8.6.1直线与直线垂直课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦空间直线与直线的垂直，核心内容包括异面直线所成角的定义、空间垂直类型及性质。课堂导入从平面内直线成角范围回顾切入，通过正方体中异面直线实例引出差异，搭建平面到空间的知识过渡支架。 其亮点在于结构化呈现知识，用表格梳理定义与类型，步骤化总结求异面直线所成角的“作、证、算、答”方法。通过直接平移、中位线、补形等多种平移法及余弦定理推理，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），清晰解题逻辑提升推理能力（数学思维）。典型实例（正方体模型）助力学生理解，教师可直接用于教学，提高效率。

第1课时 直线与直线的垂直 8.6空间直线、平面的垂直 提示　. 平面内两条直线所成的角的范围是多少？ 问题1 提示　不同.我们可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系. 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？ 问题2 异面直线所成的角 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b 结论 我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角 (或夹角) 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90° 特例：①当两条直线相互平行时，我们规定它们所成的角为0°. ②如果两条异面直线所成的角是直角（90°），那么这两条异面直线互相垂直， 记作。 构建体系 空间中直线与直线垂直 定义： 如果两条直线所成的角是直角，那么称这两条直线互相垂直。 类型 特征 图示特点 相交垂直 在同一平面内，交角为90° 有公共点 异面垂直 不同在任一平面，所成角为90° 无公共点 空间垂直重要性质 平行线传递垂直 若 ，，则 (1)找出两条异面直线所成的角，要做平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. (2)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关. (3)空间两条直线所成的角α∈. 注 意 点 <<< 7 构建体系 直线与直线垂直 异面直线所成的角 步骤 步骤名称 核心操作 1 作 平移其中一条或两条直线，使其相交 2 证 证明所作角即为异面直线所成角 3 算 在三角形中计算角度 4 答 给出结论，最终角取锐角或直角 典例分析 题型1 求异面直线所成角 例1. 如图，在正方体中， 求异面直线与所成角的大小。 平移至 异面直线与所成角 即为 即，∠ = 直线与所成角 直接平移法 典例分析 题型1 求异面直线所成角 例2.如图，在正方体中， 是点，求异面直线 与所成角的大小。 连接， 连接， 与的交点是中点 取中点 连接 异面直线与所成角 即为 直线所成角 中位线平移法 典例分析 题型1 求异面直线所成角 例2 如图，在正方体中， 是点，求异面直线 与所成角的大小。 在原正方体右侧补一个全等的正方体 连接，并平移至 连接 在中，利用余弦定理 异面直线与所成角 即为 直线所成角 补形平移法 例 1 ∵CG∥FB， ∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角. 在Rt△EFB中，EF=FB， ∴∠EBF=45°， ∴BE与CG所成的角为45°. 　　　如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE 的中心，求： (1)BE与CG所成的角的大小； 12 (2)FO与BD所成的角的大小. 13 如图，连接FH， ∵FB∥AE，FB=AE，AE∥HD，AE=HD， ∴FB=HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO(或其补角)是异面直线FO与BD所成的角，连接HA，AF，则△AFH是等边三角形，又O是AH的中点，∴∠HFO=30°， ∴FO与BD所成的角为30°. 14 跟踪训练 1 　　　　　在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，求异面直线AD与BC所成的角的大小. 15 如图所示，设BD的中点为O，连接EO，FO， 则EO∥AD，FO∥BC. 所以∠EOF(或其补角)是异面直线AD与BC所成的角. 又EO=AD=1，FO=BC=， EF=，在△EOF中，由余弦定理的推论， 得cos∠EOF= ==-， 16 例 2 　　　如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，E为棱AC的中点，AB=BB'=2.求证：BE⊥AC'. 17 如图，取CC'的中点F，连接EF，BF， ∵E为AC的中点，F为CC'的中点， ∴EF∥AC'，∴BE和EF所成的角为∠BEF(或其补角)， 即为异面直线BE与AC'所成的角，且EF=AC'. 在正三棱柱ABC-A'B'C'中， AC'=2，∴EF=. 在等边三角形ABC中，BE==， 18 在Rt△BCF中，BF==. 在△BEF中，BE2+EF2=BF2， ∴BE⊥EF，即BE⊥AC'. 19 　　　　　如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1，点P，M分别是AA1，CC1的中点，求证：B1M⊥D1P. 跟踪训练 2 20 如图，取DD1的中点为N，连接A1N，PN，则直线A1N与D1P所成的角即 为直线B1M与D1P所成的角， 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1， 所以四边形A1PND1是正方形， 所以A1N⊥D1P，所以B1M⊥D1P. 21 EV录屏5.4.2软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn $