数列求和 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

专题：数列求和 【知识点1】倒序相加法求和 【知识点2】错位相减法求和 【知识点3】裂项相消法求和 【知识点4】分组（并项）法求和 【知识点5】数列求和的其他方法 新知生发 1．:如果函数f(x)满足:f(x)+f(−x)=(其中,是常数,即函数y=f(x)的图像关于点(,)中心对称),且对于k,n∈N*,有ak+an+1−k=(k=1,2,…,n−1,n),从而f(ak)+f(an+1−k)=,设Sn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),进而有Sn=f(an)+f(an−1)+…+f(a1),二式相加得2Sn=[f(a1)+f(an)]+[f(a2)+f(an−1)]+…+[f(an)+f(a1)]=n,可得Sn=,这种求数列{f(an)}的前n项和(即f(ak))的方法叫倒序相加法求和. 2． 针对Sn=[(k+)qk]的一种技巧型方法 Sn = (+)q +(·2+)q2 +(·3+)q3+ … +(n+)qn …① qSn = (+)q2 +(·2+)q3+ … +(n−+)qn +(n+)qn+1 …② ①−②得: (1−q)Sn =(+)q+(q2+q3+…+qn)−(n+)qn+1 =(+)q+·−(n+)qn+1=r+(tn+s)qn(其中r,t,s是常数t0) 解得Sn=x+(yn+z)qn(x,y,z是待定系数)或写成Sn=+(n+)qn±1的形式 3． (1)设数列{an}的前n项和为Sn,若存在数列{bn},使得an=bn−bn+1(即an可分裂成数列{bn}中的邻项差), 则Sn=a1+a2+…+an=(b1−b2)+(b2−b3)+(b3−b4)+…+(bn−bn+1)=b1−bn+1 (2)设数列{an}的前n项和为Sn,若存在数列{bn},使得an=bn−bn+2(即an可分裂成数列{bn}中的隔项差), 则Sn=a1+a2+…+an =(b1−b3)+(b2−b4)+(b3−b5)+…+(bn−1−bn+1)+(bn−bn+2) =(b1+b2+)−(+bn+1+bn+2) =b1+b2−bn+1−bn+2 (3)常见的裂差公式 4．: ①(a2k−1+a2k)=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+…+(a2n−1+a2n)=ak ②(a3k−2+a3k−1+a3k)=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+(a7+a8+a9)+…+(a3n−2+a3n−1+a3n)=ak ③(a4k−3+a4k−2+a4k−1+a4k)=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a4n−3+a4n−2+a4n−1+a4n)=ak …… 【知识点1】倒序相加法求和 1．现有函数，设数列满足，若存在使不等式：成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 3．已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．1013 B． C．2023 D．1022 4．已知函数，（    ） A． B． C． D． 5．德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 6．若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 7．若，则（    ） A． B． C． D． 8．数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 9．若等差数列满足，则（    ） A．2025 B． C． D． 10．已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 11．已知函数，且，则实数的值为__________；若，且，则的取值范围为__________ 12．设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为______. 13．若，已知数列中，首项，，，则_____. 14．已知数列满足，则数列的前2025项和______. 15．已知数列的前项和为，且，设函数，则________. 16．已知函数的图象关于点对称，数列满足. (1)求实数a的值； (2)设，求数列的前n项和. 17．已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 18．已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 19．已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 20．记为等差数列的前项和. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，记为数列的前项和，求的值. 【知识点2】错位相减法求和 21．已知是递增的等比数列，其前项和为．若，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D． 22．设，则的值为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在面积为1的直角，中作使得以此类推，在中，再作记的面积为则{nan}的前n项和为（   ）    A． B． C． D． 24．数列满足，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 25．已知等差数列满足，数列满足，则的前项和为（   ） A． B． C． D． 26．设数列的前项和为，且，记，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．在数列中，，，，前项和为，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C． D． 28．已知数列满足，．数列满足，，且数列是等比数列．设数列的前n项和为，则满足不等式成立的整数n的最小值为（   ） A．99 B．100 C．199 D．200 29．高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.已知等差数列的第5项为5，前10项和为55，等比数列的第3项为4，第6项为32.若数列的前项和为，，则（    ） A． B． C． D． 30．已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 31．已知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，且，数列的前n项和为，则_________． 32．已知数列的通项公式为，其中表示不超过的最大整数，例如，则__________. 33．已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前5项和_____． 34．若，则______． 35．对任意数列，定义函数是数列的“生成函数”.已知，则____. 36．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 37．设数列满足，，. (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前项和为，求证：； (3)设，求数列的最大项. 38．已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 39．已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和． 40．已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 【知识点3】裂项相消法求和 41．数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 42．有一系列点，每一个点均位于抛物线的图象上.点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切.若且的前n项之和为，则以下说法正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 43．已知数列满足，则＝（    ） A． B． C． D． 44．无穷数列满足，有且仅有100个正整数，使得.记是不大于实数的最大整数，则的值为（   ） A． B．100 C． D． 45．记为等差数列的前项和，为的公差，，则不成立的是（    ） A． B． C． D． 46．如图甲图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的，已知，其中为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 47．已知数列满足，设，则数列的前2026项和（    ） A． B． C． D． 48．已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．成等差数列 C． D． 49．已知数列中 ，当且时， ，记 ，则数列前99项的和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 50．若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 51．数列前项和为___________． 52．在含有个互不相同元素的序列（，）中定义：元素（）右边比其大的元素个数称为的“顺序数”，元素右边比其小的元素个数称为的“逆序数”.记有序列的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和为. ①的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和______. ②______. 53．已知等差数列的前项和为，若，，则__________，设数列的前项和为，则_________________________. 54．已知正项数列满足，且，若存在，使得，则__________. 55．在正项数列中，，记，整数满足，则数列的前项和为___________． 56．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 57．已知正项数列的前n项和为，且，正项数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前n项和； (3)记，求数列的前n项和为． 58．已知数列是单调递增的等差数列，数列为等比数列，且，是和的等差中项，是和的等比中项． (1)求数列，的通项公式； (2)若为数列的前n项和，求证：． (3)是数列的前n项和，若，证明． 59．已知数列满足. (1)求的前n项和； (2)记数列的前n项和为，若． （i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式； （ii）求数列的前n项和． 60．记正项数列的前n项和为． (1)若，求； (2)若，且，证明： (3)若，证明：． 【知识点4】分组（并项）法求和 61．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，n的最大值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 62．设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（   ） A．264 B．520 C．521 D．263 63．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（   ） A．2025 B．2026 C．2278 D．2279 64．已知数列满足，，其中等于的个位数，则（    ） A．20342 B．20346 C．20358 D．20374 65．如图中的三角形称为谢尔宾斯基三角形．每个图都是取前一个图中的每个黑色三角形三边的中点将其分成四个小三角形，并将中间三角形变为白色，白色三角形不变．用上述方法无限操作下去．操作第1次得到图②，操作第2次得到图③……，在下图3个大三角形中，白色三角形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 66．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1，若是偶数，就将该数除以2，将所得结果反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，当时，（    ） A．42 B．95 C．102 D．109 67．《算学启蒙》是中国最早的科普著作．该书中有名的“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，底面每边果子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图，给出了5层三角锥垛俯视图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层三角锥垛的果子数分别为共有44层，则该三角锥垛从顶层向下数前10层的果子总数为（   ） （参考公式：） A．225个 B．220个 C．230个 D．250个 68．若数列的通项公式，则（   ） A．162 B．182 C．198 D．242 69．已知各项递增的等比数列，等差数列其前项和分别为，满足.将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前50项和（    ） A．2106 B．2196 C．2234 D．2550 70．已知正项数列的前项和为，且.在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列，则的前88项和等于（   ） A．163 B．165 C．167 D．173 71．设数列，满足，，，设为数列的前n项和，则________． 72．如图，若第1行数字的和记为，第2行数字的和记为，第行数字的和记为，则__________；若数列的前项和为，则__________ 73．已知数列满足，数列满足在任意的之间插入数列的项()，从而构成一个新数列，设的前n项和为，则_______(请用数字作答). 74．已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则___________；满足的的最小值为___________． 75．已知数列满足，且是的等差中项，是数列的前项和，则__________，___________. 76．已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 77．已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求． 78．已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． 79．已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． (3)若，数列的前n项和为，求证： 80．数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中. ①，； ②，，，成等差数列； ③，； (1)分别求出数列与的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 【知识点5】数列求和的其他方法 81．已知数列满足，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 82．数列的前20项和为（    ） A． B． C． D． 83．已知正项数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D． 84．已知数列的通项公式，则（    ） A．81 B．128 C．146 D．164 85．若表示大于的最小整数，如：，，数列满足，，，记，则数列的前2025项和为（   ） A．2028 B．2030 C．4054 D．4055 86．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为，构造数列，使记，则的概率为（    ） A． B． C． D． 87．数列中表示与最接近的整数，则（   ） A． B． C． D． 88．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（   ） A．4720 B．4722 C．4723 D．4725 89．如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列的前4项. 记，则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 90．数列的通项公式为，前项和为，给出下列三个结论： ①存在正整数，使得； ②存在正整数，使得； ③记，则数列有最小项； 其中所有正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 91．已知数列，，若将中被3整除的项按原顺序依次排列，得到数列，则___________． 92．已知数列满足，则的前n项和的最小值是______． 93．已知数列满足，定义使为整数的叫做“完美数”，则区间内所有“完美数”的和______. 94．已知函数.则的整数部分为________. 95．已知斐波那契数列，则_____． 96．已知数列满足，，令． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)令数列的前n项和为，证明：． 97．记为等差数列的前项和，已知，. (1)求和的通项公式； (2)求. 98．已知数列满足． (1)求证数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，求数列的前项和． 99．已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 100．对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期. (1)判断数列是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由. (2)已知无穷数列是周期为2的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围； (3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题：数列求和 【知识点1】倒序相加法求和 【知识点2】错位相减法求和 【知识点3】裂项相消法求和 【知识点4】分组（并项）法求和 【知识点5】数列求和的其他方法 新知生发 1．:如果函数f(x)满足:f(x)+f(−x)=(其中,是常数,即函数y=f(x)的图像关于点(,)中心对称),且对于k,n∈N*,有ak+an+1−k=(k=1,2,…,n−1,n),从而f(ak)+f(an+1−k)=,设Sn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),进而有Sn=f(an)+f(an−1)+…+f(a1),二式相加得2Sn=[f(a1)+f(an)]+[f(a2)+f(an−1)]+…+[f(an)+f(a1)]=n,可得Sn=,这种求数列{f(an)}的前n项和(即f(ak))的方法叫倒序相加法求和. 2． 针对Sn=[(k+)qk]的一种技巧型方法 Sn = (+)q +(·2+)q2 +(·3+)q3+ … +(n+)qn …① qSn = (+)q2 +(·2+)q3+ … +(n−+)qn +(n+)qn+1 …② ①−②得: (1−q)Sn =(+)q+(q2+q3+…+qn)−(n+)qn+1 =(+)q+·−(n+)qn+1=r+(tn+s)qn(其中r,t,s是常数t0) 解得Sn=x+(yn+z)qn(x,y,z是待定系数)或写成Sn=+(n+)qn±1的形式 3． (1)设数列{an}的前n项和为Sn,若存在数列{bn},使得an=bn−bn+1(即an可分裂成数列{bn}中的邻项差), 则Sn=a1+a2+…+an=(b1−b2)+(b2−b3)+(b3−b4)+…+(bn−bn+1)=b1−bn+1 (2)设数列{an}的前n项和为Sn,若存在数列{bn},使得an=bn−bn+2(即an可分裂成数列{bn}中的隔项差), 则Sn=a1+a2+…+an =(b1−b3)+(b2−b4)+(b3−b5)+…+(bn−1−bn+1)+(bn−bn+2) =(b1+b2+)−(+bn+1+bn+2) =b1+b2−bn+1−bn+2 (3)常见的裂差公式 4．: ①(a2k−1+a2k)=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+…+(a2n−1+a2n)=ak ②(a3k−2+a3k−1+a3k)=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+(a7+a8+a9)+…+(a3n−2+a3n−1+a3n)=ak ③(a4k−3+a4k−2+a4k−1+a4k)=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a4n−3+a4n−2+a4n−1+a4n)=ak …… 【知识点1】倒序相加法求和 1．现有函数，设数列满足，若存在使不等式：成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】倒序相加法求和、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】先计算出的图像关于点成中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围. 【详解】因为 ，所以的图像关于点成中心对称． 因为， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令， 则当时，在上单调递减； 当时，在单调递增． 又，所以，所以， 即的取值范围是． 2．已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【知识点】函数对称性的应用、倒序相加法求和 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得 ， 令， 则， 两式相加得， 所以，解得. 3．已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．1013 B． C．2023 D．1022 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用、等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和 【分析】先根据韦达定理得到，再利用等比数列的性质得到，最后利用倒序相加法求和. 【详解】由题设及韦达定理，得， 由等比数列性质，得， 设， 所以， 则， 得， 所以. 故选：A 4．已知函数，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】倒序相加法求和 【分析】确定，通过倒序相加即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 令， ， 所以， 即， 故选：A 5．德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】倒序相加法求和 【分析】先确定，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A 6．若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 【答案】B 【知识点】求等差数列前n项和、倒序相加法求和 【分析】由表达式及得到，利用等差数列求和公式及倒序相加求和可求得结果. 【详解】， ， 则. 因为 令，得 ； ； ； ………… 又. 故 故选：B 7．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求函数值、倒序相加法求和 【分析】结合函数解析式得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得， 令， 则， 两式相加得， ，解得. 故选：D 8．数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【答案】D 【知识点】求函数值、倒序相加法求和 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得， 令， 则， 两式相加得， 解得. 故选：D. 9．若等差数列满足，则（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用等差数列的性质计算、倒序相加法求和 【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案. 【详解】由等差数列满足，则对于，，当时，， 则， 设， 则， 两式相加可得，解得. 故选：B. 10．已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 【答案】C 【知识点】倒序相加法求和 【分析】利用倒叙相加法求和即可. 【详解】①， ②， ①+②得 ， 所以. 故选：C. 11．已知函数，且，则实数的值为__________；若，且，则的取值范围为__________ 【答案】 1 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数对称性的应用、倒序相加法求和 【分析】求出，即可计算求解c；由c得到以及，进而消元得到，接着构造，由b的范围和以及的单调性即可分析求解. 【详解】由题可知， ∴， 令， 又， ∴， ∴，∴； ∵，∴， 且， ∵，且由，及，可知， ∴令函数， 则，且易知为单调递减函数， ∴，即， 易知，∴的取值范围为． 故答案为：1；. 12．设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为______. 【答案】13 【知识点】倒序相加法求和 【分析】根据函数解析式推出，再利用倒序相加法即可求得答案. 【详解】由，因， 则 . 故答案为：13. 13．若，已知数列中，首项，，，则_____. 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、倒序相加法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据函数解析式得，应用作差法及已知得，则，最后利用对称性及倒序相加求和即可. 【详解】， ，即， ， 时，，两式相减得， 时，，故数列为常数列， 因为，故， 又时也符合上式，故， ， ． 记， 则， 两式相加得，，即，则． 故答案为： 14．已知数列满足，则数列的前2025项和______. 【答案】 【知识点】倒序相加法求和 【分析】利用倒序相加法求和即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以， 所以，则. 故答案为： 15．已知数列的前项和为，且，设函数，则________. 【答案】 【知识点】由Sn求通项公式、倒序相加法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】当时，求出的值，当且时，由可得，两式作差可得出的表达式，进而由与的关系可求出数列的通项公式，求出的值，再利用倒序相加法可求得所求代数式的值. 【详解】因为数列的前项和为，且， 当时，则，所以， 当且时，由可得， 上述两个等式作差得， 所以，满足， 故对任意的，， 当且时，，也满足， 故对任意的，， 因为， 记， 则， 所以， ， 故. 故答案为：. 16．已知函数的图象关于点对称，数列满足. (1)求实数a的值； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、倒序相加法求和、裂项相消法求和、由函数对称性求函数值或参数 【分析】（1）根据给定条件，利用函数图象的对称性列式求出值. （2）由（1）中信息，利用倒序相加法求出，进而求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由函数的图象关于点对称，得， 则，即， 因此，所以. （2）由（1）知，而当时，， 则， 于是，当时，，即，满足上式，因此， ， 所以. 17．已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 【答案】(1) (2) 【知识点】倒序相加法求和、由奇偶性求参数 【分析】（1）利用可求的值，再验证此时为奇函数. （2）先根据函数的奇偶性探索得到，再利用倒序相加法求的值. 【详解】（1）显然的定义域为，又为奇函数， 所以，即， 解得.此时， 因， 即，为上的奇函数，故为所求． （2）由（1）知． 又，所以， 即． 设，则， 又， 两式左、右两边分别相加，得， 所以． 18．已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由递推关系式求通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、倒序相加法求和 【分析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. 【详解】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 19．已知数列满足：（），数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】由递推关系式求通项公式、倒序相加法求和 【分析】（1）根据递推关系式，得到，两式相减即可得解； （2）利用倒序相加法求和即可. 【详解】（1）当时，； 当时，①， ②， ①－②得：， ∴，当时，， ∴. （2）∵， ∴ ∴①， ②， 又∵∴①＋②得： ∴. 20．记为等差数列的前项和. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，记为数列的前项和，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、倒序相加法求和 【分析】 （1）根据为等差数列结合已知可求得公差，即可求得答案； （2）根据等差数列的性质推出，即得，由此利用倒序相加法即可求得答案. 【详解】（1）由于数列为等差数列，设公差为d，故， 从而可知，即，求得， 则数列的通项公式为； （2）由于,故数列的前项和为， 由于为等差数列，，所以，所以， 即， 同理， 得到， 则由倒序相加法可知 ， 即. 【知识点2】错位相减法求和 21．已知是递增的等比数列，其前项和为．若，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D． 【答案】C 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】先根据数列是递增的等比数列，且，求得其通项公式，再逐项判断. 【详解】对于A，因为数列是递增的等比数列，且， 所以，即， 联立得 ，解得或（舍去）， 则，，故A错误； 对于B，则，故错误； 对于C，易知，则， ， 两式相减得， ，则，故正确； 对于D，易知，则， 所以是以1为首项，以为公比的等比数列， 所以， 易知是单调递增，且当时，，故错误； 故选：C 22．设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【详解】因为， 则， 则， 两式作差得， 所以， 即得， 计算得. 故选：C. 23．如图，在面积为1的直角，中作使得以此类推，在中，再作记的面积为则{nan}的前n项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】根据面积求出，再利用错位相减法求解. 【详解】，设，所以，所以， ，， 所以， 以此类推，,， 所以， 所以， 设{nan}的前n项和为， ， 所以， 所以 ， 所以， 故选：A 24．数列满足，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由递推关系式求通项公式、错位相减法求和 【分析】利用已知条件构造是等比数列，即可求出通项公式，再由错位相减法进行求和即可. 【详解】，可得，又， 是首项为，公比为的等比数列，，， ，① 则，② ①②可得， . 故选：D. 25．已知等差数列满足，数列满足，则的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由递推关系式求通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和 【分析】先根据条件求解出的通项公式，再利用构造法求解出的通项公式，最后根据错位相减法求解出. 【详解】设的公差为，因为，所以，所以， 所以，所以， 所以且，所以是首项为公差为的等差数列， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：D. 26．设数列的前项和为，且，记，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】由求得，再通过错位相减法得到，将不等式转化成，求出函数的最小值即可. 【详解】由， 可得：， 当时，符合， 所以， 所以， 两边同乘以，得 两式相减，得， 所以． 则由可得 即，对任意的恒成立， 令， 则，且， 当时，， 当，时，， 所以的最小值为， 所以. 故选：D 27．在数列中，，，，前项和为，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、错位相减法求和 【分析】利用递推关系式构造出等差数列，可求出数列的通项公式，再利用错位相减法求和，根据所求可对各选项做出判断. 【详解】由题意，，等式两边同时除以，可得. 设，则，又因为， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列. 则，.故A 正确； 所以，， 则， 两式相减可得 ， 所以.故B正确； 对于C，.故C正确； 对于D，，， 则.故D错误. 故选：D. 28．已知数列满足，．数列满足，，且数列是等比数列．设数列的前n项和为，则满足不等式成立的整数n的最小值为（   ） A．99 B．100 C．199 D．200 【答案】C 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、错位相减法求和、构造法求数列通项 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列，进而求出的通项，再利用错位相减法求和并解不等式即得. 【详解】由，得，则数列为常数列，，因此， ，由数列是等比数列，得数列的公比为2， ，又，则，， ，两式相减， 得，则， 不等式，解得， 所以不等式成立的整数n的最小值为199. 故选：C 29．高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.已知等差数列的第5项为5，前10项和为55，等比数列的第3项为4，第6项为32.若数列的前项和为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、错位相减法求和 【分析】利用等差数列和等比数列的概念求解出，，然后利用错位相减法求解出，再求出. 【详解】设等差数列的公差为，由第5项为5，前10项和为55， 得，解得，所以. 设等比数列的公比为，由第3项为4，第6项为32，得， 所以，所以， ， 则， 两式相减得 所以， 故， 则 因为，所以， 故选：B. 30．已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由递推关系式求通项公式、错位相减法求和、累乘法求数列通项 【分析】根据递推关系利用累乘法求出通项，利用错位相减法求出的前100项和得解. 【详解】由，得， 所以，，，，（，）， 累乘可得，又，得. 设①， 则②， ①-②得， ， ， . 故选：C. 31．已知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，且，数列的前n项和为，则_________． 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和 【分析】通过构造等差数列求出通项公式，再利用错位相减法求和，进而可求. 【详解】因为是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以，即，又， 所以是首项为1，公差为的等差数列． 得，所以， 所以， 则， 两个等式作差可得， ， 故．则． 32．已知数列的通项公式为，其中表示不超过的最大整数，例如，则__________. 【答案】18214 【知识点】错位相减法求和、数列新定义 【分析】根据题中定义，结合对数函数的单调性、对数的运算性质、错位相减法进行求解即可. 【详解】当时，， 每组共有个，， 故 ， 设， 则， 相减得到， 整理得到， 故. 故答案为：18214 33．已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前5项和_____． 【答案】129 【知识点】由定义判定等比数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由与的关系求出的通项公式，用错位相减法求，进而求. 【详解】数列的前项和为，且点总在直线上，所以. 当时，，两式相减得， 又，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，则， ∴，则， 所以， 两式相减得：. 所以，则. 故答案为： 34．若，则______． 【答案】100 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】利用错位相减求和法求解. 【详解】设， 则. 所以. 所以，. 所以. 故答案为：100 35．对任意数列，定义函数是数列的“生成函数”.已知，则____. 【答案】 【知识点】由Sn求通项公式、求等比数列前n项和、错位相减法求和、函数新定义 【分析】根据题意，先利用数列前项和为求出通项公式，再利用错位相减法和等比数列求和即可求解. 【详解】由题意得，即数列的前项和， 则时，，得， 又时，也满足，所以数列得通项公式. 故， ， 两式错位相减，得， 整理化简得. 故答案为：. 36．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用的关系计算即可； （2）应用错位相减法及等比数列的求和公式来求解． 【详解】（1）因为数列的前项和， 所以时，， 当时，， 又也适合上式， 所以数列的通项公式为； （2）由， 得， ， 作差得： 得： 得：． 37．设数列满足，，. (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前项和为，求证：； (3)设，求数列的最大项. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】确定数列中的最大（小）项、由递推关系证明数列是等差数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）通过对已知递推公式进行变形，得到与的关系，再根据等差数列的定义证明即可. （2）根据（1）求出的表达式，结合错位相减法求出，进而得到. （3）根据（2）求出的表达式，然后通过作差法比较与的大小，判断数列的单调性，从而求出最大项. 【详解】（1）由可得，，即， 又，因此是以1为公差，1为首项的等差数列. （2）由（1）得，，， 设其前项和为，则， ， 所以， 即， 所以， 又，所以，因此． （3）由（2）得，所以，， 所以. 当时，，得，即. 又因为，，，所以， 所以的最大项是. 38．已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和、构造法求数列通项 【分析】（1）当时，可得的值，当时，根据，代入求解，整理变形，根据等比数列的定义，即可得证. （2）由（1）可得表达式，根据错位相减求和法，即可得答案. 【详解】（1）证明：因为， 所以当时，，解得， 当时，， 所以，即. 所以， 又， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）知，. 所以， 则，① ，② ①减去②，得： 所以. 39．已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组即可由等差数列的通项公式求解； （2）求出数列的通项公式，利用错位相减法可求得的表达式. 【详解】（1）设的公差为d，则由题有， 、，所以． （2）由（1）得，， 所以， 所以， 两式相减得， 即， 解得． 40．已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、裂项相消法求和 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，即可求出，从而得到，利用错位相减法计算可得； （3）由数列的通项公式可得，利用放缩法即可得到，再利用裂项相消法即可证明. 【详解】（1）当时，可得， 当时，可得， 因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 即； （3）因为 ， 所以 ，即命题得证. 【知识点3】裂项相消法求和 41．数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先根据求出的通项公式，可判断A选项，再根据求出的通项公式，可判断B选项，由的通项公式求出的通项公式，利用等比数列求和公式求出数列的前项和可判断C选项，利用裂项法求出的前项和可判断D选项. 【详解】，当时，，. 时，，. 是以为首项，公比的等比数列，. ，A选项错误. ，B选项错误. ，，是以1为首项，公比为4的等比数列. ，C选项错误. ，. D选项正确. 42．有一系列点，每一个点均位于抛物线的图象上.点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切.若且的前n项之和为，则以下说法正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】D 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】设点，根据抛物线定义列方程可判断A；根据两圆外切可得的关系，然后可证是等差数列，可判断B；根据是等差数列求出可判断C；利用裂项相消法求和可判断D. 【详解】由题意可知：焦点， 设点，则的半径为， 则，解得，故A错误； 因为与外切，则， 整理可得，且， 可得，即， 可知数列是以首项为，公差为2的等差数列，故B错误； 则，即， 则，故C错误； 可得， 所以，故D正确. 43．已知数列满足，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和 【分析】首先利用累加法求通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】， ，，，……，，， 这个式子相加得，， 得，，当时，，成立， 所以，， . 44．无穷数列满足，有且仅有100个正整数，使得.记是不大于实数的最大整数，则的值为（   ） A． B．100 C． D． 【答案】A 【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】利用裂项相消法求和推得，利用数列递推式推得是等差数列，求得通项，然后化简不等式，即可作出判断. 【详解】由可得：， 则，即（*）. 又由可得，所以数列是等差数列，公差为，则， 即，且，即， 则由（*）得，即，也即. 当时，不等式对任意正整数恒成立，不满足题意，则， 由于有且仅有100个正整数，使得， 由可得，则，即，故. 45．记为等差数列的前项和，为的公差，，则不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】对A：利用等差数列的基本量，结合，即可求得公差；对B：求得，以及，即可求得；对C：根据等差数列的前项和公式，直接计算即可；对D：求得，再结合裂项求和法，即可求得目标式的结果为，结合，即可判断. 【详解】对A：，故可得，又，故，则A成立； 对B：，故可得，故，则B成立； 对C：，故C不成立； 对D：，故， 则，又，则， 故，D成立. 故选：C. 46．如图甲图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的，已知，其中为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和 【分析】由题意可得的边长，结合图形求得周长，计算并化简，求得即得. 【详解】由， 可得，，，， 得到， 而， 则， 所以，故C正确. 故选：C. 47．已知数列满足，设，则数列的前2026项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先应用已知等式作差计算得出，再应用裂项相消法计算求解. 【详解】因为①， 当时， ②， 由①-②得到，得到， 又时，，满足， 所以，则， 所以 ， 则数列的前2026项和为. 故选：C. 48．已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．成等差数列 C． D． 【答案】D 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、裂项相消法求和 【分析】先通过和求出等差数列的首项与公差，得到通项和前项和公式，再逐一验证各选项，其中选项D利用放缩法结合裂项相消证明不等式成立. 【详解】由，依据等差数列前项和性质，得； 又，利用通项公式展开得，结合，联立得； 故； 选项A：，选项A错误； 选项B：，但，不构成等差数列，选项B错误； 选项C：，选项C错误； 选项D：，拆分前两项，对后续项放缩； 当时，，不等式成立； 当时，，不等式成立； 当时，前两项和；对的项用放缩，利用不等式，而， 因此，从到的和可以裂项为：， 合并放缩得，因为，所以， 综上，成立，选项D正确. 故选：D 49．已知数列中 ，当且时， ，记 ，则数列前99项的和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和 【分析】先用叠加法求出的通项公式，然后代入，裂项求和求解. 【详解】当时， ， 又由满足， 可得. 又由， 可得数列前99项的和为. 故选：D. 50．若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，再根据进行裂项相消法求和即得. 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 51．数列前项和为___________． 【答案】 【知识点】裂项相消法求和 【分析】先对数列的通项公式进行拆分化简，采用裂项相消法求前项和. 【详解】数列的第项为：， 故 故答案为：. 52．在含有个互不相同元素的序列（，）中定义：元素（）右边比其大的元素个数称为的“顺序数”，元素右边比其小的元素个数称为的“逆序数”.记有序列的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和为. ①的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和______. ②______. 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、裂项相消法求和、数列新定义 【分析】对①，通过统计数组中每个元素右侧的大小关系，累加得到所有元素的顺序数与逆序数之和；对②先推导出的通项公式，再对进行裂项变形，最后通过裂项相消完成求和. 【详解】对于①：对于可知，第1个元素的“顺序数”与“逆序数”之和为4， 第2个元素的“顺序数”与“逆序数”之和为3，第3个元素的“顺序数”与“逆序数”之和为2， 第4个元素的“顺序数”与“逆序数”之和为1，第5个元素的“顺序数”与“逆序数”之和为0， 故； 对于②：由序列元素互不相同，对于任意位置 ，其右侧有 个元素，且每个元素要么比 大（计入顺序数），要么比 小（计入逆序数），因此，对每个 ，有：， 从而， 当时，， 所以. 故答案为：①；②. 53．已知等差数列的前项和为，若，，则__________，设数列的前项和为，则_________________________. 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】先利用等差数列前项和公式求出公差，得到通项，再对进行裂项，最后用裂项相消法求解. 【详解】因为数列为等差数列，，前项和, 所以，故，解得公差， 所以， 由，得，​ 所以， 所以. 故答案为：；. 54．已知正项数列满足，且，若存在，使得，则__________. 【答案】30 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】根据题意可得为等差数列，从而得到，利用裂项相消求出即可求解. 【详解】，则， 两边同除以得：，即， 为等差数列，设数列的公差为， 又， 则， ， 即，解得， ， ， . ∴解得. 故答案为： 55．在正项数列中，，记，整数满足，则数列的前项和为___________． 【答案】 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和 【分析】利用对数函数的性质可以求得的值，由题意结合等差数列定义求出，化简后列项求数列的前项和. 【详解】在正项数列中，， 所以数列是以、公差d为1的等差数列， 所以，即， 所以 ， 因为整数满足， 所以， 又，所以， 所以数列的前项和为 . 故答案为： 56．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用降序相减求解即可； （2）利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）①， 当时②， ①-②得， 当时，，符合上式， 综上：，. （2）， 则 . 57．已知正项数列的前n项和为，且，正项数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前n项和； (3)记，求数列的前n项和为． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】错位相减法求和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）化简题干中的表达式即可求出数列和的通项公式； （2）由（1）可得，再利用错位相减即可求出； （3）先求出的表达式，再利用裂项相消即可求出. 【详解】（1）由题意可得，又为正项数列，， 所以，所以． 当时，；当时，， 显然时也满足上式，综上可得. 由得，当时，， 所以，则， 又，则，也满足上式，故 （2）由（1）可得，． 所以， 则， 作差得， 所以 （3）由（1）可得， 所以． 58．已知数列是单调递增的等差数列，数列为等比数列，且，是和的等差中项，是和的等比中项． (1)求数列，的通项公式； (2)若为数列的前n项和，求证：． (3)是数列的前n项和，若，证明． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、裂项相消法求和 【分析】（1）分别求出两数列的公差和公比即可求解； （2）由错位相减法即可计算求证； （2）求出，由裂项相消法即可计算求证. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 则由题意可得即， 所以（舍去）或， 所以； （2）证明：由（1）可得， 所以 所以， 所以 ， 所以， （3）证明：由（1）得， 所以时， 时 . 59．已知数列满足. (1)求的前n项和； (2)记数列的前n项和为，若． （i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式； （ii）求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，；（ii） 【知识点】求等差数列前n项和、裂项相消法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）分、两种情况结合等差数列的求和公式求解即可； （2）（i）结合题设及与的关系可得，即可求证，再求解通项公式即可； （ii）先得到，再结合分组求和、裂项相消法求解即可. 【详解】（1）当时，； 当时，， 显然满足上式，则. （2）（i）由， 当时，，即； 当时，，则， 即，则，即， 所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列， 则，即. 由（1）知，， 由（i）知，， 则 ， 所以 . 60．记正项数列的前n项和为． (1)若，求； (2)若，且，证明： (3)若，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、求等差数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）由，求得，结合裂项法求和，即可求解； （2）假设存在，使得，取满足该式的n的最小值，设为k，即，根据题意，求得当，且时，必有，结合反证法，即可得证； （3）根据题意，求得，得到，结合，证得；再由，利用累加法求得，结合裂项法求和，证得，即可得证. 【详解】（1）解：因为，所以，则， 所以． （2）证明：假设存在，使得，取满足该式的n的最小值， 设为k，即，① 由已知得，② 又由①+②得，所以 因为k是满足的n的最小值，若，则， 若，则，即是中最小的项． 当时，有，取整数使得且，此时必有， 这与相矛盾，假设不成立，故． （3）证明：先证： 由，可得， 由，可得， 所以；          再证： 由， 可得，所以． 当时，， 累加得，即． 所以， ． 【知识点4】分组（并项）法求和 61．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，n的最大值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】先求出数列和的通项公式，然后利用分组求和求出，再对n进行赋值即可求解. 【详解】因为数列是以1为首项，2为公差的等差数列所以， 因为是以1为首项，2为公比的等比数列所以， 由得： ， 当时，即，即， 当时，， 当时，， 所以n的最大值是. 62．设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（   ） A．264 B．520 C．521 D．263 【答案】D 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】利用等差数列和等比数列通项公式以及分组求和即可. 【详解】由数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 可得， 由是以1为首项，2为公比的等比数列， 可得，则， 所以． 63．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前2026项的和为（   ） A．2025 B．2026 C．2278 D．2279 【答案】D 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、分组（并项）法求和、数列周期性的应用 【分析】根据计算和观察可知新数列的周期为8，计算得结果. 【详解】写出该数列被除后的余数构成的数列：， 所以是以为周期的周期数列，周期内的余数为，且和为， 在前项中，有个完整周期余项， 所以的前项的和为. 64．已知数列满足，，其中等于的个位数，则（    ） A．20342 B．20346 C．20358 D．20374 【答案】B 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、分组（并项）法求和、数列周期性的应用 【分析】根据题意分析可知数列的一个周期为4的周期数列，且，利用累加法结合周期数列性质运算求解. 【详解】因为，即，且，， 当时，则，； 当时，则，； 当时，则，； 当时，则，； 可知数列的一个周期为4的周期数列，且， 又因为，，，， 累加可得， 所以. 故选：B. 65．如图中的三角形称为谢尔宾斯基三角形．每个图都是取前一个图中的每个黑色三角形三边的中点将其分成四个小三角形，并将中间三角形变为白色，白色三角形不变．用上述方法无限操作下去．操作第1次得到图②，操作第2次得到图③……，在下图3个大三角形中，白色三角形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由递推关系式求通项公式、分组（并项）法求和 【分析】根据数列的递推公式，和等比数列的定义，求出等比数列的通项公式，再根据分组求和法，求出数列前n项和. 【详解】由题图可知，， 分析可得递推关系式：， 则有，又， 所以，则有，所以为等比数列， 首项为，公比为3，所以，得， 则． 故选：B． 66．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1，若是偶数，就将该数除以2，将所得结果反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，当时，（    ） A．42 B．95 C．102 D．109 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、分组（并项）法求和、数列周期性的应用 【分析】根据数列的递推公式，九步到1，即，，.根据角谷猜想的结论可求得，再求出，相加可得答案. 【详解】由题可知，，，. 之后各项会按照的顺序循环. 因为，，所以. 因为. 当时，. 故选：C. 67．《算学启蒙》是中国最早的科普著作．该书中有名的“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，底面每边果子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图，给出了5层三角锥垛俯视图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层三角锥垛的果子数分别为共有44层，则该三角锥垛从顶层向下数前10层的果子总数为（   ） （参考公式：） A．225个 B．220个 C．230个 D．250个 【答案】B 【知识点】由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】先由题意推出第n层果子数的递推关系，再由累加法求出即可计算求解. 【详解】设第n层果子数为，则由题可得第层果子数与前一层的关系为， 所以， 所以 ， 所以. 所以该三角锥垛从顶层向下数前10层的果子总数为 . 故选：B 68．若数列的通项公式，则（   ） A．162 B．182 C．198 D．242 【答案】C 【知识点】判断数列的增减性、分组（并项）法求和 【分析】根据单调性对进行化简，再根据通项公式代入求值即可. 【详解】因为函数在上均为增函数， 所以在上为增函数 所以数列为单调递增数列， 所以 ， 又， 所以， 故选：C 69．已知各项递增的等比数列，等差数列其前项和分别为，满足.将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前50项和（    ） A．2106 B．2196 C．2234 D．2550 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】设等比数列的首项为，公比为，根据等比数列求和公式得到方程组，解得、即可求出的通项公式，利用基本量法列出方程组可求的通项公式，再依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项，再利用分组求和法计算可得. 【详解】设等比数列的首项为，公比为， 显然且. 由已知得，两式相除可得（负值舍去），所以， 所以； 设等差数列的首项为，公差为， ， ∴，，所以. 数列中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，…， 依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项， 所以 . 故选：A 70．已知正项数列的前项和为，且.在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列，则的前88项和等于（   ） A．163 B．165 C．167 D．173 【答案】A 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列新定义 【分析】先通过已知条件求出的通项，再分析的插入结构，确定前88项对应的段，最后分为本身、插入部分、剩余项三部分求和得到结果. 【详解】因为，当，， 因为，所以，故.当时，适合上式， 所以； 当时，.. 又因为在数列的每相邻两项，之间依次插入， 得到数列，所以根据数列的定义可知： 数列， 故. 故选：A. 71．设数列，满足，，，设为数列的前n项和，则________． 【答案】392 【知识点】由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】由题可得，，令，解得，，利用分组求和即可求解. 【详解】由得，即，又， 所以，同理得， 由得，令，则，且， 所以，所以， 所以， 则 ． 72．如图，若第1行数字的和记为，第2行数字的和记为，第行数字的和记为，则__________；若数列的前项和为，则__________ 【答案】 【知识点】等比数列的简单应用、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【详解】由题意可知，； 所以. 73．已知数列满足，数列满足在任意的之间插入数列的项()，从而构成一个新数列，设的前n项和为，则_______(请用数字作答). 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】整理变形得，则根据常数列得到，再分析得为新数列的第43项，最后利用分组求和法即可得到答案. 【详解】因为，即， 可得，可知为常数列，则， 故，根据题意， 当时，新数列中前共有数列的前项， 故为新数列的第项，当时，， 即为新数列的第43项，且与之间插入了共13项， 则. 74．已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则___________；满足的的最小值为___________． 【答案】 【知识点】判断数列的增减性、分组（并项）法求和、数学归纳法证明恒等式 【分析】令，利用数列求和公式可得，计算可得时，利用数学归纳法可得时，进而可得的条件. 【详解】，，则， 所以； 令，则数列的前项和为， 有， 当时，，即，下面用数学归纳法证明： ①当时，成立， ②假设时，成立， 当时，，即时也成立， 由①②可知，当时，，即， 所以时，，时，当时，有最小值， 满足的的最小值为3. 75．已知数列满足，且是的等差中项，是数列的前项和，则__________，___________. 【答案】 171 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、由定义判定等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】先求出，分和，求出通项公式，进而分组求和，得到答案. 【详解】由题知，解得， 当是偶数，是奇数，故， 所以，因为， 故是首项为，公比为2的等比数列， 故，. 所以当时，， 所以 ； . 故答案为：171； 76．已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据题意可得，利用与关系即可求出数列的通项公式； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【详解】（1）因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 77．已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）应用计算求解； （2）应用分组求和及等差数列、等比数列求和公式计算求解. 【详解】（1）当时，； 当时，，则． 经检验，当时也满足该式．综上， （2）由题意知， 数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列，分组求和可得 ． 78．已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）令，得，代入已知条件整理即可得证； （2）根据（1）中结论可得数列的通项，应用分组求和及等差等比的前n项和公式求，利用单调性及能成立求参数的最大值. 【详解】（1）令，则，于是，结合已知有， 所以，即． 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 即数列为等比数列． （2）由（1）知，，则， 则， 令，整理得，而在上单调递增， 且， 所以，的最大值为． 79．已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． (3)若，数列的前n项和为，求证： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据等差数列前n项和公式及等比中项性质，求出的值，代入公式，即可得答案 （2）由（1）得，根据分组求和法，结合等差、等比数列的前n项和公式，即可得答案. （3）由（1）得，根据裂项相消求和法，可得表达式，分析即可得证. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则①， 又成等比数列，所以，则， 整理得②， 联立①②，解得，所以. （2）由（1）得， 所以 . （3）由（1）得， 则 80．数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中. ①，； ②，，，成等差数列； ③，； (1)分别求出数列与的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 【答案】(1)选择任一条件都有， (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）选择条件①，②，③，利用等比数列通项，结合已知求出数列的基本量，进而求出通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求出. 【详解】（1）若选①，设的公比为，则，且， 解得，，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选②，设的公比为，由成等差数列，得，解得，因此 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选③，设的公比为，则，解得，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． （2）数列满足，则， 所以 ． 【知识点5】数列求和的其他方法 81．已知数列满足，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列求和的其他方法 【分析】先把递推关系式化简得到，再计算出数列的前几项，即可得到数列都是周期为6的周期数列，根据周期性计算即可判断各个选项. 【详解】由，得 且，，即得且， 故， 所以由得，故， ，故 ，故 ，故 ，故， ，故， 所以数列都是以6为一个周期的周期数列. 选项A：，则，故A项正确； 选项B：因为，所以，故B项错误； 选项C：因为，所以，故C项错误； 选项D：因为， 所以，故D项错误. 故选：A 82．数列的前20项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数列求和的其他方法 【分析】写出数列的前20项，直接求和即可. 【详解】数列的前20项和为. 故选：C. 83．已知正项数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、数列求和的其他方法、利用an与sn关系求通项或项 【分析】作差得到数列的通项公式和前项和，从而得到，裂项相加得到答案. 【详解】已知正项数列的前项和为，满足，化简得． 当时，，解得；当时，， 相减可得，， 因为，所以，所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列； 所以，， 即， 所以 ， 故选：C． 84．已知数列的通项公式，则（    ） A．81 B．128 C．146 D．164 【答案】B 【知识点】判断数列的增减性、判断或写出数列中的项、数列求和的其他方法 【分析】利用对勾函数的性质得，再去绝对值符号化简为，即可求值. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 对于且，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故 . 故选：B 85．若表示大于的最小整数，如：，，数列满足，，，记，则数列的前2025项和为（   ） A．2028 B．2030 C．4054 D．4055 【答案】D 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和、数列求和的其他方法 【分析】首先对递推式进行变形，根据累加法求数列的通项公式，代入数列，再利用题目所给的的定义算出数列各项的值，从而得到数列的前2025项和. 【详解】，即， 设，则，且， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，即， 所以，可得，，，，，累加可得： ，所以， 依题意，， 对的取值范围进行分析： ， ，可以得到： 当时，，即， 所以，，， 因此当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，数列的前2025项和. 故选：D. 86．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为，构造数列，使记，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数列求和的其他方法、分步乘法计数原理及简单应用、计算古典概型问题的概率 【分析】首先根据计数原理计算出满足的事件的个数以及事件的总数，再根据古典概率公式即可求解. 【详解】投掷7次必须5次正面向上，2次反面向上，抛掷7次不同结果有种，故. 故选：A 87．数列中表示与最接近的整数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数列的概念及辨析、数列求和的其他方法 【分析】设，得到，求得数的项共有项，当时，求得，，进而求得的值，得到答案. 【详解】由题意，设，则，即， 因为，所以数的项共有项， 当时，，，所以，， 所以． 故选：D． 88．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（   ） A．4720 B．4722 C．4723 D．4725 【答案】C 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列求和的其他方法 【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系，利用规律求解即可 【详解】, 可知数列是以3为周期的数列， 因为，所以， 故选：C 89．如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列的前4项. 记，则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 【答案】C 【知识点】递推数列的实际应用、求等比数列前n项和、数列求和的其他方法 【分析】根据图象的规律，归纳各项，通过放缩结合等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由图分析可知，， ， ， 依次类推，， 所以 . 故选：. 90．数列的通项公式为，前项和为，给出下列三个结论： ①存在正整数，使得； ②存在正整数，使得； ③记，则数列有最小项； 其中所有正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】数列的概念及辨析、确定数列中的最大（小）项、数列求和的其他方法、由基本不等式证明不等关系 【分析】利用数列通项公式、前项和的定义、数列的单调性、基本不等式分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，数列的通项公式为， 对于①，令，解得：或（舍去），即， ∴，即存在正整数，使得，故①正确； 对于②，由知，当时，且单调递增， 当且时，，，则； 当且时，，当且仅当时等号成立， 而且时，，故等号不成立，即. 综上知，不存在正整数，使得，故②错误； 对于③，由知，，，， 当时，且单调递增， ∴由知，，，， ∴当时数列有最小项，故③正确； ∴正确结论的个数是2. 故选：C. 91．已知数列，，若将中被3整除的项按原顺序依次排列，得到数列，则___________． 【答案】 【知识点】数列求和的其他方法、整数与整除 【分析】根据中被3整除的数依次排列得到数列，若，则或，满足条件的序列为，将其两两分组：第组为和，求出对应的数列中的项为和，求出，求出的前项的和即可得解. 【详解】由，得． 若，则或，满足条件的序列为． 将其两两分组：第组为和． 对应的数列的项为和． 这两项之和为． 求前项和，即求前组的和：． 92．已知数列满足，则的前n项和的最小值是______． 【答案】/ 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、数列求和的其他方法 【分析】由通项公式变形得出为等差数列，写出等差数列的通项公式，从而得出数列的通项公式，然后分析求出数列的前n项和的最小值即可. 【详解】由，可得， 所以为等差数列，首项为，公差为2， 所以，则，则， 当时，，所以数列的前n项和的最小值为： ， 故答案为：． 93．已知数列满足，定义使为整数的叫做“完美数”，则区间内所有“完美数”的和______. 【答案】 【知识点】求等比数列前n项和、数列求和的其他方法、数列新定义 【分析】由求出，计算出，由为整数得到为整数，设这个整数为，则，解得，由，，得到在区间内所有“完美数”有，利用数列的分组求和和等比数列求和公式即可得解. 【详解】，， ， 为整数，为整数， 设这个整数为，，则，解得， ，， ， 区间内所有“完美数”有， 区间内所有“完美数”的和 . 故答案为：. 94．已知函数.则的整数部分为________. 【答案】 【知识点】数列求和的其他方法、数列求和、比较函数值的大小关系 【分析】先证，进而得，利用等差数列求和公式即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 所以， 又，所以， 所以， 所以的整数部分为：， 故答案为：. 95．已知斐波那契数列，则_____． 【答案】840 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列求和的其他方法 【分析】根据斐波那契数列的定义逐个求值计算. 【详解】因为， 所以，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，, , 所以， ， 所以， 故答案为：840 96．已知数列满足，，令． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)令数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列、数列求和的其他方法 【分析】（1）结合题设中的递推关系可转化为，从而可证数列为等比数列； （2）根据（1）中的结果可求的通项公式，从而可求的通项公式，进而由可求的通项公式； （3）由（2）的结论得：，利用放缩法得当时，，对分类讨论，结合等比数列的前项和公式即可证明成立. 【详解】（1）证明：已知，所以， 由递推式，代入得： ， 故， 又，得，从而得 因此数列是首项为3，公比为的等比数列; （2）由（1）的结论得：， 所以， 又因为， 故 , 即数列的通项公式为； （3）由（2）的结论得， 因为对恒成立，所以； 所以， 故当时，成立； 当时， 由于，即， 综上所述，成立. 97．记为等差数列的前项和，已知，. (1)求和的通项公式； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、数列求和的其他方法 【分析】（1）根据等差数列的性质求解； （2）令，分段求数列的前项和即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以等差数列的公差， 所以， 所以. （2）令，为数列的前项和，则， ， . 当时，， 当时，. 综上，. 98．已知数列满足． (1)求证数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，求数列的前项和． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和、裂项相消法求和、数列求和的其他方法 【分析】（1）根据所给递推关系，取倒数后利用等差数列定义证明，再利用等差数列通项公式可求出； （2）根据裂项相消法求和； （3）先证明数列为等差数列，求其前项和为，再分类讨论求即可. 【详解】（1）由可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以， 所以. （2）因为， 所以 （3）因为数列为等差数列， 所以， 所以，所以， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，设前项和为， 则， 令，解得， 当时，， 所以， 当时，, 综上，. 99．已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、数列求和的其他方法、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. 100．对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期. (1)判断数列是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由. (2)已知无穷数列是周期为2的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围； (3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)数列为周期数列，周期为2 (2) (3)不存在，理由见解析 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列求和的其他方法、数列新定义、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据周期数列的定义进行判断即可； （2）根据题意，分为偶数和为奇数时两种情况讨论求解即可； （3）假设存在非零常数，使得是周期为的数列，推导出数列是周期为的周期数列，进而得数列周期为，推出，由而该方程无解即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以数列是周期数列，其最小正周期为2； （2）因为无穷数列是周期为的周期数列，且，， 所以当为偶数时，； 当为奇数时，， 因为对一切正整数恒成立， 所以当为偶数时，，故只需即可； 当为奇数时，恒成立，故只需即可； 综上，对一切正整数恒成立，常数的取值范围为； （3）假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，所以，即， 所以，即， 所以，即， 所以数列是周期为的周期数列， 因为， 即，因为， 所以，， 所以数列的周期为， 所以，即，显然方程无解， 所以不存在非零常数，使得是周期数列. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $