质、平行线的性质和角平分线的定义得到，利用勾股定理求出，再利用直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：矩形， ，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 点为的中点， ． 10. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若函数的表达式在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负即可求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴自变量的取值范围是． 12. 计算： =________． 【答案】 【解析】 【分析】先进行二次根式的化简，然后去括号合并即可． 【详解】原式＝3＝3． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，属于基础题，关键是掌握二次根式的化简． 13. 某款共享充电宝的租金规则是：前30分钟，每分钟按元计费；30分钟后，超过部分按每分钟元计费．设租用该款共享充电宝的时间为分钟，则总费用与时间的关系式是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列函数关系式． 根据租金规则，前30分钟费用固定，超过部分按不同费率计算，总费用为两部分之和，进而列函数关系式即可． 【详解】解：当时，前30分钟费用为元， 超过部分时间为分钟，费用为元， 因此总费用． 故答案为：． 14. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（E，F分别为、的中点）．若，则此时点距离地面的高度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵E，F分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴此时点距离地面的高度为． 15. 如图，正方形的边长为2，E是的中点，F，G是对角线上的两个动点，且，点是中点，连接，，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，连接，，证明为的中位线，，得出，，再证明四边形为平行四边形，得出，根据正方形的对称性可得，则，当、、三点共线时，取得最小值，即此时的最小值为线段的长度，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 如图，连接，， ∵E是的中点，点是中点， ∴为的中位线，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据正方形的对称性可得：， ∴， 当、、三点共线时，取得最小值，即此时的最小值为线段的长度， ∵， ∴的最小值为． 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得出结果； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． （1）求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1）长方形的周长为米 （2）购买地砖需要花费元 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解； （2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解． 【小问1详解】 解： （米）． 答：长方形的周长为米． 【小问2详解】 解： （平方米）． （元）． 答：购买地砖需要花费元． 18. 如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米． （1）求的度数； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则米，由线段垂直平分线的性质得到米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， ∴； 【小问2详解】 解：设米，则米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米． 19. 如图，在中，M，N是对角线的三等分点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，线段三等分点的定义，熟练掌握并运用相关知识即可解题． （1）连接交于点O，根据平行四边形的性质得出，再根据M，N是对角线的三等分点得到，进而利用平行四边形的判定解答即可； （2）根据三等分点得出，利用勾股定理进而得出，再利用勾股定理得出即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ，， ，N是对角线的三等分点， ， ∴ ， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：，，M，N是对角线的三等分点， ，， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ． 20. 如图，在中，，是的中点，过点作，过点作，两线相交于点，过点作于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【小问1详解】 证明：∵， D是BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 21. 对一壶水加热，如表记录了加热12分钟内13个时间点的水的温度，其中表示加热时间，表示水的温度． 0 1 2 3 4 5 6 60 65 70 75 80 85 90 7 8 9 10 11 12 95 100 100 100 100 100 （1）在平面直角坐标系中描出这些数据对应的点，前9个点是否在一条直线上？后5个点是否在一条直线上？由此你能发现水的温度的变化规律吗？ （2）水的温度是否为加热时间的函数？如果是，请直接写出表示表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象． （3）从节省能源的角度考虑，加热多长时间后就应该停止对这壶水加热？ 【答案】（1）见解析 （2）是，，图见解析 （3）加热8分钟时间后就应该停止对这壶水加热 【解析】 【分析】（1）在平面直角坐标系中描出这些数据对应的点，结合图象即可得出规律； （2）利用待定系数法求出关于的函数，再画出函数图象即可； （3）结合函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：在平面直角坐标系中描出这些数据对应的点： 根据图象可知前9个点在一条直线上，后5个点在一条直线上； 规律：从第8分钟，温度一直上升，且时间增加1分钟，温度上升；从第8分钟开始温度保持不变，水开始沸腾，温度为； 【小问2详解】 解：水的温度是加热时间的函数， 当时，设， 将代入可得， 解得：， ∴； 当时，， ∴与的函数解析式为； 画出函数图象： 【小问3详解】 解：从节省能源的角度考虑，加热8分钟时间后就应该停止对这壶水加热． 22. 【问题情境】 在菱形中，为对角线，点M为射线上的一动点（不与点C重合）．连接交对角线于点E，过点C作，交或的延长线于点N． （1）问题1：如图①，当点M在边上时，猜想线段与线段的数量关系．（直接写出结论） 问题2：如图②，当点M在的延长线上时问题1中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【学以致用】 （2）如图③当（1）中的菱形内角，且点M为边中点，，其他条件不变时，求菱形的边长． 【答案】（1）问题1：；问题2：仍成立，证明见详解；（2）3 【解析】 【分析】（1）问题1：连接，，与交于点O．由菱形的性质得出，，即可得出垂直平分．由线段垂直平分线的性质得出，，由平行线的性质得出，，等量代换可得出，由等边对等角可得出，再等量代换可得出．问题2：解法同问题1． （2）连接，，与交于点O，先证明四边形是正方形，由正方形的性质得出，，，，同（1）证明得出，进而可得出是的中位线，由三角形中位线的定理得出，再证明，由全等三角形的性质进一步得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）问题1，连接，，与交于点O． ∵四边形为菱形， ∴，， ∴垂直平分． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 问题2：成立，证明如下∶ 连接，，与交于点O． ∵四边形为菱形， ∴，， ∴垂直平分． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）连接，，与交于点O， ∵四边形为菱形，， ∴四边形是正方形， ∴，，，， ∴垂直平分． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵． ∴． ∵M在边中点， ∴， 又， ∴．． ∴， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得∶， 又， ∴， ∴， ∴正方形的边长为3． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 23. 生活中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸． （1）探索发现实验一：如图1，将正方形纸片沿对折，展开后沿折叠，使得落在折痕的点处，再将正方形纸片沿过点的直线进行折叠，使得点落在边上，点落在边上，折痕与分别交于．验证得知矩形纸片是标准纸． 实验二：如图2，将矩形纸片沿折叠，再沿折一次，折痕与交于点，通过测量得到，验证得知矩形纸片是标准纸． 请证明实验一或实验二中的矩形纸片是标准纸；（选择其中一个证明即可） （2）拓展应用如图3，在标准纸片中，，是线段上的点，且，是的中点，将沿折叠得到，连接并延长，交于点． ①求证：是的中点； ②将矩形纸片沿折叠，使得落在线段的点处，求证：三点共线． 【答案】（1）见详解 （2）①见详解②见详解 【解析】 【分析】（1）如图1，先得出，再结合勾股定理得，整理得，得出矩形是标准纸，如图2中，设，，即，由翻折变换的性质可知，结合勾股定理得，故，即可作答． （2）①运用折叠的性质以及三角形内角和性质，得，证明，然后由等角对等边，再证明即可； ②连接交于点．延长交的延长线于点T．分别取，的中点，连接．运用证明，整理得，，同法可证，结合勾股定理得，，再整理边的关系得，即可作答． 【小问1详解】 证明：如图1中，由题意，， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴ ∴， ∴矩形是标准纸； 如图2中，设，， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是标准纸； 【小问2详解】 解：①连接， 由翻折变换的性质可知， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H是的中点； ②连接交于点．延长交的延长线于点T．分别取，的中点，连接． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同法可证 ∴， ∴， 设，， 则，， ∵点H是的中点； ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴P与重合， ∴D，P，E共线． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $