期末综合能力评估卷-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

**基本信息** 2025-2026学年八年级下学期数学期末卷，以几何变换、函数应用为核心，融合钧瓷文化、光伏发电等现实情境，通过动点最值、折叠椅子等问题考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|平移性质、不等式性质、三角形角平分线|结合大学校徽图案考查平移（数学眼光）| |填空题|6/18|反证法假设、因式分解、一次函数取值范围|劳动基地磨豆浆问题体现应用意识| |解答题|8/72|平行四边形判定、分式方程（钧瓷单价）、动态几何（动点最值）|光伏发电购进方案考查模型观念，折叠椅子证明体现空间观念与推理能力|

2025-2026学年八年级下学期数学期末综合能力评估卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（    ） A．B． C． D． 2．用不等式的性质说明图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．如图，在 中，是高，是角平分线， 则 的度数为（  ） A． B． C． D． 4．如图，在等腰三角形中，于点，于点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 6．若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，则实数m的范围为（   ） A． B． C． D． 7．我国古代数学著作《九章算术》里有“猎犬逐兔”问题：今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止．问犬不止，复行几何步及之？其大意是：现有一只兔子先走了100步，一只狗随后开始追兔子，追了250步没有追到兔子，在距离兔子30步远的地方停了下来，请问，如果狗不停下来，那么需要再跑多少步可以追到兔子？设狗再跑x步就能追上兔子，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图，中，、、分别是、、中点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．四边形是平行四边形 9．如图，四边形中，对角线相交于点，下列四组条件中不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B． C．， D． 10．如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．用反证法证明，若，则时，应假设___________． 12．已知，，则的值为________． 13．某学校八年级同学到劳动基地进行实践活动，第一天的任务是用100斤黄豆磨豆浆．由于操作不熟练，开始的半小时只磨完9斤黄豆，基地要求完成全部任务的时间不超4小时，若设在剩余时间内每小时需磨完斤黄豆，则可列一元一次不等式为______． 14．已知一次函数和，当时，，则的取值范围是__________． 15．如果点向上平移3个单位长度正好落在x轴上，那么点P的坐标为______． 16．已知，则的值为______． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．按要求完成下列各题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)解不等式组：． 18．计算： (1)． (2)÷ 19．已知一个多边形的边数为． (1)若时，则这个多边形的内角和为多少度？ (2)若这个多边形的内角和与外角和相加为，求这个多边形的边数． 20．钧瓷是河南省禹州市的国宝瓷器，始于唐，盛于宋，是中国“五大名瓷”之一．某校为了推行中原文化进校园，准备购买甲、乙两种钧瓷茶杯用于宣讲．已知每个甲种茶杯比每个乙种茶杯多10元，花费900元购买甲种茶杯与花费600元购买乙种茶杯的数量相同． (1)求甲、乙两种茶杯的单价． (2)若学校决定购买甲、乙两种茶杯共60个，总费用不超过1600元，那么该校最多可以购买甲种茶杯多少个？ 21．光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 22．如图，在边长为1个单位长度的正方形方格纸中，的顶点都在格点上，，． (1)在方格纸中画出关于直线对称的（不写作法，不下结论）； (2)尺规作图：请在图中作出的角平分线交于点D，交于点E（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； (3)在（1）（2）的条件下，求证：，并按下列思路完成填空． 证明：，， ， 和关于直线AO对称， ． ， _______， ， ， ∵BE平分， ． （________）． ， ∴________， （________）． 23．如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求椅子最高点A到地面的距离． 24．如图，在中，，高与中线相交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学期末综合能力评估卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列大学校徽内部图案中可以看成由某一个基本图形通过平移形成的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】由平移的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知，C选项的图案是通过平移得到的；A、B、D中的图案不是平移得到的． 2．用不等式的性质说明图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，观察给出的图片可得，得到，结合选项即可求解． 【详解】解：观察给出的图片可得，由可得，A选项符合． 3．如图，在 中，是高，是角平分线， 则 的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得到的度数，则由角平分线的定义可得，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分 ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在等腰三角形中，于点，于点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，再利用含角的直角三角形的性质分别求出和的长度，最后通过求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵于点E， ∴在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 5．如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质与判定．过点作、、所在直线的垂线，利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而判定平分，建立与的数量关系即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点，交于点，交的延长线于点． 平分，，， ． 平分，，（、、共线）， ． ． ，， 平分． ． 只要求出的度数，只需知道的度数．故选C． 6．若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，则实数m的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解关于的不等式求得，根据不等式的正整数解的情况列出关于的不等式组求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得， ∵不等式的正整数解是1，2，3， ∴， 解得． 7．我国古代数学著作《九章算术》里有“猎犬逐兔”问题：今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止．问犬不止，复行几何步及之？其大意是：现有一只兔子先走了100步，一只狗随后开始追兔子，追了250步没有追到兔子，在距离兔子30步远的地方停了下来，请问，如果狗不停下来，那么需要再跑多少步可以追到兔子？设狗再跑x步就能追上兔子，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设狗再跑x步追上兔子，追及时相同时间内兔子跑了步，根据相同时间内路程比等于速度比，狗和兔子速度比恒定列方程即可． 【详解】解：∵相同时间内路程比等于速度比，狗和兔子速度比恒定， ∴狗跑250步时，兔子跑了步，因此速度比为， 设狗再跑x步追上兔子，追及时相同时间内兔子跑了步，因此速度比也可表示为， ∴可列方程． 8．如图，中，、、分别是、、中点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查中位线的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．利用中位线的性质得，，，，，，可判断选项A，利用可判断选项B，利用证明可判断选项C，利用，，可判断选项D． 【详解】解：∵、、分别是、、中点， ∴，，，，，， 故选项A正确； ∵， 故选项B错误； ∵，， ∴，， 又∵， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴， 故选项C正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D正确； 故选：B． 9．如图，四边形中，对角线相交于点，下列四组条件中不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B． C．， D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定，结合已知，选择适当判断方法求解即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴    ∴ ∴四边形是平行四边形． 选项A不符合要求； ∵， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合要求． ∵C中条件无法判定四边形是平行四边形． 选项C符合要求． ∵ ∴四边形是平行四边形． 选项D不符合要求． 10．如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题为利用旋转求最短距离问题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质等知识，综合性强，难度较大﹒根据题意得到， ，根据等边三角形性质得到，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接﹒证明是等边三角形，得到﹒证明，得到，进而得到，从而得到点Q在经过定点R且的定直线上运动，即可得到当，线段的值最小，结合，求出，得到的最小值为1． 【详解】解：∵，点D是边的中点，点P是边上一个动点， ∴， ， ∵是等边三角形， ∴， 如图，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在经过定点R且的定直线上运动， ∴当，即时，线段的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为1， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．用反证法证明，若，则时，应假设___________． 【答案】 【分析】了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设成立． 【详解】解：反面是． 因此用反证法证明若，则时，应假设． 12．已知，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据，然后整体代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 13．某学校八年级同学到劳动基地进行实践活动，第一天的任务是用100斤黄豆磨豆浆．由于操作不熟练，开始的半小时只磨完9斤黄豆，基地要求完成全部任务的时间不超4小时，若设在剩余时间内每小时需磨完斤黄豆，则可列一元一次不等式为______． 【答案】 【分析】设在剩余时间内每小时需磨完x斤黄豆，根据完成任务量大于或等于100列不等式求解即可． 【详解】解：设在剩余时间内每小时需磨完x斤黄豆， 依题意得：． 14．已知一次函数和，当时，，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的交点问题． 联立两个一次函数解析式求出交点横坐标，结合一次函数增减性和已知条件得到交点横坐标的范围，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：联立两个一次函数解析式得 令，解得， 即两函数交点的横坐标为， 一次函数中，，随增大而增大，一次函数中，，随增大而减小， 当大于交点横坐标时，， 又当时，， ， 不等式两边同乘得：， 移项得：． 15．如果点向上平移3个单位长度正好落在x轴上，那么点P的坐标为______． 【答案】 【分析】根据坐标平移变化规律，向上平移纵坐标增加，横坐标不变，得到平移后点的坐标，结合x轴上点的纵坐标为0，求出的值，代入即可得到点的坐标． 【详解】解：点向上平移个单位长度后，所得点的坐标为，即． 平移后点落在轴上， ． 将代入点的坐标得，横坐标，纵坐标， 则点的坐标为． 16．已知，则的值为______． 【答案】 【分析】由，得，然后根据偶次方、算术平方根非负性求出，，然后代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值为． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．按要求完成下列各题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)解不等式组：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式计算即可得出结果； （2）利用平方差公式分解因式即可； （3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴ 不等式组的解集为． 18．计算： (1)． (2)÷ 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）分别根据有理数乘方、负整数指数幂、零指数幂、立方根的运算法则，逐项计算，最后合并结果． （2）先通分计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，对分母因式分解后约去公因式，得到最简结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： 19．已知一个多边形的边数为． (1)若时，则这个多边形的内角和为多少度？ (2)若这个多边形的内角和与外角和相加为，求这个多边形的边数． 【答案】(1) (2)多边形的边数为8 【分析】（1）n边形的内角和为； （2）n边形的外角和为，列关于n的方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： 解得：， ∴这个多边形的边数为8． 20．钧瓷是河南省禹州市的国宝瓷器，始于唐，盛于宋，是中国“五大名瓷”之一．某校为了推行中原文化进校园，准备购买甲、乙两种钧瓷茶杯用于宣讲．已知每个甲种茶杯比每个乙种茶杯多10元，花费900元购买甲种茶杯与花费600元购买乙种茶杯的数量相同． (1)求甲、乙两种茶杯的单价． (2)若学校决定购买甲、乙两种茶杯共60个，总费用不超过1600元，那么该校最多可以购买甲种茶杯多少个？ 【答案】(1)乙种茶杯的单价为元，则甲种茶杯的单价为元 (2)该校最多可以购买甲种茶杯个 【分析】（1）设乙种茶杯的单价为元，则甲种茶杯的单价为元，根据“花费900元购买甲种茶杯与花费600元购买乙种茶杯的数量相同”建立分式方程求解； （2）设购买甲种茶杯个，则购买乙种茶杯个，根据“总费用不超过1600元”建立不等式求解． 【详解】（1）解：设乙种茶杯的单价为元，则甲种茶杯的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 甲种茶杯的单价为（元）， 答：乙种茶杯的单价为元，则甲种茶杯的单价为元； （2）解：设购买甲种茶杯个，则购买乙种茶杯个， 由题意得，， 解得 答：该校最多可以购买甲种茶杯个． 21．光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)700元 (2)一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出正确的方程是解体的关键． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据题意得，解方程解答即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据题意得，解不等式组，根据题意可得总费用，分析即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，为原方程的根， ∴甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案， 设总费用为元， 则， ∵，∴随的增大而增大． ∴越小，总费用越低， ∴ 当时，总费用越低， 即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低， 最低费用为元． 22．如图，在边长为1个单位长度的正方形方格纸中，的顶点都在格点上，，． (1)在方格纸中画出关于直线对称的（不写作法，不下结论）； (2)尺规作图：请在图中作出的角平分线交于点D，交于点E（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； (3)在（1）（2）的条件下，求证：，并按下列思路完成填空． 证明：，， ， 和关于直线AO对称， ． ， _______， ， ， ∵BE平分， ． （________）． ， ∴________， （________）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)见解析 【分析】（1）作点B关于直线的对称点C，连接，则即为所求； （2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于点G，F，再以点G，F为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点H，交于点D，交于点E，则即为所求； （3）先根据题意说明，进而得出，再得出，然后根据“等角的余角相等”得，即可得，最后根据“等角的余角相等”得． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示； （3）解：证明：∵ ∴． ∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴ ∴（等角的余角相等）． ∵， ∴， ∴（等角对等边）． 23．如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求椅子最高点A到地面的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可证明，再由即可证明结论； （2）延长交于点H，证明四边形是平行四边形，得到，， 由（1）得四边形是平行四边形，则，进而得到，求出，，由勾股定理得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，延长交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：椅子最高点A到地面的距离为． 24．如图，在中，，高与中线相交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知得，则，可证明，得，进而可推出，即可得出结论； （2）连接，可得是的垂直平分线，则，由全等三角形的性质得，进而可得、、的值，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中，，， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $