第15讲 蒙日圆讲义-2026届高考数学二轮复习椭圆专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆蒙日圆核心考点，涵盖方程性质、离心率、最值范围等高考高频角度，按考情分析、学习目标、知识要点、题型归纳逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破解析几何压轴难点。 讲义特色在于题型分层与结论应用推导结合，如通过“设切线方程-联立判别式-垂直斜率关系”推导蒙日圆轨迹，培养数学思维与推理能力。设置基础到综合变式训练，确保高效突破，为教师把控复习节奏提供精准素材，提升学生应考能力。

第15讲 椭圆的蒙日圆问题 目 录 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 2 题型归纳 4 题型01：蒙日圆方程及性质 4 题型02：求离心率 10 题型03:最值和取值范围 13 题型04：面积问题 15 题型05：轨迹问题 21 题型06：定值问题 23 题型07：蒙日圆的其它应用 27 一. 命题定位 蒙日圆是椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线顶级二级结论，属于高考选填压轴、大题隐形秒杀考点；常和垂直切线、定点定值、轨迹方程、最值范围综合命题，是高中解析几何拔高必考模型。 二. 考查形式与分值 1.选择/填空压轴：直接考蒙日圆方程、半径、轨迹判定，5分，可秒解； 2.解答题：以“过曲线外一点作两条互相垂直切线”为题干，隐形考查蒙日圆轨迹，作为大题中间结论简化运算，12分； 3.常捆绑：极点极线、切点弦、韦达定理、非对称韦达、距离最值。 三. 高频考查角度 1.核心定义：椭圆/双曲线两条互相垂直的切线交点的轨迹为圆，即蒙日圆； 2.公式考查：直接求椭圆、双曲线蒙日圆标准方程、圆心、半径； 3. 轨迹问题：已知切线垂直，证明交点在定圆上； 4.范围最值：利用蒙日圆求点到原点距离、弦长、面积最值； 5.综合嵌套：蒙日圆+切点弦+极点极线+几何最值混搭出题。 四. 命题特点与趋势 1.小题重结论直接套用，大题重推导证明+几何转化； 2.高考不直接给“蒙日圆”名称，多以互相垂直两条切线为隐藏条件； 3.侧重考查几何直观，弱化暴力联立计算，会蒙日圆可大幅简化压轴运算量； 4.新高考更偏爱结合轨迹、参数范围、定点定值综合设问。 一．知识目标 1. 熟记椭圆、双曲线蒙日圆的定义、标准方程、圆心半径公式； 2. 理解蒙日圆的几何本质：垂直切线交点的定圆轨迹； 3. 掌握蒙日圆常规推导方法：设切线方程→联立→判别式→垂直斜率关系→化简得轨迹； 4. 分清抛物线有无标准蒙日圆及特殊性质。 二．能力目标 1. 看到“过点作两条互相垂直切线”能立刻反应蒙日圆模型； 2. 能直接秒写标准椭圆、双曲线的蒙日圆方程，无需现场推导； 3. 能利用蒙日圆解决距离最值、点的轨迹、参数取值范围类题型； 4. 能规范完成大题中蒙日圆轨迹的推导证明，步骤完整不丢分。 三. 应试目标 1. 选填压轴直接套用蒙日圆结论秒杀答案，节省做题时间； 2. 解答题能把垂直切线条件转化为蒙日圆轨迹，简化联立和韦达运算； 3. 能区分蒙日圆、切点弦、极点极线三大模型，不混淆公式和适用条件。 知识点一：蒙日圆的相关定理 （1）与椭圆相切的两条垂直切线的交点在圆上． （2）与双曲线相切的两条垂直切线的交点在圆上，此时双曲线的离心率满足． （3）与抛物线相切的两条垂直切线交点的轨迹，就是该抛物线的准线． （4）与圆相切的两条垂直切线的交点在圆上． 蒙日圆的证明（以椭圆为例）： ①当平面中两条互相垂直的切线的斜率不存在或斜率为0时，可得的坐标为． ②当两条切线的斜率存在，且设其中一条的斜率为，交点为，则过的切线方程为．由消去得． 令，整理得． ∵是关于的一元二次方程的两个根， ∴． 由，得， 即．命题得证． 双曲线，抛物线的定理均可按照这种方式证明． 知识点二：蒙日圆的性质 性质1：过圆上的动点作椭圆的两条切线，切点为，则，且平分弦． 性质2：为圆上任一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，延长交圆于两点，则 （1）三点共线； （2）； （3）； （4）当位于轴上时，弦取得最大值． 题型01：蒙日圆方程及性质 【典型例题1】画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则椭圆的蒙日圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，，解得， 则，则圆半径的平方等于，且圆心为原点， 则圆的方程为. 故选：B. 【典型例题2】世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.椭圆的两条切线互相垂直，则两条切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.已知一动点到两个定点、的距离满足，则点的轨迹与椭圆的蒙日圆的交点个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．无公共点 【答案】D 【详解】由题意可知，椭圆的蒙日圆方程为， 设点，则，整理可得， 圆的圆心为原点，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，所以，， 故两圆相交，所以，点的轨迹与椭圆的蒙日圆无公共点. 故选：D. 【典型例题3】若过圆上任一点向椭圆作切线，且两条切线互相垂直，则（    ） A．1 B．3 C．2 D．5 【答案】C 【分析】由的蒙日圆是可得. 【详解】由题意得是椭圆的蒙日圆，则，解得. 故选：C. 【典型例题4】（多选）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（ ） A．的最大值为 B．若为的中点，则的离心率的最小值为 C．过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为， 又椭圆，所以， 所以，故A正确； 对于B，若为的中点，则， 则，故，B正确； 对于C，取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误； 对于D，因为点在上，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的蒙日圆面积最小为，D正确. 故选：ABD. 【变式训练1-1】19世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程，，分别为椭圆的左，右焦点，离心率为，P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆的两条切线，与蒙日圆C分别交于A，B两点，若面积的最大值为25，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列结论错误的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．面积的最大值为 C．到的左焦点的距离的最小值为 D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 【变式训练1-4】法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（    ） ①椭圆的离心率为 ②到的左焦点的距离的最小值为 ③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1-5】法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆．根据此背景，设为椭圆的一个外切长方形（的四条边所在直线均与椭圆相切），若在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则的面积为（    ） A． B．26 C． D． 【变式训练1-6】画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为蒙日圆．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上两个动点，直线的方程为，下列说法正确的是（    ） A．的蒙日圆的方程为 B．对直线上任意一点， C．过点作的垂线，垂足为，则的最小值为 D．若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为 【变式训练1-7】（多选）在椭圆（双曲线）中，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，这个圆被称为该椭圆（双曲线）的蒙日圆.已知双曲线的蒙日圆方程为为坐标原点，点在双曲线上，与双曲线的蒙日圆交于点，则（    ） A．若点的坐标为，且的蒙日圆的半径为1，则的方程为 B．若点的坐标为，则的蒙日圆面积最大值为 C．的最小值为 D．若为的中点，则的离心率的最大值为 【变式训练1-8】（多选）法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法中正确的是（    ） A．椭圆的蒙日圆方程为 B．过直线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为为直角时，直线的斜率为 C．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则 D．若为正方形，则的边长为 【变式训练1-9】已知椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在与该椭圆同中心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则该椭圆的蒙日圆方程为 . 【变式训练1-10】法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过圆：上任意一点作双曲线：的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆称作双曲线的蒙日圆.过双曲线：的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，若，则的周长为 . 【变式训练1-11】画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则 . 【变式训练1-12】法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线（当直线与椭圆有且只有一个交点时，直线与椭圆相切，直线叫椭圆的切线，交点叫切点）的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆的离心率为，且短轴的一个端点到焦点的距离为2，则此椭圆的蒙日圆的方程为 . 【变式训练1-13】“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔蒙日（1746-1818）最先发现．若椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一动点，过和原点作直线与椭圆的蒙日圆相交于，则 ． 题型02：求离心率 【典型例题1】若椭圆：的蒙日圆为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据蒙日圆的概念，可知过椭圆右顶点和上顶点的切线的交点在蒙日圆上，坐标满足圆的方程，从而得到关于的方程进行求解. 【详解】如图，分别与椭圆相切，显然.    所以点在蒙日圆上，所以， 所以，即，所以椭圆的离心率. 故选：D. 【典型例题2】画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A，B为椭圆E：上的两个动点，动点P在直线上，若恒成立，则E的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，得椭圆E的蒙日圆方程为， 其上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直， 因此当直线与圆相离时，， 由，解得. 所以离心率. 故选：A 【典型例题3】已知点P为直线上一点，PA，PB是椭圆C：的两条切线，若恰好存在一点便得，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据过点的直线与椭圆相切，联立方程，利用判别式为0，可得关于的方程，然后根据，得斜率相乘等于，进而得点的轨迹，结合点是椭圆上仅有一点，得到圆心到直线的距离等于半径即可求解，进而可求离心率. 【详解】解法1：设，过点的切线方程为， 联立，得， ∵直线与椭圆相切，， 整理得， 若切线、的斜率均存在，分别设为，，，∴，即， ∴点在以为圆心，为半径的圆上，即到直线的距离为， ∴，解得，∵，∴． 若切线PA、PB分别与两坐标轴垂直，由于直线经过一,二,三象限,则或,将其代入直线中，解得． 综上所述，．又，∴，∴离心率． 解法2：在解法1中，实际上证明了一遍蒙日圆，如果知道结论，可得P的轨迹方程，且此圆与相切，其中到直线的距离， ∴，解得，∵，∴，又，∴，∴离心率． 故答案为： 【变式训练2-1】加斯帕尔·蒙日（Gaspard Monge）是法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若某椭圆对应的蒙日圆方程为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】数学家蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【变式训练2-4】已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【变式训练2-5】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”．若椭圆方程为，则其蒙日圆方程为 ；点为椭圆上任意两个动点，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【变式训练2-6】加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【变式训练2-7】法国著名数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，且方程为，这个圆被称为“蒙日圆”．已知椭圆的焦点在轴上，A，B为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【变式训练2-8】加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【变式训练2-9】加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 题型03:最值和取值范围 【典型例题】已知从圆上一点作两条互相垂直的直线与椭圆相切，同时圆与直线交于，两点，则的最小值为（    ）． A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】先求出圆C的方程，直线过定点，当最小时，，此时圆心到直线l的距离，. 【详解】由题意可设过与椭圆相切的直线方程为，联立， 消元可得，所以， 即，所以两直线的斜率之积，所以， 所以圆C的方程为，直线过定点， 且点P在圆C内部，当最小时，， 此时圆心到直线l的距离，. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 【变式训练3-1】已知椭圆，直线是平面上一动点，若由向椭圆引两条切线，且与的夹角为钝角，则动点到直线的距离的取值范围是_______________． 【变式训练3-2】加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知椭圆的蒙日圆方程为，则 ；若为椭圆的一个焦点，点P，Q是上关于原点对称的两点，则的最小值为 ． 【变式训练3-3】“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现.若椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一动点，过和原点作直线与椭圆的蒙日圆相交于，，则 . 【变式训练3-4】法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心为椭圆的中心，半径等于椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆被称为“蒙日圆”．如图，已知椭圆的蒙日圆方程为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)点是第一象限内椭圆上一点，，的延长线分别交于，两点，设，分别是，的内切圆半径. （i）若点的横坐标为2，求内切圆的方程； （ii）求的最大值. 题型04：面积问题 【典型例题1】已知椭圆C：，M是圆上的任意一点，MA，MB分别与椭圆切于A，B．求面积的取值范围． 【答案】. 【分析】设，，，得到的直线方程，与椭圆的方程联立，解得弦长的值，利用点到直线的距离公式求解点到直线的距离，令，即可求解面积的取值范围， 【详解】解：设，，， 因为MA与椭圆切于A，故，对椭圆求导得，则切线的斜率为， 故切线的方程为：，整理得， 同理，切线的方程为， 又点为切线与切线的交点，且，故， 从而直线的方程为：， 将直线的方程与椭圆的方程联立，得． ∴，， 因此，， 又原点到直线的距离，∴， 令，得到． 故面积的取值范围为. 【典型例题2】画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为．已知椭圆C的离心率为，点A，B均在椭圆C上，则点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为 （用含b的式子表示），若，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足，则面积的最大值为 【答案】 【分析】由题意可得蒙日圆方程，即可求解第一空；若则C：，蒙日圆方程为，设，，求出切线方程，进而可得直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理个弦长公式表示弦长，由点线矩表示原点到直线的距离，结合基本不等式计算即可求解面积的最大值. 【详解】由离心率，且可得， 所以蒙日圆方程； 由于原点到蒙日圆上任意一点的距离为， 原点到椭圆上任意一点的距离最大值为， 所以椭圆C上的点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为； 若，则椭圆C的方程为，即，蒙日圆方程为， 不妨设，因为其在蒙日圆上，所以， 设，又，所以可知与椭圆相切， 此时可得直线的方程为，同理直线的方程为； 将代入的直线方程中可得， 所以直线的方程即为， 联立，消去整理可得； 由韦达定理可得， 所以， 原点到直线的距离为， 因此的面积 ； 当且仅当，即时等号成立， 因此面积的最大值为. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 【典型例题3】已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，与其“蒙日圆”交于、两点，当时，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为椭圆的焦距为，离心率为， 则，可得，故椭圆的方程为. （2）解：由题意，蒙日圆方程为，圆心为，半径，     ①当轴时，设直线的方程为， 将代入“蒙日圆”的方程得，解得， 则，解得：， 将直线的方程代入椭圆C的方程可得，解得，则， 所以，； ②当直线不垂直轴时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，得， 联立，消去得， ，可得， 设、，则，， ， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故的面积的最大值为. 【变式训练4-1】法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆过点.且短轴的一个端点到焦点的距离为. (1)求椭圆的蒙日圆的方程； (2)若斜率为1的直线与椭圆相切，且与椭圆的蒙日圆相交于，两点，求的面积为坐标原点）； (3)设为椭圆的蒙日圆上的任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值. 【变式训练4-2】19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且蒙日圆的半径为（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）．已知椭圆上任一点到点的距离与到直线的距离之比为，椭圆的蒙日圆为圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为坐标原点，点是椭圆上的任意一点，是椭圆左右焦点，直线与圆相交于两点，求证：是定值； (3)过点作直线交圆于、两点，作直线交椭圆于、两点，且，求四边形面积的最小值． 【变式训练4-3】已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1，0)，椭圆C1过点，抛物线的顶点为原点． (1)求椭圆C1和抛物线C2的方程； (2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点，过点P作抛物线C2的两条切线PA，PB，其中A、B为切点． 设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值； ②若直线AB交椭圆C1于C，D两点，S△PAB，S△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由. 【变式训练4-4】数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：在双曲线中（如图），任意两条互相垂直的切线（其中为切点）的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.反之，双曲线的蒙日圆上任一点作双曲线的两条切线，两条切线垂直.已知双曲线的离心率为，双曲线的蒙日圆方程为.    (1)求双曲线的标准方程； (2)过蒙日圆上一点作双曲线的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若，求的周长. 【变式训练4-5】已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，与其“蒙日圆”交于、两点，当时，求面积的最大值． 题型05：轨迹问题 【典型例题】设椭圆的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆外一动点，过点作椭圆的两条互相垂直的切线为切点，求动点的轨迹方程． 【解析】（1）由题意可知，解得2， 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）当两条切线中有一条斜率不存在时，即两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点，此时的坐标为． （ⅱ）当两条切线的斜率存在且不为0时，设过的切线方程为， 与联立，消去并整理得． 由题意可得， 整理得． 设直线的斜率为，则． 而直线的斜率互相垂直，则， 即．点也在圆上， 综上，动点的轨迹方程为． 【变式训练5-1】已知椭圆的一个焦点为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程. 【变式训练5-2】已知椭圆的一个焦点为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程. 【变式训练5-3】已知椭圆的方程为. （1）设是椭圆上的点，证明：直线与椭圆有且只有一个公共点； （2）过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为､，点在直线上的射影为点，求点的坐标； （3）互相垂直的两条直线与相交于点，且､都与椭圆只有一个公共点，求点的轨迹方程. 题型06：定值问题 【典型例题1】法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆半长轴长与半短轴长的平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作椭圆的两条切线，两切线斜率之积为，求的轨迹方程； (3)在数学中，可利用“循环构造法”求方程的正整数解.例如：求二元二次方程的正整数解，通过，先找到该方程的初始正整数解，记此解对应的点为，进一步可得点.设由“循环构造法”得到方程的正整数解对应的点列为：，其中，，记，试判断，是否为定值?若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)（且）. (3)是，且为定值 【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的方程为. （2）（i）当切线斜率不存在或为零时，不满足题意； （ii）当切线斜率存在且不为零时，设点， 设过点的切线方程为，即， 联立得， 由，得， 可得出关于的二次方程①， 方程①有两个不等根，则，且，可得， 设过点的两条切线的斜率分别为、，可得，整理可得， 又因为且，以及，可得且， 即且， 所以，点的轨迹方程为（且）. （3）因为，所以， ， 因为二项式与的展开式中不含的项相等，含的项互为相反数， 所以， 则， 所以， 直线的方程为，则即为点到直线的距离， 所以， ， 故为定值. 【典型例题2】给定椭圆C： (a>b>0)，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为. （1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程； （2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值． 【答案】（1）椭圆方程为，“准圆”方程为x2＋y2＝4；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由已知，进而可得椭圆C的方程和其“准圆”方程； （2）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，分别求出l1和l2，验证命题成立；②当l1，l2斜率存在时，设点P(x0，y0)，其中，联立过点P(x0，y0)与椭圆相切的直线方程与椭圆方程，由Δ＝0化简整理，可证得l1⊥l2；进而得出线段MN为“准圆”x2＋y2＝4的直径，即线段MN的长为定值． 【详解】 （1）∵椭圆C的一个焦点为 其短轴上的一个端点到F的距离为. ∴， ∴， ∴椭圆方程为， ∴“准圆”方程为x2＋y2＝4. （2）证明：①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x＝±， 当l1：x＝时，l1与“准圆”交于点(，1)，(，－1)， 此时l2为y＝1(或y＝－1)，显然直线l1，l2垂直； 同理可证当l1：x＝－时，直线l1，l2垂直． ②当l1，l2斜率存在时， 设点P(x0，y0)，其中. 设经过点P(x0，y0)与椭圆相切的直线为 y＝t(x－x0)＋y0， ∴由 得(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0. 由Δ＝0化简整理，得(3－)t2＋2x0y0t＋1－＝0， ∵，∴有(3－)t2＋2x0y0t＋(－3)＝0. 设l1，l2的斜率分别为t1，t2， ∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程(3－)t2＋2x0y0t＋(－3)＝0， ∴t1·t2＝－1，即l1，l2垂直． 综合①②知，l1⊥l2. ∵l1，l2经过点P(x0，y0)，又分别交其“准圆”于点M，N，且l1，l2垂直． ∴线段MN为“准圆”x2＋y2＝4的直径，|MN|＝4， ∴线段MN的长为定值． 【点睛】 思路点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查新定义，考查椭圆的切线方程，考查直线与椭圆的位置关系，有关平面解析问题一些基本解题思想总结如下： 1.常规求值问题：需要找等式，范围问题需要找不等式； 2.是否存在问题：当作存在去求，不存在时会无解； 3.证明定值问题：把变动的元素用参数表示出来，然后证明结果与参数无关，也可先猜再证； 4.处理定点问题：把方程中参数的同次项集在一起，并令各项系数为，也可先猜再证； 5.最值问题：将对象表示为变量的函数求解． 【变式训练6-1】已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，证明：为定值． 【变式训练6-2】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2：＋＝1(a>b>0)，C2与C1的长轴长之比为∶1，离心率相同． (1) 求椭圆C2的标准方程； (2) 设点P为椭圆C2上的一点． ①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值； ②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证k1·k2为定值． 【变式训练6-3】如图，已知是椭圆:上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点、． （1）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：为定值； （2）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 题型07：蒙日圆的其它应用 【典型例题1】已知椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上运动，若面积的最大值为，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作圆：，的两条切线，分别与椭圆交于两点，(异于点)，当变化时，直线是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）直线恒过定点. 【分析】 （1）首先列出关于的等式，再求椭圆的标准方程；（2）首先设出过点的切线方程，利用，得到关于斜率的一元二次方程，得到根与系数的关系，再与椭圆方程联立求得点的坐标，写出直线的斜率，并写出直线的方程，说明直线过定点. 【详解】 （1）由题可知当点在椭圆的上顶点时，最大， 此时，∴，，， ∴椭圆的标准方程为. （2）设过点与圆相切的直线方程为，即， ∵直线与圆：相切，∴， 即得. 设两切线的斜率分别为，，则， 设，，由， ∴，即，∴； 同理：，； ∴， ∴直线的方程为. 整理得， ∴直线恒过定点. 【点睛】 本题考查椭圆方程，直线与圆，直线与椭圆的位置关系，重点考查转化思想，计算能力，逻辑推理能力，属于难题. 【典型例题2】给定椭圆 C : ，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆 C 的“伴随圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F1(, 0) ，其短轴上的一个端点到 F1 的距离为 （1）求椭圆 C 的方程及其“伴随圆”方程； （2）若倾斜角 45°的直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，且与椭圆 C 的伴随圆相交于 M .N 两点，求弦 MN 的的长； （3）点 P 是椭圆 C 的伴随圆上一个动点，过点 P 作直线 l1、l2，使得 l1、l2与椭圆 C 都只有一个公共点，判断l1、l2的位置关系，并说明理由. 【答案】（1）椭圆方程：；伴随圆方程： x2 y2 1 ；（2） 2；（3）垂直，（斜率乘积为 1 ，分斜率存在与否） 【分析】 （1）直接由椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F1的距离为，求出，即可求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程； （2）先把直线方程与椭圆方程联立，利用对应的判别式为0求出，进而求出直线方程以及圆心到直线的距离；即可求弦MN的长； （3）先对直线l1，l2的斜率是否存在分两种情况讨论，然后对每一种情况中的直线l1，l2与椭圆C都只有一个公共点进行求解即可证：l1⊥l2．（在斜率存在时，是先设直线方程，把直线与椭圆方程联立，利用斜率为对应方程的根来判断结论）． 【详解】 解：（1）因为，所以b＝1 所以椭圆的方程为， 伴随圆的方程为x2+y2＝4． （2）设直线l的方程y＝x+b，由得4x2+6bx+3b2﹣3＝0 由△＝（6b）2﹣16（3b2﹣3）＝0得b2＝4 圆心到直线l的距离为 所以 （3）①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率， 因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或， 当l1方程为时，此时l1与伴随圆交于点， 此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是y＝1（或y＝﹣1）， 即l2为y＝1（或y＝﹣1），显然直线l1，l2垂直； 同理可证l1方程为时，直线l1，l2垂直． ②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02＝4， 设经过点P（x0，y0），与椭圆只有一个公共点的直线为y＝k（x﹣x0）+y0， 由，消去y得到x2+3（kx+（y0﹣kx0））2﹣3＝0， 即（1+3k2）x2+6k（y0﹣kx0）x+3（y0﹣kx0）2﹣3＝0， △＝[6k（y0﹣kx0）]2﹣4•（1+3k2）[3（y0﹣kx0）2﹣3]＝0， 经过化简得到：（3﹣x02）k2+2x0y0k+1﹣y02＝0， 因为x02+y02＝4，所以有（3﹣x02）k2+2x0y0k+（x02﹣3）＝0， 设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点， 所以k1，k2满足方程（3﹣x02）k2+2x0y0k+（x02﹣3）＝0， 因而k1•k2＝﹣1，即l1，l2垂直． 【点睛】 本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，两点间的距离公式以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力． 【变式训练7-1】已知椭圆：的长半轴长为，点（为椭圆的离心率）在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，为直线上任一点，过点椭圆上点处的切线为，，切点分别，，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求的值. 【变式训练7-2】已知抛物线：（），圆：（），抛物线上的点到其准线的距离的最小值为. （1）求抛物线的方程及其准线方程； （2）如图，点是抛物线在第一象限内一点，过点P作圆的两条切线分别交抛物线于点A，B（A，B异于点P），问是否存在圆使AB恰为其切线？若存在，求出r的值；若不存在，说明理由. 【变式训练7-3】已知抛物线上一点到焦点的距离. （1）求抛物线的方程； （2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围. 【变式训练7-4】已知抛物线E：过点，过抛物线E上一点作两直线PM，PN与圆C：相切，且分别交抛物线E于M、N两点． （1）求抛物线E的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）若直线MN的斜率为，求点P的坐标． 【变式训练7-5】法国数学家蒙日在研究椭圆时发现：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.这个圆称为该椭圆的蒙日圆，此结论一般称为蒙日圆定理. (1)求椭圆的蒙日圆方程； (2)对于椭圆，是椭圆的中心，点是椭圆的蒙日圆上一点，，分别切椭圆于点，，且切点弦所在的直线方程是. （i）证明：平分切点弦； （ii）若延长，，分别交椭圆的蒙日圆于点，，证明：. 【变式训练7-6】数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：在双曲线中（如图），任意两条互相垂直的切线（其中为切点）的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.反之，双曲线的蒙日圆上任一点作双曲线的两条切线，两条切线垂直.已知双曲线的离心率为，双曲线的蒙日圆方程为.    (1)求双曲线的标准方程； (2)过蒙日圆上一点作双曲线的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若，求的周长. 【变式训练7-7】法国数学家加斯帕尔·蒙日发现过圆上任意一点作双曲线的两条切线，这两条切线互相垂直.我们通常把这个圆称作双曲线的蒙日圆.如图，过双曲线的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于异于点的，两点，，且的周长为. (1)求双曲线的标准方程. (2)过双曲线的右焦点的直线与交于，两点（异于顶点），线段的中垂线与轴交于一点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 椭圆的蒙日圆问题 目 录 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 2 题型归纳 4 题型01：蒙日圆方程及性质 4 题型02：求离心率 18 题型03:最值和取值范围 26 题型04：面积问题 31 题型05：轨迹问题 45 题型06：定值问题 50 题型07：蒙日圆的其它应用 60 一. 命题定位 蒙日圆是椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线顶级二级结论，属于高考选填压轴、大题隐形秒杀考点；常和垂直切线、定点定值、轨迹方程、最值范围综合命题，是高中解析几何拔高必考模型。 二. 考查形式与分值 1.选择/填空压轴：直接考蒙日圆方程、半径、轨迹判定，5分，可秒解； 2.解答题：以“过曲线外一点作两条互相垂直切线”为题干，隐形考查蒙日圆轨迹，作为大题中间结论简化运算，12分； 3.常捆绑：极点极线、切点弦、韦达定理、非对称韦达、距离最值。 三. 高频考查角度 1.核心定义：椭圆/双曲线两条互相垂直的切线交点的轨迹为圆，即蒙日圆； 2.公式考查：直接求椭圆、双曲线蒙日圆标准方程、圆心、半径； 3. 轨迹问题：已知切线垂直，证明交点在定圆上； 4.范围最值：利用蒙日圆求点到原点距离、弦长、面积最值； 5.综合嵌套：蒙日圆+切点弦+极点极线+几何最值混搭出题。 四. 命题特点与趋势 1.小题重结论直接套用，大题重推导证明+几何转化； 2.高考不直接给“蒙日圆”名称，多以互相垂直两条切线为隐藏条件； 3.侧重考查几何直观，弱化暴力联立计算，会蒙日圆可大幅简化压轴运算量； 4.新高考更偏爱结合轨迹、参数范围、定点定值综合设问。 一．知识目标 1. 熟记椭圆、双曲线蒙日圆的定义、标准方程、圆心半径公式； 2. 理解蒙日圆的几何本质：垂直切线交点的定圆轨迹； 3. 掌握蒙日圆常规推导方法：设切线方程→联立→判别式→垂直斜率关系→化简得轨迹； 4. 分清抛物线有无标准蒙日圆及特殊性质。 二．能力目标 1. 看到“过点作两条互相垂直切线”能立刻反应蒙日圆模型； 2. 能直接秒写标准椭圆、双曲线的蒙日圆方程，无需现场推导； 3. 能利用蒙日圆解决距离最值、点的轨迹、参数取值范围类题型； 4. 能规范完成大题中蒙日圆轨迹的推导证明，步骤完整不丢分。 三. 应试目标 1. 选填压轴直接套用蒙日圆结论秒杀答案，节省做题时间； 2. 解答题能把垂直切线条件转化为蒙日圆轨迹，简化联立和韦达运算； 3. 能区分蒙日圆、切点弦、极点极线三大模型，不混淆公式和适用条件。 知识点一：蒙日圆的相关定理 （1）与椭圆相切的两条垂直切线的交点在圆上． （2）与双曲线相切的两条垂直切线的交点在圆上，此时双曲线的离心率满足． （3）与抛物线相切的两条垂直切线交点的轨迹，就是该抛物线的准线． （4）与圆相切的两条垂直切线的交点在圆上． 蒙日圆的证明（以椭圆为例）： ①当平面中两条互相垂直的切线的斜率不存在或斜率为0时，可得的坐标为． ②当两条切线的斜率存在，且设其中一条的斜率为，交点为，则过的切线方程为．由消去得． 令，整理得． ∵是关于的一元二次方程的两个根， ∴． 由，得， 即．命题得证． 双曲线，抛物线的定理均可按照这种方式证明． 知识点二：蒙日圆的性质 性质1：过圆上的动点作椭圆的两条切线，切点为，则，且平分弦． 性质2：为圆上任一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，延长交圆于两点，则 （1）三点共线； （2）； （3）； （4）当位于轴上时，弦取得最大值． 题型01：蒙日圆方程及性质 【典型例题1】画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则椭圆的蒙日圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，，解得， 则，则圆半径的平方等于，且圆心为原点， 则圆的方程为. 故选：B. 【典型例题2】世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.椭圆的两条切线互相垂直，则两条切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.已知一动点到两个定点、的距离满足，则点的轨迹与椭圆的蒙日圆的交点个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．无公共点 【答案】D 【详解】由题意可知，椭圆的蒙日圆方程为， 设点，则，整理可得， 圆的圆心为原点，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，所以，， 故两圆相交，所以，点的轨迹与椭圆的蒙日圆无公共点. 故选：D. 【典型例题3】若过圆上任一点向椭圆作切线，且两条切线互相垂直，则（    ） A．1 B．3 C．2 D．5 【答案】C 【分析】由的蒙日圆是可得. 【详解】由题意得是椭圆的蒙日圆，则，解得. 故选：C. 【典型例题4】（多选）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（ ） A．的最大值为 B．若为的中点，则的离心率的最小值为 C．过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为， 又椭圆，所以， 所以，故A正确； 对于B，若为的中点，则， 则，故，B正确； 对于C，取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误； 对于D，因为点在上，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的蒙日圆面积最小为，D正确. 故选：ABD. 【变式训练1-1】19世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于椭圆，其中，，根据蒙日圆方程， 可得蒙日圆方程为，其圆心坐标为，半径. 圆，其圆心坐标为，半径. 因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆内切或外切. 当两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距，由，即，，两边平方得，解得，. 当两圆内切时，两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值. 由，即，两边平方得，（无解）.   所以的值为. 故选：B. 【变式训练1-2】法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程，，分别为椭圆的左，右焦点，离心率为，P为蒙日圆C上一个动点，过点P作椭圆的两条切线，与蒙日圆C分别交于A，B两点，若面积的最大值为25，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的离心率可得，分析可知为蒙日圆的直径，利用勾股定理可得，再利用基本（均值）不等式即可求解. 【详解】如图： 因为椭圆的离心率，所以. 因为，所以， 所以椭圆的蒙日圆C的半径为. 因为，所以为蒙日圆的直径， 所以，所以. 因为， 当时，等号成立. 所以面积的最大值为：. 由面积的最大值为25，得，得， 进而有，， 故椭圆的长轴长为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于借助基本（均值）不等式分析在何时取得最大值. 【变式训练1-3】法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列结论错误的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．面积的最大值为 C．到的左焦点的距离的最小值为 D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 【答案】D 【分析】求椭圆的离心率，根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的最值问题，根据题意结合圆，椭圆的知识并结合直线与椭圆位置关系，韦达定理可逐项求解. 【详解】A：依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线则这两条垂线的交点在上， 因为，所以椭圆的离心率，故A正确； B：因为点，，都在上，且，为的直径， 所以面积的最大值为，故B正确； C：设，的左焦点为，连接， 所以， 又，当时，的最小值为， 则到的左焦点的距离的最小值为，故C正确； D：由直线经过坐标原点，易得点A，关于原点对称， 设，，则，得，， 又，两式相减得，， 所以，故D错误. 故选：D 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值 【变式训练1-4】法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（    ） ①椭圆的离心率为 ②到的左焦点的距离的最小值为 ③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据定义，确定蒙日圆的点结合椭圆离心率计算判断①；根据定义求得，再求出最大面积判断③；设出点M的坐标并求出其横坐标范围计算判断②；根据定义确定点A，B的关系，再利用“点差法”计算判断④. 【详解】对于①，直线，与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点在圆上， 即有，则，椭圆的离心率，①正确； 对于③，依题意，点均在圆上，且，因此线段是圆的直径， 即有，显然圆上的点到直线距离最大值为圆的半径，即点到直线距离最大值为， 因此面积的最大值为，③正确； 对于②，令，有，令椭圆的左焦点，有， 则，而， 因此，即， 所以到的左焦点的距离的最小值为，②正确； 对于④，依题意，直线过原点O，即点A，B关于原点O对称，设，有， 于是得， 又由①知，，得， 所以，④正确， 所以说法正确的有①②③④. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题关键是对椭圆的蒙日圆及椭圆性质应用，及点差法得出斜率积等的应用. 【变式训练1-5】法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆．根据此背景，设为椭圆的一个外切长方形（的四条边所在直线均与椭圆相切），若在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则的面积为（    ） A． B．26 C． D． 【答案】C 【详解】依题意，直线，都与椭圆，且它们围成四边形是矩形， 于是该矩形是椭圆的蒙日圆内接矩形，因此该蒙日圆的圆心为，半径， 因此该椭圆的蒙日圆方程为， M为椭圆的一个外切长方形，设其四个顶点分别为P、Q、、， 其中P在第一象限，显然P与关于原点对称，Q与关于原点对称， 而 P点纵坐标为2，则其横坐标为3，即，显然M的四条边所在直线斜率存在且不为0， 设过P且与椭圆C相切的直线为，由消去y并整理， 得，由， 化简得，解得或，不妨取直线PQ方程为，即， 直线的方程为，即， O点到直线PQ的距离为，O点到直线的距离为， 所以M的面积为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据蒙日圆的定义求出蒙日圆的方程，并求出第一象限内的点是解决问题的关键. 【变式训练1-6】画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为蒙日圆．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上两个动点，直线的方程为，下列说法正确的是（    ） A．的蒙日圆的方程为 B．对直线上任意一点， C．过点作的垂线，垂足为，则的最小值为 D．若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为 【答案】AD 【分析】由在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得关系，由此可知A正确；由过且在蒙日圆上，可知当恰为切点时，，知B错误；根据椭圆定义可将转化为，可知时，取得最小值，由点到直线距离公式可求得最小值，代入可得的最小值，知C错误；由题意知蒙日圆为矩形的外接圆，由矩形外接圆特点可知矩形长宽与圆的半径之间的关系，利用基本不等式可求得矩形面积最大值，知D正确. 【详解】对于A,由椭圆离心率为，得，化简得，那么的蒙日圆方程为，A正确； 对于B,直线的方程为，点在上，也在蒙日圆上，当为切点时，，B错； 对于C，，所以，当三点共线时，取得最小值，到的距离为， ∴的最小值为，C错误； 对于D，若矩形的对角线所在直线为坐标轴时，如图，其面积最大，最大值为，D正确． 故选：AD． 【变式训练1-7】（多选）在椭圆（双曲线）中，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，这个圆被称为该椭圆（双曲线）的蒙日圆.已知双曲线的蒙日圆方程为为坐标原点，点在双曲线上，与双曲线的蒙日圆交于点，则（    ） A．若点的坐标为，且的蒙日圆的半径为1，则的方程为 B．若点的坐标为，则的蒙日圆面积最大值为 C．的最小值为 D．若为的中点，则的离心率的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于A，若点在上，则有，又因为，联立解 得，故A正确； 对于B，由 ， 当且仅当等号成立，所以的蒙日圆的面积，故B错误； 对于C，由，当且仅当为双曲线的左，右顶点时取到等号，故C正确； 对于D，若为线段的中点，此时，由C选项的结论可得，， 解得，又，所以，故，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练1-8】（多选）法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法中正确的是（    ） A．椭圆的蒙日圆方程为 B．过直线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为为直角时，直线的斜率为 C．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则 D．若为正方形，则的边长为 【答案】ACD 【详解】对于A，椭圆的蒙日圆方程为，A正确； 对于B，依题意，点是直线与蒙日圆的交点，则，解得或， 直线的斜率为或0，B错误； 对于C，圆的圆心为，半径为2，显然点在圆外， 而圆的半径为3，由两圆只有一个公共点，得，解得，C正确； 对于D，由矩形的四边均与椭圆相切，得是圆的内接矩形， 当为正方形时，该正方形边长为，D正确. 故选：ACD 【变式训练1-9】已知椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在与该椭圆同中心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则该椭圆的蒙日圆方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出，再求出椭圆在顶点处的切线交点坐标即可求出蒙日圆方程． 【详解】由椭圆的离心率为，得，解得， 椭圆在顶点处的切线分别为，它们交于点， 显然点在椭圆的蒙日圆上，因此， 所以椭圆的蒙日圆方程为． 故答案为： 【变式训练1-10】法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过圆：上任意一点作双曲线：的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆称作双曲线的蒙日圆.过双曲线：的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，若，则的周长为 . 【答案】/ 【分析】根据得到，再利用求出另外两直角边即可得到周长. 【详解】由题可知，的蒙日圆方程为，半径为，且， 所以为直径，所以. 又，所以，. 所以的周长为. 故答案为：.    【变式训练1-11】画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则 . 【答案】3 【分析】根据题意，圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，列方程求解即可. 【详解】由题意可知，，所以， 故答案为：3. 【变式训练1-12】法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线（当直线与椭圆有且只有一个交点时，直线与椭圆相切，直线叫椭圆的切线，交点叫切点）的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆的离心率为，且短轴的一个端点到焦点的距离为2，则此椭圆的蒙日圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出，进而求出椭圆的蒙日圆的方程. 【详解】由椭圆短轴的一个端点到焦点的距离为2，得， 由，得，于是， 所以椭圆的蒙日圆的方程为. 故答案:. 【变式训练1-13】“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔蒙日（1746-1818）最先发现．若椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一动点，过和原点作直线与椭圆的蒙日圆相交于，则 ． 【答案】1 【分析】令，利用椭圆的定义可得，再由平面向量的知识可得，从而得到；结合“蒙日圆”的定义可知，由此得到，故得解. 【详解】因为椭圆，所以，故，，如图，令， 因为，所以，即， 结合图象，由平面向量的知识可得，故， 两式相加得，即，即， 由“蒙日圆”的定义，当我们过椭圆上下左右四个顶点作椭圆的切线时，易知椭圆的“蒙日圆”的直径为这四条切线所围成的矩形的对角线，故由勾股定理得， 所以，故. 故答案为：1. . 题型02：求离心率 【典型例题1】若椭圆：的蒙日圆为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据蒙日圆的概念，可知过椭圆右顶点和上顶点的切线的交点在蒙日圆上，坐标满足圆的方程，从而得到关于的方程进行求解. 【详解】如图，分别与椭圆相切，显然.    所以点在蒙日圆上，所以， 所以，即，所以椭圆的离心率. 故选：D. 【典型例题2】画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A，B为椭圆E：上的两个动点，动点P在直线上，若恒成立，则E的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，得椭圆E的蒙日圆方程为， 其上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直， 因此当直线与圆相离时，， 由，解得. 所以离心率. 故选：A 【典型例题3】已知点P为直线上一点，PA，PB是椭圆C：的两条切线，若恰好存在一点便得，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据过点的直线与椭圆相切，联立方程，利用判别式为0，可得关于的方程，然后根据，得斜率相乘等于，进而得点的轨迹，结合点是椭圆上仅有一点，得到圆心到直线的距离等于半径即可求解，进而可求离心率. 【详解】解法1：设，过点的切线方程为， 联立，得， ∵直线与椭圆相切，， 整理得， 若切线、的斜率均存在，分别设为，，，∴，即， ∴点在以为圆心，为半径的圆上，即到直线的距离为， ∴，解得，∵，∴． 若切线PA、PB分别与两坐标轴垂直，由于直线经过一,二,三象限,则或,将其代入直线中，解得． 综上所述，．又，∴，∴离心率． 解法2：在解法1中，实际上证明了一遍蒙日圆，如果知道结论，可得P的轨迹方程，且此圆与相切，其中到直线的距离， ∴，解得，∵，∴，又，∴，∴离心率． 故答案为： 【变式训练2-1】加斯帕尔·蒙日（Gaspard Monge）是法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若某椭圆对应的蒙日圆方程为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由“蒙日圆”的定义可得椭圆对应的蒙日圆方程为，再由椭圆的离心率计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由已知可得椭圆对应的蒙日圆方程为， 所以，则， 故选：B. 【变式训练2-2】数学家蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由新定义求得后，再求出可得离心率． 【详解】由题意，，所以， 离心率为． 故选：A． 【变式训练2-3】加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先通过椭圆的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解。 【详解】由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点. 由椭圆方程， 如图当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和， 其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以，所以椭圆离心率，所以. 故答案为： 【变式训练2-4】已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，可知，由题知，解得，又即可得出结果. 【详解】 设过的两条直线与圆分别切于点， 由两条切线相互垂直，知：， 又在椭圆C1上不存在点P，使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直， 所以，即得，所以， 所以椭圆C1的离心率，又， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：首先假设过P所作的圆C2的两条切线互相垂直求出，再由椭圆的有界性构造含椭圆参数的不等关系，即可求离心率范围. 【变式训练2-5】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”．若椭圆方程为，则其蒙日圆方程为 ；点为椭圆上任意两个动点，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】过的四个顶点分别作椭圆的切线，则得到交点， 故这四个点在圆上，故该圆的圆心为原点，半径为， 因此蒙日圆为： 由上知的蒙日圆方程为， 由于动点在直线上，且恒为锐角， 故在圆外，因此直线与圆相离， 故，解得， 故离心率为，故， 故答案为：； 【变式训练2-6】加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先通过椭圆切点在顶点的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解. 【详解】由椭圆方程可知蒙日圆半径为， 所以蒙日圆方程为， 因为点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上， 所以直线和蒙日圆有公共点. 即圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以， 所以椭圆离心率，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是对“蒙日圆”定义的理解，能够利用椭圆的四条特殊切线确定蒙日圆的半径，将问题转化为直线与圆有交点的问题. 【变式训练2-7】法国著名数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，且方程为，这个圆被称为“蒙日圆”．已知椭圆的焦点在轴上，A，B为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意知，圆为椭圆的“蒙日圆”， 如图，因为A，B为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外，又动点在直线上， 则直线与圆相离， 所以，得，所以， 则，又椭圆的离心率大于零， 则椭圆的离心率的取值范围是．    【变式训练2-8】加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点. 由椭圆方程， 如图当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和， 其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以，所以椭圆离心率，所以. 故答案为： 【变式训练2-9】加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先通过椭圆切点在顶点的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解. 【详解】对于椭圆， 令，可得，令，可得， 由，可知点在“蒙日圆”上， 所以椭圆的“蒙日圆”的半径为， 所以“蒙日圆”方程为， 因为点在椭圆的“蒙日圆”上，又因为点在直线上， 所以直线和“蒙日圆”有公共点. 即圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以，则， 所以椭圆离心率，所以，即椭圆离心率的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对“蒙日圆”定义的理解，能够利用椭圆的四条特殊切线确定蒙日圆的半径，将问题转化为直线与圆有交点的问题. 题型03:最值和取值范围 【典型例题】已知从圆上一点作两条互相垂直的直线与椭圆相切，同时圆与直线交于，两点，则的最小值为（    ）． A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】先求出圆C的方程，直线过定点，当最小时，，此时圆心到直线l的距离，. 【详解】由题意可设过与椭圆相切的直线方程为，联立， 消元可得，所以， 即，所以两直线的斜率之积，所以， 所以圆C的方程为，直线过定点， 且点P在圆C内部，当最小时，， 此时圆心到直线l的距离，. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 【变式训练3-1】已知椭圆，直线是平面上一动点，若由向椭圆引两条切线，且与的夹角为钝角，则动点到直线的距离的取值范围是_______________． 【解析】先利用两条切线与的夹角为钝角得到为椭圆外部及其蒙日圆内部的阴影区域（不包括边界），再写出椭圆的蒙日圆方程，进而利用直线和圆的知识进行求解. 【解析】若由向椭圆引两条切线，且与的夹角为钝角，那么为椭圆外部及其蒙日圆内部的阴影区域（不包括边界），如图所示．的蒙日圆方程为，圆心到的距离为，故点到直线的距离的取值范围是． 【变式训练3-2】加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知椭圆的蒙日圆方程为，则 ；若为椭圆的一个焦点，点P，Q是上关于原点对称的两点，则的最小值为 ． 【答案】 2 8 【分析】（1）由题中定义即可得； （2）根据题意画图，利用椭圆的对称性将所求问题转化为二次函数的最值问题，即可解出. 【详解】由椭圆的蒙日圆方程为，可得，于是． 椭圆的方程为，令为椭圆的左焦点，取椭圆的另一个焦点为，连接PE，EQ，如图所示， 由题意可知四边形EPFQ为平行四边形．设， 由椭圆的对称性得， 其中，即， 所以， 令，， 所以当时，． 故答案为：2；8. 【变式训练3-3】“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现.若椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一动点，过和原点作直线与椭圆的蒙日圆相交于，，则 . 【答案】 【分析】令，利用椭圆的定义可得，再由平面向量的知识可得，从而得到；结合“蒙日圆”的定义可知，由此得到，故得解. 【详解】因为椭圆，所以，故，，如图，令， 因为，所以，即， 结合图象，由平面向量的知识可得，故， 两式相加得，即，即， 由“蒙日圆”的定义，当我们过椭圆上下左右四个顶点作椭圆的切线时，易知椭圆的“蒙日圆”的直径为这四条切线所围成的矩形的对角线，故由勾股定理得， 所以，故， . 故答案为：. 【变式训练3-4】法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心为椭圆的中心，半径等于椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆被称为“蒙日圆”．如图，已知椭圆的蒙日圆方程为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)点是第一象限内椭圆上一点，，的延长线分别交于，两点，设，分别是，的内切圆半径. （i）若点的横坐标为2，求内切圆的方程； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由题意得，，且， 因为椭圆的蒙日圆方程为，所以， 解得，，.     故椭圆的标准方程为. （2）（i）点的横坐标为2，， 又，轴， 由对称性知，内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点，     ， 且的周长为，     又， ，内切圆的圆心为， 内切圆的方程为.     （ii）设，，，， 因为点在椭圆上，所以，即 由， 即，解得， 同理可得，，，     ，直线的方程为， 由，化简得，     ，得， 同理可得，， ，     由， ，     当且仅当，时，等号成立， 所以的最大值为. 题型04：面积问题 【典型例题1】已知椭圆C：，M是圆上的任意一点，MA，MB分别与椭圆切于A，B．求面积的取值范围． 【答案】. 【分析】设，，，得到的直线方程，与椭圆的方程联立，解得弦长的值，利用点到直线的距离公式求解点到直线的距离，令，即可求解面积的取值范围， 【详解】解：设，，， 因为MA与椭圆切于A，故，对椭圆求导得，则切线的斜率为， 故切线的方程为：，整理得， 同理，切线的方程为， 又点为切线与切线的交点，且，故， 从而直线的方程为：， 将直线的方程与椭圆的方程联立，得． ∴，， 因此，， 又原点到直线的距离，∴， 令，得到． 故面积的取值范围为. 【典型例题2】画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为．已知椭圆C的离心率为，点A，B均在椭圆C上，则点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为 （用含b的式子表示），若，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足，则面积的最大值为 【答案】 【分析】由题意可得蒙日圆方程，即可求解第一空；若则C：，蒙日圆方程为，设，，求出切线方程，进而可得直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理个弦长公式表示弦长，由点线矩表示原点到直线的距离，结合基本不等式计算即可求解面积的最大值. 【详解】由离心率，且可得， 所以蒙日圆方程； 由于原点到蒙日圆上任意一点的距离为， 原点到椭圆上任意一点的距离最大值为， 所以椭圆C上的点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为； 若，则椭圆C的方程为，即，蒙日圆方程为， 不妨设，因为其在蒙日圆上，所以， 设，又，所以可知与椭圆相切， 此时可得直线的方程为，同理直线的方程为； 将代入的直线方程中可得， 所以直线的方程即为， 联立，消去整理可得； 由韦达定理可得， 所以， 原点到直线的距离为， 因此的面积 ； 当且仅当，即时等号成立， 因此面积的最大值为. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 【典型例题3】已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，与其“蒙日圆”交于、两点，当时，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为椭圆的焦距为，离心率为， 则，可得，故椭圆的方程为. （2）解：由题意，蒙日圆方程为，圆心为，半径，     ①当轴时，设直线的方程为， 将代入“蒙日圆”的方程得，解得， 则，解得：， 将直线的方程代入椭圆C的方程可得，解得，则， 所以，； ②当直线不垂直轴时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，得， 联立，消去得， ，可得， 设、，则，， ， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故的面积的最大值为. 【变式训练4-1】法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆过点.且短轴的一个端点到焦点的距离为. (1)求椭圆的蒙日圆的方程； (2)若斜率为1的直线与椭圆相切，且与椭圆的蒙日圆相交于，两点，求的面积为坐标原点）； (3)设为椭圆的蒙日圆上的任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值. 【答案】(1)； (2)2； (3). 【详解】（1）由椭圆短轴的一个端点到焦点的距离为，得， 由椭圆过点，得，解得，于是， 所以椭圆的蒙日圆的方程为. （2）由（1）知，椭圆的方程为，设直线的方程为， 由消去并整理得，， 由，得，即， 则坐标原点到直线的距离，， 所以的面积. （3）由（1）知，椭圆的方程为，椭圆的蒙日圆方程为， 设，则，设，，则， 当切线的斜率存在时，设的方程为， 由消去y得， ，整理得， 即，则，解得， 于是，即， 当切线的斜率不存在时，，的方程为或，满足上式， 因此切线的方程为，同理切线的方程为， 将代入切线，的方程，有，， 从而直线的方程为，当时， 由消去并整理得：， 显然， ， 则， 又点到直线的距离， 于是的面积， 设，则， 令，求导得，即函数在上单调递增，， 当，即时，由对称性不妨令，直线， 由，解得，，， 所以面积的最小值为. 【变式训练4-2】19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且蒙日圆的半径为（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）．已知椭圆上任一点到点的距离与到直线的距离之比为，椭圆的蒙日圆为圆． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为坐标原点，点是椭圆上的任意一点，是椭圆左右焦点，直线与圆相交于两点，求证：是定值； (3)过点作直线交圆于、两点，作直线交椭圆于、两点，且，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设满足，整理可得， 椭圆的方程为． （2）由（1）得该椭圆的蒙日圆为， 设，则，∴， 又、， ∴， 同理，∴， ， 所以． （3）①当斜率不存在，斜率为0时，方程为，原点到的距离为， 所以， 所以四边形面积； ②当斜率存在，斜率不为0时，设的方程为， 则的方程为即， 则原点到的距离为， 所以． 设、，联立与的方程，即， 消去得， 由于在椭圆内部，所以直线与椭圆必相交且， 所以 因为，所以四边形面积 ， 令，则， 故， ∵，∴，令，则单调递减， 所以当时，即四边形的最小值为． 【变式训练4-3】已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1，0)，椭圆C1过点，抛物线的顶点为原点． (1)求椭圆C1和抛物线C2的方程； (2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点，过点P作抛物线C2的两条切线PA，PB，其中A、B为切点． 设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值； ②若直线AB交椭圆C1于C，D两点，S△PAB，S△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由. 【答案】(1) 抛物线的标准方程为,椭圆的方程为:,(2)①证明见解析,②有,最小值为 【分析】 (1)利用可得抛物线的标准方程,根据和点在椭圆上列方程组可求得和,从而可得标准方程; (2)①利用△=0以及韦达定理可得结论; ②先求出直线过定点,将问题转化为,即求得最小值,当直线的斜率存在时,联立直线与抛物线,利用弦长公式求出和,然后求比值,此时大于,当直线的斜率不存在时,直接求出和可得比值为.从而可得结论. 【详解】 (1)因为抛物线C2有相同的焦点(1，0),且顶点为原点,所以,所以, 所以抛物线的标准方程为, 设椭圆方程为,则且,解得, 所以椭圆的方程为:. (2)①证明:设,过点与抛物线相切的直线为, 由,消去得, 由△=,得, 则. ②设 由①得,则, 所以直线的方程为,所以, 即,即直线恒过定点, 设点到直线的距离为, 所以, 当直线的斜率存在时,设直线的方程为, 设, 由,消去得, 时,△恒成立, , 由消去得,△恒成立, 则 . 所以, 当直线的斜率不存在时,直线的方程为, 此时,,, 所以的最小值为. 【点睛】 本题考查了求抛物线和椭圆的标准方程,考查了直线与抛物线相切,考查了直线与椭圆相交的问题,考查了三角形的面积公式,考查了分类讨论思想,考查了弦长公式,属于难题. 【变式训练4-4】数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：在双曲线中（如图），任意两条互相垂直的切线（其中为切点）的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.反之，双曲线的蒙日圆上任一点作双曲线的两条切线，两条切线垂直.已知双曲线的离心率为，双曲线的蒙日圆方程为.    (1)求双曲线的标准方程； (2)过蒙日圆上一点作双曲线的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式（其中为双曲线的半焦距）以及蒙日圆半径，结合已知条件求出和的值，从而得到双曲线的标准方程. （2）先利用圆的性质求出和的长度关系，再通过三角函数求出和的值，最后求出的周长. 【详解】（1）由双曲线离心率可知，则. 由题意可知：蒙日圆半径. 所以，则双曲线的标准方程为：. （2）由题意知：，则； 所以为蒙日圆的直径，则 因为，则 所以的周长为 【变式训练4-5】已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，与其“蒙日圆”交于、两点，当时，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，根据的值求出的方程，进而可求得的面积；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，根据可得出，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、三角形的面积公式以及基本不等式可求得面积的最大值. 【详解】（1）解：因为椭圆的焦距为，离心率为， 则，可得，故椭圆的方程为. （2）解：由题意，蒙日圆方程为，圆心为，半径，     ①当轴时，设直线的方程为， 将代入“蒙日圆”的方程得，解得， 则，解得：， 将直线的方程代入椭圆C的方程可得，解得，则， 所以，； ②当直线不垂直轴时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，得， 联立，消去得， ，可得， 设、，则，， ， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故的面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 题型05：轨迹问题 【典型例题】设椭圆的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆外一动点，过点作椭圆的两条互相垂直的切线为切点，求动点的轨迹方程． 【解析】（1）由题意可知，解得2， 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）当两条切线中有一条斜率不存在时，即两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点，此时的坐标为． （ⅱ）当两条切线的斜率存在且不为0时，设过的切线方程为， 与联立，消去并整理得． 由题意可得， 整理得． 设直线的斜率为，则． 而直线的斜率互相垂直，则， 即．点也在圆上， 综上，动点的轨迹方程为． 【变式训练5-1】已知椭圆的一个焦点为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2）. 【详解】试题分析：（1）利用题中条件求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据、、三者的关系求出的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为、，并由两条切线的垂直关系得到，并设从点所引的直线方程为，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，利用得到有关的一元二次方程，最后利用以及韦达定理得到点的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点的坐标，并验证点是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点的轨迹方程. （1）由题意知，且有，即，解得， 因此椭圆的标准方程为； （2）①设从点所引的直线的方程为，即， 当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则， 将直线的方程代入椭圆的方程并化简得， ， 化简得，即， 则、是关于的一元二次方程的两根，则， 化简得； ②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上. 综上所述，点的轨迹方程为. 考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用. 【变式训练5-2】已知椭圆的一个焦点为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2）. 【详解】 试题分析：（1）利用题中条件求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据、、三者的关系求出的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为、，并由两条切线的垂直关系得到，并设从点所引的直线方程为，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，利用得到有关的一元二次方程，最后利用以及韦达定理得到点的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点的坐标，并验证点是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点的轨迹方程. （1）由题意知，且有，即，解得， 因此椭圆的标准方程为； （2）①设从点所引的直线的方程为，即， 当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则， 将直线的方程代入椭圆的方程并化简得， ， 化简得，即， 则、是关于的一元二次方程的两根，则， 化简得； ②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上. 综上所述，点的轨迹方程为. 考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用. 【变式训练5-3】已知椭圆的方程为. （1）设是椭圆上的点，证明：直线与椭圆有且只有一个公共点； （2）过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为､，点在直线上的射影为点，求点的坐标； （3）互相垂直的两条直线与相交于点，且､都与椭圆只有一个公共点，求点的轨迹方程. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【分析】 （1）当时，符合题意；当时，联立直线与椭圆的方程，得判别式为0，从而方程组只有一组解，进而可得答案； （2）设，，得出A，B的坐标满足直线方程，推出直线AB的方程为，联立NQ的方程解得Q点坐标； （3）设，分两种情况：当直线与有一条斜率不存在时，当直线与有一条斜率存在时，讨论点P的轨迹，即可得出答案. 【详解】 （1）当时，，直线， 即直线，与椭圆只有一个公共点. 当时，由得，，又， 有，从而方程组只有一组解， 直线与椭圆的有且只有一个公共点. （2）设，. 由（1）知两条直线为，， 又是它们的交点，，， 从而有，的坐标满足直线方程， 所以直线：. 直线的方程为， 由解得，即， （3）设. 当直线与有一条斜率不存在时，，. 当直线与的斜率都存在时，设为和， 由得， 由， 整理得，，和是这个方程的两个根， 有，得， 所以点的轨迹方程是. 【点睛】 关键点点睛：解决第一问主要是通过联立直线与椭圆所构成的方程组有一个解；解决第二问主要是通过第一问中的结论得出的方程；解决第三问主要是依据两直线的关系得到. 题型06：定值问题 【典型例题1】法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆半长轴长与半短轴长的平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作椭圆的两条切线，两切线斜率之积为，求的轨迹方程； (3)在数学中，可利用“循环构造法”求方程的正整数解.例如：求二元二次方程的正整数解，通过，先找到该方程的初始正整数解，记此解对应的点为，进一步可得点.设由“循环构造法”得到方程的正整数解对应的点列为：，其中，，记，试判断，是否为定值?若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)（且）. (3)是，且为定值 【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的方程为. （2）（i）当切线斜率不存在或为零时，不满足题意； （ii）当切线斜率存在且不为零时，设点， 设过点的切线方程为，即， 联立得， 由，得， 可得出关于的二次方程①， 方程①有两个不等根，则，且，可得， 设过点的两条切线的斜率分别为、，可得，整理可得， 又因为且，以及，可得且， 即且， 所以，点的轨迹方程为（且）. （3）因为，所以， ， 因为二项式与的展开式中不含的项相等，含的项互为相反数， 所以， 则， 所以， 直线的方程为，则即为点到直线的距离， 所以， ， 故为定值. 【典型例题2】给定椭圆C： (a>b>0)，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为. （1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程； （2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值． 【答案】（1）椭圆方程为，“准圆”方程为x2＋y2＝4；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由已知，进而可得椭圆C的方程和其“准圆”方程； （2）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，分别求出l1和l2，验证命题成立；②当l1，l2斜率存在时，设点P(x0，y0)，其中，联立过点P(x0，y0)与椭圆相切的直线方程与椭圆方程，由Δ＝0化简整理，可证得l1⊥l2；进而得出线段MN为“准圆”x2＋y2＝4的直径，即线段MN的长为定值． 【详解】 （1）∵椭圆C的一个焦点为 其短轴上的一个端点到F的距离为. ∴， ∴， ∴椭圆方程为， ∴“准圆”方程为x2＋y2＝4. （2）证明：①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x＝±， 当l1：x＝时，l1与“准圆”交于点(，1)，(，－1)， 此时l2为y＝1(或y＝－1)，显然直线l1，l2垂直； 同理可证当l1：x＝－时，直线l1，l2垂直． ②当l1，l2斜率存在时， 设点P(x0，y0)，其中. 设经过点P(x0，y0)与椭圆相切的直线为 y＝t(x－x0)＋y0， ∴由 得(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0. 由Δ＝0化简整理，得(3－)t2＋2x0y0t＋1－＝0， ∵，∴有(3－)t2＋2x0y0t＋(－3)＝0. 设l1，l2的斜率分别为t1，t2， ∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程(3－)t2＋2x0y0t＋(－3)＝0， ∴t1·t2＝－1，即l1，l2垂直． 综合①②知，l1⊥l2. ∵l1，l2经过点P(x0，y0)，又分别交其“准圆”于点M，N，且l1，l2垂直． ∴线段MN为“准圆”x2＋y2＝4的直径，|MN|＝4， ∴线段MN的长为定值． 【点睛】 思路点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查新定义，考查椭圆的切线方程，考查直线与椭圆的位置关系，有关平面解析问题一些基本解题思想总结如下： 1.常规求值问题：需要找等式，范围问题需要找不等式； 2.是否存在问题：当作存在去求，不存在时会无解； 3.证明定值问题：把变动的元素用参数表示出来，然后证明结果与参数无关，也可先猜再证； 4.处理定点问题：把方程中参数的同次项集在一起，并令各项系数为，也可先猜再证； 5.最值问题：将对象表示为变量的函数求解． 【变式训练6-1】已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出即可. （2）按是否为顶点分类，当直线斜率存在且不为0时，求出长，并求出三角形面积的函数关系，进而求出范围. （3）按直线的斜率存在与否分类，把直线的方程与圆、椭圆方程联立求出即可. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的标准方程是. （2）当点不是椭圆的顶点时，由，得点不是椭圆的顶点， 设直线方程为，点，则直线方程为， 由得，，同理， 面积， 而，因此，当且仅当时取等号， 点是椭圆的顶点时，点也是椭圆的顶点，， 所以面积的取值范围是. （3）依题意，蒙日圆的方程为：， 当直线斜率不存在时，直线的方程为：或， 直线与的交点为或，则； 当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 由消去并整理得：， 则，即，设， 由消去并整理得：， ，， 则 ， 所以为定值. 【变式训练6-2】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2：＋＝1(a>b>0)，C2与C1的长轴长之比为∶1，离心率相同． (1) 求椭圆C2的标准方程； (2) 设点P为椭圆C2上的一点． ①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值； ②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证k1·k2为定值． 【答案】(1)＋＝1；(2)①证明见解析，②证明见解析 【分析】 (1)根据已知条件，求出a，b的值，得到椭圆C2的标准方程． (2)①对直线OP斜率分不存在和存在两种情况讨论，当OP斜率存在时，设直线OP的方程为y＝kx，并与椭圆C1的方程联立，解得点A横坐标，同理求得点P横坐标，再通过弦长公式，求出的表达式，化简整理得到定值． ②设P(x0，y0)，写出直线l1的方程，并与椭圆C1联立，得到关于x的一元二次方程，根据直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，得到方程只有一解，即Δ＝0，整理得－2x0y0k1＋－1＝0，同理得到－2x0y0k2＋－1＝0，从而说明k1，k2是关于k的一元二次方程的两个根，运用根与系数的关系，证得定值． 【详解】 (1)设椭圆C2的焦距为2c，由题意，a＝2，，解得b＝， 因此椭圆C2的标准方程为＋＝1. (2)①1°当直线OP斜率不存在时， PA＝－1，PB＝＋1，则＝＝3－2. 2°当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为y＝kx，代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k2＋1)x2＝4， 所以，同理． 所以，由题意，xP与xA同号，所以xP＝xA， 从而＝＝＝＝3－2. 所以＝3－2为定值． ②设P(x0，y0)，所以直线l1的方程为y－y0＝k1(x－x0)，即y＝k1x－k1x0＋y0， 记t＝－k1x0＋y0，则l1的方程为y＝k1x＋t， 代入椭圆C1的方程，消去y，得(4＋1)x2＋8k1tx＋4t2－4＝0， 因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点， 所以Δ＝(8k1t)2－4(4＋1)(4t2－4)＝0，即4－t2＋1＝0， 将t＝－k1x0＋y0代入上式，整理得，－2x0y0k1＋－1＝0， 同理可得，－2x0y0k2＋－1＝0， 所以k1，k2为关于k的方程(－4)k2－2x0y0k＋y－1＝0的两根，从而k1·k2＝. 又点在P(x0，y0)椭圆C2：＋＝1上，所以， 所以k1·k2＝为定值． 【点睛】 本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的定值问题，椭圆中的定值问题，一种方法是直接计算，即由直线与椭圆相交求出交点坐标，求出直线斜率等，然后计算题中要证定值的量即可得，一种不直接计算，像本题（2）②中通过直线与椭圆相切，得出两直线斜率满足的关系式，从而确定这两个斜率是某个二次方程的根，由韦达定理直接得证，即建立参数之间的联系，然后推导出定值． 【变式训练6-3】如图，已知是椭圆:上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点、． （1）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：为定值； （2）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）为定值． 【解析】 试题分析：（1）设直线的直线方程分别为、，由圆心到直线的距离等于半径可以得到、，由此可得是方程的两个不相等的实数根,由违达定理可知，由点在椭圆上可得；（2）分直线与直线与椭圆方程联立，可得，，直接计算，并将代入表达式即可得到的和为定值． 试题解析：（1）因为直线：以及：与圆相切， 所以 , 化简得： 同理：， 所以， 因为点在椭圆C上，所以，即， 所以 ． （2）是定值，定值为9． 理由如下： 法一：（i）当直线、不落在坐标轴上时,设, 联立解得 所以，同理，得， 由， 所以 （ii）当直线、落在坐标轴上时,显然有， 综上： 法二：（i）当直线、不落在坐标轴上时,设, 因为，所以， 因为在椭圆C上，所以， 即 ， 所以，整理得， 所以，所以． （ii）当直线、落在坐标轴上时,显然有， 综上：． 考点：1．椭圆的定义与几何性质；2．直线与圆的位置关系；3．直线与椭圆的位置关系． 题型07：蒙日圆的其它应用 【典型例题1】已知椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上运动，若面积的最大值为，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作圆：，的两条切线，分别与椭圆交于两点，(异于点)，当变化时，直线是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）直线恒过定点. 【分析】 （1）首先列出关于的等式，再求椭圆的标准方程；（2）首先设出过点的切线方程，利用，得到关于斜率的一元二次方程，得到根与系数的关系，再与椭圆方程联立求得点的坐标，写出直线的斜率，并写出直线的方程，说明直线过定点. 【详解】 （1）由题可知当点在椭圆的上顶点时，最大， 此时，∴，，， ∴椭圆的标准方程为. （2）设过点与圆相切的直线方程为，即， ∵直线与圆：相切，∴， 即得. 设两切线的斜率分别为，，则， 设，，由， ∴，即，∴； 同理：，； ∴， ∴直线的方程为. 整理得， ∴直线恒过定点. 【点睛】 本题考查椭圆方程，直线与圆，直线与椭圆的位置关系，重点考查转化思想，计算能力，逻辑推理能力，属于难题. 【典型例题2】给定椭圆 C : ，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆 C 的“伴随圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F1(, 0) ，其短轴上的一个端点到 F1 的距离为 （1）求椭圆 C 的方程及其“伴随圆”方程； （2）若倾斜角 45°的直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，且与椭圆 C 的伴随圆相交于 M .N 两点，求弦 MN 的的长； （3）点 P 是椭圆 C 的伴随圆上一个动点，过点 P 作直线 l1、l2，使得 l1、l2与椭圆 C 都只有一个公共点，判断l1、l2的位置关系，并说明理由. 【答案】（1）椭圆方程：；伴随圆方程： x2 y2 1 ；（2） 2；（3）垂直，（斜率乘积为 1 ，分斜率存在与否） 【分析】 （1）直接由椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F1的距离为，求出，即可求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程； （2）先把直线方程与椭圆方程联立，利用对应的判别式为0求出，进而求出直线方程以及圆心到直线的距离；即可求弦MN的长； （3）先对直线l1，l2的斜率是否存在分两种情况讨论，然后对每一种情况中的直线l1，l2与椭圆C都只有一个公共点进行求解即可证：l1⊥l2．（在斜率存在时，是先设直线方程，把直线与椭圆方程联立，利用斜率为对应方程的根来判断结论）． 【详解】 解：（1）因为，所以b＝1 所以椭圆的方程为， 伴随圆的方程为x2+y2＝4． （2）设直线l的方程y＝x+b，由得4x2+6bx+3b2﹣3＝0 由△＝（6b）2﹣16（3b2﹣3）＝0得b2＝4 圆心到直线l的距离为 所以 （3）①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率， 因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或， 当l1方程为时，此时l1与伴随圆交于点， 此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是y＝1（或y＝﹣1）， 即l2为y＝1（或y＝﹣1），显然直线l1，l2垂直； 同理可证l1方程为时，直线l1，l2垂直． ②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02＝4， 设经过点P（x0，y0），与椭圆只有一个公共点的直线为y＝k（x﹣x0）+y0， 由，消去y得到x2+3（kx+（y0﹣kx0））2﹣3＝0， 即（1+3k2）x2+6k（y0﹣kx0）x+3（y0﹣kx0）2﹣3＝0， △＝[6k（y0﹣kx0）]2﹣4•（1+3k2）[3（y0﹣kx0）2﹣3]＝0， 经过化简得到：（3﹣x02）k2+2x0y0k+1﹣y02＝0， 因为x02+y02＝4，所以有（3﹣x02）k2+2x0y0k+（x02﹣3）＝0， 设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点， 所以k1，k2满足方程（3﹣x02）k2+2x0y0k+（x02﹣3）＝0， 因而k1•k2＝﹣1，即l1，l2垂直． 【点睛】 本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，两点间的距离公式以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力． 【变式训练7-1】已知椭圆：的长半轴长为，点（为椭圆的离心率）在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，为直线上任一点，过点椭圆上点处的切线为，，切点分别，，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）因为点在椭圆上，所以，然后，利用，，得出，进而求解即可 （2）设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为，分别联立方程：和，利用韦达定理，再利用，，即可求出的值 【详解】 （1）由椭圆的长半轴长为，得. 因为点在椭圆上，所以. 又因为，，所以， 所以（舍）或. 故椭圆的标准方程为. （2）设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为. 据得. 据题意，得，得， 同理，得， 所以. 又可求，得，， 所以 . 【点睛】 本题考查椭圆标准方程的求解以及联立方程求定值的问题，联立方程求定值的关键在于利用韦达定理进行消参，属于中档题 【变式训练7-2】已知抛物线：（），圆：（），抛物线上的点到其准线的距离的最小值为. （1）求抛物线的方程及其准线方程； （2）如图，点是抛物线在第一象限内一点，过点P作圆的两条切线分别交抛物线于点A，B（A，B异于点P），问是否存在圆使AB恰为其切线？若存在，求出r的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）的方程为，准线方程为.（2）存在， 【分析】 （1）由得到p即可； （2）设，利用点斜式得到PA的的方程为，由到PA的距离为半径可得，同理，同理写出直线AB的方程，利用点到直线AB的距离为半径建立方程即可. 【详解】 解：（1）由题意得，解得， 所以抛物线的方程为，准线方程为. （2）由（1）知，. 假设存在圆使得AB恰为其切线，设，， 则直线PA的的方程为，即. 由点到PA的距离为r，得， 化简，得， 同理，得. 所以，是方程的两个不等实根， 故，. 易得直线AB的方程为， 由点到直线AB的距离为r，得， 所以， 于是，， 化简，得，即. 经分析知，，因此. 【点睛】 本题主要考查抛物线的定义和几何性质，直线与圆、抛物线的位置关系等，考查运算求解能力、数形结合思想. 【变式训练7-3】已知抛物线上一点到焦点的距离. （1）求抛物线的方程； （2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围. 【答案】（1）（2）见解析 【分析】 （1）由题意确定p的值即可确定抛物线方程； （2）很明显切线斜率存在，由圆心到直线的距离等于半径可得是方程的两根，联立直线方程与抛物线方程可得点的横坐标 .结合韦达定理将原问题转化为求解函数的值域的问题即可. 【详解】 （1）由抛物线定义,得，由题意得： 解得 所以，抛物线的方程为. （2）由题意知，过引圆的切线斜率存在，设切线的方程为，则圆心到切线的距离，整理得，. 设切线的方程为,同理可得. 所以，是方程的两根，. 设，由得，， 由韦达定理知，，所以，同理可得. 设点的横坐标为，则 . 设，则， 所以，，对称轴，所以 【点睛】 本题主要考查抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 【变式训练7-4】已知抛物线E：过点，过抛物线E上一点作两直线PM，PN与圆C：相切，且分别交抛物线E于M、N两点． （1）求抛物线E的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）若直线MN的斜率为，求点P的坐标． 【答案】（1）抛物线E的方程为，焦点坐标为，准线方程为；（2）或 【分析】 （1）将点代入抛物线方程，可求出抛物线E的方程，进而可求出焦点坐标及准线方程； （2）设，，可表示出直线及的斜率的表达式，进而可表示出两直线的方程，再结合直线和圆相切，利用点到直线的距离等于半径，可得，满足方程，从而得到，又直线MN的斜率为，可求出的值，即可求出点P的坐标. 【详解】 （1）将点代入抛物线方程得，，所以抛物线E的方程为，焦点坐标为：，准线方程为：． （2）由题意知，，设，， 则直线的斜率为，同理，直线PN的斜率为， 直线MN的斜率为，故， 于是直线的方程为，即， 由直线和圆相切，得， 即， 同理，直线PN的方程为， 可得， 故，是方程的两根． 故，即， 所以，解得或． 当时，；当时，． 故点P的坐标为或． 【点睛】 本题考查抛物线方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查直线的方程，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 【变式训练7-5】法国数学家蒙日在研究椭圆时发现：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.这个圆称为该椭圆的蒙日圆，此结论一般称为蒙日圆定理. (1)求椭圆的蒙日圆方程； (2)对于椭圆，是椭圆的中心，点是椭圆的蒙日圆上一点，，分别切椭圆于点，，且切点弦所在的直线方程是. （i）证明：平分切点弦； （ii）若延长，，分别交椭圆的蒙日圆于点，，证明：. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）考虑边与椭圆长轴和短轴分别平行的矩形知，其对角线之半就是蒙日圆的半径，即，因此椭圆的蒙日圆方程为. （2） （i）设点是切点弦的中点，，. 当，都存在时， 两个方程相减得，， 所以，即，.     （或：设所在的直线方程是，联立消去得，，，.所以点的坐标是.于是.） 而，所以，，，，三点共线， 平分切点弦.     当，有一个不存在时，显然成立. （ii）显然线段是蒙日圆的直径，经过原点，所以，. 于是，，因此，故. 【变式训练7-6】数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：在双曲线中（如图），任意两条互相垂直的切线（其中为切点）的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.反之，双曲线的蒙日圆上任一点作双曲线的两条切线，两条切线垂直.已知双曲线的离心率为，双曲线的蒙日圆方程为.    (1)求双曲线的标准方程； (2)过蒙日圆上一点作双曲线的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由双曲线离心率可知，则. 由题意可知：蒙日圆半径. 所以，则双曲线的标准方程为：. （2）由题意知：，则； 所以为蒙日圆的直径，则 因为，则 所以的周长为 【变式训练7-7】法国数学家加斯帕尔·蒙日发现过圆上任意一点作双曲线的两条切线，这两条切线互相垂直.我们通常把这个圆称作双曲线的蒙日圆.如图，过双曲线的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于异于点的，两点，，且的周长为. (1)求双曲线的标准方程. (2)过双曲线的右焦点的直线与交于，两点（异于顶点），线段的中垂线与轴交于一点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）结合蒙日圆的定义可得，结合条件求的周长列方程，解方程求，可得结论； （2）设直线的方程为，联立方程组，化简求线段的中点坐标，求的中垂线方程，确定的坐标，计算，，由此可得结论. 【详解】（1）由题可知，双曲线的蒙日圆方程为，且， 所以为蒙日圆的直径，，又， 所以，， ，. 所以的周长为，所以. 故双曲线的标准方程为. （2）由（1）得，由已知可得，直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，，， 将直线的方程与双曲线方程联立得， 整理得关于的方程， 当，即时，直线AB与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个交点，不符合题意， 故，且，所以，，. 设线段的中点为，则，，所以. 因为是线段的中垂线，所以直线的斜率为，所以其方程为， 令，得，故，所以， ， 所以，存在使得，且. 【点睛】思路点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $