2026年中考数学第二阶段专题复习圆的切线计算和证明专项训练

**基本信息** 聚焦圆的切线证明与计算，构建“定义-性质-推理-计算”逻辑链条，通过15道分层题例系统提炼辅助线作法与多定理融合策略，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线证明|8题（如1(1)、3(1)）|连半径证垂直，结合全等/相似、圆周角定理|从切线定义出发，利用直径性质构造直角，通过全等转化角关系| |切线计算|7题（如2(3)、5(2)）|勾股定理、相似比、三角函数求长度/面积|以切线性质为桥梁，建立几何图形与代数运算的联系，实现线段与面积转化|

2026年中考数学第二阶段专题复习 圆的切线计算和证明专项训练 1.如图，AB是⊙O的直径，AC,BC是弦，过点O作ODBC交AC于点D,过点A作 ⊙O的切线与OD的延长线交于点P,连接PC. B (1)求证：PC是⊙O的切线： (2)连接BE交AC于G,如果∠ABC=2∠CPO,OD=1,求GE的长. 2.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，BA,DC的延长线交于点E, 连接AC,OD,且OD‖AC,OD交BC于F,连接BD (1)求证：BD是⊙O的切线： (2)求证：OD·AC=20C2; 3)若AC=1,an∠FB0=2求ED的长。 3.如图，BC是⊙O的直径，且BC=4,D为BC上一动点（不与点B、C重合）过点C 作⊙O的切线交BD延长线于点A,E为AC中点，连接DE. B E 试卷第1页，共3页 (1)求证：DE是⊙O的切线： (2)若∠A=30°，求阴影部分的面积. 4.如图，点D是以BC为直径的⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交BD的延长线于点 A,点E为AC的中点，连接ED并延长交CB的延长线于点F. D (1)求证：EF是⊙O的切线： (2)若DF=24,BF=16,求⊙O的半径. 5.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，分别连接CO,BC,⊙O的切线AD与BC 的延长线交于点D,E是AD的中点，连接CE. (I)求证：CE是⊙O的切线： 2)若tanD=3, BC=6,求四边形AOCE的面积. 6.已知：如图，圆O的直径AB垂直于弦CD,过点C的切线与直线AB的延长线相交于点 P,连接PD D B (1)求证：PD是圆O的切线 (2)求证：PD=PB·PA (3)若PD=4,AD=2BD,求直径AB的长， 试卷第2页，共3页 7.如图，BC是⊙O的直径，且BC=4V3,D为BC上一动点（不与点B、C重合）过点 C作⊙O的切线交BD延长线于点A,E为AC中点，连接DE. O O E (I)求证：DE是⊙O的切线： (2)若∠A=30°，求阴影部分的面积. 8.如图，点P是⊙O外一点，PB是⊙O的切线，切点为B,连接OP, B (I)尺规作图：在OP上方作射线PQ,满足∠OPQ=∠OPB(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)所作的图中， ①求证：PQ是⊙O的切线； 接BO并延长，交射线PQ于点D,若in∠BDP=三，PB=6,求⊙O的半径 9.已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，过O作OG⊥CD于点G,过点C作 ⊙O的切线CP交OG的延长线于点P,连接PD. (I)求证：PD是⊙O的切线： (2连接AD、BC.若∠DAB=74,∠CBA=46,OB=多求OP的长. 10.如图，C是以AB为直径的⊙0上一点，F为BC的中点，过点C作⊙O的切线交OF的 试卷第3页，共3页 延长线于点E,连接BE,BC,BC交OF于点D. (①)求证：BE是⊙O的切线： (2)若DF=2,∠EOB=60°，求线段OE的长： (3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积。 11.如图1，点A为⊙O外一点，过点A作⊙O的切线AC,切点为C,CD是⊙O的直径， 过点D作DE‖AO交⊙O于点E,连接AE并分别延长AE、CD,两线交于点B. B E B C 图1 图2 (1)求证：AB是⊙O的切线： (2)若∠B=30°，BD=1,求图中阴影部分面积（结果保留T): (3)如图2，若⊙O的半径为2，点I是△DEC的内心，连接EI并延长至点F,使得 FO⊥EF,垂足为F,连接DF.当点A运动时，求DF的最小值， 12.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4,O是边BC上的点，⊙O与AB相 切，切点为D,AC与⊙O相交于点E,且AD=AE. G M 试卷第4页，共3页 (1)求证：AC是⊙O的切线： 2)o0的半径为 一：OC与OO相交于点M,求阴影部分的面积： (3)F为DE上的一个动点（不与点D,E重合），过点F作⊙O的切线，分别与边AB, AC交于点G,H,连接OG,OH.嘉淇认为：随着点F位置的变化，∠GOH的度数不 变.请你判断他说得是否正确，并说明理由： (4)在(3)的条件下，设BG=X(2<x<4),CH=y,直接写出y与x之间满足的函数关 系. 13.如图，AB是⊙O的直径，AC,BC是⊙O的弦，过圆心O作BC的平行线OD与过点 C的切线交于点D,与AC交于点E. ⊙ ○ (1)求证：AD是⊙O的切线： (②如果∠CD0-号∠B,OD=3,求CD的长： (3)在(2)的条件下，求图中阴影部分的面积. 14.定理证明： B 图1 图2 (1)如图1，PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B,求证：PA=PB: 定理应用： (2)如图2，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，AB=AC=2,∠D=60°，DC是⊙O 的切线，若DA‖BC,求四边形ABCD的面积. 15.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，以AO,OC为邻边作平行四边形 试卷第5页，共3页 AOCD,边AD交⊙O于点E,连接EC. D ⊙ (1)求证：EC是⊙O的切线： 2若AB=6,an∠COB兰求AE的长度： (3)在(2)的条件下，求sin∠DCE的值. 试卷第6页，共3页 参考答案 1.(1)见解析 26=23 3 【分析】(1)连接OC,由直径对的圆周角是直角及平行线的性质得∠ADO=90°，由 等腰三角形的性质得OP垂直平分AC,从而可证明△PCO≌△PAO,得∠PCO=90°， 即可证明结论： (2)由切线的性质及互余关系得∠APO=∠DAO=∠CPO,结合已知得 ∠ABC=2∠DAO,由此求得∠ABC=60°，∠DAO=30°，由直角三角形的性质求 得圆的半径，进而求得DE,再由直角三角形的性质即可求得GE的长， 【详解】(1)证明：如图1，连接OC, .∵PA是⊙O的切线， ∴.∠PAO=90°， ,AB是⊙O的直径， .∴.∠ACB=90, B .'OD‖BC 图1 ∴.∠ADO=∠ACB=90°， .OA=OC, ∴.OP垂直平分AC, .CD=AD,AP=CP, ∵OP=OP, .∴.△PCO≌△PAO SSS, ∴.∠PCO=∠PAO=90°， 半径OC⊥PC于点C, ∴.PC是⊙O的切线： (2)解：，PA和PC都是⊙O的切线， 答案第1页，共2页 .∠APO=∠CPO, .'∠PAO=90°， .∴.∠PAD+∠DAO=90°， ,'∠PDA=∠ADO=90°， B ∴.∠PAD+∠APO=90 ∴.∠DAO=∠APO, ∴.∠DAO=∠CPO, .:∠ABC=2∠CPO, .∠ABC=2∠DAO, .'∠ABC+∠DAO=90, ∴.∠ABC=60°，∠DAO=30°， .∴.∠DOA=60°， OE=OB. ∴.∠BE0=30°， .'∠AD0=90°，OD=1, ∴.OA=2OD=2, ..OE=OA=2, .DE=1, DGGB. .由勾股定理得：GE2-DG=DE2, 即GE2-1GE2=1, 4 ≥=23 3 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质， 含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，涉及较多的知识，灵活运用这些知识是 答案第2页，共2页 关键 2.(1)见解析 (2)见解析 (3)ED=595 3 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理， 三角函数， (1)证明△OCD≌△OBD SAS,得到∠OCD=∠OBD,再根据CD是⊙O的切线， 得到∠OCD=∠OBD=90°，即可证明结论： (2)根据AB是O0的直径得到∠ACB=90°，证明△OBD一△ACB,得到OD=OB AB AC' 即OD=OC 20cA6, 进而可证OD·AC=2OC2; (3)根据三角函数求出AB的值，从而得到OC=OA=OB,证明△CEO一△BED,再 证明△AC0-△BCD,得到8C-瓷-0求出CD=B.游而求OD.再装 OD‖AC,证明△ACE一△ODE,得到 品%即DmP品 ED OD 即可得到ED 的长 【详解】(1)证明：.OD‖AC, ∴.∠COD=∠ACO,∠BOD=∠CAO, .∵AO=CO, ∴.∠CAO=∠ACO ∴.∠COD=∠BOD, .∵OC=OB,OD=OD, ∴.△OCD≌△OBD SAS, ∴.∠OCD=∠OBD, .CD是⊙O的切线， ∴.∠OCD=∠OBD=90°， .OB是⊙O的半径， ∴.BD是⊙O的切线： 答案第3页，共2页 (2)证明：OD‖AC, .∠BOD=∠BAC, :AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， ∴.∠ACB=∠OBD=90°， ∴.△OBD~△ACB, .OD=0B AB AC OD_OC ·20CAC OD·AC=20C2: (3)解：：AC=1,am∠FB0=∠ACB=90, .BC=2, .AB=VAC2+BC2=V5 0C=0A=0B=5 .∠OCB+∠BCD=∠OCB+∠ACO=90, ∴.∠BCD=∠ACO, 由(1)知∠OCD=∠OBD=90°， ∴.∠OCE=∠OBD=90, ∠E=∠E, .△CEO一△BED, ∴.∠EOC=∠EDB, ∴.△ACO一△BCD, ACOCOA1 BC CD BD 2' .CD=BD=5, ∴0D=BD2+0B2=5 OD‖AC, 答案第4页，共2页 .△ACE一△ODE, EC_AC 即ED-CD-AC ED OD ED OD ED-5_1 ED 2 解得：ED= 5V5 3 3.(1)见解析 @43含n 【分析】(1)由等边对等角得到∠OCD=∠ODC,由直径所对的圆周角是直角推出 ∠ADC=90°，则由直角三角形的性质和等边对等角推出∠EDC=∠ECD,根据切线 的性质得到∠OCD+∠ECD=90°，则∠ODE=∠ODC+∠EDC=90°，据此可证明 结论： (2)可证明OE是△ABC的中位线，推出∠OEC=∠A=30°，则OE=2OC=BC=4, 进而求出CE=23,DE=23,可证明∠COD=120°根据 S阴影=S四边形DoCE-S扇形coD求解即可. 【详解】(1)证明：如图所示，连接OD,CD .OC=OD ∴.∠OCD=∠ODC: BC是⊙O的直径， ∴.∠BDC=90°， ∴.∠ADC=180°-∠BDC=90°， .E为AC中点， .ED=EC, ∴.∠EDC=∠ECD: AC是⊙O的切线， .∠ACB=90, ∴.∠OCD+∠ECD=90°， ∴.∠ODE=∠ODC+∠EDC=90°， .OD⊥DE, 答案第5页，共2页 .OD是⊙O的半径， .DE是⊙O的切线： B E (2)解：如图所示，连接OE, :点O和点E分别是BC,AC的中点， .OE是△ABC的中位线， .OE‖AB, ∴.∠OEC=∠A=30°， ∴.OE=2OC=BC=4, cE=0E2-0C=23,DE=0E2-0D2=23 55aa=5ae+5ame×2x23+×2×23=43. .∠B=90°-∠A=60°， .∠COD=2∠B=120°， .S扇形coD 120元×22 360 3， ·S影=S边老D00E-S府50oD=43- 3n. B E 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求不规则图形的面积，三角形 中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等， 正确作出辅助线是解题的关键。 答案第6页，共2页 4.(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了圆的性质，圆与直线的位置关系的性质与判定，其中用到了三角 形的全等判定，及三角形中位线定理，对运算能力、推理能力、逻辑思维等方面的素养有 一定要求.解题的关键：正确的做出辅助线、识别模型. 【详解】(1)证明：连接OD、OE, .AC是⊙O的切线， .∠ACB=90°， 又，E为AC的中点，O为BC的中点， ∴.OE为△ABC的中位线， .OE‖AB, ∴.∠COE=∠OBD,∠EOD=∠ODB, .OB=OD, .∠OBD=∠ODB, .∠DOE=∠COE, 在△EOC和△EOD中， OC=OD ∠COE=∠DOE, EO=EO .△EOC≌△EOD(SAS), .∠ODE=∠OCE=90°， .OD⊥EF, 又OD为⊙O的半径， .EF为⊙O的切线， (2)连接CD, OD⊥EF, 答案第7页，共2页 ∴.∠BDF+∠BDO=90 又BC为⊙O的直径， .∠BDC=90° ∴.∠DBC+∠BCD=90, .ㄥOBD=∠ODB, ∴.∠BDF=∠BCD, ∴.△FBD~△FDC, 器 即FD=FBFC, FD=24,FB=16, ∴.FC=36, ∴.BC=36-16=20, .⊙O的半径为10. 5.(1)见解析 (2100 3 【分析】(1)连接AC,根据切线性质得出∠BAD=90°，根据圆周角定理得出 ACB=90°，根据直角三角形性质得出CE三AD=AE,根据等腰三角形的性质得出 ∠ECA=∠CAD,∠OAC=∠OCA,求出 ∠OCA+∠ECA=∠OAC+∠CAD=90°，即可得出结论： 根据切线的性质得出∠BAD=90°，解直角三角形得AC= =6=8 tan∠BAC3 4 根据勾股定理求出BA=AC2+BC-82+6=10'解直角三角形得出 AD=BA=10-40 tanD33,根据S△AcE=S△cED= SAACDS0CACO 21 =号SAC求出 结果即可 【详解】(1)证明：如图，连接AC, 答案第8页，共2页 B .·AD⊙O D 是 的切线， ∴.∠BAD=90°， ,AB为直径， ∴.∠ACB=90°， .∠ACD=90° .∵点E是AD的中点， CE=IAD-AE, ∴.∠ECA=∠CAD, .OA=OC, .∴.∠OAC=∠OCA, ∴.∠OCA+∠ECA=∠OAC+∠CAD=90°， ∴.OC⊥CE, OC为半径， ∴.CE是⊙O的切线. (2)解：.AD是⊙O的切线， ∴.∠BAD=90°， .∠D+∠B=90°， 由(1)得：∠ACB=∠ACD=90°， ∴∠BAC+∠B=90°， .∠BAC=∠D, tan∠BAC=BC AC BC ∴.AC= _6=8 tan∠BAC3 4 ∴.BA=AC2+BC2=82+62=10 答案第9页，共2页 .'BO=OA=OC=5, .·∠BAD=90°， tan D=BA AD' AD=BA=10_40 tan D 33, 4 AE=ED,BO=OA, ∴.SAACE=SACED= 1 S AACD'SA AOC=S△BcO月 S阳t形AOCEACE十SAA0C2 AACD24AC8 =1x1xAB×AD=100 2 22 3 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，解直角三角形的相关计算，圆周角定理，勾 股定理，三角形面积计算，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质， 6.(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】(1)连接OD,OC,证明△DOP≌△COP,得出∠PDO=∠PCO=90°， 根据切线的判定推出即可： (2)根据圆周角定理得出∠ADB=90°，在求出∠A=∠ADO,∠A=∠PDB,然后 求出△PDB一△PAD,得出 PDPA 即可得出结论： PB PD' (③》设AB,CD交于点M根据DC⊥AB得出anA=船分根据相似得出的比例式 求得PA,PB,利用PA-PB即可求出答案. 【详解】(1)证明：连接OD,OC, D B .PC是⊙O的切线， 答案第10页，共2页 .∠PC0=90, .AB⊥CD,AB是直径， ∴.BD=BC, ∴.∠DOP=∠COP, 在△DOP和△COP中， DO=CO ∠DOP=∠COF OP=OP .∴.△DOP≌△COPSAS, ∴.∠PDO=∠PCO=90, D在O0上， ∴.PD是⊙O的切线： (2)证明：，AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90, .∠PD0=90 .∴.∠ADO=∠PDB=90°-∠BDO, .OA=OD ∴.∠A=∠ADO, ∴.∠A=∠PDB, :∠BPD=∠DPA, ∴.△PDB一△PAD, 0 PD_PA ∴.PD=PB·PA; (3)解：设AB,CD交于点M, D B 答案第11页，共2页 .·DC⊥AB, ∴.∠ADB=∠DMB=90°， .∴.∠A+∠DBM=90°，∠CDB+∠DBM=90°， ∴.∠A=∠CDB, .AD=2BD .'tan A=BD=1 AD2' .△PDB一△PAD, PB_PD_BD_1 PD PA AD2: PD=4, PB=2,PA=8, ∴.AB=PA-PB=8-2=6 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，圆周 角定理，相似三角形的性质和判定的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅 助线是解题的关键。 7.(1)见解析 (2)123-4π 【分析】(1)如图，连接OD、CD、OE,根据切线的性质得到AC⊥OC,根据圆周 角定理得到∠CDB=90°，由点E是AC的中点，得到DE=CE=AE=号AC,根据全等 2 三角形的性质得到∠ODE=∠ACB=90°，根据切线的判定定理得到结论： (2)根据三角形的内角和定理得到∠B=90°-∠A=60°，根据圆周角定理得到 ∠COD=120°.求得OB=OC=23,根据三角形的中位线性质和平行线的性质得到 ∠OEC=∠A=30°，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得到 CE=0E2-OC=6'根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论. 【详解】(1)证明：如图，连接OD、CD、OE, 答案第12页，共2页 B D E :AC与⊙O相切于点C, .AC⊥OC, ∴.∠ACB=90°， .BC是⊙O的直径， .∠CDB=90, .∠ADC=180°-∠CDB=90°， :点E是AC的中点， :.DE=CE=AE=1AC OC=OD,OE=OE, .△OCE≌△ODE SSS, .∠ODE=∠ACB=90°，则DE⊥OD, .DE经过⊙O的半径OD的外端， DE是⊙O的切线： (2)解：，∠ACB=90°，∠A=30°， ∠B=90°-∠A=60°， ∴.∠C0D=2∠B=2×60°=120°， BC=43, .OB=0C=2V3, .EA=EC,OB=OC, ∴.OE是△ABC的中位线， B D E .OE‖AB, 答案第13页，共2页 ∴.∠OEC=∠A=30°， .OE=20C=43, ·CE=0E2-0C2=6' 5me-=5om号×23x6=63. 六S形D0cE=SA0cE+SA00E=123 S扇形D0 120π×23：4 360 六S阴影=S得边形pocE-S府卷Doc=123-4T 【点睛】此题是圆的综合题，重点考查圆的切线的判定与性质、圆周角定理、三角形的中 位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形中30°角所对的直角边 等于斜边一半、勾股定理的应用、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地作 出所需要的辅助线是解题的关键. 8.(1)见解析 (2)①见解析；②3 【分析】(1)尺规作图作一个角等于已知角，依据的是全等三角形的判定定理，通过圆规 截取等长线段构造全等三角形来实现角的相等， (2)①过点O作OA⊥PQ于点A,根据角平分线的性质可得OA=OB,即可解答： 根据sin∠BDP名，可得PD=10,BD=8,再由切线长定理可得PA=PB=6,然 根据△DAO一△DPB,即可解答. 【详解】(1)解：图形如图所示： (2)①证明：如图，过点O作OA⊥PQ于点A. 答案第14页，共2页 .PB是⊙O的切线， .OB⊥BP, :∠OPQ=∠OPB, ∴.OA=OB, ∴.PQ是⊙O的切线： ②解：.'sin∠BDP= PB 3 PD 5' PD-3PB=10:BD-VPD-PB= PB,PQ是⊙O的切线， ..PA=PB=6, ∴.AD=PD-PA=4, 在△DAO和△DPB中， .∠DAO=∠DPB=90°，∠ADO=∠BDP, .△DAO~△DBP, 8路 OA=DA.PB-4x6=3. DB 8 ∴.⊙O的半径为3. 【点睛】本题主要考查尺规作图、切线的性质与判定、切线长定理、三角函数的定义、勾 股定理以及相似三角形的判定与性质.解题的关键在于熟练运用这些知识，利用角平分线 性质判断直线与圆的位置关系，借助三角函数和相似三角形对应边成比例来求解线段长度. 9.(1)证明见解答 (2)R3 【分析】(1)根据SAS证明△ODP≌△OCP,则∠ODP=∠OCP=90°，即可解答； (2)根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和勾股定理即可解答， 【详解】(1)证明：，PC为⊙O的切线，OC是半径， ∴.OC⊥CP, ∴.∠OCP=90°， .OG⊥CD,OC=OD, 答案第15页，共2页 .∠COP=∠DOP, OP=OP, ∴.△ODP≌△OCP(SAS), ∴.∠ODP=∠OCP=90°， ∴.OD⊥PD ,OD是半径， ∴.PD是⊙O的切线： (2)解：.OB=OC,∠CBA=46°， ∴.∠OCB=∠CBA=46°， ∴.∠B0C=180°-46°-46°=88°， 同理得：∠AOD=32°， ∴.∠DOP=∠COP=30°， RtAOCP，中PC-OP, 设CP=X,则OP=2x, 由勾股定理得：X+ =(2x)2, .x= 3 2 (负值舍)， ..OP=3. 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，垂径定理，等腰三角 形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题 型。 10.(1)见解析 (2)OE=8 3)163-16 【分析】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，全等三角 形的判定与性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算等知识，熟练掌握切线的判定与性 质是解题的关键， 答案第16页，共2页 (1)连接0C,如图，根据垂径定理由F为BC的中点，得到OE为BC的垂直平分线，所 以EB=EC,证明△OCE≌△OBE(SSS),得出∠OBE=∠OCE=90°，根据切线的 判定定理得BE与⊙O相切： 2)设⊙0的半径为x,OD=X2,OB=X,得出x-2气)X,解得X三4，求出0E的 长 (3)由扇形的面积公式可得出答案. 【详解】(1)证明：如图，连接OC, CE为切线， .OC⊥CE, .∠OCE=90°， :F为BC的中点 ∴.OD垂直平分BC, .EC=EB, 在△OCE和△OBE中， OC=OB OE=OE EC=EB ∴△OCE≌△OBE SSS, ∴.∠OBE=∠OCE=90°， ∴.OB⊥BE, .OB是⊙O的半径， BE是⊙O的切线： (2)解：设⊙O的半径为X,则OD=OF-DF=x-2,OB=x, 答案第17页，共2页 在Rt△OBD中，∠EOB=60°， :.OD=1BO, x-2-x 解得x=4, .OD=2,OB=4, .∠EOB=60°， ∴.∠OEB=30, ,∠OBE=90°， ..OE=20B=8; (3)解：BOE=60°，∠OBE=90°， ∴.在Rt△OBE中，BE=V3OB=4V3, ∴S阴影=S四边形0BEC-S扇形0BC=2 ×4×4号3-120×mx4=163-16n 2 360 3 11.(1)证明见解析 a31 26 )DF的最小值5-1 【分析】本题考查切线的性质与判定，扇形面积计算，三角形内心： (1)连接OE,证明△AOE≌△AOCSAS,结合⊙O的切线AC,得到 ∠AEO=∠ACO=90°，即可得到AB是⊙O的切线： (2)由∠B=30°，得到OB=2OE,∠BOE=60°，BE=3OE,结合BD=1,得到 OD=OE=1,BE=V3OE=3,然后根据图中阴影部分面积SA BOE-S扇形OE计算即可； (3)延长EF交⊙O于M,连接OM,取OM中点N,连接FN,DN,由点I是△DEC的 内心，得到∠DEM=<DEC=45,南F01EF,得到∠0FM=90,根据斜边中 线的性质得到FN=OM=1,即可得到DF≥DN-FN=5-1,当F在DN上时， DF=V5-1最小. 【详解】(1)解：连接OE, 答案第18页，共2页 E 图1 .OE=OD. ∴.∠OED=∠ODE, :DE‖AO .∠OED=∠AOE,∠ODE=∠AOC, ∴.∠AOE=∠AOC, ∴△AOE≌△AOC SAS, .∠AEO=∠ACO, ⊙O的切线AC, ∴.∠AEO=∠ACO=90°， ∴.AB是⊙O的切线： (2)解：∠AE0=∠ACO=90°，∠B=30°， ∴.OB=2OE,∠BOE=60°，BE=V3OE, 设半径OD=OE=r,则OB=BD+OE=BD+r, BD=1, ∴.r+1=2r, 解得r=1, ..OD=OE=1,BE=30E=3, 六图中刚影都分面积为Sa一5e方×1×3-60 360 ×nx12=31 26n: (3)解：延长EF交⊙O于M,连接OM,取OM中点N,连接FN,DN, 答案第19页，共2页 E B D C M 图2 直径CD, ∴.∠DEC=90°. .点I是△DEC的内心， ∴，EF平分∠DEC=90°， ∠DEM=3<DEC=45, ∴.∠DOM=2∠DEM=90, .⊙O的半径为2， ..OD=OM=2, OM中点N, ON-MN-OM-1. ∴DN=0D2+0N2=12+2=51 .FO⊥EF, ∴.∠OFM=90°， :.FN-OM=1. .DF≥DN-FN=V5-1, .当F在DN上时，DF=V5-1最小. 12.(1)证明过程见解析； (2)2,阴影部分的面积为2- 2 (3)他说得正确，理由见解析： 答案第20页，共2页 (④y与x之间满足的函数关系为y=8 【分析】(1)由切线的性质得到∠ADO=90°.再证明△AOD≌△AOESSS,得到 ∠AEO=∠ADO=90°，即OE⊥AC.则可证得结论： (2)证明∠EOC=∠C=∠AOE=∠OAC=45°，得到EC=OE=AE=AC=2,即 2 可得OO的半径，再根据阴影部分的面积=S△oc-S扇形oM,列式计算即可； (3)由切线长定理得到GD=GF,HF=HE.再证明△GOD≌△GOF, △HOF≌△HOE,得到∠DOG=∠FOG,∠FOH=∠EOH,则 ∠GOH=∠FOG+∠FOH-号<D0B.证明∠DOE=90°，则 ∠G01-号×90=450，即可判断他说得是香正确： (4)由等腰直角三角形的性质可得，DG=GF=X-2,FH=EH=y-2,则 GH=FG+FH=x+y-4,根据勾股定理，即可得y与x之间满足的函数关系. 【详解】(1)证明：如图，连接OD,OE,OA, ⊙O与AB相切，切点为D, ∴.∠ADO=90°」 在△AOD与△AOE中， AD-AE OD=OE AO=AO .△AOD≌△AOE SSS, ∴.∠AEO=∠ADO=90°，即OE⊥AC. 又OE是半径， ∴.AC是⊙O的切线. 答案第21页，共2页 H E M (2)解：，∠A=90°，AB=AC=4, .∠C=45°， .△AOD≌△AOE, :∠OAD=∠OAE=号∠BAC=45O, OE⊥AC, ∴.∠EOC=∠C=∠AOE=∠OAC=45°， :.EC=OE=AE=1AC=2, Γ2 .⊙O的半径为2， 故答案为：2： ∴.阴影部分的面积为SAOEC-S扇形OEM ×2×2-45mx2=2-” 2 360 :阴影部分的面积为2-受 (3)解：他说得正确，理由如下： 如图，连接OF, .GD,GF,HF,HE都与⊙O相切， ∴.GD=GF,HF=HE OD=OF=OE,OG=OG,OH=OH. △GOD≌△GOF,△HOF≌△HOE, ∴.∠DOG=∠FOG,∠FOH=∠EOH, :∠GOH=∠FOG+∠FOH= ∠DOE. .∠A=∠ADO=∠AEO=90°， 答案第22页，共2页 ∴.∠DOE=90°， :∠G0H=×90=45°，即∠G0H的度数不变 2 (4)解：∠A=90°，AB=AC=4, .∠B=∠C=45°， ⊙O与AB相切，切点为D, ∴.∠ODB=90°， △ODB为等腰直角三角形， ∴OD=BD, 设BG=x(2<x<4),CH=y, 由(3)知，DG=GF,FH=EH,OE=EC=2, ∴.OD=BD=2, .'DG=GF=x-2,FH=EH=y-2, .'.GH=FG+FH=x+y-4, AG=AB-BG,AH=AC-CH, .AG=4-x,AH=4-y, .∠A=90°， ..AG2+AH2=GH2, 4-x2+4-y2=x+y-42 ..xy=8 ·y与x之间满足的函数关系为y=8 X 答案第23页，共2页 H 【点睛】本题考查圆的性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理与性质定理，等腰直角三 角形的判定与性质，扇形的面积公式，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾 股定理。 13.(1)证明见解析 233 693-3n 8 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积公式，解直角三 角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识. (1)连接OC,可证得△COD≌△AOD,从而∠DAO=∠DCO,进一步得出结果； 可推出∠CD0)∠2，结合∠CD0+∠2=90°得出∠CD0=30°，进而得1 果 《3)可结合（①）(2)得出∠3=∠2=2∠CD0=60°，0A=0C号0D=3 2 AD=CD=3 2 从而求得△AOD和扇形AOF的面积，进而得出结果， 【详解】(1)证明：如图1，连接OC, B 0k2 3/E ∴.OB=OC 图1 ∴.∠B=∠1， BC‖OD, 答案第24页，共2页 .∠B=∠3，∠1=∠2， .∠2=∠3， OC=OA,OD=OD ∴.△COD≌△AOD(SAS), ∴.∠DAO=∠DCO, ,CD是⊙O的切线， ∴.∠DC0=90°， .∠DAO=90°， ∴.OA⊥AD, ,点A在⊙O上， .AD是⊙O的切线： (2)解：如图1， 由(1)知：∠B=∠1=∠2， :∠CDO=}∠B, 2 4cD0-吃42， .∠CDO+∠2=90 ∴.∠CD0=30°， .∠DC0=90°， CD=0D·c0s∠CD0=3c0530=33 2 (3)如图1，设OD交⊙O于F,由(1)(2)知， 3=∠2=2∠CD0=60,0A=0C=0D3AD-CD=33, S6A0D=)OA~AD=1x3×33_93 2228 3 3 S扇形AOF π 360 8 二S=5aA0D-S#5A0e 93-3π 8 14.(1)见解析：(2)2V3 答案第25页，共2页 【分析】(1)由切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，再由等边对等角得到 ∠OAB=∠OBA,则可证明∠PAB=∠PBA,进而证明PA=PB (2)先证明∠A0C+∠0CA=90°，由切线的性质得到 ∠ACD+∠0CA=∠0CD=90,则∠ACD=之A0C,由圆周角定理得到 ∠B=2∠A0C,则∠ACD=∠B,由Y行线的性质得到∠CAD=∠ACB,则可证明 ∠ACD=∠CAD,得到AD=CD,进而可证明△ACD是等边三角形，△ABC是等边三 角形，则四边形ABCD是菱形，作CE⊥AD于点E,则∠AEC=90°， AE=DE=AD=1,求CE=3,则Sgam=AD·CE=23. 【详解】(1)证明：如图1，连接OA、OB、AB, .PAPB⊙O AB B 图1 ,是 的两条切线，切点分别为，， ∴.PA⊥OA,PB⊥OB, ∴.∠OAP=∠OBP=90, OA=OB, ∴.∠OAB=∠OBA, ∴.∠OAP-∠OAB=∠OBP-∠OBA, ∴.∠PAB=∠PBA, ∴.PA=PB. (2)解：如图2，连接OA、OC,则OA=OC, 答案第26页，共2页 ∴.∠OCA=∠OAC 图2 .∴.∠AOC+2∠OCA=180°， 1 2∠A0C+∠0CA=90, ,DC与⊙O相切于点C, .DC⊥OC .∴.∠ACD+∠OCA=∠OCD=90°， ACD=号A0C, :∠B∠A0C, ∴.∠ACD=∠B, :AD‖BC, ∴.∠CAD=∠ACB, ,∵AB=AC, ∴.∠B=∠ACB, ∴.∠ACD=∠CAD, ∴AD=CD, ∠D=60°， ∴.△ACD是等边三角形， ∴.∠CAD=∠ACB=60°， ∴.△ABC是等边三角形， ∴.AB=CB=AC=AD=CD=2, ∴.四边形ABCD是菱形， 作CE⊥AD于点E,则∠AEC=S0,AE=DE=号AD=1, ..CE=AC2-AE2=22-12=3 答案第27页，共2页 ∴.S四边形ABCD=AD·CE=2×3=23' ∴.四边形ABCD的面积是23. 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，等边三角形的性质与判定，菱形的性 质与判定，勾股定理，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键 15.(1)证明见解析 Rl8 5 3 25 【分析】(1)根据平行四边形的性质得AD‖OC,继而得到∠1=∠2，∠A=∠3，证 明△EOC≌△BOC SAS,得∠CEO=∠CBO,结合切线的性质得 ∠CEO=∠CBO=90°，即可得证： (2)如图，过点E作EF⊥AB于点F,延长FE交CD的延长线于点M,连接BE交OC于 点H,限据an∠C0B-登0B-AD-之×6=3，得BC=0Bm∠C0B=4. 0C-0B+BC-5.cos∠B0c-82是0H=-0BQos∠Boc-号 证明 △BOH-△BAE,得OH=B0 A正朗即可得解 (3)由2)知：DE=AD-AE=名证明△MED-△FEA,符PE-E 继而得到 AE FE ME=28 25 最后由sin∠DCE=ME即可. CE 【详解】(1)证明：如图，连接OE, D F B .四边形AOCD是平行四边形， 答案第28页，共2页 .AD OC, .∠1=∠2，∠A=∠3， .OE=OA, .∠1=∠A, .∠2=∠3， 在△EOC和△BOC中， OE=OB ∠2=∠3， OC=OC ∴.△EOC≌△BOC SAS, ∴.∠CEO=∠CBO,CE=CB :BC是⊙O的切线， .∠CBO=90°， .∠CEO=∠CBO=90°， .OE是⊙O的半径， .EC是⊙O的切线： (2)解：如图，过点E作EF⊥AB于点F,延长FE交CD的延长线于点M,连接BE交 OC于点H, 四边形AOCD是平行四边形， .AB‖DC, .FM⊥CM, gCBO=90°，tan∠COB=,AB=6 0BAB=x6=3. :.BC=OB.tan∠COB=3×4=4, 3 0C=0B2+BC2=32+42=5' c0s∠B0C=OB=3 0C51 AB为直径， 答案第29页，共2页 ∠AEB=90°，即BE⊥AD, .四边形AOCD为平行四边形， .AD‖OC,AD=OC=5, .BH⊥OC, 在Rt△OHB中，OH=OB·cOs∠BOC=3×3-9, 55 又O为AB的中点，OCAD, ∴.∠BOH=∠BAE,∠BHO=∠BEA, ∴.△BOH一△BAE, .OH_BO AE BA :.OH=-AE, 2 AE=2×OH=2x9=18 55 MD 1 B (3)由(2)知：DE=AD-AE=5-18-7 5-51 .∠CMF=∠MFB=∠CBF=90°， ∴.四边形BCMF是矩形， ..FM=BC=4, 在口AOCD中，AB‖DC, .∠MDE=∠A, .∠MED=∠FEA, ∴△MED~△FEA, 服架 答案第30页，共2页 7-5 -ME 4-ME 5 解得：ME= 28 25 由(1)(2)知，CE=BC=4, sin∠DCE=ME=7 CE 25 【点睛】本题考查切线的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，矩形的判定和性质，平 行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边对等角，解 直角三角形等知识点.掌握切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质及锐角三角函数 的定义是解题的关键. 答案第31页，共2页