第十章 二元一次方程组 单元卷 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 本单元卷聚焦二元一次方程组，以《孙子算经》等文化素材与超市促销等现实情境为载体，覆盖定义、解法、应用等核心知识，适配初中单元复习，提升数学思维与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程组定义、解的非负整数解、参数问题|结合《孙子算经》“百马百瓦”问题，考查数学文化传承| |填空题|6/18|二元一次方程定义、年龄差问题、换元法应用|以长方形中含小长方形问题（16题），体现几何直观| |解答题|8/72|加减消元法、新定义“邻好关系”、实际应用（如电器销售）|设计“整体思想”专题（22题），培养运算能力与推理意识|

第十章 二元一次方程组 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、在下列方程组：①，②，③，④中，是二元一次方程组的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①④ D. ①②③④ 【答案】C 【详解】解：由二元一次方程组的概念：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次；可判断①④是二元一次方程组． 2、 关于、的二元一次方程的非负整数解有（ ） A. 3组 B. 4组 C. 5组 D. 6组 【答案】B 【详解】解： ，其中、为非负整数， 那么时，， 时，， 时，， 时，， 共4组， 3、李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和■，则两个数▲和■分别为（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 【答案】A 【详解】解：把代入中，得：，解得：， ■， ， ▲． 4、若二元一次联立方程式的解为，则a+2b之值为何？（　　） A．33 B．9 C．﹣3 D．﹣27 【答案】B 【解答】解：把代入得： ， ①+②得，60a＝120， ∴a＝2， 把a＝2代入①得：37×2+2b＝81， ∴b＝3.5， ∴a+2b＝2+2×3.5＝9． 5、已知二元一次方程组无解，则a的值是（　　） A．a＝2 B．a＝6 C．a＝﹣2 D．a＝﹣6 【答案】D 【解答】解：， 由②得：y＝2x﹣1③， 把③代入①得：ax+3（2x﹣1）＝2， ∴（a+6）x＝5， ∵方程组无解， ∴a+6＝0， ∴a＝﹣6， 6、已知，则等于（ ） A. B. C. －1 D. 1 【答案】D 【详解】解：由题可知， 解得：， ∴， 7、对有理数x，y定义运算：，其中a，b是常数．如果，，那么的值为（　　） A. 6 B. 10 C. 18 D. 20 【答案】A 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 则． 8、我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：由设有x匹大马，y匹小马， 由共有100匹马，可得 共有100片瓦，则， 所以可得得二元一次方程组． 9、若关于x，y的方程组的解满足x+y=2025，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【详解】解： 得：， 整理得：， ∵x+y=2025， ∴k-1=2025， ∴k=2026， 10、我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子再量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，若列其中一正确方程，则下列说法错误是（ ） A. 表示的是竿子的长度 B. 列出另一个方程为 C. 表示一半的绳子长度 D. 竿子的长度为10尺 【答案】D 【详解】解：∵如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，得到， 则表示的是竿子的长度，表示绳子长度，那么表示一半的绳子长度， 则由题意得：， ∴， 解得：， ∴竿子的长度15尺，绳子长度20尺， 故A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、是关于的二元一次方程，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意得：且， 解得： 故答案为： 12、 已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为 ． 【答案】5 【详解】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： ， 即由此可得： ， ∴， 即甲比乙大5岁． 13、已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为___________． 【答案】 【详解】解:∵关于、的二元一次方程组的解为， ∴ 关于、的二元一次方程组的解为：, ∴， 故答案为． 14、三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组中两个方程的两边都除以9，通过换元替代的方法来解决”．参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是___________． 【答案】． 【解答】解：方程组变形为：， 设x＝m，y＝n， 则， ∵方程组的解是， ∴的解是：， 即x＝4，y＝10， 解得：x＝9，y＝18， 故答案为：． 15、若关于x、y的方程组和的解相同，则的值为______． 【答案】0 【详解】解：联立， 解得， 将代入， 得， 解得， ∴． 故答案：0． 16、在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 __________． 【答案】44 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 依题意得， 解之得， 小长方形的长、宽分别为，， ， ． 故答案为：44． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 解方程组： （1）（加减消元法） （2） 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 解：， 得，， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：方程组化简得，， ①②得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为． 18、新趋势·新定义 对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． （1）方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： （2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】（1）具有“邻好关系”，见解析 （2）或6 【小问1详解】 具有“邻好关系”．理由如下：方程组 由②得． 所以方程组的解具有“邻好关系”； 【小问2详解】 解方程组得 因为方程组的解具有“邻好关系”， 所以， 所以，即． 所以或， 所以或6． 19、已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． （1）求a，b的值； （2）若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 【答案】（1），； （2）； 【小问1详解】 解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为 ∴， 解得； ∵乙由于看错了b，得到方程组的解为 ∴， 解得； 【小问2详解】 由（1）得方程组为， 解得， ∵方程组的解与方程组的解相同， ∴， 解得， ∴． 20、一套仪器由1个A部件和2个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应分别用多少立方米钢材做A部件和B部件？恰好配成这种仪器多少套？ 【答案】用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器240套 【详解】解：设用钢材做A部件，用钢材做B部件， 根据题意，得 解得 所以． 答：用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器240套． 21、“重百”、“沃尔玛”两家超市出售 同样的保温壶和水杯，保温壶和水杯在两家超市的售价分别一样．已知买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买2个保温壶和3个水杯要花费130元． （1）请问：一个保温壶与一个水杯售价各是多少元？（列方程组求解） （2）为了迎接“五一劳动节”，两家超市都在搞促销活动，“重百”超市规定：这两种商品都打九折；“沃尔玛”超市规定：买一个保温壶赠送一个水杯．若某单位想要买4个保温壶和15个水杯，如果只能在一家超市购买，请问选择哪家超市购买更合算？请说明理由． 【答案】（1）一个保温壶售价为50元，一个水杯售价为10元． （2）选择在“沃尔玛”超市购买更合算 【详解】解：（1）设一个保温壶售价为x元，一个水杯售价为y元． 由题意，得：． 解得：． 答：一个保温壶售价为50元，一个水杯售价为10元． （2）选择在“沃尔玛”超市购买更合算． 理由：在“重百”超市购买所需费用为：0.9（50×4+15×10）＝315（元）， 在“沃尔玛”超市购买所需费用为：50×4+（15﹣4）×10＝310（元）， ∵310＜315， ∴选择在“沃尔玛”超市购买更合算． 22、已知满足求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得， 由可得．这种方法利用了“整体思想”．请你利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则_______，_______； (2)买4支铅笔，2块橡皮，1本日记本共需35元，买5支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需47元，求购买7支铅笔，3块橡皮，1本日记本共需多少元． 【答案】(1)，5 (2)共需58元 【详解】（1）解：， 可得：； 可得：， ∴； （2）解：设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元， 由题意可得：， ∴可得， 答：购买7支铅笔、3块橡皮、1本日记本共需58元． 23、某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 （1）求A、B两种型号电风扇的销售单价； （2）超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由． （3）一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案． 【答案】（1）种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元 （2）不能，理由见解析 （3）共有3种购买方案; 方案1：购买4台种型号电风扇，15台种型号电风扇； 方案2：购买8台种型号电风扇，10台种型号电风扇； 方案3：购买12台种型号电风扇，5台种型号电风扇． 【小问1详解】 解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元， 依题意得：， 解得：． 答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元． 【小问2详解】 不能实现利润为1200元的目标，理由如下： 设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇， 依题意得：， 解得：， 又，均为正整数， 不符合题意，舍去， 即不能实现利润为1200元的目标． 【小问3详解】 设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇， 依题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 该公司共有3种购买方案， 方案1：购买4台种型号电风扇，15台种型号电风扇； 方案2：购买8台种型号电风扇，10台种型号电风扇； 方案3：购买12台种型号电风扇，5台种型号电风扇． 24、一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问： （1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ （2）已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？ （3）若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论） 【答案】（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元 （2）单独请乙组需要的费用少 （3）甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少 【小问1详解】 解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元． 依题意得， ， 解得 ， 答：甲、乙两组工作一天，商店各应付元和元； 【小问2详解】 解：由题意知，单独请甲组需要的费用：（元）， 单独请乙组需要的费用：（元）， ∵， ∴单独请乙组需要的费用少； 【小问3详解】 解：由题意知，甲组单独做天，需费用元，少赢利（元）， 相当于损失（元）； 乙组单独做天，需费用元，少赢利（元）， 相当于损失（元）； 甲乙两组合作同时施工8天，需费用元，少赢利（元）， 相当于损失（元）； ∵， ∴甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、在下列方程组：①，②，③，④中，是二元一次方程组的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①④ D. ①②③④ 2、 关于、的二元一次方程的非负整数解有（ ） A. 3组 B. 4组 C. 5组 D. 6组 3、李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和■，则两个数▲和■分别为（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 4、若二元一次联立方程式的解为，则a+2b之值为何？（　　） A．33 B．9 C．﹣3 D．﹣27 5、已知二元一次方程组无解，则a的值是（　　） A．a＝2 B．a＝6 C．a＝﹣2 D．a＝﹣6 6、已知，则等于（ ） A. B. C. －1 D. 1 7、对有理数x，y定义运算：，其中a，b是常数．如果，，那么的值为（　　） A. 6 B. 10 C. 18 D. 20 8、我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9、若关于x，y的方程组的解满足x+y=2025，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 10、我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子再量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，若列其中一正确方程，则下列说法错误是（ ） A. 表示的是竿子的长度 B. 列出另一个方程为 C. 表示一半的绳子长度 D. 竿子的长度为10尺 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、是关于的二元一次方程，则_______． 12、 已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为 ． 13、已知关于、的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为___________． 14、三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组中两个方程的两边都除以9，通过换元替代的方法来解决”．参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是___________． 15、若关于x、y的方程组和的解相同，则的值为______． 16、在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 __________． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 解方程组： （1）（加减消元法） （2） 18、新趋势·新定义 对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． （1）方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： （2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 19、已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． （1）求a，b的值； （2）若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 20、一套仪器由1个A部件和2个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应分别用多少立方米钢材做A部件和B部件？恰好配成这种仪器多少套？ 21、“重百”、“沃尔玛”两家超市出售 同样的保温壶和水杯，保温壶和水杯在两家超市的售价分别一样．已知买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买2个保温壶和3个水杯要花费130元． （1）请问：一个保温壶与一个水杯售价各是多少元？（列方程组求解） （2）为了迎接“五一劳动节”，两家超市都在搞促销活动，“重百”超市规定：这两种商品都打九折；“沃尔玛”超市规定：买一个保温壶赠送一个水杯．若某单位想要买4个保温壶和15个水杯，如果只能在一家超市购买，请问选择哪家超市购买更合算？请说明理由． 22、已知满足求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得， 由可得．这种方法利用了“整体思想”．请你利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则_______，_______； (2)买4支铅笔，2块橡皮，1本日记本共需35元，买5支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需47元，求购买7支铅笔，3块橡皮，1本日记本共需多少元． 23、某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 （1）求A、B两种型号电风扇的销售单价； （2）超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由． （3）一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案． 24、一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付费用元，问： （1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ （2）已知甲组单独完成需天，乙组单独完成需天，单独请哪个组，商店所需费用最少？ （3）若装修完后，商店每天可赢利元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论） —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $