精品解析：湖南长沙市宁乡市多校 2025-2026学年八年级下学期5月期中联考数学试题

2026年上学期期中学情调研试题卷（八年级数学） 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，不是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，6，8 C. ，， D. 5，12，15 3. 若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ） A. 十边形 B. 九边形 C. 八边形 D. 七边形 4. 某商店进了一批玩具，其销售数量x（个）与销售额y（元）之间的关系式为，则当销售数量为4个时，销售额为（ ） A. 24元 B. 32元 C. 40元 D. 48元 5. 如图，的对角线、相交于点．点是的中点．若，则的长为（ 　　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 如图，在矩形中，连接，，，，则的长为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 7. 图1所示是某教学楼的楼梯扶手侧面图，将扶手最上方的形状抽象成图2所示的平行四边形，其中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 平行四边形是轴对称图形 D. 正方形的每一条对角线平分一组对角 9. 周末，小明同学骑车去东营市图书馆借书，之后骑车回家．下面图象描述了他离家的距离（米）与骑行时间（分钟）之间的关系．根据图中提供的信息，给出下列说法：①小明共骑行了2400米；②小明在图书馆停留了2分钟；③小明从家到图书馆路上的平均速度为400米/分钟；④小明从图书馆回家路上的平均速度为200米/分钟；其中正确的说法共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_____________． 12. 若实数a，b满足，则的值是________． 13. 如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为_______． 14. 如图所示，在平行四边形中，点O为坐标原点，点C的坐标为，点A的坐标为，则顶点B的坐标是________． 15. 如图，将2个正六边形螺母放在地面l上，则的度数为________． 16. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______． 三、解答题（17题12分，18题6分，19、20题每一题8分，21、22题每一题9分，23、24题每一题10分，共72分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．请按要求回答下列问题： （1）线段的长为______，的长为_____，的长为______； （2）判断的形状，并说明理由． 19. 如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 20. 在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，平分，求的长． 21. 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知x、y是两个正整数，且记作、则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： （1）分母有理化：______；化简“理想二次根式”：______． （2）根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 22. 如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． （1）求证：； （2）当时，四边形是________形，请证明． 23. 台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 24. 【问题背景】在正方形中： 如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）； （1）如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 （2）如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____； 【继续探索】 （3）如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期期中学情调研试题卷（八年级数学） 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，不是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，根据定义，形如的式子是二次根式，只需判断各选项中被开方数是否为非负数即可求解． 【详解】根据二次根式的定义判断： ∵ 选项A中被开方数，∴ 是二次根式； ∵ 选项B：，可得，∴ 的被开方数是负数，不符合二次根式定义，不是二次根式； ∵ 选项C：，∴，∴是二次根式； ∵ 选项D：，∴ 是二次根式． 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，6，8 C. ，， D. 5，12，15 【答案】C 【解析】 【分析】若三角形三边满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此逐一验证即可. 【详解】解：根据勾股定理的逆定理，逐一验证各组边长： A选项 ， ， ，∴ 不能构成直角三角形； B选项 ， ， ，∴ 不能构成直角三角形； C选项 ， ，即 ，∴ 能构成直角三角形； D选项 ， ， ，∴ 不能构成直角三角形. 3. 若一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ） A. 十边形 B. 九边形 C. 八边形 D. 七边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和公式的应用，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 设这个多边形边数为n，利用n边形内角和公式，列方程，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得 ，解得， 则这个多边形是八边形． 故选：C． 4. 某商店进了一批玩具，其销售数量x（个）与销售额y（元）之间的关系式为，则当销售数量为4个时，销售额为（ ） A. 24元 B. 32元 C. 40元 D. 48元 【答案】B 【解析】 【分析】把代入即可求解． 【详解】解：当时，（元） ∴当销售数量为4个时，销售额为32元． 5. 如图，的对角线、相交于点．点是的中点．若，则的长为（ 　　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知为中点，进而根据中位线定理可得结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ∵是的中点， ∴是的中位线， ． 6. 如图，在矩形中，连接，，，，则的长为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设交于点，易得为等边三角形，进而得到，即可得出结果. 【详解】解：设交于点， ∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴. 7. 图1所示是某教学楼的楼梯扶手侧面图，将扶手最上方的形状抽象成图2所示的平行四边形，其中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据得到，据此求出的度数即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 平行四边形是轴对称图形 D. 正方形的每一条对角线平分一组对角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形和轴对称图形的性质，根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质和轴对称图形的性质即可求解． 【详解】A. 菱形的四个内角不一定为直角，菱形对角相等且邻角互补，但只有正方形（特殊菱形）的角为直角，故A说法错误，不符合题意； B. 矩形的对角线相等且互相平分，但互相垂直是菱形的性质，矩形对角线不垂直，故B说法错误，不符合题意； C. 平行四边形一般不是轴对称图形（除矩形、菱形、正方形外），故C说法错误，不符合题意； D. 正方形的对角线平分一组对角，且每条对角线将两个角分为，符合正方形性质，故D说法正确，符合题意； 故选：D． 9. 周末，小明同学骑车去东营市图书馆借书，之后骑车回家．下面图象描述了他离家的距离（米）与骑行时间（分钟）之间的关系．根据图中提供的信息，给出下列说法：①小明共骑行了2400米；②小明在图书馆停留了2分钟；③小明从家到图书馆路上的平均速度为400米/分钟；④小明从图书馆回家路上的平均速度为200米/分钟；其中正确的说法共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，利用数形结合的思想解决问题．根据图象即可求解． 【详解】解：①∵小明同学骑车去东营市图书馆借书，之后骑车回家， 由图可知，小明家离图书馆2400米， ∴小明共骑行了4800米， 故①是错误的，不符合题意； ②由图可知，小明在图书馆停留了（分钟）， 故②是正确的，符合题意； ③小明从家到图书馆路上的平均速度为（米/分钟）， 故③是正确的，符合题意； ④小明从图书馆回家路上的平均速度为（米/分钟）， 故④是错误的，不符合题意； 综上所述，正确的说法是②③，共有2个，选B． 10. 如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，设，在中结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件列不等式，求解即可． 【详解】解：由题意知，二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不为零，因此可得： ， 解得：． 12. 若实数a，b满足，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据非负数的性质可得，，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理可得，然后根据实数与数轴可进行求解． 【详解】解：如图， 由数轴可知：，，， ∴， ∴a的值为． 14. 如图所示，在平行四边形中，点O为坐标原点，点C的坐标为，点A的坐标为，则顶点B的坐标是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且点C的坐标为， ∴， ∵点A的坐标为， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴顶点B的坐标是． 15. 如图，将2个正六边形螺母放在地面l上，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图． 由题意得， ， ． 16. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测得，则的度数为______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（17题12分，18题6分，19、20题每一题8分，21、22题每一题9分，23、24题每一题10分，共72分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则和完全平方公式，平方差公式，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．请按要求回答下列问题： （1）线段的长为______，的长为_____，的长为______； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）根据勾股定理逆定理，进行判断即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理，得：，，； 故答案为：； 【小问2详解】 解：是直角三角形，理由如下： 由（1）知：，，； ∴， ∴， ∴是直角三角形． 19. 如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）96 【解析】 【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，利用菱形的判定定理即可得到四边形是菱形； （2）利用勾股定理求得，再利用菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，是边上的高线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是边上的高线，即， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 20. 在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，平分，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，则四边形是平行四边形，再由，可推四边形是矩形； （2）由，，，根据勾股定理可求得，则，再利用角平分线证明，根据等角对等边求出． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， 于点，点在上， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 的长为5． 21. 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知x、y是两个正整数，且记作、则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： （1）分母有理化：______；化简“理想二次根式”：______． （2）根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）中分母有理化将分子分母同乘，化简后得；理想二次根式，找且的两个数,，配方化简为； （2）中先将分母有理化得，再将的分母配方化简为，分母有理化得，最后求的值，根号部分恰好抵消，结果为整数3． 【小问1详解】 解：， ， 令， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 22. 如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． （1）求证：； （2）当时，四边形是________形，请证明． 【答案】（1）见解析 （2）正方，见解析 【解析】 【分析】（1）平行四边形的性质，得到证明，得到，根据，等量代换，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，进而得到四边形是菱形，再根据，即可得到四边形是正方形. 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，四边形是正方形． 证明：由（1）知，， 又， 四边形是平行四边形， ∵ ∴是直角三角形， 由（1）可知，， ， 四边形是菱形， ∵， ， ， ∴菱形是正方形． 23. 台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离为 （2）海港C会受到此次台风的影响，见解析 （3）台风影响该海港持续的时间为 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理进行求解； （2）利用等面积法求出的长度，然后进行比较即可； （3）以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F，根据勾股定理求出的长，得出，最后根据速度即可求解． 【小问1详解】 解：依题意得：中，， ∴根据勾股定理得， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； 【小问2详解】 解：海港C受台风影响， 理由：中，， ， ， ， 海港C会受到此次台风的影响； 【小问3详解】 解：如图，以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F， 则． 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为． 24. 【问题背景】在正方形中： 如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）； （1）如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 （2）如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____； 【继续探索】 （3）如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____． 【答案】（1），证明见解析 （2） （3），理由见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）过点A作，则有四边形是平行四边形，然后可得，进而问题即可得证； （2）连接，交于点K，由折叠的性质可知，同理可得，进而根据勾股定理可进行求解； （3）延长，交的延长线于点I，同理①可得：，然后通过证明，进而根据全等三角形的性质及直角三角形斜边中线定理可进行求解； （4）由题意易得，，则有，然后根据完全平方公式及线段的和差关系可进行求解． 【小问1详解】 ，证明如下： 过点A作，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 连接，交于点K，如图所示： 由折叠的性质可知：， 同理②可得：， 在正方形中，， ∴； 【小问3详解】 延长，交的延长线于点I，如图所示： 同理（1）可得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点D为的中点， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 同理①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：（负根舍去）； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $