河南开封高级中学2026届高三下学期模拟预测（一）数学试题

参考答案及解析 高三数学（一） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D C B B A C D AD ACD BC 四、解答题 15．解：（1）因为， 所以，即，（3分） 故或．若，则；若，因为，所以B不是钝角，该情形不成立，故．（6分） （2）设， 在中，由正弦定理，得，即， 又， 所以． （9分） 由（1）及已知得，， （10分） 所以， 解得， 即．（13分） 16．（1）证明：如图，取的中点为O，连接，．因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，． （2分） 由，O为的中点，得． 又，所以，所以，即． （4分） 又，，，平面，所以平面． （6分） （2）解：由（1）可知，，，两两垂直．如图，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则， ， ，， （8分） 所以，，，． 设平面的法向量为，则即 令，得，，则． （10分） 设平面的法向量为，则即 令，得，，则， （12分） 所以， （14分） 所以平面与平面夹角的余弦值为．（15分） 17．解：（1）设，，则，， 两式相减得，即，则． （3分） 又，所以，故C的方程为． （6分） （2）设直线的方程为，由得， 则，且，． （9分） 假设存在，使，则．因为，，且，， 所以， 故，整理得，解得． （13分） 由，解得．故存在，使． （15分） 18．（1）解：由题意得的定义域为，， （1分） 当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以是的极大值点，也是最大值点， （3分） 故，即，解得． （5分） （2）证明：由（1）得，则， 即． 令，则，且，所以，所以，故， （9分） 所以． 令， （11分） 则． （13分） 令，， 则， （15分） 所以在区间上单调递增，所以当时，，即，则在区间上单调递增，所以，故． （17分） 19．（1）解：（ⅰ）对于元素的构成，，，均有0，1两种可能的取值，所以的元素个数为． （3分） （ⅱ）的所有可能取值为1，2，3，则，， ， （6分） 所以的分布列为 1 2 3 （7分） 故． （10分） （2）证明：由题意得， （11分） 所以， （13分） 所以， （16分） 故. （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名______________ 准考证号__________ 绝密★启用前 高三数学（一） 注意事项： 1．本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在中，，，点满足，则 A．1 B． C． D． 4．在数列中，，且，，则 A． B．21 C． D．40 5．已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，有两种取球方式：①不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，设第二次取到2个红球的概率为；②一次性任取2个球，设取到2个红球的概率为，则 A． B． C． D． 7．已知角的终边上有一点，则 A． B． C．1 D．2 8．已知直线与椭圆交于，两点，点，若的外接圆圆心在轴上，则该圆圆心的坐标为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在正方体中，为的中点，则 A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 10．已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是 A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 11．已知直线，点，，，则 A．点的集合是 B．点的集合是 C．点到直线的距离的取值范围是 D．点到直线的距离的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一列，甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为________．（用数字作答） 13．已知圆与抛物线恰有两个公共点，，且为圆的直径，则的值为________． 14．已知正四棱锥的高为2，，为棱的中点，若点，，，，均在球的球面上，则平面截球所得截面圆的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在中，，，． （1）求； （2）设边上有两点，，，且，求． 16．（15分）如图，在三棱台中，为等边三角形，，，且． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）已知双曲线的右焦点为，斜率为的直线交于，两点，且的中点为． （1）求的方程； （2）是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．(17分) 已知函数的最大值为1． （1）求； （2）若，且，证明：． 19．(17分) 已知，且，集合．对于中的任意两个不同的元素，，定义． （1）当时， （ⅰ）求的元素个数； （ⅱ）求随机变量的分布列及数学期望； （2）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $