2026年河南中考数学专题练(七) 圆的相关证明与计算-【领扬中考】2026年河南省中考必刷卷数学

262026年河南中考数学专思 类型一与圆有关的证明与计算 1.(1)证明：如图，连接0C, BC为⊙0的切线，C为切点，.∠OCB=90 .CA⊥OB,O为圆心，.OB是AC的垂直平分线，BC=BA BA=BC, 在△OAB和△OCB中{OA=OC,.△OAB≌△OCB(SSS), OB=OB, ∴.∠OAB=∠OCB=90°，.OA⊥AB OA为⊙0的半径，.BA为⊙O的切线 (2)解：：BC为⊙0的切线，.OC⊥BE, 0A=0C=3,0E=5,.CE=√0E2-0C2=4. .∠OAB=∠OCE=90°，∠OEC=∠BEA, △0C△BA,爱-8635=是解得AB-6 2.(1)解：AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. 第 AB=AB,.LACB=LADB,.LABC=LADB. 26 ∠BMB=∠DMB,△M8EAM0B号-怎A8=A0:AE 套 AE=2,ED=4,.AD=2+4=6,.AB2=2×6=12. .AB>0,∴.AB=2W3. (2)证明：选择条件1：AC=CD, AC=CD,∠ABC=∠CBD. .AB=AC,.∠ABC=∠ACB,∠ACB=∠CBD,AC∥BD. 选择条件2：BD是⊙0的直径，如图1， 图1 由圆周角定理得∠C=∠D. :BD是⊙0的直径，∠BAD=90. AB=AC,∠ABC=∠C=LD,△BME∽△DAB,A=4S DAAB' BA 2 六2+4-8AB=25, .BE=√AB2+AE=√(23)2+22=4， ∴.BE=ED=4,∴.∠CBD=∠D=∠C,∴.AC∥BD 选择条件3：∠ACB=45°，如图2， 图2 .·AB=AC,.∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=90°， .BC是⊙0的直径， 要使AC∥BD,则需AD是⊙O的直径，题意没有说明 故选择条件3：∠ACB=45°不能证明AC∥BD. 答案 练（七）：圆的相关证明与计算 类型二以实际情境为背景的圆问题 3.(1)证明：如图，连接0D. D CD与⊙O相切于点D,∴.∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90° AB为⊙0的直径，.∠ADB=90°，即∠A+∠OBD=90° ,OB=OD,.∠OBD=∠ODB,.∠BDC=∠A. (2)解：由(1)知∠BDC=∠A,又：∠C=∠C, △c80△cm积器即cm=64,B .⊙0的直径AB=1,CA=CB+1,CD2=6,∴.(CB+1)·CB=6, 解得CB=2,CB=-3(舍去). .BC的长度为2米. 4.(1)证明：如图1，过点P作PM⊥OC于点M,PN⊥AB于点N, DN B 图1 则∠PM0=∠PND=90°， 又.·∠OCB=90°，.四边形CNPM为矩形 DP为⊙0的切线，.∠OPD=90°. ,∠OPM+∠MPD=∠MPD+∠DPN, ∴.∠OPM=∠DPN. 又.OP=PD,∠PMO=∠PND=90°，∴.△PMO≌△PND(AAS), .PM=PN,即此时点P处于“黄金位置” (2)解：当P点运动到OC左侧，且EP与⊙0相切时， 如图2，过点P作PG⊥OC于点G,PF⊥AB于点F,连接OE, 3 -R FCE 图2 ,0C=70,CE=10,∴.0E2=0C2+CE2=4900+100=5000. EP与⊙0相切，.∠0PE=90°，.PE2=0E2-0P2=5000- 4000=1000,.PE=10/10. 同理∠OPG=∠EPF,∠PG0=∠PFE,∴.△POG∽△PEF, PF=PE=2FC=PG=2PE. 、PGOP 在Rt△PEF中，PF2+(2PF+10)2=1000. 解得PF=10(负值已舍去)，点P到AB的距离为10cm 当P点运动到OC右侧，且EP与⊙O相切时， 如图3，过点P作PG⊥OC于点G,PF⊥AB于点F,连接OE 0 G P A CE R 图3 .0C=70,CE=10,.0E2=0C2+CE2=4900+100=5000. :EP与⊙0相切，∴.∠0PE=90°， .PE2=0E2-0P2=5000-4000=1000,.PE=10√10， 同理∠OPG=∠EPF,∠PG0=∠PFE, -52 APOGAPEGPGPF, ,EF是⊙O的切线，∴.OF⊥EF ∠AEF=60,∠EHK=90°， 在Rt△PEF中，PF2+(2PF-10)2=1000, ∴.∠K=30°，∴.0K=20F=30cm, 解得PF=18(负值已舍去)，点P到AB的距离为18cm .KH=0K+0H=30+212=242cm. 综上，点P到AB的距离为10cm或18cm. 类型三圆与解三角形结合 在△B脉中，m60- 5.解：(1)如图1，设优弧CD所在圆的圆心为0， KH-242-2423 过点O作CD的垂线，分别交CD,AB于点G,H,连接OD, .EH=an60° -cm, 3 3 -m-=(2阳5-9m 6.解：(1)将球传给甲. 理由如下：如图，延长NA与圆交于点C,连接CM, 图1 则GH=CB=2m=200cm,0H=2.12m=212cm, 0G=0H-GH=212-200=12cm, :LC与LB同对MN,.LC=LB. 由垂径定理可知0G平分CD,DG=2CD=9cm, .·∠MAN=∠C+∠CMA, ∴.∠MAN>∠C,∴.∠MAN>∠B, 在Rt△0DG中，由勾股定理得0D=√0G2+DG2=√122+92=15cm, .将球传给甲. ∴.优弧CD所在圆的半径为15cm. (2)如图，过点A作AD⊥MN于点D,设AD为xm, (2)如图2，连接OF,延长G0,EF交于点K 在Rt△ADN中，∠MNA=45°， K .ND =AD =x m,..MD=(6-x)m. 在R△ADM中，tan6O°=MD' 第 MD=七 套 六后+=6，解得38 609 答：点A到球门MW的距离约为3.8m 图2 272026年河南中考数学专题练（八）：反比例函数综合题 类型一反比例函数与一次函数相结合 当x1>x2时，n的取值范围为0<n<2或n<-2. 1.解：(1)点A(-3,2)在双曲线y=m上， 2.解：(1)：A(1,4)k=4,反比例函数解析式为了=号 ·m=-3×2=-6,“.反比例函数的解析式为y=-6 把B(m,-1)代入反比例函数，得m=-4. 把A(1,4),B(-4,-1)代入y=2x+b, .点A(-3,2)在直线y=kx上，.2=-3k,解得k=- 3 得+6=4， k2=1, 1-4h2+b=-1,16=3, 一次函数解析式为y=花+3 :直线0A的解析式为y=-3x 2 (2)如图，由(1)得C(0,3),又.A(1,4),B(-4,-1), (2)对于y=-6 SAOn=SAA0G+SAmoc=3x1+3x4=15 2 2 当x=-1时，y=6,当x=-2时，y=3,当x=-6时，y=1, P A 在坐标系中画出对应的点，然后画出函数图象，再根据函数的对称 A(1,4) 性画出函数在第四象限的图象，如图所示： R(m (3)由图象可得，不等式x+b>的解集为-4<x<0或x>1. 类型二反比例函数与几何图形相结合 3解：(1)把点B(2,5)代入y=年，得k=2×5=25 (3)由(2)的图象可知， ·反比例函数的解析式是y=2,3 答案-5326 2026年河南中考数学专题练（七） 圆的相关证明与计算 (参考答案详见答案册P52) 类型一与圆有关的证明与计算 类型二以实际情境为背景的圆问题 1.如图，BC为⊙0的切线，C为切点，过点C作CA⊥OB,垂3.图1是清明上河园中供人们游玩的中国古代的马车，彰 足为D,交⊙0于点A,连接BA,延长A0与BC的延长线 显了古代人们的智慧.图2是马车的侧面示意图，AC为 交于点E. 过圆心O的车架，且AC与⊙0交于点B,地面CD与车轮 ⊙O相切于点D,连接AD,BD. D (1)求证：BA为⊙0的切线； 图1 图2 (2)若OA=3,0E=5,求线段BA的长. (1)求证：∠BDC=∠A. (2)小李测出车轮的直径为1米，CD为6米，求BC的 长度 2.如图，A,B,C,D是⊙0上的四个点，AB=AC,AD交BC于 点E,AE=2,ED=4. 4.物理实验课上，在做过单摆实验后，小明想到“数学来源 于生活”，于是从中抽象出了一个数学平面图形：如图1， (1)求AB的长； 直线AB为水平桌面，线段OC为支架(OC⊥AB),虚线为 (2)若要使AC∥BD,需要添加一个条件.请从“条件1： 铅锤P的运动轨迹.现根据图形设计出了以下两个问题， AC=CD”,“条件2：BD是⊙0的直径"”，“条件3： ∠ACB=45”中选择添加一个你认为正确的条件，并 写出相应的证明过程。 图1 图2 CE 图3 备用图 数学26一1 (1)若点P到OC和AB的距离相等，则称此时点P的位置6.为了提高中考体育加试足球项日成绩，加强备战意识.某 为“黄金位置”.过点P作⊙0的切线交AB于点D,如 校举行了足球比赛，在其中一场比赛中，如图，一名中场 图2，若OP=PD,证明此时点P处于“黄金位置”； 队员带球奔向对方球门，同时，同队的甲、乙两个前锋分 (2)已知0C=70cm,0P=20√10cm,在射线CB上有 别冲到了A点和B点（点B在MW所对的优弧上，点A在 点E,且CE=10cm,连接EP,如图3，在点P运动的 MN所对优弧内) 过程中，当EP与⊙O相切时，求点P到AB的距离， M (1)仅从射门角度越大，进球机会就越大考虑，该中场球 员将球传给甲还是乙？为什么？（运用所学的数学知 识写出理由) 类型三圆与解三角形结合 (2)若∠AMN=60°，∠MNA=45°，MN=6m.求点A到球门 5.如图是水池边的一块警示牌的侧面示意图，矩形铁架 MN的距离.（结果精确到0.1m.参考数据3≈1.73） ABCD垂直固定在水平地面上，铁架上面是一个边缘为圆 弧形的塑料面板.已知CD=18cm,CB=2m,优弧CD所 在圆的圆心与AB的距离为2.12m,小龙在水池对面的 点E处用测角仪测得塑料面板点F处的仰角为60°（注： 此时视线与圆弧形塑料面板相切，且与矩形ABCD在同 一平面内，点E,A,B在同一水平线上) F/水深 危险 D E人609 7nn入x7777 (1)求优弧CD所在圆的半径； (2)求AE的长度.（结果保留根号） 数学26一2