11.1 第1课时三角形内角和定理-【练测考】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版五四制·新教材）

..不等式组的解集是x>3 10.211.-2≤a<-1 12.8 解不等式①，得x≤1， 解不等式②，得x>-3. .不等式组的解集为-3<x≤1，负整数解为-2，-1 1B14a .3 -15.C 16.解：(1)设购买一份A款材料包需x元，购买一份B款材料 包需y元： 限家题得0鲜1收 (y=18. 答：购买一份A款材料包需16元，购买一份B款材料包需 18元 (2)设购买A款材料包m份，则购买B款材料包(50- m)份. 根据题意，得16m+18(50-m)≤830 解得m≥35. .m的最小值为35. 答：至少购买A款材料包35份. 新中考新考法 1.-17≤P<-7解析：G(x,y)=x+3y, 关于a的不等大n低l 即a+3(1-2a)≥-2，① (-2a+3(1+4a)>P,② ∴解不等式①，得a≤1， 解不等式②，得>10 .P-3 ·不等式组有3个整数解， 整数解为-1,0,1， P-3 -2≤10 <-1,.-17≤P<-7. 2.解：(1)设一条A型生产线每月生产抹茶xt,一条B型生产 线每月生产抹茶yt. 根据题意，得+y=200,解得x00, x+2y=280, 答：一条A型生产线每月生产抹茶120，一条B型生产线 每月生产抹茶80t (2)设需要安装m条A型生产线，则安装(5-m)条B型生 产线 根据题意，得4×120m+4×80(5-m)≥2000， 解得烟≥子 :m为正整数，.m的最小值为3. 答：至少需要安装3条A型生产线. 3.解：(1)根据题意，得25a=800-600 解得a=8. 答：a的值为8. (2)设需要x个这样的机器人，1h=3600s. 根据题意，得3600 8 ×4≥10000，解得x≥50 又：x为正整数，.x的最小值为6. 答：至少需要6个这样的机器人同时工作1h,才能使采摘 的苹果个数不少于10000个. 4.解：任务一：设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号 的新型垃圾桶的单价是y元. 2 银据要在，用测华8化®a 答：A型号的新型垃圾桶的单价是60元，B型号的新型垃圾 桶的单价是100元. 任务二：设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买(200-m)个 B型号的新型垃圾桶。 60m+100(200-m)≤15300 根据题意，得 20-m≥2 m, 解得23 2 ≤m≤120. 又.m为正整数 .m可以为118,119,120， .共3种购买方案 方案1：购买118个A型号的新型垃圾桶，82个B型号的新 型垃圾桶； 方案2：购买119个A型号的新型垃圾桶，81个B型号的新 型垃圾桶； 方案3：购买120个A型号的新型垃圾桶，80个B型号的新 型垃圾桶 任务三：选择方案1所需费用为60×118+100×82=15280（元）； 选择方案2所需费用为60×119+100×81=15240（元）； 选择方案3所需费用为60×120+100×80=15200（元）. .:15280>15240>15200, ·.方案3更省钱，最低购买费用是15200元 第十一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角乱定理 1.C2.D3.36 4.解：∠A+35°=∠B,.∠A=∠B-35°. .∠C=∠B-25°，∠A+∠B+∠C=180° .∴∠B-35°+∠B+∠B-25°=180° ∴.∠B=80°，∴.∠A=45°，∠C=55 5.解：在△BFC中，：∠BFC=116°， .∠FBC+∠FCB=180°-∠BFC=180°-116°=64 BE,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线， ..∠ABC=2∠FBC,∠ACB=2∠FCB, ∴∠ABC+∠ACB=2(∠FBC+∠FCB)=2×64°-128° 在△ABC中， ∠A=180°-（∠ABC+∠ACB)=180°-128°=52°. 6.C7.A8.18 9.证明：.AD⊥BC,∴.∠BAD+∠B=90° ∠1=∠B,.∠1+∠BAD=90°，即∠BAC=90°， .△ABC是直角三角形 10.D11.C12.32° 13.解：AD⊥BC,∠ADC=90. ∠C=70°，.∠DAC=180°-90°-70°=20°. AE平分LBAC,∠CAE=∠BA0= 2×50°=250」 .∴.∠EAD=∠EAC-∠DAC=25°-20°=5°. ,∠BAC=50°，∠C=70°，∴∠ABC=180°-50°-70°=60° BF是LABC的平分线，.∠AB0=2×60°=30° ∴.∠B0A=180°-∠BA0-∠AB0=180°-25-30°=125°. 5 14.解：(1).“黄金角”为锐角， .·.设“黄金角”的度数为x,则另一个内角的度数为x-36°， 则x+x-36°+92°=180°，解得x=62° 这个“黄金角”的度数为62°.答案：62 (2).·∠A=70°，∠B=60° ∴∠BDC=180°-∠ADC=180°-(180°-∠A-∠ACD)= ∠A+∠ACD=70°+∠ACD,∠ACB=180°-70°-60°=50°， ∴.70°<∠BDC<120°，∠BCD<50°， .∴.∠BDC>∠B>∠BCD. 由题知△BCD为“似黄金三角形”，则∠BCD不可能为“黄 金角”. 若∠B为“黄金角”，则∠BCD=60°-36°=24°， .∠BDC=180°-60°-24°=96°，符合题意； 若∠BDC为“黄金角”，则 ①∠BCD=∠BDC-36°. .:∠B+∠BCD+∠BDC=180° ∴.60°+∠BDC-36°+∠BDC=180°， ∴.∠BDC=78°，此时∠BCD=42°<50°，符合题意： ②∠B=∠BDC-36°，∴.∠BDC=60°+36°=96°，此时 ∠BCD=24°<50°，符合题意. 综上，∠BDC的度数为96或78. 第2课时三角形的外角 1.B2.A3.75°4.100°5.105°6.68 7.(1)解：.AE∥BC,∠C=30°，∴.∠CAE=∠C=30° 又.∠E=45°， .∴.∠AFD=∠E+∠CAE=45°+30°=75°. (2)证明：.·AE∥BC,∠DAE=45° .∴.∠ADB=∠DAE=45°. ,△ABD的内角和为180°，∠B=60°， ∴.∠BAD=180°-60°-45°=75°， ∴.∠BAD=∠AFD. 8.C9.C10.B11.∠3=3∠2-2∠112.116 13.解：.·AB∥CD,∠CDE=122°， ∴.∠BED=∠CDE=122°. .EF平分∠BED ∠BEF-寸∠BED=61, .∴.∠GEF=180°-∠BEF=180°-61°=119° .:∠AGF=150°， .∴.∠F=∠AGF-∠GEF=150°-119°=31°. 14.(1)解：∠AOC=∠ODC.理由如下： 三个内角的平分线交于点0， 1 1 L0AC+L0CA=2（LBAC+LBCA)=2(180°- ∠ABC). .'∠OBC= 1 ∠A0C=180°-(L0AC+∠0CA)=90+2∠ABC =90°+∠OBC. .OD⊥0B,∴.∠B0D=90°， .∴.∠ODC=90°+∠OBD,∴.∠AOC=∠ODC (2)证明：·BF平分∠ABE, ÷∠BBr-3∠ABE=2(180-LABC)=90-∠D0 .:∠ODB=90°-∠OBD. .∠FBE=∠ODB,∴.BF∥OD. 第3课时三角形的内角、外角的应用 1.B2.A3.100°4.32°5.118 6.解：如图，连接AD并延长至点E, .∠BDE=∠B+∠BAD,∠CDE ∠C+∠CAD. .∠BAC=90°，∠B=30°，∠C=20°， D ·.∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠B+A ∠BAD+∠CAD+∠C=∠B+∠BAC+∠C=30°+90°+20°=140° .140°≠142° 这个零件不合格。 7.证明：(1)：E是AC延长线上的一点， ∴.∠BCE=∠A+∠B. D是BC上的一点， ∴.∠BDE=∠E+∠BCE ∴.∠BDE=∠E+∠A+∠B. (2)由(1)，得∠BDE=∠E+∠A+∠B, .∠BDE>∠A 8.证明：延长CD交AB于点E,如图 .·CD⊥AD, ..∠ADE=∠ADC=90° :AD平分∠BAC, .∠DAE=∠DAC, ..∠AEC=∠ACD. ·.∠AEC=∠ABC+∠BCD .∠ACD=∠ABC+∠BCD ..∠ACD>∠ABC. 9.B10.B11.45°12.25 13.证明：(1)∠EGH是△FBG的外角， .∠EGH∠B. 又，DE∥BC, ∴，∠B=∠ADE,.∠EGH>∠ADE. (2):∠BFE是△AFE的外角， ∴.∠BFE=∠A+∠AEF. .·∠EGH是△BFG的外角： .·.∠EGH=∠B+∠BFE,..∠EGH=∠B+∠A+∠AEF 又.DE∥BC, ∠B=∠ADE,∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF 培优专题八与三角形相关的角的综合 应用技巧 1.(1)证明：.：∠A+∠C=180°-∠A0C ∠B+∠D=180°-∠BOD,∠AOC=∠BOD. .∠A+∠C=∠B+∠D. (2)解：如图， .·∠DME=∠A+∠E, ∠3=∠DME+∠D ∴.∠A+∠E+∠D=∠3 ∠2=∠3+∠F,∠1=130°，∠1=∠2， ..∠3+∠F=130°， ∴.∠A+∠E+∠D+∠F=130. .∠B+∠C=∠1=130°， ∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=130°+130°=260 (3)解：①：以M为交点的“8字型”中，∠P+∠CDP= ∠C+∠CAP, 以N为交点的“8字型”中，∠P+∠BAP=∠B+∠BDP, .∴.2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP. AP,DP分别平分∠CAB和∠BDC, 6第十一章 三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理 基础夯实 5.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线 》知识点一三角形内角和定理 BE,CD相交于点F,且∠BFC=116°，求∠A 1.在△ABC中，若∠B=∠C=2∠A,则∠A的度 的度数 数为 ( A.72° B.45° C.36° D.30 2.在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综 合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其 中不能证明“三角形内角和是180°”的是 ( 过点C作EF∥AB 过AB上一点D作DE∥BC,DF∥AC D 》知识点二直角三角形的性质与判定 6.(绍兴中考)如图，把一块三角板ABC的直角 顶点B放在直线EF上，∠C=30°，AC∥EF, 延长AC到点F,过点C作CE∥AB 则∠1= ( A.30° B.45 A C.60° D.75° E、1入 7.满足下列条件的△ABC,其中是直角三角形 作CD⊥AB于点D 的有 E ①∠A+∠B=∠C; 3.如图，△ABC中，∠ACB= ②∠A=2∠B=3∠C; 90°，CD∥BA.若∠B=54° 1 则∠ACD的度数为 ③∠A=∠B=。∠C; B ④∠A 4.已知，在△ABC中，∠A+35°=∠B,∠C= 2<B= 3<G ∠B-25°，求△ABC各个内角的度数. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 8.如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的 4倍，那么这个直角三角形中较小锐角的度 数是 93 练测考七年级数学下册LJ 9.[教材P123T3变式]如图，在△ABC中，AD⊥ 素养培优 BC,∠1=∠B.求证：△ABC是直角三角形 14.[新定义]定义：在一个三角形中，如果一个 内角α的度数比另一个内角度数大36°，那 么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”， 其中α称为“黄金角”.例如：一个三角形三 个内角的度数分别是30°，84°，66°，这个三 角形就是“似黄金三角形”，其中66°为“黄 金角” (1)一个“似黄金三角形”的一个内角为 能力提升 92°，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角” 10.直角三角形两个锐角平分线相交所成角的 的度数为 度数为 ( (2)如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°， A.90° B.135 D为线段AB上一点（点D不与点A、点B重 C.120° D.45°或135° 合).若△BCD是“似黄金三角形”，求 11.如图，在△ABC中，∠A=40°，将一块直角三 ∠BDC的度数 角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边 分别经过B,C,直角顶点D落在△ABC的内 部，则∠ABD+∠ACD= A.90° B.60° C.50° D.40° D 第11题图 第12题图 12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分 ∠ABC,CD∥AB交BD于点D,已知∠D=29°， 则∠ACB的度数为 13.如图，在△ABC中，AD是高线，AE,BF是角 平分线，它们相交于点O,∠BAC=50°， ∠C=70°，求∠EAD与∠BOA的度数 94