11. 1 三角形内角和定理 培优作业 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

**基本信息** 本同步练按“夯基础-练能力”分层，基础题巩固三角形内角和与外角性质，能力题深化综合应用，适配新授课“基础巩固+能力提升”需求，培养推理意识与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|内角和计算、外角性质等单一知识点|选择、填空为主，结合生活情境（如《周礼·考工记》问题），强化概念理解| |练能力|辅助线构造、折叠问题、多知识点综合应用|阅读材料题、探究题（如证明内角和的辅助线方法），提升推理与创新意识|

第十一章三角形的证明及其应用 1 三角形内角和定理 第1课时 三角形的内角和 夯基础 1.已知三角形的一个内角是 50°，另两个内角的度数比为2：3，则最大内角的度数是 ( ) A.75° B.78° C.80° D.85° 2.在△ABC 中,∠B-∠C=60°,且∠B 是∠C 的5 倍,那么该三角形是 ( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 3.如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= ( ) A.360° B.540° C.720° D.900° 4.如图,E,F 分别是△ABC 的边AB,AC 上的点,D 是点 A 上方的一点,若∠B+∠C=60°,∠D=70°,则∠1+∠2的度数为 ( ) A.50° B.60° C.65° D.70° 5.将一副普通的直角三角尺 ADE 和ABC 按如图放置,点 D 恰好落在BC 边上,三角尺中∠ABC=60°,较长的边AE∥BC,则∠FAD 的度数是 ( ) A.30° B.25° C.10° D.15° 6.如图,AD∥BC,∠DAE=3∠EBF,∠EBF=27°,G 是AB上一点.若∠AGF=95°,∠BAF=34°,甲、乙两位同学分别给出了下面的结论，下列判断正确的是 ( ) 甲:∠AFB=81°; 乙:BE∥GF. A.只有甲的正确 B.只有乙的正确 C.两人的都正确 D.两人的都不正确 7.在△ABC 中,如果∠A 是∠B 的两倍,且∠C 比∠A 大 30°.那么△ABC 是 三角形.(按角分类， 8.《周礼·考工记》中记载有：“…半矩谓之宣，一宣有半谓之橘(zhú)…”意思是：“…直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作橘…”即：1宣= 矩,1 橘=1 宣(其中,1矩=90°). 问题：图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩,∠B=1橘,则∠C= 度. 9.一副直角三角板按如图所示放置,点 A 在 DE 上,点 F 在 BC 上,∠DFE=45°,若∠EAB=35°,则∠DFC= . 10.在△ABC 中,AD 为边 BC 上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC 是 度. 11.如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,∠A =∠ABE,∠CDB=∠CBD,BE 与 CD 交于点F. (1)若 ∠A = 40°, ∠ACB = 70°,则∠BFD= °; (2)若∠ABC =∠ACB,求证:∠BDF =∠BFD. 练能力 12.如图,在△ABC 中,∠ABC,∠ACB 的角平分线交于点 P，将△ABC 沿 DE 折叠使得点A 与点 P 重合,若∠1+∠2=80°,则∠BPC 的度数是 ( ) A.100° B.110° C.120° D.130° 13.【阅读材料】为了说明“三角形的内角和是180°”，小明给出了如图所示的四种作辅助线的方法. 方法①:过△ABC 的顶点C 作EF∥AB; 方法②:点 P 在△ABC 的边 BC 上,过点P 作PE∥AB 交AC 于点E,PF∥AC 交AB 于点F; 方法③:点 P 在△ABC 的内部,过点 P 作EF∥AB 交AC,BC 于点 E,F,DG∥AC交AB,BC 于点 D,G,MN∥BC 交AC,AB 于点M,N; 方法④:点 P 在△ABC 的外部,过点 P 作EF∥AB 交AC,BC 于点E,F,DP∥AC交BC 于点D,MN∥BC. 【解答问题】 (1)小明的四种作辅助线的方法中，能说明“三角形的内角和是 180°”的是 ；(填序号) (2)请从你在(1)中填写的方法里选择一种方法，说明“三角形的内角和是 180°”. 第2课时 三角形的外角 夯基础 1. 某一天，爸爸带着小刚路过建筑工地，看见有如图所示的人字架.爸爸说：“小刚，我考考你，这个人字架的夹角∠1=130°，你能求出∠3比∠2 大多少吗?”小刚马上得到了正确的答案，他的答案是 ( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 2.将一副三角 板 按照如图方式 摆放，则∠FBA 的度数为 ( ) A.10° B.15° C.20° D.25° 3. 将一个直尺和一个三角尺按如图叠放，三角尺的直角顶点 B 落在直尺下边缘 PQ 上，直尺上边缘 MN 经过三角尺的顶点 A 和 BC 边上一点 D，若∠C=30°,∠ABP =35°,则∠CDN 的度数为 ( ) A.65° B.55° C.45° D.35° 4.如图,在△ABC 中,在 BC 延长线上取点D，E，连接AD，AE，则下列式子中正确的是( ) A.∠ACB>∠ACD B.∠ACB>∠1+∠2+∠3 C.∠ACB>∠2+∠3 D.以上都对 5.将一副三角尺按如图摆放,点 D 在 AC 上,延长 EA 交 CB 的延长线于点 F, ∠ABC=∠ADE=90°, ∠C=30°,∠E=45°,则∠F 的度数是 ( ) A.10° B.15° C.20° D.25° 6.如图,线段 DG,EM,FN两两相交于B,C,A 三点,则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N 的度数是 ( ) A.180° B.360° C.540° D.720° 7.如图,已知AB∥CD,点E 为AB 上方一点,FB,HG 分别为∠EFG,∠EHD 的角平分线,若∠E +2∠G=135°,则∠EFG 的度数为 ( ) A.85° B.90° C.95° D.100° 8.如图,在△ABC 中,∠B=25°,延长 BC 至点 E,过点 E 作 AC的垂线 ED,垂足为 O,且∠E = 40°,则∠A= . 9.如图,已知∠A=60°,∠B = 40°,∠C = 30°, 则∠D +∠E 等于 . 10.实验与探究 某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题.现有一张三角形纸片 ABC，点M,N 分别是边AC,BC 上的点,若沿直线 MN 折叠△ABC,点 C 的对应点为点 D. (1)若如图 1所示,点 D 恰好在 BC 边上,则 ∠1 与 ∠ACB 的 数 量 关 系是 ; (2)若如图 2 所示,点 D 在△ABC 内部,∠ACB=35°,求∠1+∠2的度数; (3)若如图 3 所示,点 D 在△ABC 外部,则∠1,∠2 和∠ACB 之间有怎样的数量关系?请证明. 练能力 11.在△ABC 中,∠BAC=90°,∠C=2∠B,点D 在 BC 边上,将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED,边 AE 和边AC 重合时结束,边AE 交边 BC 于点 F.若折叠过程中,△DEF 中有两个角相等，则此时∠BAD的度数为 . 12.如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规.我们不妨把这样图形叫作“规形图”. (1)如图 1,请直接写出∠BDC 与∠A,∠B，∠C 之间的数量关系； (2)如图2，把一块直角三角尺 XYZ 放置在△ABC 上，使三角尺的两条直角边XY,XZ 恰好经过点B,C,若∠A=50°,直接写出∠ABX+∠ACX 的结果; (3)如图 3,DC 平分∠ADB,EC 平分∠AEB,若∠DAE =50°,∠DBE=130°,求∠DCE 的度数. 第1课时 三角形的内角和 1. B 2. A 3. B 4. A 5. D 6. A7.直角 8.22.5 9.100°10.80或4011.解:(1)70; (2)证明:如图,设∠A=α,∠ABC=β, ∵∠ABC=∠ACB,∴180°-α=2β. ∵∠A=∠ABE=α,∴∠CBF=β-α. ∵∠CDB=∠CBD, ∴∠BDF=β,∠DCB=180°-2β. ∵∠BFD 是△BCF 的外角, ∴∠BFD=∠DCB+∠CBF=180°-2β+(β-α)=180°-β-α=2β-β=β, ∴∠BDF=∠BFD. 12. B 解析:∵将△ABC 沿DE 折叠使得点 A与点 P 重合， ∴∠PDE=∠ADE,∠PED=∠AED, ∴∠1+2∠ADE=180°,∠2+2∠AED=180°, ∴∠1+∠2+2(∠ADE+∠AED)=360°. 又∵∠ADE+∠AED=180°-∠A, ∴∠1+∠2+2(180°-∠A)=360°,即 ∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)= 13.解:(1)①②③④; (2)示例：选择方法①， ∵EF∥AB, ∴∠A=∠ACE,∠B=∠BCF, ∴ ∠A + ∠ACB +∠B = ∠ACE +∠ACB+∠BCF. ∵∠ACE+∠ACB+∠BCF=180°, ∴∠A+∠ACB+∠B=180°. 第2课时三角形的外角 1. C 2. B 3. B 4. C5. B6. B 7. B8.25°9.50° 10.解:(1)∠1=2∠ACB; (2)连接CD,如图2, 由折叠得 MD=MC, ∴∠MDC=∠ACD. 又∵∠1=∠MDC+ACD, ∴∠1=2∠ACD, 同理得∠2=2∠BCD. ∵∠ACD+∠BCD=∠ACB, ∴∠1 +∠2 = 2∠ACD +2∠BCD =2(∠ACD+∠BCD)=2∠ACB. ∵∠ACB=35°, ∴∠1+∠2=2×35°=70°; (3)∠2-∠1=2∠ACB. 证明：连接CD，如图3， 由折叠得MD=MC, ∴∠MDC=∠MCD. ∵∠1=∠MDC+∠MCD, ∴∠1=2∠MCD, 同理得∠2=2∠NCD, 又∵∠NCD-∠MCD=∠ACB, ∴∠2-∠1= 2∠NCD - 2∠MCD = 2(∠NCD-∠MCD)=2∠ACB, ∴∠2-∠1=2∠ACB. 11.45°或22.5° 12.解:(1)∠BDC=∠A+∠B+∠C,理由如下： 过点A,D作射线AF, ∵∠FDC = ∠DAC +∠C,∠BDF =∠B+∠BAD, ∴∠FDC+∠BDF=∠DAC+∠BAD+∠C+∠B, 即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C; (2)∵∠BXC=90°, 由(1) 知∠A +∠ABX + ∠ACX =∠BXC=90°, ∵∠A=50°, ∴∠ABX+∠ACX=40°; (3)∵∠DAE=50°,∠DBE=130°, ∴∠ADB+∠AEB=130°-50°=80°. ∵DC 平分∠ADB,EC平分∠AEB, 40°, ∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=50°+40°=90°. 学科网（北京）股份有限公司 $