分布列与期望（含期望可加性和马尔科夫链问题）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学讲义以“分布列与期望”为核心，通过题型分类构建知识体系，涵盖二项分布、超几何分布等五大题型。利用表格呈现实际数据（如冬奥知识竞赛成绩、充电桩数量），清晰梳理各题型的应用场景与内在联系，突出期望可加性、马尔科夫链等重难点。 讲义亮点在于“实际情境问题链”设计，如二项分布结合机器人性能测试、超几何分布关联充电桩检查，培养数学眼光与建模意识。例题分层设置，从基础计算到综合应用（如竞赛比赛类概率推理），帮助不同学生掌握方法，教师可据此实施精准复习，提升学生逻辑思维与数据表达能力。

第八讲 分布列与期望（含期望可加性和马尔科夫链问题） 题型一 二项分布 例1：（1）（2026·江西·三模·节选） 某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标，测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；否则机器人性能不合格.已知该型号机器人平地行走达标的概率为，斜坡行走达标的概率为，且两个项目是否达标相互独立. (1)随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； (2)随机抽取3台该机器人进行独立测试，设表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量的分布列和数学期望； 【详解】（1）设事件：机器人平地行走达标，；设事件：机器人斜坡行走达标，； 由题意，事件与相互独立，则性能合格为事件. 根据独立事件概率乘法公式：. （2）由题意，服从二项分布：的可能取值为. 根据二项分布概率公式，； 的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望. （2）（2026·全国·模拟预测·节选） 为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动．为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 用频率估计概率，样本估计总体，回答下列问题． 从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为，求的分布列和数学期望． 【详解】由表格知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（分）的有3人，8 由频率估计概率，从该校的高一学生中，随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为． 因此，从该校高一学生中随机抽取3人，成绩优秀人数， X的取值集合为． ， ， 所以X的分布列为： 0 1 2 3 数学期望． （3）（2026·福建龙岩·一模） 某会员店的本地会员占，外地会员占.现开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，每个会员对该店商品质量满意与否相互独立. (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取2名会员（其中会员总数远大于2），记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望. 【详解】（1）设事件：抽取的是本地会员，， 则事件：抽取的是外地会员，， 事件：会员对商品质量满意，，， 所以. （2）由（1）可知，单次抽取会员满意的概率，不满意的概率为， 的所有可能取值为0，1，2. 则，， ，， 0 1 2 所以. 题型二 超几何分布 例2：(1)（2026·陕西西安·模拟预测） 随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（用分别表示2021年，2022年，…，2025年），具体参考数据如下表： 统计量 数值 15 21 55 72.6 (1)请根据表中数据，建立关于的回归直线方程；(不做) (2)现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值． 【详解】由题意知，随机变量的取值为：0，1，2，3；则： ； ； ； 故的分布列为： 0 1 2 3 所以随机变量的均值． (2)（2026·重庆·一模） 某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（不做） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【详解】（1）由题意，解得， 成绩在的频率为0.1，在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为， 所以选报物理方向的最低分在内，则， 解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． （2）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，的所有可能取值为， ， 故的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：． （3）（25-26高三上·重庆·阶段检测） 某中学为了解高二年级学生对“数学建模竞赛”的参与意愿与性别是否有关，现从学校中随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表： 性别 愿意参与 不愿意参与 合计 男生 女生 合计 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意参与数学建模竞赛与性别有关联”？（不做） (2)从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用分层抽样的方法抽取11人，再从这11人中随机抽取3人作为竞赛种子选手，记3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)愿意参与数学建模竞赛与性别无关联； (2)答案见解析. 【分析】（1）直接根据零假设进行独立性检验得出. （2）先由分层抽样选出人中，男生6人，女生5人，从中选出3人中女生的人数服从超几何分布解得. 【详解】（1）零假设：愿意参与数学建模竞赛与性别无关. 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据推断不成立， 即认为愿意参与数学建模竞赛的意愿与性别无关. （2）根据分层抽样的性质可知：愿意参与的学生中男生与女生的比例为. 因此选出人中，男生人数为人，女生人数为人 由题意可知：，服从超几何分布，，. ， ， 所以这3人中女生人数的概率分布列为： . 题型三 竞赛比赛类分布列与期望 例3：（1）（2026·青海海东·三模） 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛共3局，获胜局数多的人赢得本次比赛．已知第一局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.6，0.4，此后，若上一局甲获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.7，0.3，若上一局乙获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.5，0.5． 用表示甲获胜的局数，求的分布列与期望． 【详解】甲赢0局的概率为， 赢1局的概率为， 赢2局的概率为， 赢3局的概率为， X 0 1 2 3 P 0.1 0.25 0.356 0.294 则期望为 （2）（2026·江苏镇江·二模·节选） 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． 如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 【详解】由题意知得分的可能值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 6 所以得分的数学期望为：. （3）（2026·河南南阳·二模·节选） 某单位为了提高职工业务能力，举行相关的知识竞赛.规则如下：利用计算机在题库中选出3个题由职工作答，已知题库中有A，B两类题，每个类题答对可以得到20分，每个类题答对得30分.两类题的数量足够，每位职工正确回答类和类题的概率分别是和，且回答A，B两类题正确与否相互独立. 若职工甲选3个类题作答，试求甲得分的分布列和方差； 【详解】设“甲选类题答对”为事件， 根据题意，的可能取值为0，20，40，60. ，， ， ， 所以的分布列是： 0 20 40 60 设为甲答对的类题的个数，则，且， 由，故的方差为. 题型四 期望的可加性 例4：（1）（2025·全国一卷·高考真题·T14） 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 【详解】依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. （2）（2026·广东汕头·二模） 个球随机装进个盒子，则装有球的盒子个数的期望为_______. 【答案】 【详解】设 3 个盒子分别为 ，定义随机变量 （ 分别对应 3 个盒子）： 则装有球的盒子总数 ， 根据期望的线性可加性： 由对称性，，因此只需计算单个盒子的 。 计算 （单个盒子装有球的概率）先计算单个盒子没有球的概率： 每个球随机装入 3 个盒子，不装入第个盒子的概率为 ； 4 个球都不装入第个盒子的概率为： 因此，该盒子装有球的概率： 所以，。 因此： 故答案： （3）（2021·浙江杭州·模拟预测） 有个人在一楼进入电梯，楼上共有层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为，则_________. 【答案】 【详解】由题意知：大楼共层， 设随机变量，则， ，， 则的分布列如下： ， . 故答案为：. 题型五 马尔科夫链问题 例题5.（1）（教材原题·人教A版选择性必修第三册·P91） 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求n次传球后球在甲手中的概率为． 【答案】 【详解】记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，， 则有， 所以 ， 即，， 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列． 所以，， 所以 （2）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题·T21·节选） 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． 课后练习 1、（2026·陕西商洛·二模·节选） 汉中藤编久负盛名，被列入国家非物质文化遗产．一根藤，牵起千年的记忆，也编织出乡村振兴的新图景．汉中某藤编制作工坊积极探索线上推广渠道，藤编产品销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年藤编产品的销量数据如下表： 年份年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量/万件 6 7 10 12 15 已知该工坊2025年售出的藤编产品中，有9万件通过线上售出，用频率估计概率，现从2025年售出的藤编产品中随机抽取4件，求其中线上售出数量的分布列及数学期望． 【详解】该工坊2025年售出的藤编产品中，有9万件通过线上售出，用频率估计概率， 所以2025年售出的藤编产品中，通过线上售出的概率为， 由题意可知：， 所以 ， ，， ， 所以其中线上售出数量的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. 2.（2026·山东临沂·一模·节选） 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. (1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； 【详解】（1）由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率. （2）易知, 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，则第局和第局均未获胜的概率为， 因此可知, 随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的期望或. 3．（2026高三·全国·专题练习·节选） 地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况.控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称，分为（导致早起倾向）和（导致晚睡倾向）.某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与蛋白干预实验.以下是16只实验鼠在光照诱导与蛋白干预实验中，出现突变的指标： 实验鼠编号 1 2 3 4 5 6 7 8 指标 实验鼠编号 9 10 11 12 13 14 15 16 指标 长期试验发现，若实验鼠指标超过，则认定其体征状况严重， 从实验鼠中随机选取只，记为体征状况严重的只数，求的分布列和数学期望； 【详解】（1）（1）由题意得，只实验鼠中，有7只体征状况严重. 的可能取值有0，1，2，3， ， ， ， . 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 4、（2026·河北衡水·二模·节选） 为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. 由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 【详解】每局结束后，两位大师和AI的总得分可能情况为： 甲乙都输：0分，AI：2分，分差为2分； 甲乙一胜一负：1分，AI：1分，分差为0分； 甲乙都赢：2分，AI：0分，分差为2分； 所以单局结束后继续比赛的情况为，结束比赛的概率为， 所以的可能取值为1,2,3,4,5,6， ， ， 分布列为 1 2 3 4 5 6 . 5.（2026·广东广州·二模） 某人工智能博览会有4个不同的场馆，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为，则的数学期望为____________． 【答案】 【详解】法一（常规法）：为被参观的场馆个数，可能取值为， 甲乙各选个场馆，总的选法为种， （两人选的场馆完全相同）：共种，故， （两人恰好有1个共同场馆）：甲选2个后，乙从甲的2个中选1个、从甲未选的2个中选1个，共种，故， （两人选的场馆完全不同）：共种，故， . 法二（示性函数法）: 设 4 个场馆分别为 ，定义随机变量 （) 分别对应 4 个场馆）： 则被参观的场馆总数； 根据期望的线性可加性： 由对称性，， 因此只需计算单个场馆的。 （单个场馆被参观的概率）甲从 4 个场馆中选 2 个，不选第i个场馆的选法数为 ，总选法数为 ，因此甲不选该场馆的概率为： 同理，乙不选该场馆的概率也为， 两人独立选择，因此该场馆未被参观的概率为： 因此，该场馆被参观的概率： 所以 因此： 故答案为：. 6.（2026·山西太原·二模·节选） 在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. 设为第轮试验使用A型号机器人的概率.求数列的通项公式； 【答案】(1)，(2) 【详解】设第轮试验使用A型号机器人为事件， 则，，， 由全概率公式可得， 即，则， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以； 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八讲 分布列与期望（含期望可加性和马尔科夫链问题） 题型一 二项分布 例1：（1）（2026·江西·三模·节选） 某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标，测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；否则机器人性能不合格.已知该型号机器人平地行走达标的概率为，斜坡行走达标的概率为，且两个项目是否达标相互独立. (1)随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； (2)随机抽取3台该机器人进行独立测试，设表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）（2026·全国·模拟预测·节选） 为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动．为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 用频率估计概率，样本估计总体，回答下列问题． 从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为，求的分布列和数学期望． （3）（2026·福建龙岩·一模） 某会员店的本地会员占，外地会员占.现开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，每个会员对该店商品质量满意与否相互独立. (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取2名会员（其中会员总数远大于2），记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望. 题型二 超几何分布 例2：(1)（2026·陕西西安·模拟预测） 随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（用分别表示2021年，2022年，…，2025年），具体参考数据如下表： 统计量 数值 15 21 55 72.6 (1)请根据表中数据，建立关于的回归直线方程；(不做) (2)现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值． (2)（2026·重庆·一模） 某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（不做） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． （3）（25-26高三上·重庆·阶段检测） 某中学为了解高二年级学生对“数学建模竞赛”的参与意愿与性别是否有关，现从学校中随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表： 性别 愿意参与 不愿意参与 合计 男生 女生 合计 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意参与数学建模竞赛与性别有关联”？（不做） (2)从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用分层抽样的方法抽取11人，再从这11人中随机抽取3人作为竞赛种子选手，记3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 题型三 竞赛比赛类分布列与期望 例3：（1）（2026·青海海东·三模） 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛共3局，获胜局数多的人赢得本次比赛．已知第一局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.6，0.4，此后，若上一局甲获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.7，0.3，若上一局乙获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.5，0.5． 用表示甲获胜的局数，求的分布列与期望． （2）（2026·江苏镇江·二模·节选） 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． 如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． （3）（2026·河南南阳·二模·节选） 某单位为了提高职工业务能力，举行相关的知识竞赛.规则如下：利用计算机在题库中选出3个题由职工作答，已知题库中有A，B两类题，每个类题答对可以得到20分，每个类题答对得30分.两类题的数量足够，每位职工正确回答类和类题的概率分别是和，且回答A，B两类题正确与否相互独立. 若职工甲选3个类题作答，试求甲得分的分布列和方差； 题型四 期望的可加性 例1：（1）（2025·全国一卷·高考真题·T14） 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. （2）（2026·广东汕头·二模） 个球随机装进个盒子，则装有球的盒子个数的期望为_______. （3）（2021·浙江杭州·模拟预测） 有个人在一楼进入电梯，楼上共有层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为，则_________. 题型五 马尔科夫链问题 例题5.（1）（教材原题·人教A版选择性必修第三册·P91） 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．求n次传球后球在甲手中的概率为． （2）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题·T21·节选） 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； 课后练习 1、（2026·陕西商洛·二模·节选） 汉中藤编久负盛名，被列入国家非物质文化遗产．一根藤，牵起千年的记忆，也编织出乡村振兴的新图景．汉中某藤编制作工坊积极探索线上推广渠道，藤编产品销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年藤编产品的销量数据如下表： 年份年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量/万件 6 7 10 12 15 已知该工坊2025年售出的藤编产品中，有9万件通过线上售出，用频率估计概率，现从2025年售出的藤编产品中随机抽取4件，求其中线上售出数量的分布列及数学期望． 2.（2026·山东临沂·一模·节选） 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. (1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； 3．（2026高三·全国·专题练习·节选） 地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况.控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称，分为（导致早起倾向）和（导致晚睡倾向）.某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与蛋白干预实验.以下是16只实验鼠在光照诱导与蛋白干预实验中，出现突变的指标： 实验鼠编号 1 2 3 4 5 6 7 8 指标 实验鼠编号 9 10 11 12 13 14 15 16 指标 长期试验发现，若实验鼠指标超过，则认定其体征状况严重， 从实验鼠中随机选取只，记为体征状况严重的只数，求的分布列和数学期望； 4、（2026·河北衡水·二模·节选） 为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. 由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 5.（2026·广东广州·二模） 某人工智能博览会有4个不同的场馆，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为，则的数学期望为____________． 6.（2026·山西太原·二模·节选） 在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. 设为第轮试验使用A型号机器人的概率.求数列的通项公式； 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $