专题10 利用导数解决实际问题五大题型（高效培优专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题10 利用导数解决实际问题五大题型 题型一：利润最大问题 题型二：面积最大问题 题型三：体积最大问题 题型四：成本最小问题 题型五：用料最省问题 题型一：利润最大问题 1．学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现，若捕鱼活动量为个单位，则捕鱼活动的收益，捕鱼活动的成本，其中为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下，且当时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问题，现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到，使得时捕鱼活动的利润减少到0，则约为（    ） A．4.6 B．5.4 C．6.2 D．7.0 【答案】C 【详解】设捕鱼活动的利润为， 则， 所以， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以当时，取最大值，为， 所以； 由题意可得当单位捕鱼活动的成本增加到，时，， 所以，解得. 故选：C. 2．近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为______. 【答案】0.047 【详解】设表示收益，则存款量是，贷款收益为， 则收益， ， ∴当时，，当时，， 所以函数在内单调递增，在单调递减， 即收益在时取得极大值，亦即最大值. 所以为使银行收益最大，应把存款利率定为0.047， 故答案为：0.047. 3．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料(忽略瓶壁厚度），制造商可获利1分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为3cm． (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 【答案】(1)3 cm (2)1 cm 【分析】 【详解】（1）由题意可知，记每瓶饮料的利润是，则. 所以，令，解得； 当时，；当时，. 因此，在上单调递减，在上单调递增. 又当时，；. 所以当半径为3 cm时，利润最大，最大利润为分. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 所以当半径为1 cm时，利润最小，此时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值. 4．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，）满足：当时，，（为常数）；当时，．已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克． (1)求的值，并确定y关于x的函数解析式； (2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润最大． 【答案】(1)，， (2)销售价格元时，利润最大. 【分析】 【详解】（1）由题意可知时，，所以， 又当时，，所以， 解得，可得， 所以. （2）由题意：， 当时，， 则， 则令，解得，令，解得或， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以当时有最大值，且； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以时有最大值，因为， 所以当时，有最大值1840，即当销售价格为5.3元/千克时，店铺所获利润最大． 5．“百县千镇万村高质量发展工程”在广东持续深入推进，汕尾某驻村帮扶队结合当地“海丰油粘米”特色产业，推出“礼盒装油粘米”（每盒含1袋精品油粘米），通过电商助销拓展销路．经市场调研：该礼盒的种植、加工及包装成本为24元／盒，每万盒的销售收入（单位：万元）与销售量（单位：万盒）的关系为： (1)利润（单位：万元）＝销售收入-总成本，写出关于的函数关系式； (2)当销售量为多少万盒时，帮扶村落能获得最大利润？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)15万盒， 170万元 【分析】 【详解】（1）总成本=每盒成本×销售量，即24x万元． 当时，， 当时，， 因此利润函数为 （2）当时，，可知该二次函数图象为开口向下的抛物线，其对称轴为直线，由于区间在对称轴左侧，函数单调递增， 故在的最大值为（万元）； 当时，， 因此，， 当且仅当，即（负值舍去）时等号成立，即最大值为170万元． 比较两段的最大值：， 故当销售量为15万盒时，利润最大，最大利润为170万元． 6．春节是中国民间最隆重的最富有特色的传统节日之一，一般从腊八或者小年开始，到元宵节都叫过年．在此，提前祝各位新年快乐！为了庆祝2026年春节，火某镇的某商场销售经理进行调研，发现了销售某一种商品的经验，该商品每日的销售量（千克）与销售价格（元／千克）满足关系式，其中，是常量．已知销售价格为5元／千克时，每日可销售出该商品11千克． (1)求实数的值； (2)若该商品的成本为3元／千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值． 【答案】(1) (2)4元／千克，最大值为42元 【分析】 【详解】（1）∵当时，， ∴由函数式， 得． （2）由（1）知该商品每日的销售量， ∴商场每日销售该商品所获得的利润为， ，     ． 令，得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减． ∴当时，函数取得最大值， ∴当销售价格为4元／千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元． 题型二：面积最大问题 7．路边有一块区域，经过整理可以建一个花圃以供欣赏，其中三角形各顶点在同一条曲线上.如图，园艺师通过测量可知三角形各顶点分别为，，，其中，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，过A，B，C分别向x轴作垂线，垂足分别为D，E，F， 则的面积为， 设， 则， 所以在上单调递减，则． 8．在半径为的半圆内作一内接梯形，使其下底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，梯形的上底长为_______． 【答案】 【详解】依题意，该梯形为等腰梯形，设其上底长为，则该梯形的高， 梯形面积，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此当时梯形面积取得最大值，梯形的上底长为. 故答案为： 9．某小学生在一次手工课上，把体积为的橡皮泥，摔成表面中有正方形的一个长方体，再把该长方体的表面贴上彩色包装纸，则所用彩色包装纸的面积的最小值为______． 【答案】216 【详解】设长方体表面中的正方形边长为，高为， 则由题意得，得， 所以长方体的表面积为， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以当时取得最小值为， 所以所用彩色包装纸的面积的最小值为216. 故答案为：216 10．如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．    【答案】 【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图， 则，，设方程为：， 所以，，方程为：， 令矩形面积为， 当时，， 当，设，则， 所以， 则， 令，则，在上递增， 令，则或，在上递减， 又，，， 所以当的长为时，该矩形面积最大.    故答案为： 11．某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 【答案】(1) (2) (3)当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 【分析】 【详解】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.如图所示，则，，. 设曲线段BC所在抛物线的方程为. 由题意可知，点和在此抛物线上， 故， 所以曲线段BC的方程为： （2）由题意，线段AC的方程为. 当点D在曲线段BC上时，. 当点D在线段AC上时，. 所以 （3）当时，，令，得，（舍去）. 当时，；当时，. 因此当时，是极大值，也是最大值 当时， 当时，是最大值 因为 所以当时，S取得最大值，此时 所以当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 12．如图，四边形是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流，其经过的路线是以中点M为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计）.某公司准备投资一个大型矩形游乐园. (1)建立适当的坐标系，求抛物线的方程； (2)设点P的坐标为，求游乐园的面积S； (3)求游乐园面积的最大值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】 【详解】（1）如图，以M点为原点，所在直线为y轴建立平面 直角坐标系，则.设抛物线方程为. ∵点D在抛物线上，，解得， ∴抛物线方程为. （2）设是曲线上任一点，则 ，，∴矩形游乐园面积为 ， （3）求导得，，令，得， 解得或（舍）. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. ∴当时，S有极大值且为最大值， 此时，， ∴游乐园的最大面积为. 题型三：体积最大问题 13．已知一个底面半径为，高为2的圆锥容器（容器壁厚度忽略不计）．将一个正四棱柱置于此圆锥内部，且满足正四棱柱下底面与圆锥底面贴合，则正四棱柱体积最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，正四棱柱体积最大时，其上底面正方形外接圆是平行于圆锥底面的截面圆， 因此正四棱柱的下底面中心是圆锥的下底面圆心，作出过正四棱柱下底面对角线的圆锥的轴截面， 该轴截面截正四棱柱得其对角面，如图，设正四棱柱的底面边长为，则，    由，得，而，则，， 因此该正四棱柱体积，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 则当时，，所以正四棱柱体积最大值为. 故选：A 14．如图，某圆柱完全在一个棱长为9的空心正四面体内部，该圆柱的下底面落在此正四面体一个底面上，当该圆柱体积最大时，其底面半径为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】如图所示，设圆柱的上、下底面圆心分别为，其中也是底面正的中心， 因为正四面体的棱长为，可得， 在直角中，可得，且， 设圆柱的底面圆的半径为，高为， 由，可得，即，解得， 则圆柱的体积为，其中， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，即圆柱的体积取得最大值. 故选：A. 15．如图，一块边长为6的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】形成的正四棱锥如图所示，取BC中点，连接SM，OM， 由题易知SM为等腰三角形SBC的高，所以，设，中， 则，正四棱锥的体积， 令，其中即， 正四棱锥的体积最大即取得最大值，， 令得到，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在时正四棱锥的体积最大． 16．已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设圆锥的底面半径为，母线为，则圆锥的高为， 则圆锥的体积为，记， 则， 由可得，由，可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得最大值，即圆锥的体积最大， 此时，母线与底面所成的角即，其余弦值为. 故选：A. 17．已知圆台上、下底面半径分别为，，高为，且，当圆台的体积最大时，圆台的母线与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】因，则， 因，得， 令，则， 则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得最大值，此时， 故圆台母线与底面所成角的正切值为. 故选：D. 18．已知球的半径为2，圆锥的底面圆周在球的球面上，是圆的一条弦，且二面角为，则当三棱锥的体积最大时，圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，，球的半径． 如图，取的中点，连接， 则， 则是二面角的平面角．， 则， 所以，由得， 则三棱锥的体积 ， 令， 令，则（负根舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则当三棱锥的体积最大时，， 则，此时，圆锥的侧面积． 故答案为：. 题型四：成本最小问题 19．如图，从边长为100米的等边三角形花园的点沿直线修一条路到边上的点，再从沿直线修一条路到边上的点，且，若路每米的造价是路每米造价的倍，则当______米时，修筑这两条路的总造价最低．    【答案】75 【详解】设米，路的造价为每米元， 在中，由余弦定理可知 ， 由，得是等边三角形，则， 所以总造价， 当时，均在上单调递减； 则在上单调递减； 当时， 则 ， 令，即，解得（舍）或， 且当时，在单调递减； 当时，在单调递增． 综上可知，在单调递减；在单调递增． 故当时，取最小值. 所以当米时，修筑这两条路的总造价最低． 故答案为：. 20．已知甲、乙两地的距离是100km，按交通法规规定，甲、乙两地之间的公路车速应限制在0～120km/h， 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：. (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【答案】(1) (2)； 【分析】 【详解】（1）将代入，得， 所以从甲地到乙地要耗油升. （2）设从甲地到乙地耗油为，则， 化简得， 而， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则当时，取得最小值，此时， 即当汽车速度为千米每小时时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升. 21．如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元（是常数，且），半球形部分每平方米的建造费用为万元. (1)容器的总建造费用为万元，请把表示为r的函数； (2)求该容器的总建造费用最少时的r值. （参考公式：，） 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）由题设，则，且， 所以，且； （2）由（1）得 ， 且，令 当即时，在上恒成立，即在上单调递减，此时时取； 当即时，当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增，此时时有； 综上，当时，，该容器的总建造费用最少； 当时，，该容器的总建造费用最少. 22．甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为． (1)把全部运输成本元表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)， (2)应该以千米/小时行驶 【分析】 【详解】（1）由题意得，每小时运输成本为，全程行驶时间为小时， 所以，. （2）， 当时，， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以当时，最小. 综上：应该以千米/小时行驶. 23．某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） (1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； (2)当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 【答案】(1)，定义域为 (2)，最小值为 【分析】 【详解】（1）由题意可得，所以h， 所以 ， 即 ， 因为，，所以，则， 所以定义域为. （2）设， 则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， 且，总费用最小值为， 所以当半径r为时，建造费用最小，最小为千元． 24．2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元. (1)当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？ (2)已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？ 【答案】(1) (2)150元. 【分析】 【详解】（1）由 有，令，得或（舍）， 当时，,单调递减， 当时，,单调递增， 所以当车速为时，车辆每千米的耗电量最低； （2）设司机的工资为元，则行车的总费用为 ，由题意知时，， 得，即司机每小时的工资为150元. 题型五：用料最省问题 25．制作一个容积为的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，圆柱的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，设圆柱的高为，底面圆的半径为， 因为圆柱形容器的容积为，可得，则， 圆柱形容器的表面积为， 可得， 令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，也为的最小值. 故选：C. 26．工厂需要围建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度（单位：）是利用原有墙壁长度（单位：）的函数． (1)写出关于的函数解析式，并确定的取值范围； (2)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？（运用导数知识解决） 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知：与原有墙壁垂直的新墙长度为，的取值范围为， 则，整理可得：， 关于的函数解析式为. （2）由（1）可得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，此时， 当堆料场的长、宽比为时，需要砌起的新墙用的材料最省. 27．如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为.为使所用材料最省，圆的直径应该为__________. 【答案】 【详解】设圆的半径为，则半圆的面积为， 所以矩形的宽为，设矩形的长为，则矩形的面积为， 所以，即， 该图形的周长为， 令，所以， 令，解得：（负值舍去）， 当时，当时 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当即时，函数取得最小值. 即圆的直径时，所需材料最省. 故答案为： 28．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则该圆柱形水桶的底面半径为________． 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为，由体积得高为， 则圆柱的表面积为， ， 令，得，单调递减，令得，单调递增． 所以在时取得最小值，要使得用料最省，底面半径为. 故答案为：. 29．在南水北调工程中，需要建造大量的引水渠（如图1所示），按工程设计要求，引水渠过水横断面需要设计为圆弧形，当过水面积为定值时，其湿周（浸没水中的圆弧长，即图2中圆弧的长）越小，则用料越省. (1)设扇形的圆心角为（如图2所示），试将湿周表示为的函数； (2)当为何值时，用料最省？ 【答案】(1) (2)时，用料最省. 【分析】 【详解】（1）设扇形半径为，则， 可得，即， 所以. （2）由（1）得：，即， 构造，， 则， 因为，则， 构造，，则， 可知在内单调递减，则， 即，可得， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知当，即时，取得最小值，即取得最小值， 所以当时，用料最省. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 利用导数解决实际问题五大题型 题型一：利润最大问题 题型二：面积最大问题 题型三：体积最大问题 题型四：成本最小问题 题型五：用料最省问题 题型一：利润最大问题 1．学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现，若捕鱼活动量为个单位，则捕鱼活动的收益，捕鱼活动的成本，其中为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下，且当时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问题，现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到，使得时捕鱼活动的利润减少到0，则约为（    ） A．4.6 B．5.4 C．6.2 D．7.0 2．近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为______. 3．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料(忽略瓶壁厚度），制造商可获利1分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为3cm． (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 4．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，）满足：当时，，（为常数）；当时，．已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克． (1)求的值，并确定y关于x的函数解析式； (2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润最大． 5．“百县千镇万村高质量发展工程”在广东持续深入推进，汕尾某驻村帮扶队结合当地“海丰油粘米”特色产业，推出“礼盒装油粘米”（每盒含1袋精品油粘米），通过电商助销拓展销路．经市场调研：该礼盒的种植、加工及包装成本为24元／盒，每万盒的销售收入（单位：万元）与销售量（单位：万盒）的关系为： (1)利润（单位：万元）＝销售收入-总成本，写出关于的函数关系式； (2)当销售量为多少万盒时，帮扶村落能获得最大利润？最大利润是多少万元？ 6．春节是中国民间最隆重的最富有特色的传统节日之一，一般从腊八或者小年开始，到元宵节都叫过年．在此，提前祝各位新年快乐！为了庆祝2026年春节，火某镇的某商场销售经理进行调研，发现了销售某一种商品的经验，该商品每日的销售量（千克）与销售价格（元／千克）满足关系式，其中，是常量．已知销售价格为5元／千克时，每日可销售出该商品11千克． (1)求实数的值； (2)若该商品的成本为3元／千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值． 题型二：面积最大问题 7．路边有一块区域，经过整理可以建一个花圃以供欣赏，其中三角形各顶点在同一条曲线上.如图，园艺师通过测量可知三角形各顶点分别为，，，其中，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．在半径为的半圆内作一内接梯形，使其下底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，梯形的上底长为_______． 9．某小学生在一次手工课上，把体积为的橡皮泥，摔成表面中有正方形的一个长方体，再把该长方体的表面贴上彩色包装纸，则所用彩色包装纸的面积的最小值为______． 10．如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．    11．某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 12．如图，四边形是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流，其经过的路线是以中点M为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计）.某公司准备投资一个大型矩形游乐园. (1)建立适当的坐标系，求抛物线的方程； (2)设点P的坐标为，求游乐园的面积S； (3)求游乐园面积的最大值. 题型三：体积最大问题 13．已知一个底面半径为，高为2的圆锥容器（容器壁厚度忽略不计）．将一个正四棱柱置于此圆锥内部，且满足正四棱柱下底面与圆锥底面贴合，则正四棱柱体积最大值为（   ） A． B． C． D． 14．如图，某圆柱完全在一个棱长为9的空心正四面体内部，该圆柱的下底面落在此正四面体一个底面上，当该圆柱体积最大时，其底面半径为（    ） A． B．2 C． D．3 15．如图，一块边长为6的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（   ） A． B． C．3 D． 16．已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 17．已知圆台上、下底面半径分别为，，高为，且，当圆台的体积最大时，圆台的母线与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D．1 18．已知球的半径为2，圆锥的底面圆周在球的球面上，是圆的一条弦，且二面角为，则当三棱锥的体积最大时，圆锥的侧面积为___________． 题型四：成本最小问题 19．如图，从边长为100米的等边三角形花园的点沿直线修一条路到边上的点，再从沿直线修一条路到边上的点，且，若路每米的造价是路每米造价的倍，则当______米时，修筑这两条路的总造价最低．    20．已知甲、乙两地的距离是100km，按交通法规规定，甲、乙两地之间的公路车速应限制在0～120km/h， 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：. (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 21．如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元（是常数，且），半球形部分每平方米的建造费用为万元. (1)容器的总建造费用为万元，请把表示为r的函数； (2)求该容器的总建造费用最少时的r值. （参考公式：，） 22．甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为． (1)把全部运输成本元表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 23．某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） (1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； (2)当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 24．2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元. (1)当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？ (2)已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？ 题型五：用料最省问题 25．制作一个容积为的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，圆柱的底面半径为（    ） A． B． C． D． 26．工厂需要围建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度（单位：）是利用原有墙壁长度（单位：）的函数． (1)写出关于的函数解析式，并确定的取值范围； (2)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？（运用导数知识解决） 27．如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为.为使所用材料最省，圆的直径应该为__________. 28．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则该圆柱形水桶的底面半径为________． 29．在南水北调工程中，需要建造大量的引水渠（如图1所示），按工程设计要求，引水渠过水横断面需要设计为圆弧形，当过水面积为定值时，其湿周（浸没水中的圆弧长，即图2中圆弧的长）越小，则用料越省. (1)设扇形的圆心角为（如图2所示），试将湿周表示为的函数； (2)当为何值时，用料最省？ 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $