精品解析：黑龙江绥化市青冈县第一中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（卓越+超越卷）

青冈一中2025-2026学年度高一下学期期中考试 数学试卷（卓越+超越试卷） 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 复数的虚部为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的定义判断即可. 【详解】复数的虚部为. 故选：C. 2. ，，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角差的正切公式计算. 【详解】． 故选：D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得. 4. 已知点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，则. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式计算求解. 【详解】若，则 6. 在中，，，，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，结合三角形的内角和定理得到的值，从而得到的值． 【详解】因为，，， 由正弦定理得， 得， 所以或，经检验，均满足题意． 当时，由三角形的内角和定理得； 当时，由三角形的内角和定理得． 因此或． 故选：B. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由于，则， 于是. 8. 将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的信息，利用三角函数图象变换法则求出解析式. 【详解】函数的图象向右平移，得， 再将横坐标伸长为原来的3倍，得， 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论不正确的是（ ） A. 的共轭复数为 B. 为纯虚数 C. 的实部大于虚部 D. i的虚部为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义计算判断A，应用纯虚数的定义判断B，应用实部及虚部计算判断C，D. 【详解】选项A：的共轭复数为，A结论错误； 选项B：纯虚数的定义为实部为0且虚部不为0的复数， 实部为3，不是纯虚数，B结论错误； 选项C：的实部为3，虚部为1，，实部大于虚部，C结论正确； 选项D：复数的虚部为，不是，D结论错误. 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或3 D. 若，则与的夹角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由向量的坐标运算，结合向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示，即可求解. 【详解】A：若，则，解得，故A错误； B：若，则，解得，故B正确； C：，令，解得或，故C正确； D：若，，， 则， 因为，所以，故D正确. 11. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于轴对称 B. 函数的最小正周期为 C. 点为函数图象的一个对称中心 D. 函数的最大值为1 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可得，结合正弦函数性质逐项分析判断. 【详解】由题意可得：， 对于选项A：因为不为最值， 所以函数的图象不关于轴对称，故A错误； 对于选项B：函数的最小正周期为，故B正确； 对于选项C：因为， 所以点不为函数图象的一个对称中心，故C错误； 对于选项D：当，即时， 函数取到最大值为1，故D正确； 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示求出向量的坐标，再根据向量模长计算求解即可 【详解】因为，所以向量， 13. 已知中，，则外接圆半径为____________. 【答案】#### 【解析】 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【详解】中，， 根据正弦定理可知，，即，得. 故答案为： 14. 如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】以为基底表示，结合向量的数量积运算求得正确答案. 【详解】在正方形中，因为为AD中点，所以，且， 则， 则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 是什么实数时，复数分别 （1）是实数 （2）是虚数， （3）是纯虚数 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）令虚部等于即可求解； （2）令虚部不等于即可求解； （3）令实部等于，虚部不等于即可求解. 【详解】（1）复数是实数， 则，可得：， 所以当时，复数是实数； （2）复数是虚数， 则，可得：， 所以当时，复数是虚数； （3）复数是纯虚数， 则 解得：， 所以当时，复数是纯虚数. 16. 已知向量，． （1）求； （2）求向量与的夹角的大小； （3）求向量在向量上的投影向量． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用平面向量数量积的坐标运算计算求解； （2）应用向量夹角余弦公式计算求解结合夹角范围计算求值； （3）应用投影向量公式结合数量积坐标公式计算求解. 【小问1详解】 由向量，，得． 【小问2详解】 由向量，，得，， 又，于是， 而，所以． 【小问3详解】 向量在向量上的投影向量. 17. 函数的最小正周期为. （1）求； （2）求的单调递增区间， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简，再由周期的定义求出； （2）由余弦函数的单调递增区间解出即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 所以的单调递增区间为. 18. 如图，已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求的大小； （2）若，，设AD为三角形ABC的角平分线，求AD的长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）应用余弦定理计算求解； （2）应用面积公式结合角平分线计算求解. 【小问1详解】 由余弦定理可得， 又因为，故． 【小问2详解】 因为， 所以， 又因为，，， 所以， 所以． 19. 在中,内角所对的边分别为,已知, ,且. (1)求角的大小; (2)若,的面积为,求的周长 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】 （1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得； （2）根据三角形面积公式构造方程求得，利用余弦定理可求得，进而得到所求周长. 【详解】（1） 由正弦定理得： 即： （2） 由余弦定理得： 的周长 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青冈一中2025-2026学年度高一下学期期中考试 数学试卷（卓越+超越试卷） 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 复数的虚部为（　　） A. B. C. D. 2. ，，（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论不正确的是（ ） A. 的共轭复数为 B. 为纯虚数 C. 的实部大于虚部 D. i的虚部为 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或3 D. 若，则与的夹角为 11. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于轴对称 B. 函数的最小正周期为 C. 点为函数图象的一个对称中心 D. 函数的最大值为1 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______. 13. 已知中，，则外接圆半径为____________. 14. 如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 是什么实数时，复数分别 （1）是实数 （2）是虚数， （3）是纯虚数 16. 已知向量，． （1）求； （2）求向量与的夹角的大小； （3）求向量在向量上的投影向量． 17. 函数的最小正周期为. （1）求； （2）求的单调递增区间， 18. 如图，已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求的大小； （2）若，，设AD为三角形ABC的角平分线，求AD的长． 19. 在中,内角所对的边分别为,已知, ,且. (1)求角的大小; (2)若,的面积为,求的周长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $