11.1 第3课时三角形的内角，外角的应用-【练测考】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版五四制·新教材）

14.解：(1).“黄金角”为锐角， .·.设“黄金角”的度数为x,则另一个内角的度数为x-36°， 则x+x-36°+92°=180°，解得x=62° 这个“黄金角”的度数为62°.答案：62 (2).·∠A=70°，∠B=60° ∴∠BDC=180°-∠ADC=180°-(180°-∠A-∠ACD)= ∠A+∠ACD=70°+∠ACD,∠ACB=180°-70°-60°=50°， ∴.70°<∠BDC<120°，∠BCD<50°， .∴.∠BDC>∠B>∠BCD. 由题知△BCD为“似黄金三角形”，则∠BCD不可能为“黄 金角”. 若∠B为“黄金角”，则∠BCD=60°-36°=24°， .∠BDC=180°-60°-24°=96°，符合题意； 若∠BDC为“黄金角”，则 ①∠BCD=∠BDC-36°. .:∠B+∠BCD+∠BDC=180° ∴.60°+∠BDC-36°+∠BDC=180°， ∴.∠BDC=78°，此时∠BCD=42°<50°，符合题意： ②∠B=∠BDC-36°，∴.∠BDC=60°+36°=96°，此时 ∠BCD=24°<50°，符合题意. 综上，∠BDC的度数为96或78. 第2课时三角形的外角 1.B2.A3.75°4.100°5.105°6.68 7.(1)解：.AE∥BC,∠C=30°，∴.∠CAE=∠C=30° 又.∠E=45°， .∴.∠AFD=∠E+∠CAE=45°+30°=75°. (2)证明：.·AE∥BC,∠DAE=45° .∴.∠ADB=∠DAE=45°. ,△ABD的内角和为180°，∠B=60°， ∴.∠BAD=180°-60°-45°=75°， ∴.∠BAD=∠AFD. 8.C9.C10.B11.∠3=3∠2-2∠112.116 13.解：.·AB∥CD,∠CDE=122°， ∴.∠BED=∠CDE=122°. .EF平分∠BED ∠BEF-寸∠BED=61, .∴.∠GEF=180°-∠BEF=180°-61°=119° .:∠AGF=150°， .∴.∠F=∠AGF-∠GEF=150°-119°=31°. 14.(1)解：∠AOC=∠ODC.理由如下： 三个内角的平分线交于点0， 1 1 L0AC+L0CA=2（LBAC+LBCA)=2(180°- ∠ABC). .'∠OBC= 1 ∠A0C=180°-(L0AC+∠0CA)=90+2∠ABC =90°+∠OBC. .OD⊥0B,∴.∠B0D=90°， .∴.∠ODC=90°+∠OBD,∴.∠AOC=∠ODC (2)证明：·BF平分∠ABE, ÷∠BBr-3∠ABE=2(180-LABC)=90-∠D0 .:∠ODB=90°-∠OBD. .∠FBE=∠ODB,∴.BF∥OD. 第3课时三角形的内角、外角的应用 1.B2.A3.100°4.32°5.118 6.解：如图，连接AD并延长至点E, .∠BDE=∠B+∠BAD,∠CDE ∠C+∠CAD. .∠BAC=90°，∠B=30°，∠C=20°， D ·.∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠B+A ∠BAD+∠CAD+∠C=∠B+∠BAC+∠C=30°+90°+20°=140° .140°≠142° 这个零件不合格。 7.证明：(1)：E是AC延长线上的一点， ∴.∠BCE=∠A+∠B. D是BC上的一点， ∴.∠BDE=∠E+∠BCE ∴.∠BDE=∠E+∠A+∠B. (2)由(1)，得∠BDE=∠E+∠A+∠B, .∠BDE>∠A 8.证明：延长CD交AB于点E,如图 .·CD⊥AD, ..∠ADE=∠ADC=90° :AD平分∠BAC, .∠DAE=∠DAC, ..∠AEC=∠ACD. ·.∠AEC=∠ABC+∠BCD .∠ACD=∠ABC+∠BCD ..∠ACD>∠ABC. 9.B10.B11.45°12.25 13.证明：(1)∠EGH是△FBG的外角， .∠EGH∠B. 又，DE∥BC, ∴，∠B=∠ADE,.∠EGH>∠ADE. (2):∠BFE是△AFE的外角， ∴.∠BFE=∠A+∠AEF. .·∠EGH是△BFG的外角： .·.∠EGH=∠B+∠BFE,..∠EGH=∠B+∠A+∠AEF 又.DE∥BC, ∠B=∠ADE,∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF 培优专题八与三角形相关的角的综合 应用技巧 1.(1)证明：.：∠A+∠C=180°-∠A0C ∠B+∠D=180°-∠BOD,∠AOC=∠BOD. .∠A+∠C=∠B+∠D. (2)解：如图， .·∠DME=∠A+∠E, ∠3=∠DME+∠D ∴.∠A+∠E+∠D=∠3 ∠2=∠3+∠F,∠1=130°，∠1=∠2， ..∠3+∠F=130°， ∴.∠A+∠E+∠D+∠F=130. .∠B+∠C=∠1=130°， ∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=130°+130°=260 (3)解：①：以M为交点的“8字型”中，∠P+∠CDP= ∠C+∠CAP, 以N为交点的“8字型”中，∠P+∠BAP=∠B+∠BDP, .∴.2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP. AP,DP分别平分∠CAB和∠BDC, 6第十一章三角形的证明及其应用 第3课时 三角形的内角、外角的应用 基础夯实 6.一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等 1.[跨学科·物理]如图，一束平行于主光轴OF 于90°，∠B,∠C应分别是30°，20°，李叔叔量 的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经 得∠BDC=142°，就判定这个零件不合格，你 过光心O的光线相交于点P,点F为焦点.若 能说出其中的道理吗？ ∠1=155°，∠3=45°，则∠2的度数为() A.25° B.20° C.30° D.35° 2.(2025·聊城高唐县月考)如图，在△ABC中， 点D在边AC上（不与端点重合），连接BD,则 ∠1，∠2，∠3的大小关系是 () E C3 A.∠1<∠2<∠3 B.∠3<∠1<∠2 7.如图，在△ABC中，点E是AC延长线上的一 C.∠3<∠2<∠1 点，点D是BC上的一点.求证： D.∠2<∠1<∠3 (1)∠BDE=∠E+∠A+∠B. 3.如图，在△ABC中，∠B=60°，AD平分∠BAC, (2)∠BDE>∠A. 点E在AD的延长线上，且EC⊥AC.若∠E= 50°，则∠ADC的度数是 4.如图，在△ABC中，已知D是BC边上一点，∠1= ∠2=37°，∠3=∠4，则∠DAC= A 2 人34入 B D 第4题图 第5题图 5.如图，已知∠A=40°，∠ABD=38°，∠ACB=80°，且 CE平分∠ACB,则∠BEC的度数为 97 练测考七年级数学下册山 8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CD⊥AD12.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=70°，点 于点D,AB>AC,求证：∠ACD>∠ABC. D是边AC上一点，将△BCD沿BD翻折，点 C落在点E处，如果EB∥AC,那么∠ABD= D 素养培优 13.已知：如图，点D,E分别在AB,AC上，DE∥ BC,F是AD上一点，FE的延长线交BC的 延长线于点G.求证： (1)∠EGH>∠ADE. (2)∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF. 能力提升 9.将一副三角板如图摆放，点D在AC上，延长 EA交CB的延长线于点F,∠ABC=∠ADE= 90°，∠C=30°，∠E=45°，则∠F的度数是 G H B A.10° B.15° C.20° D.25° 10.如图，线段DG,EM,FN两两相交于B,C,A 三点，则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的 度数是 () A.180° B.360° C.540° D.720° 11.如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AE,BD 分别是∠CAB,∠CBA的平分线，则∠DEA= 98