专题06 导数中的单调性讨论（6题型专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 以主导函数类型为分类标准，系统覆盖一次、指数、对数、二次（可/不可因式分解）、二次指数6类题型，构建从基础到综合的单调性讨论训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |主导为一次函数|5题|含参数一次型导函数|按函数复杂度递进，强化导数应用中分类讨论的推理能力与模型意识| |主导为指数函数|5题|指数与一次/二次结合型| |主导为对数函数|4题|含对数式导函数| |主导为可因式分解的二次函数|5题|可分解二次型导函数| |主导为不可因式分解的二次函数|5题|需判别式分析的二次型| |主导为二次指数函数|5题|二次与指数复合型|

专题06 导数中的单调性讨论（6题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、主导为一次函数 1 题型二、主导为指数函数 8 题型三、主导为对数函数 14 题型四、主导为可因式分解的二次函数 19 题型五、主导为不可因式分解的二次函数 26 题型六、主导为二次指数函数 33 B 综合攻坚·能力跃升 40 题型一、主导为一次函数 1．已知函数（）． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，函数有三个极值点． ①证明：存在直线l，l与曲线切于点； ②试判断过点可以作曲线的几条切线？并说明理由． 【答案】(1)若，在上单调递增； 若，在内单调递增，在内单调递减 (2)①证明见解析；②两条切线，理由见解析 【详解】（1）当时，的定义域为， 则， 若，则，可知在上单调递增； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，在上单调递增； 若，在内单调递增，在内单调递减. （2）①时，则的定义域为， 且， 设，，可知有2个变号零点，且不为1， 因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 且当趋近于0或时，趋近于， 则，可得， 此时存在，，，且是方程的两根， 则，可得和， 则，且， ； 点、处的切线方程均为， 所以存在直线l：与曲线切于点，； ②设切点， 则，， 可得切线方程为， 代入点得：， 整理可得， 设，，可得， 因为，令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减． （i）若，则，由①可知：； 若，则，由①可知：； 此时切线均为； （ii）若，则， 设，，则， 因为，则，，可得， 可知在内单调递增， 且，， 所以存在唯一的，使得，取，符合题意； 综上所述，过点可以作曲线的两条切线． 2．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数a的值； (3)已知，当时，函数恰有两个不同的极值点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）， ①当时，，则在上单调递减， ②当时，令， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； ③当时，令， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）①当时，在上单调递减，且， 所以当时，，不合题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 又，时，，时，， 所以当时，，满足题意； ③当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，不合题意； 综上所述，． （3），则， 令， 设，则是方程的两个不同的实数根， 则，令， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， ，， 由于，且的极小值，当时，当时， 因为直线与曲线恰有两个交点， 所以在区间内，由于且递减，要使，必有， 在区间内，由于且递增，必有， 所以， 设，则， 令， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的最小值为， 所以，即， 因为是方程的根，所以，代入不等式得：， 由于，则， 下面证明，那么就有， 由，令，， 则， 因为，，，所以， 所以在上单调递增，又， 因此当，，即， 由于且在上单调递增，且， 所以必有， 所以． 3．已知a≠0，函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)时，单调递减区间为，无单调递增区间；时，单调递增区间为，单调递减区间为； (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得的定义域为， 由，可得. 若，则在上恒成立， 则的单调递减区间为，无单调递增区间. 若，则当时，，当时，， 则的单调递减区间为，单调递增区间为， （2）当时，， 要证，只需证. 又，所以只需证. 令，则， 则当时，，当时，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以，即， 所以当时，. 4．已知函数，其中． (1)若，求的极小值； (2)令，讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在单增；当时，在单调递减，在上单调递增 【详解】（1）当时，，的定义域为， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值． （2）的定义域为， . 令，则， 当时，恒成立，所以即在上单调递增． 当时，由，得，由，得， 所以即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在上单调递增. 5．设函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间： (3)当时，求零点的个数． 【答案】(1) (2)当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. (3)2个零点. 【详解】（1）若，则，则， 因为，所以曲线在处的切线方程为； （2），令，解得， 因为， 所以，当，即时，在区间，，单调递减； 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）由（2）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则， 令，则， 因为，所以，此时单调递减，则， 所以， 因为，且 ，所以在存在一个零点， 因为， 所以在存在一个零点， 故当时，有2个零点. 题型二、主导为指数函数 6．已知函数（）. (1)讨论函数的单调性； (2)已知，函数，对任意，存在，使，求实数的取值范围； (3)已知，函数有两个不同的零点，，且有唯一的极值点，记，，，判断是否可能为等腰三角形，并说明理由. 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) (3)不可能为等腰三角形，理由见解析 【详解】（1）函数的定义域为，，， 当时，，在上单调递减； 当时，令，则， 令，则；令，则； 在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2），，， 当时，即，. 由（1）知，当时，，在上单调递增，在上单调递减. 对任意， 对任意，存在，使，则. ，，， 即实数的取值范围为. （3）不可能为等腰三角形，理由如下： 由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 有唯一的极大值点，不妨设， ，，， 过点作轴于点，则. ①比较与的大小，等价于比较与的大小，等价于比较与的大小，即比较与的大小. ， 设，，， 在上单调递减， 所以，即， 在上单调递减，， 即，，由勾股定理可得， ②比较与的大小，，， 先证明（），设，， 在上单调递增，，即（）， ， ， ， 下面比较与的大小， ， 设，，， 设，， 则 ， ，，，即，在上单调递增， ，在上单调递增， ，， 在上单调递减，， 即， ， 综上，不可能为等腰三角形. 7．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增. (2) 【详解】（1）由题意得， 当时，，在上单调递增， 当时，令.， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减；在上单调递增. （2）当时，由（1）知在上单调递增，，，不合题意， 当时，由（1）知在上单调递减；在上单调递增， ， 即，解得， 综上，实数m的取值范围为 8．已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有2个不同的零点，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． (3)． 【详解】（1）当时，，则， 又，. 因此曲线在点处的切线方程为． （2）． 当时，恒成立，因此在上单调递减； 当时，令，得，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）知，当时，在上单调递减，仅1个零点，不符合题意， 故． 当时，． 令，，则， 当，，单调递增；当，，单调递减， 所以． 要使有2个不同的零点，则，所以，即且． 注意到对任意，恒成立，则0为的一个零点，不妨设， 要使，则，且， 令，则，解得，所以． 当时，根据单调性可知，极小值点，且， 解得； 当时，根据单调性可知，极小值点，且， 解得， 综上，的取值范围是． 9．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 【详解】（1）当时，，所以，即切点坐标为， 又因为，所以， 所以切线方程为，即. （2）因为， 所以当时，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 10．已知函数，. (1)当时，求证：对于任意，函数的图象恒在图象的上方； (2)设，讨论在上的单调性； (3)已知数列满足，其前项和为，利用（2）中的结论，证明：对任意正整数，都有：①；②. 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. (3)证明见解析 【详解】（1）当时，构造差函数， ，令，， 在单调递增，则， 在单调递增，则，即. 故对于任意，函数的图象恒在图象的上方. （2）， ，定义域为，记，， 当，即时，，此时在单调递增； 当，即时，令，得，且单调递增，此时在单调递减，在单调递增. 综上，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （3）由（2）知，当时，在单调递增， 所以得在单调递增， 所以，即，所以， 故，即，即①得证； 所以， ，，，，. 累加得：，故②得证. 题型三、主导为对数函数 11．已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)函数，若，在定义域内有解，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)当时,的单调增区间是，无单调减区间；当时，函数的单调减区间是，单调增区间是 (3) 【详解】（1）当时，函数,可得, 所以且，即切线的斜率为，切点为, 所以在点处的切线方程为， 即. （2）由函数，可得, ①当时，由时，可得， 所以函数的单调增区间是，无单调减区间； ②当时，令，解得， 当时，；当，， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是， 综上，当时,的单调增区间是，无单调减区间； 当时，函数的单调减区间是，单调增区间是. （3）函数，若,在定义域内有解， 即在内有解， 所以在内有解, 所以， 令， 再令，，则在上恒成立， 所以在上单调递增，在上的值域为， 令，则， 显然当时，，则单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取极大值，即最大值，因此， 所以有最大值1，即， 因此k的取值范围为. 12．已知函数. (1)当时，证明； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，函数的单调增区间是，无单调减区间；当时，函数的单调减区间是，单调增区间是. (3) 【详解】（1）当时，， 令，时，. 单调递增；单调递减. 则函数，故. 因为，则，故； （2）因为， 则. ①当时，因为，所以， 的单调增区间是，无单调减区间； ②当时，令，解得， 当时，；当， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是. 综上，当时，函数的单调增区间是，无单调减区间； 当时，函数的单调减区间是，单调增区间是； （3）因为对于任意，都有成立， 所以，即对于恒成立， 即对于恒成立. 令，，则， 令， 则，所以在区间上单调递增. 故，进而， 所以在区间上单调递增，函数， 要使对于恒成立，只要， 所以，即实数的取值范围是. 13．已知，. (1)讨论的单调性； (2)若，讨论的零点个数； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）由题可知：函数的定义域为 ，由，令，所以或， 当时，令，；令，或， 所以函数在单调递增，在单调递减. 当时，在恒成立，所以函数在单调递减； 当时，令，；令，或， 所以函数在单调递增，在单调递减 （2）由（1）可知：当时，函数在单调递增，在单调递减， 当时，；当时，，又， 若，所以，使得，，则函数有3个零点； 若，，，则函数有2个零点； 若，则，则函数有1个零点； 若，则，则函数有2个零点； 若，则，所以，使得则函数有3个零点； 综上所述：当，函数有3个零点； 当或，函数有2个零点； 当，函数有1个零点. 14．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)判断是否存在，使得的最小值为，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）由 得，. 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即， 若，则，，在上单调递增， 若，则当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上，当时在上单调递增；当时在（0，a）上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时在上单调递减，在上单调递增， 所以. 假设存在满足条件的，则，即 又，所以，所以， 设，则， 因为， 所以在上单调递减，所以， 设，则，所以在上单调递增， 所以，故，与矛盾， 所以不存在，使得的最小值为. 题型四、主导为可因式分解的二次函数 15．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 16．已知函数． (1)若函数，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)①；②． 【详解】（1）由题意得的定义域为，， 当时，，则在区间内单调递增； 当时，由，得，（舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减． 所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①依题意，函数的定义域为， 所以函数有两个不同的零点， 可得方程在有两个不同根， 得到函数与函数的图象在上有两个不同交点， 又，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，， 如图，的图象如下： 可见，要想函数与函数在图象上有两个不同交点，只需． ②由①可知分别为方程的两个根，即，， 所以原式等价于． 因为，，所以原式等价于． 又由，作差得，，即， 所以原式等价于． 因为，原式恒成立，即恒成立， 令，，则不等式在上恒成立． 令，则． 当时，可见时，，所以在上单调递增， 又，在恒成立，符合题意； 当时，可见当时，；当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减． 又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以． 17．已知函数，． (1)若，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若，且满足，证明：． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）的定义域为， 当 时，， 令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 在时取得极大值为，无极小值． （2）， 当时，在上恒成立，此时在上单调递增， 当时，若时，，则在上单调递增； 若时，，则在上单调递减； 综上可知：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由题意，记，那么，是的两根， ，可转化为，是的两根， 令，求导得， 令，解得， 若，则；若，则， 在上单调递增，在上单调递减， 不妨设，要证，即证，只需证， 只需证①， 令，求导得： ， 当时，，， 此时，在上单调递增， ，即①式得证，故命题得证． 18．已知函数，（） (1)讨论的单调性； (2)当时，是否存在实数a，使时既有最大值又有最小值，若存在请求出a的范围，若不存在请说明理由；（） (3)当时，若恒成立，求b的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)不存在，理由见解析 (3) 【详解】（1）可知函数定义域为，则， 当时，在上，函数在上单调递减， 在上，函数在上单调递增， 当时，在上，函数在上单调递增， 在上，函数在上单调递减， 当时，在上恒成立，且仅，所以函数在上单调递增， 当时，在上，函数在上单调递增， 在上，函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 可知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时有最大值，没有最小值， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，要使在既有最大值又有最小值， 需满足，即， 由，化简得， 令，则， 令，则， 可知在上，函数在上单调递减， 可知，所以函数在上恒为正， 即在上，函数在上单调递增， 因为，即在上， 所以在上无解，即在时，不存在实数a，使时既有最大值又有最小值. （3）当时，，则， 当时，函数在上单调递增，时，时， 所以存在实数，使，即，化简得， 此时在上，函数在上单调递减， 在上，函数在上单调递增， 在时，函数取得最小值， 可知恒成立，等价于， 由，得， 令，可知函数在上单调减，且， 所以的解集为， 可知，解得， 可知，令，可得， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，，则， 所以实数的取值范围为. 19．已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题意可得：的定义域是，且， 令，则或, ①当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②当时，因为，所以在上单调递增， ③当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，由（1）可得：在上单调递减， 所以，①当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为， ②当时，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为． 综上，． 题型五、主导为不可因式分解的二次函数 20．已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上的最大值为1，求实数的值. 【答案】(1)，证明见解析 (2)当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． (3) 【详解】（1）对函数求导：​， 因为恒成立，故的符号由分子决定. 曲线在处切线斜率为，代入得： ，解得. 此时 ，故恒成立，仅处， 因此在上单调递减，无极值点. （2）对二次函数，判别式，分情况讨论： ①当时，，恒成立，故，在上单调递减； ②当时，的两根为​，​， 则当或时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． （3）①当时，在单调递减，最大值为，由最大值为1得，符合条件； ②时，函数在处取得极大值，显然， 则最大值可能在或处取得． 若，则，不符合． 下面证明同样不可能成立． 令，则，代入得． 此时，由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，同样不可能有． 综上所述，实数的值为1． 21．已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程： (2)讨论函数的单调性； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. (3) 【详解】（1）当时，，则， ，则， 所以当时，曲线在处的切线方程为， 即. （2）函数的定义域为， 则， 当时，对任意的，恒成立， 此时函数的增区间为，无减区间； 当时，对于函数，. 若时，即当时，对任意的，， 此时函数的增区间为，无减区间； 若时，即当时，由可得， 由可得或， 此时函数的减区间为， 增区间为、. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. （3）因为不等式对任意恒成立，则， 因为，则，所以，则， 即， 令，所以， 令，，则， 令，其中， 则， 由（2）知，当时，函数在上为增函数， 因为，则， 所以， 即函数在上为增函数， 此时，则， 所以函数在上单调递增，则，所以， 故实数的取值范围是. 22．已知正项数列中，，． (1)证明：； (2)已知． （i）讨论函数的单调性； （ii）证明：时，． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（ii）证明见解析. 【详解】（1）设函数，求导得 函数在上单调递减，，则当时，恒成立， 由，得，而，因此，数列单调递减， 所以 （2）（i）函数的定义域为，求导得， 设函数，， 当，即时，，，函数在上单调递增； 当，即时，有两个不相等实根，， 函数对称轴，，，则， 当或时，，，函数在上单调递增， 当时，，，函数在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增， 在上单调递减. （ii）由（i）知，当时，在上单调递增， 则当时，，即，由（1）知， 因此，即，则，即， 于是，当时，， 所以当时，. 23．已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若有三个零点，，，且，求实数a的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上递减，在上递增. (2) 【详解】（1）的定义域为，， ，当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，， 则，所以在上单调递增； 当时，令，即， 则的两个根为，； 又，则， 则的解为或，的解为， 则在上单调递增，在上递减，在上递增； 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增， 在上递减，在上递增. （2）设有三个零点，，，而. 当且时，由，得到：； 故，，又因为， 故，，满足，，， 所以有两个不等实根， 即在有两个不同的实数根，，， 则，得到，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 取，所以， 由，设，， 设函数的导函数为， 则， 则在上递减，故，故在上递减. 故，故， 而，， 取时，， 故由零点存在性定理可知， 当时，必存在三个不同实数，，， 且，使得.故. 24．函数. (1)求的单调区间； (2)若只有一个解，求的值； (3)在（2）的条件下，当时，求使成立的最大整数. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3)2 【详解】（1）函数，定义域为，则 因为，设 ， 则令得，， 当时，单调递增， 当时,单调递减， 当时，单调递增， 综上所述的单调递增区间为， 单调递减区间为； （2）若即只有一个解， 因为使方程成立，所以只有0是的解， 故当时，无非零解， 设 ，则， 当单调递减，当单调递增， 所以最小值为 ， 当时，，当时，， 故必有零点，又因为无非零解，故的零点是0， 所以 ，所以； （3）由（2）知，， 由可得 ， 所以，得， 设 ，则， 令，则，因为时，，所以， 则在单调递增，又 所以使得，所以，且 ， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以最小值，且， 得， 又因为，所以，因为， 所以，故整数的最大值为2. 题型六、主导为二次指数函数 25．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若，（其中），，都有，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； (2) (3) 【详解】（1）， 当时，，则恒成立，故在上单调递减； 当时，令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）知，当时，在上单调递减， 则，不符； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 由恒成立，则， 整理得，令，则在上单调递增， 又，故当时，； 综上所述：； （3）由题意可得， 若，则当时，，不符，故，则； ，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 则有恒成立，即， 令，则， 由在上单调递增，则，故. 26．已知函数. (1)若，求函数在的最值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)最大值为，最小值为. (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (3). 【详解】（1），则； ，即在内单调递减. ，； 即函数在时的最大值为，最小值为. （2），则函数的定义域为. . 当时，，即在上单调递减； 当时，令，即，解得. 若，则，即在上单调递增； 若，则，即在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，在上单调递减， 最多只有一个零点，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，也是最小值； 即 有2个零点，，即. 令，则； 在上单调递增. 又， 时，； ，得； 即的取值范围为. 27．已知函数． (1)当时，求函数的最大值； (2)当时，求的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无减区间． 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 令，则. ，随的变化情况如下： 1 + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 所以当时，取最大值，为． （2）， 当时，令，解得或， ①当时，由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； ②当时，由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，由，得，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； ④当时， ，则函数在上单调递增． 综上： 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间． 28．已知函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)若有极大值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，，， 令得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是函数的极小值点，极小值为； （2）函数的定义域为，， 令得，， 因为，， 所以当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以函数的单调递增区间为； （3）由（1）知，当时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，是函数的极小值点，无极大值点，即不存在极大值； 由（2）知，，令得，， 当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，是的极小值点，存在极大值，满足题意； 当时，，恒成立， 故在上单调递增，无极值，不满足题意； 当时，， 所以当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以是函数的极大值点，是的极小值点，存在极大值，满足题意； 综上，当时，函数存在极大值. 29．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2) 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间上单调递减；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增. 【详解】（1）当时，，所以， 由，得， 0 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值； （2）因为函数， 所以， （ⅰ）当时，若，则， 若，则， 若，则， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， （ⅱ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， （ⅲ）当时，，所以函数在区间上单调递减， （ⅳ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述：当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增. 1．已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若对，有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在 上单调递增 ，当时，函数在上单调递减，在 上单调递增. (2) 【详解】（1）函数的定义域为， 由， ①当时，，则函数在上单调递减； ②当时， ，则函数在上单调递增； ③当时，，令，得，令，得或， 故函数在上单调递减，在 上单调递增； ④当时，，令，可得，令，得或， 故函数在上单调递减，在 上单调递增. 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在 上单调递增 ， 当时，函数在上单调递减，在 上单调递增. （2）当时，可得， 此时恒成立， 所以在上单调递增， 若对，有恒成立， 可得恒成立，且，即； 可等价于对恒成立， 令，则； 因为时，恒成立，因此在上单调递增， 所以即可满足题意， 因此实数m的取值范围为 2．已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)若有两个极值点，，且存在a，使得不等式成立，求m的取值范围； (3)若关于x的方程恰有两个实根r，s，求证：． 【答案】(1)当时，在区间内单调递增；当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增． (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由，得， 记，对称轴为， 若，即时，在区间内单调递增，所以， 所以，在区间内单调递增．             若，即时，当，即时，恒成立， 所以，在区间内单调递增；             当，即时，有两个不等的正实根，， 令，得或，令，得， 所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减． 综上，当时，在区间内单调递增； 当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减， 在区间内单调递增． （2）由（1）得，因为有两个极值点，， 所以方程有两个不相等的正实数根，， 则，解得， 所以 ， 设， 则， 所以在区间内单调递减， 所以．                     因为存在a，使得不等式成立， 所以对有解， 所以，故m的取值范围为． （3）证明：，不妨设， 因为， 所以，， 所以，．                下面先证明， 即证， 即证， 即证． 设，则上式转化为，             设，则， 所以在区间内单调递增， 所以当时，， 所以，所以，                 因为，所以， 得，当且仅当时取得等号， 又，所以， 所以． 3．已知函数，． (1)令，讨论在的单调性； (2)证明：，. 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)证明见解析 【详解】（1），，则， ①当时，恒成立，所以在上单调递减； ②当时，令，则，解得. 若，即时，，则，所以在上单调递增； 若，即时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ③当时，在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）令，则，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取极小值， 所以，即，所以，当且仅当，等号成立. 令，则，所以，则. 所以. 综上，，. 4．已知函数，其中． (1)令，讨论的单调性； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，，且，求的值． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (2) (3) 【详解】（1），则， 当时，恒成立，故在上单调递增， 当时，若，则，若，则， 故在上单调递减，在上单调递增； （2）由函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立，设，， 则恒成立， 故在上单调递增，则， 故，即的取值范围为； （3），则， 令、，则，，即， 由，则， 设，则，由，则，即， 故，即，则， 故， 令， 则， 令，则， 故在上单调递增，则， 即，故在上单调递增， 又，故，即. 5．已知函数. (1)讨论单调性 (2)当时，证明：函数有且仅有一个零点； 【答案】(1)时，在单调递减，单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. 时，在上单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为. 求导得. 令，得或，分情况讨论： 当即时，恒成立. 时，，在上单调递减. 时，，在上单调递增. 当且即且时，方程的解为. ①若，则： 时，，在上单调递增. 时，，在上单调递减. 时，，在上单调递增. ②若，则： 时，，在上单调递增. 时，，在上单调递减. 时，，在上单调递增. 当即时，，恒成立，在上单调递增. 综上所述：时，在单调递减，单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. 时，在上单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. （2）①当时，，由， 及函数单调递增，可得函数有且仅有一个零点. ②当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 又由，可得.当时，，可得函数有且仅有一个零点. ③当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 又由 又由，当时，，可得函数有且仅有一个零点， 综上所述，当时，函数有且仅有一个零点. 6．已知函数，且. (1)求a的值； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)单调递增区间：和，单调递减区间：；极大值为， 极小值为. 【详解】（1）对求导可得： 代入，得：， 由题，即，解得. （2）将代入，得，恒成立， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 单调递增区间：和，单调递减区间：， 极大值在处： 极小值在处：. 7．已知函数 (1)求的单调区间； (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，． (2) 【详解】（1）解：由函数的定义域为，且， 若，令，解得，当时，；当时，， 若，令，解得或， ①若时，即时， 当时，；当时，； ②若时，即时， 当或，；当时，； ③若时，即时，可得，且仅； ④若时，即时， 当或，；当时，； 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，． （2）解：由在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 当时，在内存在唯一的零点， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以，， 因为，所以，， 所以， 因为，所以，所以， 所以实数的取值范围为． 8．已知函数，． (1)当，求的极值；2 (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2)答案见解析 【详解】（1）时，，（） 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 故，且无极大值． （2）（） （i）当，时，，，单调递减； （ii）当，时，，，单调递减； 时，，，单调递增． 综上，时，的减区间是，无增区间； 时，的减区间是，增区间是． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06导数中的单调性讨论(6题型专项训练) 目录 A题型建模·专项突破 题型一、主导为一次函数.1 题型二、主导为指数函数8 题型三、主导为对数函数.14 题型四、主导为可因式分解的二次函数19 题型五、主导为不可因式分解的二次函数… 26 题型六、主导为二次指数函数 33 B综合攻坚·能力跃升 .40 A 题型建模·专项突破 题型一、主导为一次函数 1.已知函数f(x)=lnx+ax- bx (a,b∈R). e (1)当b=0时，讨论函数∫(x)的单调性： 2.已知函数f到=o+x+(aeR. (I)讨论函数∫(x)的单调性； 3.已知a≠0，函数f(x)=ax-a2nx. (I)讨论∫(x)的单调性； 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.己知函数y=f(x),其中fx=(x-a)lnx-x+a-3(aeR). (1)若a=0,求fx的极小值； (2)令h(x=∫'(x,讨论函数y=h(x的单调性. 5.设函数fx=alnx+l-x(a≠0). (1)若a=1,求曲线y=f(x在0，f(0)处的切线方程； (2)求函数∫(x)的单调区间： 题型二、主导为指数函数 6.已知函数f(x)=ar-2e+2(aeR). (1)讨论函数f(x)的单调性； 7.已知函数f(x)=e1-mx,m≠0. (1)讨论∫(x)的单调性； 8.已知函数fx=er-2x-1,aeR. (I)当a=2时，求曲线y=∫(x在点(0，f(0)处的切线方程； (2)讨论函数∫(x)的单调性： 2/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.己知函数f(x=e+ax(a∈R. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求∫(x)的单调区间. 10.己知函数f(x)=e,gx=ax2+x+1aeR (①)当a=时，求证：对于任意x>0,函数f(x)的图象恒在g(x)图象的上方； (2)设h(x)=∫(x)-gx,讨论'(x在0，+∞）上的单调性； 题型三、主导为对数函数 11.已知函数f(x=x(nx-m-1,meR. (I)若m=2,求曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程； (2)当x>1时，求函数∫(x)的单调区间； 12.己知函数fx=x(lnx-m-1),meR (1)当m=-1时，证明f(x≤x2-x; (2)当x>1时，求函数fx的单调区间； 3/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 13.已知到-40n-(a+9h+2-2,a>0 (I)讨论f(x)的单调性； 14.已知函数f-(r-2ar-2anr-r+a)+(2a+2到x,aeR (1)讨论f(x)的单调性； 题型四、主导为可因式分解的二次函数 15,已知函数到=芳-aa-(口-小-号 (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程； (2)讨论f(x的单调性； l6.已知函数fx=lnx-ax(aeR). (①若函数g(=f(x+ar-2r，求函数g(x)的单调区间： 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 17.已知函数f)=nx-mx2+0-2m)x+1,gx=血x+3 (I)若m=1,求f(x)的极值； (2)讨论f(x)的单调性： 18.已知函数fx=x-a-(1+a)Inx,(aeR) (I)讨论f(x)的单调性； 19.已知函数f(x)=alnr+x2-(a+1)x(aeR,). 2 (I)讨论∫(x)的单调性； 题型五、主导为不可因式分解的二次函数 20.已商数八刻-(aeR (1)若曲线y=f(x)在点1，f(1)处的切线斜率为0，求实数a的值，并证明此时f(x)无极值点； (2)讨论f(x的单调性： 5/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 21.已知函数fy=-1-ain(aeR) (1)若a=4,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程： (2)讨论函数f(x)的单调性： 22.己知正项数列an}中，a1=1,an+1=ln(an+1). (1)证明：an≤1； (2)已知fw=lncr+1)+a。-2a>0). x+2 (i)讨论函数f(x)的单调性； 23,已知函数f八)=x-ah,其中aeR (1)讨论f(x的单调性； 24.函数f(x=x2+axe(a∈R). (I)求∫(x)的单调区间； 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型六、主导为二次指数函数 25.已知函数fx=ae2r+a-2e-x (1)讨论∫x)的单调性： 26.已知函数fx=ae2+(a-2e-x (I)若a=0,求函数在x∈[L,3]的最值： (2)讨论∫(x)的单调性； 27.已知函数f(x)=-1-nr+ae(aeR). (I)当a=-1时，求函数(x的最大值； (2)当a>0时，求f(x的单调区间. 28.已知函数f(x)=xe*- ax2-ax(a≥0) 2 (1)若a=0,求fx)的极小值： (2当a>时，求∫(x)的单调递增区间； 7/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 29.已知函数fx=ae2r+2(1-ae-2x (I)若a=1,求函数f(x)的极值； (2)讨论fx的单调性 B 综合攻坚·能力跃升 1.已知函数f(到=ar-(a+r+alnx (1)讨论函数f(x)的单调性； 2.已知函数f(x)=lnx-x(a-x),g(x)=f(x)-x2，aeR. (1)讨论f(x)的单调性； 3.已知函数f(x=er,aeR. (①令g(x=f四，讨论g列在(0，+o的单调性： x+1 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4已知函数f=c-ar2-3,其中aeR. 0冷g到=f川到+方r,讨论y=8引d的单调性： 5.己知函数f(x)=(x-2e*-a(x-1). (1)讨论f(x)单调性 6.已知函数fx=x2-ax-1e-2,且f'(2)=4. (1)求a的值： (2)求∫(x)的单调区间和极值， 7.已知函数f(x)=e-a-anxa∈R) (1)求f(x)的单调区间； 8.已知函数f)-分+a-x-h,aeR. (1)当a=1,求f(x)的极值； (2)当aeR时，讨论f(x)的单调性. 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10/10