专题08 函数的平均变化率&导数的几何意义（高效培优讲义）数学人教B版选择性必修第三册

专题08 函数的平均变化率&导数的几何意义 教学目标 1．理解平均速度与瞬时速度、割线斜率与切线斜率的极限关系，建立极限思想。 2．掌握平均变化率与导数的定义，会用定义计算函数在某点的导数。 3．理解导数的几何意义，明确导数即为曲线在该点处切线的斜率。 4．会区分“在点处”与“过点处”的切线方程，掌握基本求法与步骤。 教学重难点 重点：导数的定义、导数的几何意义、利用导数求曲线的切线方程。 难点：理解极限思想，区分平均变化率与瞬时变化率，解决“过点”切线问题。 知识点01 平均速度与瞬时速度 （1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度________ （2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的________,即________ 【即学即练】 1．函数在区间上的平均变化率为（   ） A．3 B． C．2 D． 2．一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 知识点02 割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限________于点时,割线无限趋n近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的________. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即________. 【即学即练】 3．已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（    ） A．3， B．，3 C．2， D．，2 4．若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为________． 知识点3 导数 （1）平均变化率：把比值,即________叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作________或,即________. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的________,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在________上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在________处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个________,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. 【即学即练】 5．设函数在处存在导数为2，则（   ） A． B． C．2 D．4 6．由导数的定义可求得，函数在处的导数_______． 题型01 平均变化率（平均速度） 【例1】函数在区间上的平均变化率为（    ） A．2 B．1 C． D． 【例2】若函数在区间上的平均变化率为，则等于___________. 【变式1-1】函数在区间上的平均变化率是（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式1-2】正弦函数在区间上的平均变化率与它在区间上的平均变化率的大小关系是________． 【变式1-3】已知一物体的运动方程为，求： (1)从0.1到0.2的平均速度； (2)在区间上的平均速度． 计算平均变化率直接使用公式，平均速度同理。先确定区间端点，代入函数作差再相除，注意符号与化简，不用考虑极限。 题型02 瞬时变化率（瞬时速度） 【例3】一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设汽车在某一段路内时的速度（单位：）为，则汽车在第2s时的瞬时加速度为（    ） A． B． C． D． 【例4】某正方形铁板在时，边长为10cm．当温度在很小范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为时正方形的边长为cm，其中为常数．设此时正方形的面积为，且，则时，铁板面积的膨胀率为__________． 【变式2-1】如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【变式2-2】一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个选项： 其中正确的选项有（   ）（多选） A．汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； B．汽车在时间段内不断加速行驶； C．汽车在时间段内不断减速行驶； D．汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 【变式2-3】若一物体的运动方程为（路程单位：，时间单位：）．求： (1)物体在到这段时间内的平均速度； (2)物体在时的瞬时速度． 瞬时变化率是平均变化率当时的极限，瞬时速度按此思路计算。先求平均变化率，再令增量趋于0化简，得到的常数即为答案。 题型03 导数的概念 【例5】利用导数的定义求函数在点x＝2022处的导数． 【例6】已知函数 (1)用导数的定义求函数的导数； (2)求出，的值 【变式3-1】用定义求函数的导数． 【变式3-2】利用导数定义求下列各函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【变式3-3】利用导数的定义，求在处的导数f ′(1). 导数是时的极限。牢记定义结构，严格按“作差、作比、取极限”三步计算，注意式子与标准定义形式匹配。 题型04 导数在极限中的运用 【例7】已知函数在处可导，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【例8】若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知函数在处可导，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2025 【变式4-2】已知函数的导函数为，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式4-3】已知，则______. 题型05 利用图象理解导数的几何意义 【例9】如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【例10】如图，直线是曲线在点处的切线，则________．    【变式5-1】如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，函数的图象在点P处的切线是，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-3】如图，函数的图像是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为、、，则函数在处的导数______． 图象上某点导数就是该点切线的斜率，斜率越大函数变化越快。看切线倾斜程度判断正负与大小，倾斜向上为正、向下为负，水平切线导数为0。 题型06 在点“P”处的切线 【例11】已知函数，则在处的切线方程为________. 【例12】求曲线在点处的切线方程． 【变式6-1】已知函数，其中的图象在点处的切线的斜率为________． 【变式6-2】已知函数，则曲线在处切线的方程为________． 【变式6-3】已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 题型07 过点“P”处的切线 【例13】过点且与曲线相切的直线的方程为_______． 【例14】已知函数． (1)求函数的导函数； (2)过点作函数的图象的切线，求切线方程． 【变式7-1】已知曲线 (1)求过的点的切线方程； (2)（1）中以为切点的切线与曲线是否还有其他公共点？ 【变式7-2】已知曲线上的两点和，求： (1)割线AB的斜率； (2)过点A的切线的斜率； (3)点A处的切线的方程． 【变式7-3】已知曲线C：经过点，求 (1)曲线在点P处的切线的斜率. (2)曲线在点P处的切线的方程． (3)过点的曲线C的切线方程． 求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 题型08 求切点的坐标 【例15】曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为______． 【例16】是否存在常数k，使得直线与曲线相切？若存在，求出常数k的值及切点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-1】已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为______. 【变式8-2】曲线的一条切线的斜率为，则切点坐标为________. 【变式8-3】已知曲线的一条切线的斜率是，求切点的坐标． 一、单选题 1．在曲线的图像上取点及邻近的一点，则为（    ） A． B． C． D． 2．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D． 4．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A．2 B． C． D． 5．已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在处的导数，函数的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 7．如图，设有圆和定点，当从开始在平面内绕匀速旋转时（角速度不变且旋转角度不超过90°），直线l扫过的圆内的面积是时间的函数，这个函数的图像只可能是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）．如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图．假设除绿化外，其他可能影响甲、乙两地气温的因素均一致，则下列结论中正确的是（    ） A．甲地的绿化好于乙地 B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日12时，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 9．（多选）已知函数的定义域为，曲线上点，且存在，则下列命题中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 三、填空题 10．已知函数的定义域为，且为的导函数，在处可导，若，则______． 11．竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为_____. 12．函数在点处的切线方程为____________. 四、解答题 13．现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为地至B地之间的航行距离约为，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成，轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元． (1)把全程运输成本y（元）表示为速度的函数； (2)求从变到时，全程运输成本关于速度的平均变化率； (3)求并解释它的实际意义． 14．求曲线在点处的切线方程. 15．若曲线在点P处的切线垂直于直线，求点P的坐标及切线方程． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 函数的平均变化率&导数的几何意义 教学目标 1．理解平均速度与瞬时速度、割线斜率与切线斜率的极限关系，建立极限思想。 2．掌握平均变化率与导数的定义，会用定义计算函数在某点的导数。 3．理解导数的几何意义，明确导数即为曲线在该点处切线的斜率。 4．会区分“在点处”与“过点处”的切线方程，掌握基本求法与步骤。 教学重难点 重点：导数的定义、导数的几何意义、利用导数求曲线的切线方程。 难点：理解极限思想，区分平均变化率与瞬时变化率，解决“过点”切线问题。 知识点01 平均速度与瞬时速度 （1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度 （2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的极限,即 【即学即练】 1．函数在区间上的平均变化率为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】函数在区间上的平均变化率为． 2．一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，位移与时间的关系是，可得， 可得. 故选：C. 知识点02 割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋n近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即. 【即学即练】 3．已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（    ） A．3， B．，3 C．2， D．，2 【答案】A 【详解】将代入直线方程可得， 因为切线的斜率为，所以， 因此与分别为3，. 故选：A 4．若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为________． 【答案】/ 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 故答案为： 知识点3 导数 （1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. 【即学即练】 5．设函数在处存在导数为2，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】由导数的定义可知. 故选：A 6．由导数的定义可求得，函数在处的导数_______． 【答案】 【详解】 当趋于0时，趋于0． 故答案为：0. 题型01 平均变化率（平均速度） 【例1】函数在区间上的平均变化率为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】函数在区间上的平均变化率为． 【例2】若函数在区间上的平均变化率为，则等于___________. 【答案】 【详解】在区间上的平均变化率为 ，故 【变式1-1】函数在区间上的平均变化率是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】函数在区间上的平均变化率是. 【变式1-2】正弦函数在区间上的平均变化率与它在区间上的平均变化率的大小关系是________． 【答案】 【详解】因为，，所以． 【变式1-3】已知一物体的运动方程为，求： (1)从0.1到0.2的平均速度； (2)在区间上的平均速度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以从0.1到0.2的平均速度为． （2） ， 函数在区间上的平均速度为： ． 计算平均变化率直接使用公式，平均速度同理。先确定区间端点，代入函数作差再相除，注意符号与化简，不用考虑极限。 题型02 瞬时变化率（瞬时速度） 【例3】一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设汽车在某一段路内时的速度（单位：）为，则汽车在第2s时的瞬时加速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知，所以. 【例4】某正方形铁板在时，边长为10cm．当温度在很小范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为时正方形的边长为cm，其中为常数．设此时正方形的面积为，且，则时，铁板面积的膨胀率为__________． 【答案】 【详解】由题意得， 设时，温度的改变量为，则 ， 当时，可得， 即时，铁板面积的膨胀率为， 故答案为： 【变式2-1】如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【详解】， 所以． 故选：D． 【变式2-2】一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个选项： 其中正确的选项有（   ）（多选） A．汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； B．汽车在时间段内不断加速行驶； C．汽车在时间段内不断减速行驶； D．汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 【答案】ABC 【详解】时间段内是直线，斜率不变，故汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同， 故A正确； 时间段内，切线斜率逐渐增大，故汽车在时间段内不断加速行驶， 故B正确； 时间段内，切线斜率逐渐减小，故汽车在时间段内不断减速行驶， 故C正确； 汽车在时刻的瞬时速度大于，在内，位移不变，故时刻的瞬时速度为， 故D错误. 【变式2-3】若一物体的运动方程为（路程单位：，时间单位：）．求： (1)物体在到这段时间内的平均速度； (2)物体在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以物体在到这段时间内的平均速度为． （2）因为， 所以， 则物体在时的瞬时速度为． 瞬时变化率是平均变化率当时的极限，瞬时速度按此思路计算。先求平均变化率，再令增量趋于0化简，得到的常数即为答案。 题型03 导数的概念 【例5】利用导数的定义求函数在点x＝2022处的导数． 【答案】4044 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 【例6】已知函数 (1)用导数的定义求函数的导数； (2)求出，的值 【答案】(1) (2)； 【分析】 【详解】（1）， 则， 则当时，，故； （2）， 【变式3-1】用定义求函数的导数． 【答案】. 【详解】函数的定义域为. 设，因为， 根据导数的定义知，. 【变式3-2】利用导数定义求下列各函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题意. （2）由题意. （3）由题意. 【变式3-3】利用导数的定义，求在处的导数f ′(1). 【答案】 【详解】解： ， ∴， ∴ . 导数是时的极限。牢记定义结构，严格按“作差、作比、取极限”三步计算，注意式子与标准定义形式匹配。 题型04 导数在极限中的运用 【例7】已知函数在处可导，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，所以. 故选：A. 【例8】若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在处可导， 所以 . 故选：B. 【变式4-1】已知函数在处可导，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2025 【答案】A 【详解】因为， 所以由导数的定义可知， 故选：A． 【变式4-2】已知函数的导函数为，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】由导数的定义知． 故选：B 【变式4-3】已知，则______. 【答案】/-0.5 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 题型05 利用图象理解导数的几何意义 【例9】如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以， 又因为切线方程为，则切点坐标为，有， 所以. 故选：C 【例10】如图，直线是曲线在点处的切线，则________．    【答案】1 【详解】根据函数切线过,则曲线在处的切线斜率为， 根据导数的定义，可得. 故答案为：1． 【变式5-1】如图是函数的部分图象，记的导函数为，则下列选项中值最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图知，，，，所以排除A，B； 设的图象在处的点为， 显然的斜率小于在处的切线斜率， 则，且，可转化为， 所以的值最小，排除D. 故选：C. 【变式5-2】如图，函数的图象在点P处的切线是，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点， 与轴交于点， 则切线， 所以，， 所以. 故选：D． 【变式5-3】如图，函数的图像是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为、、，则函数在处的导数______． 【答案】 【详解】解：由题知， 所以，根据导数几何意义，函数在处的导数为其切线斜率，即 所以， 故答案为： 图象上某点导数就是该点切线的斜率，斜率越大函数变化越快。看切线倾斜程度判断正负与大小，倾斜向上为正、向下为负，水平切线导数为0。 题型06 在点“P”处的切线 【例11】已知函数，则在处的切线方程为________. 【答案】 【详解】由，则， ，故， 则，即. 又切线过，所以在处的切线为，即. 故答案为：. 【例12】求曲线在点处的切线方程． 【答案】 【详解】因为点在曲线上，过点的切线的斜率为 故所求切线方程为，即． 【变式6-1】已知函数，其中的图象在点处的切线的斜率为________． 【答案】 【详解】由题意可得：， 所以的图象在点处的切线的斜率. 故答案为：. 【变式6-2】已知函数，则曲线在处切线的方程为________． 【答案】 【详解】因为 ， 又因为，所以所求切线方程为， 即． 故答案为：. 【变式6-3】已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）点处的切线的斜率为 ， 即点处的切线的斜率是； （2）结合（1）可得切线方程为，即. 求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 题型07 过点“P”处的切线 【例13】过点且与曲线相切的直线的方程为_______． 【答案】或 【详解】设切点坐标为，则有． 因为，所以切线方程为， 将点的坐标代入，得， 所以，解得或． 当时，，故切线方程为； 当时，，故切线方程为． 所以所求直线的方程为或． 故答案为：或． 【例14】已知函数． (1)求函数的导函数； (2)过点作函数的图象的切线，求切线方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】 【详解】（1） ， 当时，， 所以函数的导函数为． （2）设切点为，则由（1），可得切线的斜率， 则切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 从而切线方程为或． 【变式7-1】已知曲线 (1)求过的点的切线方程； (2)（1）中以为切点的切线与曲线是否还有其他公共点？ 【答案】(1)或 (2)有 【分析】 【详解】（1）因为在曲线上，所以有两种可能，即点为切点或点不是切点， ①当点为切点时， 所以切线方程为，即； ②当点不是切点时，设切点为. 由导数的定义，知在处，，所以切线方程为. 因为切线方程过点，将其代入整理，得，所以， 所以或（舍去），故切点为，所以切线方程为 综上所述，所求切线法方程为或. （2）由（1），知以点为切点的切线方程为， 由，得，解得. 从而求得公共点为和. 故以点为切点的切线与曲线的公共点除切点外，还有其他公共点. 【变式7-2】已知曲线上的两点和，求： (1)割线AB的斜率； (2)过点A的切线的斜率； (3)点A处的切线的方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由已知可得，. （2）令，， 根据导数的定义可得，. ①当切点为点时，根据导数的几何意义知； ②当切点不是点时. 设切点坐标为，，则， 又，所以有，解得， 因为，所以此时无解. 综上所述，过点A的切线的斜率. （3）由（2）知，曲线在点A处的切线的斜率， 代入点斜式方程有，，整理可得切线的方程为. 【变式7-3】已知曲线C：经过点，求 (1)曲线在点P处的切线的斜率. (2)曲线在点P处的切线的方程． (3)过点的曲线C的切线方程． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）将代入中得，∴. 所以 ， ∴曲线在点P处切线的斜率为. （2）曲线在点P处的切线方程为，即. （3）∵点不在曲线C上， 设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点， 则切线斜率，由于，∴， ∴切点，切线斜率，切线方程为，即. 求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 题型08 求切点的坐标 【例15】曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为______． 【答案】或 【详解】易知曲线在点P处的切线的斜率为，设， 因为， 当时，， 所以，则点P的坐标为或． 故答案为：或. 【例16】是否存在常数k，使得直线与曲线相切？若存在，求出常数k的值及切点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，， 【详解】解：假设存在，设切点的横坐标为，， 所以，所以切点坐标为， 所以，解得． 【变式8-1】已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为______. 【答案】 【详解】设切点，切线斜率为k，由，得.由题意可知，所以，代入得，故所求切点P为. 故答案为：. 【变式8-2】曲线的一条切线的斜率为，则切点坐标为________. 【答案】 【详解】设切点坐标为， ， 解得，.切点为. 故答案为：. 【变式8-3】已知曲线的一条切线的斜率是，求切点的坐标． 【答案】 【详解】设切点为，由，求导得 可得切线的斜率为， 由曲线的一条切线的斜率是，即，解得 故切点的坐标为 一、单选题 1．在曲线的图像上取点及邻近的一点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 当时，． 2．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图分别令、、、、、、所对应的点为, 所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快； 故选：B 3．已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】， 所以． 4．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】，则， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 5．已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分别表示曲线在点处的切线的斜率， 因为， 所以表示经过两点的直线的斜率， 由数形结合思想可知：. 6．已知函数在处的导数，函数的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】因为， 所以. 因为函数的图象与x轴恰有一个交点，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为2. 故选：A 7．如图，设有圆和定点，当从开始在平面内绕匀速旋转时（角速度不变且旋转角度不超过90°），直线l扫过的圆内的面积是时间的函数，这个函数的图像只可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于是匀速旋转，阴影部分面积在开始和最后时段增加慢，中间时段增加快. 选项A的图像表示的增速是常数，与实际不符，故A选项不符合题意； 选项B的图像表示最后时段增加快，与实际不符，故B选项不符合题意； 选项C的图像表示开始和最后时段增加快，中间时段增加慢，故选项C不符合题意； 选项D的图像表示开始和最后时段增加慢，中间时段增加快，符合实际，应选D. 二、多选题 8．大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）．如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图．假设除绿化外，其他可能影响甲、乙两地气温的因素均一致，则下列结论中正确的是（    ） A．甲地的绿化好于乙地 B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日12时，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】AB 【详解】列表解析，直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 由题图可知，甲地气温的日较差明显小于乙地气温的日较差，所以甲地的绿化好于乙地． B √ 由题图可知，当日6时到12时，甲、乙两地气温的平均变化率为正数，且乙地气温的变化量更大，所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率． C × 由题图可知，当日12时到18时，甲、乙两地气温的平均变化率为负数，且乙地气温的变化量的绝对值更大，所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率． D × 由题图可知，两曲线在当日12时处的切线斜率不相等，即当日12时，甲、乙两地气温的瞬时变化率不相同． 故选：AB 9．（多选）已知函数的定义域为，曲线上点，且存在，则下列命题中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，解得，故B正确； 对于C：，解得，故C错误； 对于D： ，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 10．已知函数的定义域为，且为的导函数，在处可导，若，则______． 【答案】 【详解】，解得. 11．竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为_____. 【答案】 【详解】， 则火箭在时的瞬时速度为. 故答案为：. 12．函数在点处的切线方程为____________. 【答案】 【详解】 则曲线在点处的切线方程的斜率为，得切线方程为，即. 故答案为： 四、解答题 13．现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为地至B地之间的航行距离约为，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成，轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元． (1)把全程运输成本y（元）表示为速度的函数； (2)求从变到时，全程运输成本关于速度的平均变化率； (3)求并解释它的实际意义． 【答案】(1) (2) (3)，表示当速度时，速度每增加，全程运输成本减少4500元 【分析】 【详解】（1）依题意得，函数的定义域为，． （2）， ． （3）， ． 表示当速度时，速度每增加，全程运输成本减少4500元． 14．求曲线在点处的切线方程. 【答案】 【详解】因为点在曲线上，所以过点的切线的斜率为 ， 故所求切线方程为， 即. 15．若曲线在点P处的切线垂直于直线，求点P的坐标及切线方程． 【答案】， 【详解】设切点P的坐标为， 因为 ， 所以，解得， 所以，故点P的坐标为， 切线方程为，即． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $