第五章 数列单元复习（高效培优讲义）数学人教B版选择性必修第三册

该高中数学数列单元复习讲义通过思维导图系统梳理知识体系，以表格对比呈现等差与等比数列的定义、公式及性质，按“概念-递推-通项-求和”逻辑构建脉络，突出Sn与an的关系、性质灵活运用等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，“即学即练”夯实基础，11类题型（如等差等比证明、裂项相消求和）培养数学思维与推理能力，单元检测助力教师精准教学，不同层次学生可通过例题变式提升，支持自主复习与能力进阶。

第五章 数列单元复习 教学目标 1．理解数列的定义、项、通项公式、递推公式及前n项和的概念，掌握与的分段关系，能正确求数列通项并判断单调性。 2．掌握等差数列的定义、通项公式、等差中项与核心性质，熟练运用通项与前n项和公式进行计算、证明及最值求解。 3．掌握等比数列的定义、通项公式、等比中项与常用性质，牢记求和公式，能处理公比分类讨论及综合应用问题。 4．能辨析等差与等比数列的特征，灵活运用性质简化运算，解决数列与函数、方程结合的综合题，规范书写解题过程。 教学重难点 重点：数列通项与前n项和的互求；等差数列、等比数列的定义、通项、性质及前n项和公式的理解与直接应用。 难点：与的分段讨论；数列性质的灵活选用；等差等比综合题的思路构建；求和公式的选择与运算技巧。 知识点01 数列的概念 一、数列的定义、项 （1）定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列． （2）项:数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示,……,第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用表示．其中第1项也叫做首项． 二、数列的分类及表示方法 （1）分类: 若数列的项数有限，则该数列为有穷数列；若数列的项数无限，则该数列为无穷数列 （2） 一般形式:数列的一般形式是简记为．其他方法:解析式法、表格法、图象法． 三、数列的通项公式 如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 四、数列与函数 （1）数列与函数的区别和联系： 数列是离散型函数，自变量是正整数，定义域是正整数集及其子集，图象是一些离散的点； 函数多是连续型，自变量是实数，图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线． （2）数列的单调性 与函数的单调性类似,项数n相当于自变量x,项相当于函数值． 类别 含义 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 【即学即练】 1．记为数列的前项和，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 当时，，不满足上式，所以 2．数列，，（），若是递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在数列，，由是递增数列， 得，， 而当时，，则， 所以的取值范围是. 知识点02 数列中的递推 一、数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 数列的递推公式与其通项公式的异同： 相同点 不同点 通项公式 均可确定一个数列,求出数列中的任意一项 给出n的值,可求出数列中的第n项 递推公式 由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n项 二、数列的前n项和 （1）数列的前n项和:把数列从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列的前n项和,记作,即. （2）数列的前n项和公式:如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 三、与的关系式： ①当时，若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，若不适合，则用分段函数的形式表示. 【即学即练】 3．在数列中，，，，则（    ） A．32 B．10 C．7 D． 【答案】A 【详解】由题得， ， ， ， 4．已知数列满足，则等于（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】因为，所以， ， ， ， ， 所以数列的周期为3，即. 知识点03 等差数列 一、等差数列的概念与通项公式 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 2.等差中项 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,. 3.等差数列的递推公式及通项公式 已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为，通项公式为 二、等差数列的性质与应用 1.等差数列通项公式的变形及推广 （1）（2） （3）,且. 2.若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 3.下标性质 在等差数列中,若,则. 特别的,若,则有 【即学即练】 5．在等差数列中，，则（   ） A．6 B．10 C．12 D．18 【答案】C 【详解】由等差数列的性质可得，即， 故. 6．已知数列各项均为正数，且，，，则（    ） A．49 B．36 C．25 D．16 【答案】B 【详解】由，可得. 因此，数列为等差数列. 由，得，等差数列的公差. 可得，即. 代入，得. 知识点04 等差数列的前n项和 一、等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 公式 等差数列前n项和的函数特点： 对于等差数列,如果是确定的,前项和. 若取,上式可写成. 当(即)时,是关于的二次函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群孤立的点. 二、等差数列前n项和的性质 （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数)即不含常数项的二次函数式 （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则 ② 三、等差数列前n项和的最值 （1）若,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最小值. （2）若,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最大值. 【即学即练】 7．已知等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的公差为，由，得，即． 由，得，所以． 所以，所以． 8．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则. 知识点05 等比数列 一、等比数列的概念 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示（显然）. 注意：（1）等比数列中不能有0项 （2） 常数列都是等比数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论. 2.等比中项 如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时, 二、等比数列的通项公式 （1）已知等比数列的首项为,公比为,则数列的通项公式为 （2）第项与第项的关系为,变形得 （3）由可知,当且时,等比数列的第项是指数函数当时的函数值,即. 三、等比数列的常用性质 （1）如果,则有 （2）如果,则有 （3）若成等比数列,则成等比数列. （4）在等比数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列. （5）如果均为等比数列,且公比分别为,那么数列仍是等比数列,且公比分别为. （6）等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即 （7）等比数列的单调性 ①当或时,等比数列为递增数列; ②当或时,等比数列为递减数列; ③当时,等比数列为摆动数列. 【即学即练】 9．已知数列是等比数列，且，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【详解】由等比数列的性质知：，， 所以. 10．已知数列为等比数列，，公比，则的最大值为（   ） A．64 B．32 C．16 D．8 【答案】A 【详解】等比数列的首项，公比，则， 因此， 而，则当或4时，取最大值，又函数是R上的增函数， 所以取得最大值. 知识点06 等比数列的前n项和 一、等比数列的前n项和公式 已知量 公式 首项与公比 首项,末项与公比 二、等比数列前n项和的函数特征 （1）与公比的关系 等比数列前项和的函数形式由公比是否为1决定，对应两种不同的函数类型，且点均为对应函数图象上的孤立点（因为正整数）。 1.当时，等比数列所有项相等，前项和公式为： 此式是关于的正比例函数（为常数），点落在直线上。 2.当且时，等比数列前项和公式为： 对公式变形可得：，令，则。 此时是关于的指数型函数，点落在指数型函数的图象上。 （2）与通项的关系 该关系仅在公比时成立，核心结论为：与成一次函数关系（即，、为常数）。 推导依据 1.等比数列通项公式： 2.前项和变形公式：（） 将代入公式，可得： ，令常数，，则，即是的一次函数。 三、等比数列前项和的性质 （1）等比数列中,若项数为,则;若项数为,则. （2）若等比数列的前项和为,则成等比数列(其中均不为,公比为. 【即学即练】 11．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 12．记为等比数列的前项和．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由等比数列的性质，依然构成等比数列， 由等比数列的中项可得：， 代入得：，解得：. 题型01 等差数列的基本量计算 例1．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．30 B．32 C．35 D．40 【答案】C 【详解】在等差数列中，因为，所以， 又，所以， 因为，即，解得， 所以， 所以. 变式1-1．已知是等差数列的前项和，，，则的最大值是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【详解】由题意得，，，解得，， 所以， 所以， 因为是正整数，所以当或时，同时取得最大值为. 变式1-2．若等差数列的公差不为，且成公比为的等比数列，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】设的公差为，由，得，所以． 因为，所以．因为，所以，解得则． 变式1-3．（多选）若为等差数列，，，则下列说法正确的是（） A． B．数列单调递减 C．数列前8项和最大 D．数列前5项和 【答案】AB 【详解】设等差数列的公差为.由，，得. 首项，通项公式，故选项A正确. 由，得数列单调递减，故选项B正确. 令，解得，即时，；时，，因此数列前项和最大，选项C错误. 由，得，数列是首项为，公比为的等比数列，前项和，与选项D中不符，故选项D错误. 题型02 等差数列前n项和性质 例2．（多选）已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，取最小值 C． D． 【答案】AD 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，即，可得， 所以公差，故A正确； 可知等差数列为递增数列，当时，；当时，； 所以当时，取最小值，故B错误； 所以，，故C错误，D正确． 变式2-1．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的值不能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．14 【答案】B 【详解】由题意可得， 则， 由于为整数，则为15的正约数，则的可能取值有3、5、15， 因此，正整数的可能取值有2、4、14. 变式2-2．已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 【答案】C 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以数列是等差数列. 又，， 则数列的公差，首项为， 所以，. 变式2-3．记为数列的前项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值．以及此时的的取值． 【答案】(1)证明见解析 (2)当或时，取得最小值，最小值为 【分析】 【详解】（1）解：由，可得， 所以， 两式相减，可得，整理得， 所以数列是公差为2的等差数列． （2）解：由（1）知：数列的公差， 因为，可得，解得， 则， 因为，所以当或时，取得最小值，最小值为． 题型03 等比数列的基本量计算 例3．正数数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（    ） A．180 B．112 C．16 D．48 【答案】B 【详解】设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，，80，，． 于是得，解方程组，得或， 所以这个正数数列是20，40，80，96，112或180，120，80，16，（舍）， 所以这个数列的第五项为112. 变式3-1．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ） A．4 B．2 C．8 D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为q，由，得， 则，而，解得， 由，得，即，所以. 变式3-2．已知正项数列满足，且，则（   ） A．6 B．42 C．80 D．84 【答案】C 【详解】由题意，所以，则， 所以数列是以2为公比的等比数列，则， 所以，解得， 所以，则， 所以 变式3-3．（多选）已知正项等比数列的公比为q，若，且，则（    ） A． B． C．是数列中的项 D．，，成等差数列 【答案】ABD 【详解】由题意知，， 由，可得， 所以，A正确； 所以，B正确； 所以， 令，显然该方程无整数解，所以不是数列中的项，故C错误； 由，得，，所以是等差数列，D正确； 题型04 等比数列前n项和性质 例4．已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．90 B．210 C．250 D．310 【答案】B 【详解】由题意可知成等比数列， 所以，解得. 变式4-1．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【答案】C 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. 变式4-2．设等比数列的前项和为，若，，则等于（   ） A．127 B． C． D．255 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，首项为. 因为，， 所以，解得， 所以． 变式4-3．已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 【答案】120 【详解】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为， 则， 故，故、， 则数列的所有项之和是. 题型05 等差、等比数列的证明 例5．已知数列的前项和为，且满足． (1)求证：数列是等比数列． (2)求数列的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】 【详解】（1）由可得， 当时，， 则，则， 则，又，所以， 故数列是公比为，首项为的等比数列． （2）由（1）可知， 令， 有， 当时，，即， 当时，因为，所以， 则， 又，所以， 所以从第2项起单调递减，即， 所以的最大项为， 即数列的最大值为． 变式5-1．若数列的首项，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)求的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）已知，则， 整理得：， 即，又因为首项， 因此 是首项为、公比为的等比数列，得证. （2）由（1）的结论可知，等比数列通项为：， 整理得：. （3）由（2）可知，， 所以，， 相加整理得：. 变式5-2．在数列中，， (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）                     所以数列是公差为3的等差数列． （2）由题得，由（1）可得所以                                             记  ①， 所以   ②， ①-②得 则                         所以 变式5-3．已知数列中，． (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前项积为，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以， 等式两边同除以， 得，即， 又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． （2）由（1）知 得， 则， 则， 所以 两式相减得 所以． 题型06 Sn与 an 的关系。 例6．记为数列的前项和，已知，则___________. 【答案】12 【详解】当时，，所以，又，所以， 当时，由，得， 所以，所以， 所以. 变式6-1．已知，数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，当时，， 当时，，化简得， 又不满足， 所以数列从第二项起为公比为3的等比数列，所以. 变式6-2．设数列满足，则的前2026项和为_________ 【答案】 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 变式6-3．已知正项数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，可得，， 两式相减得，. 因为是正项数列，所以， 所以，即，. 由，解得或（舍去）， 所以是以3为首项，2为公差的等差数列，则. 满足上式，因此. （2）由（1）得， 所以 . 题型07 由递推关系求数列通项公 例7．已知数列满足，，则的最大值为_______． 【答案】 【详解】解：由数列满足， 当时， ，而满足上式， 所以，设，, 当时，当时，， 则最大，则． 变式7-1．若数列的前项和为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， ，， . 变式7-2．已知首项为1的数列满足，则________． 【答案】 【详解】由题意得， 当时，， 由满足上式，故，所以． 变式7-3．已知数列满足，则数列的通项公式为___________． 【答案】 【详解】当时，有，故， 则有，． 上述个式子累乘得． 因为，所以， 而当时，，也满足上式， 故数列的通项公式为． 故答案为：. 题型08 分组求和法 例8．设数列{}的通项公式是其前项和为，则=______ 【答案】240 【详解】由题意得 . 变式8-1．记为等差数列的前项和，若，则数列的前20项和是（    ） A．40 B．20 C．10 D．0 【答案】B 【详解】因为为等差数列，所以，设公差为d， 则，整理得， 又，令，得， 又， 所以，则，解得，则， 所以， 所以的前20项和为 . 变式8-2．将杨辉三角中的所有“1”去除，将剩下的数按从上到下，从左到右的顺序依次排列，构成一个数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则这个数列的前21项和__________．    【答案】240 【详解】次二项式系数对应杨辉三角形的第行， 例如，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行， 令，就可以求出该行的系数之和，第1行为，第2行为，第3行为， 以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列， 则杨辉三角形的前项和为， 若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，， 可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则， 可得当，去除两端的“1”可得， 则此数列前21项的和为． 变式8-3．已知数列是等差数列，其首项，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则， 可得，，. 由，，成等比数列， 可得， 代入得 ， 展开整理得， 解得. 因此，. （2）由（1）得， 数列为等比数列，其前项和为， 数列为等差数列，其前项和为， 因此. 题型09 裂项相消法 例9．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 即，解得. 所以的通项公式为. （2）由（1）知，， 所以. 所以 . 变式9-1．已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式恒成立，则实数的最小值______. 【答案】/ 【详解】是等差数列，则，， 所以， 所以， 所以， 即对任意恒成立， 所以，即的最小值是． 变式9-2．在数列中，，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以，，，， 所以， 又，所以， 当时也成立，所以． （2）因为， 所以． 变式9-3．记等差数列的前项和为，数列也是等差数列，且两数列的公差均为. (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题得，， 所以， 因为是公差为的等差数列， 所以， 因此， 两边平方可得， 即，解得， 所以. （2）由(1)可得， 所以， 因此. 题型10 错位相减法 例10．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为①， 当时,可得，即， 当时，②. 由①②得，即， 即是以1为首项，为公比的等比数列，所以, 当时满足上式，所以. （2）因为， 所以， ， 两式相减得， 即，则 故. 变式10-1．设是首项不为0的等差数列，，为与的等比中项，记为数列的前项和，. (1)求和的通项公式： (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，所以. 由为与的等比中项，得，解得，或（舍去）. 所以. 因为， 所以当时，， 所以. 当时，，满足上式， 因此. 的通项公式为；的通项公式为. （2）由（1）知， ， 所以. 两式相减，得 . 所以. 变式10-2．数列满足，，令． (1)求证：数列，是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)答案见详解; (2). 【分析】 【详解】（1）对任意正整数，为奇数，为偶数， 当时：为奇数，为偶数，命题成立， 假设当时命题成立，即为奇数，为偶数， 当时： 因为为偶数，所以为奇数， 又因为为奇数，所以为偶数， 由数学归纳法，对任意 ，为奇数，为偶数， 因为，则， 因为为偶数，根据递推公式，可得， 又因为为奇数，所以，那么， 所以， 因为，则， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因为已知，则， 因为为奇数，所以，又， 则，即， ， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因此，数列，是等比数列，得证. （2）由(1)得：，， 令,错位相减： ， ： ， 故， 又,因此：. 变式10-3．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值； (3)令，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，首项为， 由题意可得，    化简得，解得，，    所以. （2）由（1）可知.    由，得，即， 即，解得或.    因为，所以n的最小值是5， 即使成立的n的最小值为5. （3）由（1）知，所以， 则①，    两边同乘以2，得②，    ，得，    所以. 题型11 数列与不等式 例11．已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）已知，故，当时，. 因为，代入， 整理得. 因此是首项为、公比为的等比数列， 所以，故. （2） 两边同乘​得 得，， 整理得. （3）由​得，设​，对任意正整数恒成立， 只需的最大值. ， 当时，，即； 当时，，即， 故最大值为. 因此的取值范围为. 变式11-1．设是数列的前项和，已知，. (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前项和，证明：； (3)记，若不等式恒成立，求实数的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）已知，当时，， 两式相减得：， 整理得：，即， 当时，，解得， 可知满足条件， 又，因此是首项为1，公比为2的等比数列. （2）由（1）可知，所以， 所以 所以， 因为，所以. （3）由得：，因此， 化简不等式左边：， 因此， 不等式恒成立，等价于对任意恒成立， 设，则， 当时，解得，即时，； 当时，解得，即时，， 因此的最大值为，故， 即的取值范围为. 变式11-2．已知数列和满足. (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1)98 (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以，，， 所以. （2）因为， 所以 则， 所以， 因为，所以，即. 由恒成立，可得， 则，得， 则，即t的取值范围为. 变式11-3．已知数列的首项为1，前项和为，且满足 (1)写出，的值；nn (2)令，求数列 的前项和； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】 【详解】（1），， （2）由可得①，②， ②①得，因为，所以，已知，， 所以数列的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 数列的偶数项是以2为首项，1为公差的等差数列， 因为，所以， 则③，两边同时乘以2得 ④，③④得 ， 所以. （3）由（2）知数列的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 数列的偶数项是以2为首项，1为公差的等差数列， 则， 若对于任意，恒成立，则恒成立，令， ， 当时，，即； 当时，，即， 所以，则的最大值为，所以， 即的取值范围是. 一、单选题 1．已知等差数列的前n项和为，若，则=（     ） A．8 B．10 C．13 D．26 【答案】C 【详解】由题可得，即，所以. 2．已知数列满足，且，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， 则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 则， 所以数列的前项和为 . 3．记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 【答案】D 【详解】由可得当时，， 两式相减得，整理得. 又由及可得，满足. 故是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为， 代入得. 4．记为数列的前项和，设甲：是等差数列，乙：成等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【详解】当是等差数列时，设该等差数列的公差为， ， 因为， ， 所以， 所以成等差数列； 当成等差数列时， 假设， 因为， 所以成等差数列，但是显然不是等差数列， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 5．已知等比数列满足，，设，数列的前n项和为，若，则整数k的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为q， ，，解得，. . . ，，，即关于单调递增， 又.时，，即整数的最小值为. 6．数列满足，且．若，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】由得， 整理得， 得或，即或， 所以数列从第二项开始，每一项由前一项加2或乘2得到， 因为，所以数列中的所有项都是偶数， 因为，则或，要使最小，则， 又数列中的所有项都是偶数，所以， 则或，要使最小，则， 所以或，要使最小，则， 所以或，要使最小，则， 因为为偶数，所以，则，即，. 7．已知数列且满足，令，则数列的前项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，可得， 由变形可得， 则， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 则， 故数列的前项和为. 8．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，若．已知，记和分别为数列和的前项和，则下列结论正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【详解】依题意得，，因为，所以是一条线性增长的直线，增长速度稳定； ，因为，所以是指数增长的曲线，前期增长慢，后期会加速增长， 因为，，所以当，， 当，， 因为，， 所以； ， ， 接下来先证明：． 设， 则， 设， 则， 因为，所以， 所以在上单调递增，所以，所以， 所以在上单调递增， 所以当，，即， 令，所以，所以 ，即， 所以， 所以. 二、多选题 9．设是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A． B．中最小值为 C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数n为14 【答案】ABD 【详解】A，由，可得， 因为，可得，所以，正确； B，由A分析且，所以且，正确； C，在等差数列中，由且， 当时，得；当时，得， 所以取得最大值时，，错误； D，由，且， 所以使得成立的最大整数为，正确. 10．设等比数列的各项均为正数，前项和为，若，数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的前项和 C．若，则数列为递增数列 D．若数列为递增数列，则 【答案】BCD 【详解】因为为等比数列，所以，则， 因为，所以，故A错误； 由，得，设公比为q， 则，整理得，解得或（舍）， 则，所以， 则， 所以，故B正确； 若，则， 所以， 当时，恒成立，所以数列为递增数列，故C正确； 选项D: 若数列为递增数列，则，对于恒成立， 又， 所以，则，对于恒成立， 令，则，，，，， 当时，， 所以当时，，且单调递减， 所以的最大值为，则，故D正确. 三、填空题 11．已知正项等比数列的前4项和为，则数列的公比__________. 【答案】/ 【详解】由题意得：， 又， 且， 两式相除得，解得或（舍去）, 因为是正项数列，所以. 12．已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对于任意正整数恒成立，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】设的公差为，则， 所以，所以， ， 且当时，， 所以为使若对于任意正整数恒成立，则， 则的最小值为． 13．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为____________． 【答案】16 【详解】设这十二个节气日影长为数列，则等差， 由题可知，， 由等差数列下标和性质得， ， 所以公差，则， 四、解答题 14．已知数列满足，且． (1)证明为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析，． (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得． （2）由（1）得， 所以． 15．已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：对任意，都有． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为，则． 由成等比数列，得． 展开得，化简得，即． 因为，所以，于是． （2）由（1）知，则． 又，所以． 于是． 故对任意，都有. 16．已知在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1），即， ， 当时，， ， 则这个等式相加得， ， ， 当时，满足该式， ． （2）证明：， ， 为递增数列， ， 综上可得，． 17．在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)对任意，将数列中位于区间内的项的个数记为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知，， 两式相减，得， ，代入， 得，解得， 所以； （2）对任意， ，即， 而，故， 由题意可知， 于是 即. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 数列单元复习 教学目标 1．理解数列的定义、项、通项公式、递推公式及前n项和的概念，掌握与的分段关系，能正确求数列通项并判断单调性。 2．掌握等差数列的定义、通项公式、等差中项与核心性质，熟练运用通项与前n项和公式进行计算、证明及最值求解。 3．掌握等比数列的定义、通项公式、等比中项与常用性质，牢记求和公式，能处理公比分类讨论及综合应用问题。 4．能辨析等差与等比数列的特征，灵活运用性质简化运算，解决数列与函数、方程结合的综合题，规范书写解题过程。 教学重难点 重点：数列通项与前n项和的互求；等差数列、等比数列的定义、通项、性质及前n项和公式的理解与直接应用。 难点：与的分段讨论；数列性质的灵活选用；等差等比综合题的思路构建；求和公式的选择与运算技巧。 知识点01 数列的概念 一、数列的定义、项 （1）定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列． （2）项:数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号_______表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示,……,第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用表示．其中第1项也叫做_______． 二、数列的分类及表示方法 （1）分类: 若数列的项数有限，则该数列为_______数列；若数列的项数无限，则该数列为_______数列 （2） 一般形式:数列的一般形式是简记为_______．其他方法:解析式法、表格法、图象法． 三、数列的通项公式 如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 四、数列与函数 （1）数列与函数的区别和联系： 数列是_______函数，自变量是_______，定义域是正整数集及其子集，图象是一些_______的点； 函数多是_______，自变量是_______，图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线． （2）数列的单调性 与函数的单调性类似,项数n相当于自变量x,项相当于函数值． 类别 含义 递增数列 从第2项起,每一项都_______它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都_______它的前一项的数列 常数列 各项都相_______的数列 【即学即练】 1．记为数列的前项和，已知，则（   ） A． B． C． D． 2．数列，，（），若是递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点02 数列中的递推 一、数列的递推公式 如果一个数列的_______两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 数列的递推公式与其通项公式的异同： 相同点 不同点 通项公式 均可确定一个数列,求出数列中的_______ 给出n的值,可求出数列中的_______ 递推公式 由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n项 二、数列的前n项和 （1）数列的前n项和:把数列从_______起到_______止的各项之和,称为数列的前n项和,记作,即. （2）数列的前n项和公式:如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 三、与的关系式： ①当时，若_______，则的情况可并入时的通项； ②当时，若_______，则用_______的形式表示. 【即学即练】 3．在数列中，，，，则（    ） A．32 B．10 C．7 D． 4．已知数列满足，则等于（    ） A． B．2 C． D．4 知识点03 等差数列 一、等差数列的概念与通项公式 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从_______起,每一项与它的前一项的_______都等于_______,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的_______,公差通常用字母_______表示. 2.等差中项 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的_______.根据等差数列的定义可以知道,. 3.等差数列的递推公式及通项公式 已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为_______，通项公式为_______ 二、等差数列的性质与应用 1.等差数列通项公式的变形及推广 （1）（2）_______ （3）,且. 2.若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为_______的等差数列(c为任一常数) 公差为_______的等差数列(c为任一常数) 公差为_______的等差数列(k为常数) 公差为_______的等差数列(p,q为常数) 3.下标性质 在等差数列中,若,则_______. 特别的,若,则有_______ 【即学即练】 5．在等差数列中，，则（   ） A．6 B．10 C．12 D．18 6．已知数列各项均为正数，且，，，则（    ） A．49 B．36 C．25 D．16 知识点04 等差数列的前n项和 一、等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 公式 _______ _______ 等差数列前n项和的函数特点： 对于等差数列,如果是确定的,前项和. 若取,上式可写成. 当(即)时,是关于的_______函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群_______的点. 二、等差数列前n项和的性质 （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成_______数列. （2）数列是等差数列(为常数)即不含_______的二次函数式 （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则_______ ② 三、等差数列前n项和的最值 （1）若______________,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最_______值. （2）若______________,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最_______值. 【即学即练】 7．已知等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 知识点05 等比数列 一、等比数列的概念 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的_______都等于_______,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母_______表示（显然）. 注意：（1）等比数列中不能有0项 （2） 常数列都是等比数列,但却_______等比数列.如常数列是各项都为_______的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论. 2.等比中项 如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时,_______ 二、等比数列的通项公式 （1）已知等比数列的首项为,公比为,则数列的通项公式为_______ （2）第项与第项的关系为_______,变形得_______ （3）由可知,当且时,等比数列的第项是指数函数当时的函数值,即. 三、等比数列的常用性质 （1）如果,则有_______ （2）如果,则有_______ （3）若成等比数列,则成等_______数列. （4）在等比数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列. （5）如果均为等比数列,且公比分别为,那么数列仍是等比数列,且公比分别为_______. （6）等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即 （7）等比数列的单调性 ①当或时,等比数列为递_______数列; ②当或时,等比数列为递_______数列; ③当时,等比数列为摆动数列. 【即学即练】 9．已知数列是等比数列，且，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 10．已知数列为等比数列，，公比，则的最大值为（   ） A．64 B．32 C．16 D．8 知识点06 等比数列的前n项和 一、等比数列的前n项和公式 已知量 公式 首项与公比 首项,末项与公比 二、等比数列前n项和的函数特征 （1）与公比的关系 等比数列前项和的函数形式由公比是否为1决定，对应两种不同的函数类型，且点均为对应函数图象上的_______（因为正整数）。 1.当时，等比数列所有项相等，前项和公式为： 此式是关于的_______函数（为常数），点落在直线上。 2.当且时，等比数列前项和公式为： 对公式变形可得：，令，则。 此时是关于的_______函数，点落在指数型函数的图象上。 （2）与通项的关系 该关系仅在公比时成立，核心结论为：与成_______关系（即，、为常数）。 推导依据 1.等比数列通项公式： 2.前项和变形公式：（） 将代入公式，可得： ，令常数，，则，即是的一次函数。 三、等比数列前项和的性质 （1）等比数列中,若项数为,则_______;若项数为,则._______ （2）若等比数列的前项和为,则成_______数列(其中均不为,公比为_______. 【即学即练】 11．设，则（   ） A． B． C． D． 12．记为等比数列的前项和．若，则（    ） A． B． C． D． 题型01 等差数列的基本量计算 例1．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．30 B．32 C．35 D．40 变式1-1．已知是等差数列的前项和，，，则的最大值是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 变式1-2．若等差数列的公差不为，且成公比为的等比数列，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1-3．（多选）若为等差数列，，，则下列说法正确的是（） A． B．数列单调递减 C．数列前8项和最大 D．数列前5项和 题型02 等差数列前n项和性质 例2．（多选）已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，取最小值 C． D． 变式2-1．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的值不能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．14 变式2-2．已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 变式2-3．记为数列的前项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值．以及此时的的取值． 题型03 等比数列的基本量计算 例3．正数数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（    ） A．180 B．112 C．16 D．48 变式3-1．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ） A．4 B．2 C．8 D． 变式3-2．已知正项数列满足，且，则（   ） A．6 B．42 C．80 D．84 变式3-3．（多选）已知正项等比数列的公比为q，若，且，则（    ） A． B． C．是数列中的项 D．，，成等差数列 题型04 等比数列前n项和性质 例4．已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．90 B．210 C．250 D．310 变式4-1．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 变式4-2．设等比数列的前项和为，若，，则等于（   ） A．127 B． C． D．255 变式4-3．已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 题型05 等差、等比数列的证明 例5．已知数列的前项和为，且满足． (1)求证：数列是等比数列． (2)求数列的最大值． 变式5-1．若数列的首项，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)求的前项和. 变式5-2．在数列中，， (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和． 变式5-3．已知数列中，． (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前项积为，求数列的前项和． 题型06 Sn与 an 的关系。 例6．记为数列的前项和，已知，则___________. 变式6-1．已知，数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 变式6-2．设数列满足，则的前2026项和为_________ 变式6-3．已知正项数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 题型07 由递推关系求数列通项公 例7．已知数列满足，，则的最大值为_______． 变式7-1．若数列的前项和为，，且，则（    ） A． B． C． D． 变式7-2．已知首项为1的数列满足，则________． 变式7-3．已知数列满足，则数列的通项公式为___________． 题型08 分组求和法 例8．设数列{}的通项公式是其前项和为，则=______ 变式8-1．记为等差数列的前项和，若，则数列的前20项和是（    ） A．40 B．20 C．10 D．0 变式8-2．将杨辉三角中的所有“1”去除，将剩下的数按从上到下，从左到右的顺序依次排列，构成一个数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则这个数列的前21项和__________．    变式8-3．已知数列是等差数列，其首项，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 题型09 裂项相消法 例9．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 变式9-1．已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式恒成立，则实数的最小值______. 变式9-2．在数列中，，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 变式9-3．记等差数列的前项和为，数列也是等差数列，且两数列的公差均为. (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 题型10 错位相减法 例10．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，求. 变式10-1．设是首项不为0的等差数列，，为与的等比中项，记为数列的前项和，. (1)求和的通项公式： (2)求数列的前项和. 变式10-2．数列满足，，令． (1)求证：数列，是等比数列； (2)求数列的前项和． 变式10-3．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值； (3)令，求数列的前n项和. 题型11 数列与不等式 例11．已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 变式11-1．设是数列的前项和，已知，. (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的前项和，证明：； (3)记，若不等式恒成立，求实数的范围. 变式11-2．已知数列和满足. (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求t的取值范围. 变式11-3．已知数列的首项为1，前项和为，且满足 (1)写出，的值； (2)令，求数列 的前项和； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 一、单选题 1．已知等差数列的前n项和为，若，则=（     ） A．8 B．10 C．13 D．26 2．已知数列满足，且，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 3．记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 4．记为数列的前项和，设甲：是等差数列，乙：成等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5．已知等比数列满足，，设，数列的前n项和为，若，则整数k的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．数列满足，且．若，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．已知数列且满足，令，则数列的前项和为（　　） A． B． C． D． 8．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，若．已知，记和分别为数列和的前项和，则下列结论正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 二、多选题 9．设是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A． B．中最小值为 C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数n为14 10．设等比数列的各项均为正数，前项和为，若，数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的前项和 C．若，则数列为递增数列 D．若数列为递增数列，则 三、填空题 11．已知正项等比数列的前4项和为，则数列的公比__________. 12．已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对于任意正整数恒成立，则的最小值为___________． 13．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为____________． 四、解答题 14．已知数列满足，且． (1)证明为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 15．已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：对任意，都有． 16．已知在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 17．在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)对任意，将数列中位于区间内的项的个数记为，求数列的前项和． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $