精品解析：黑龙江绥化市青冈县第一中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（腾飞卷）

青冈一中2025-2026学年度高一下学期期中考试 数学试卷（腾飞卷） 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设复数，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算化简，再求出共轭可得. 【详解】， 所以，其虚部为. 故选：A. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为，则. 3. 已知向量，，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或3 D. 若，则与的夹角为 【答案】A 【解析】 【分析】应用平行向量的坐标运算计算判断A，应用向量垂直的坐标运算判断B，根据模长公式计算求解判断C，应用夹角余弦公式计算判断D. 【详解】向量，， 若，则，即，A选项不正确； 若，则 ，即，B选项正确； 若，则，所以，解得或3，C选项正确； 若，则向量，，即， 设与的夹角为， 则与的夹角余弦为，则与的夹角为，D选项正确； 4. 如图所示，平面四边形中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理得，进而结合余弦定理计算得. 【详解】解：由正弦定理，，即，故， 所以，所以， 所以由余弦定理，. 故选：D． 5. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，用表示向量，再借助共线向量定理的推论求解作答. 【详解】因，则，又，于是得， 而不共线，点在直线上，因此，解得， 所以实数的值为. 故选：D 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】首先边化为角，再结合三角恒等变换，求得，即可判断三角形的形状 【详解】移项得，可化为 ， 展开得， 整理得，又，所以，即，则为直角三角形. 故选：B． 7. 为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点 A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由图象知，A=1,T=π，所以=2，y=sin（2x+），将（，0）代入得：sin()=0，所以=kπ，，取=，得y=sin（2x+），故只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变,故选A. 考点：本题主要考查三角函数图象变换，三角函数解析式. 点评：基础题，根据图象求函数解析式及三角函数图象的变换均是高考常见题目，本题将二者结合在一起，解得思路明确，应先观察图象，确定“振幅”“周期”，再通过计算求. 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 B. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 C. 若，则的模为7 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题根据复数的模长，复数的几何意义以及根与系数的关系即可求解. 【详解】A选项，因为点的坐标为在第二象限，则对应的点为，所以在第三象限，故A选项正确； B选项，，则依据复数模长的几何意义可知，表示一个圆环，面积为，故B选项正确； C选项，，则，故C选项错误； D选项，是关于的方程的一个根，则其共轭复数也是方程的根，则常数项，故D选项正确； 故选：ABD 10. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于轴对称 B. 函数的最小正周期为 C. 点为函数图象的一个对称中心 D. 函数的最大值为1 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可得，结合正弦函数性质逐项分析判断. 【详解】由题意可得：， 对于选项A：因为不为最值， 所以函数的图象不关于轴对称，故A错误； 对于选项B：函数的最小正周期为，故B正确； 对于选项C：因为， 所以点不为函数图象的一个对称中心，故C错误； 对于选项D：当，即时， 函数取到最大值为1，故D正确； 故选：BD. 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A. 利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换求解；B.利用正弦定理求解；C.利用余弦定理，结合基本不等式求解；D.利用余弦定理，结合基本不等式求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以，则，即，故A错误； 由正弦定理得外接圆的半径为，即， 所以外接圆的面积为，故B正确； 由余弦定理得，即，则， 当且仅当时，等号成立，所以三角形的面积为：，故C正确； 由，得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以三角形的周长为，故D错误， 故选：BC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示求出向量的坐标，再根据向量模长计算求解即可 【详解】因为，所以向量， 13. 已知中，，则外接圆半径为____________. 【答案】#### 【解析】 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【详解】中，， 根据正弦定理可知，，即，得. 故答案为： 14. 如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】以为基底表示，结合向量的数量积运算求得正确答案. 【详解】在正方形中，因为为AD中点，所以，且， 则， 则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 当实数为何值时，复数满足下列条件？ （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数． 【答案】（1） （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数是实数列式计算求参； （2）根据复数是虚数列式计算求参； （3）根据复数是纯虚数列式计算求参. 【小问1详解】 当即时，复数是实数． 【小问2详解】 当，且，即且时，复数是虚数． 【小问3详解】 当即时，复数是纯虚数． 16. 已知，． （1）设向量，的夹角为，求的值； （2）若和互相垂直，求k的值； （3）求向量在向量上的投影向量． 【答案】（1） （2）或． （3） 【解析】 【分析】（1）应用向量夹角余弦公式计算求解； （2）根据向量垂直得出数量积为0计算求解； （3）应用投影向量公式结合数量积坐标公式计算求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，，， 所以． 【小问2详解】 因为，， 则，， 因为和互相垂直， 所以 ，即， 整理得，解得或． 【小问3详解】 向量在向量上的投影向量为 17. 已知向量，，，设函数； （1）将函数化为的形式； （2）求的最小正周期与单调递增区间； （3）对，不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）． 【解析】 【分析】（1）平面向量的数量积公式结合二倍角公式及辅助角计算化简； （2）应用正弦函数周期及单调区间计算求解； （3）结合恒成立，利用正弦函数最值计算求解. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 ， 由得， 故的递增区间为； 【小问3详解】 ，恒成立 由，得， 故时， ， ， ∴实数的取值范围是． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若D是边AC上靠近A的三等分点，，，求的面积； （3）若BD是的角平分线，，，求b的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式计算，最后应用特殊值的余弦计算求解； （2）应用向量的数量关系列式平方结合数量积的定义及运算律计算得出，最后应用面积公式计算求解； （3）应用面积公式计算得出，最后结合余弦定理求解. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 又，所以， 则 ， 化简得，， 在中，，所以， 又因为，所以． 【小问2详解】 因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； 【小问3详解】 已知平分，且，故， 由得； 将，代入得， 解得． ，． 19. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长． （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面向量的数量积坐标公式计算结合两角和正弦公式计算求解即可； （2）应用余弦定理结合三角形面积公式计算求解即可； （3）先应用正弦定理结合三角恒等变换计算得到，再应用正弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， ， 即， ，， 又，则，， ，. 【小问2详解】 由，则， 由余弦定理，得，即， 则的周长为. 【小问3详解】 根据正弦定理得，所以， 又因为，所以， 所以三角形周长为 ， 因为，所以，则， 所以， 所以周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青冈一中2025-2026学年度高一下学期期中考试 数学试卷（腾飞卷） 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设复数，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或3 D. 若，则与的夹角为 4. 如图所示，平面四边形中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 7. 为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点 A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 8. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（ ） A. 2 B. 8 C. 9 D. 18 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 B. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 C. 若，则的模为7 D. 若是关于的方程的一个根，则 10. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于轴对称 B. 函数的最小正周期为 C. 点为函数图象的一个对称中心 D. 函数的最大值为1 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______. 13. 已知中，，则外接圆半径为____________. 14. 如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 当实数为何值时，复数满足下列条件？ （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数． 16. 已知，． （1）设向量，的夹角为，求的值； （2）若和互相垂直，求k的值； （3）求向量在向量上的投影向量． 17. 已知向量，，，设函数； （1）将函数化为的形式； （2）求的最小正周期与单调递增区间； （3）对，不等式恒成立，求m的取值范围． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若D是边AC上靠近A的三等分点，，，求的面积； （3）若BD是的角平分线，，，求b的长． 19. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长． （3）若，求周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $