精品解析：陕西渭南市临渭区2026届高三下学期质量检测数学试题

2026年高三质量检测试题 数学 一、单项选择题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用交集定义求出，再利用补集定义计算其在全集中的补集即可得到结果。 【详解】由，，得，而全集， 所以. 2. 已知复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，可得：， 根据共轭复数的定义可得：. 3. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，排除C、D选项，再由，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为， 且， 所以函数是上的奇函数，其图象关于原点对称，可排除C、D项； 当时，令，即，即， 可得，解得， 即时，，所以B选项符合题意. 4. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】，， 当，，则，，此时； 当，，则，，此时； 充分性不成立. 由，得，即； ，，由基本不等式得（当且仅当时等号成立）； ； . 必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 5. 已知为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 28 B. 32 C. 36 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】将已知两式作差求得的值，再结合等差数列前项和公式及等差中项性质计算。 【详解】设等差数列的公差为，由，，得， 即，则，因此， 所以. 6. 已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的内角特征推导渐近线斜率，再结合双曲线的关系求解离心率. 【详解】由的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点）， 则渐近线的斜率为， 所以双曲线的离心率为. 7. 已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，推得是以为周期的周期函数，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，可得，且， 又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称， 可得函数的图象关于对称，即， 因为，可得， 即，所以函数是以为周期的周期函数， 可得 因为，可得， 所以. 8. 已知点P为椭圆上任意一点，直线l过的圆心且与交于A，B两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量运算化简，再根据椭圆性质得到，最后求解范围即可. 【详解】对方程配方得，因此圆心，半径，是的直径， 故，. ，， 因此. 椭圆中，，，， 恰好是椭圆的右焦点. 根据椭圆性质，， 代入得，因此. ，即取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组互不相等的数据从小到大排列为，去掉后，则下列说法正确的有（ ） A. 极差变小 B. 平均数变大 C. 方差变大 D. 50%分位数变大 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据极差，平均数，方差，百分位数的定义结合作差法逐一判断即可. 【详解】原极差为 ，去掉 后，新极差为 ， 因为 ​，所以 ，极差一定变小，A正确；  设原总和 原平均数 ，去掉 后新平均数 ， ，  所有 ，分子为正，故 ，平均数变大，B正确；  方差描述数据离散程度，去掉最小的后，方差可能变小： 例如数据 ，原方差 ， 去掉 后方差，方差变小；C错误； 原数据 ，，50%分位数为 ； 去掉 后 ，， 50%分位数为新序列的第3项，即 ，因为 ，所以， 即，50%分位数变大，D正确. 10. 已知函数在区间有且仅有两个极值点，且，则（ ） A. B. 函数在区间上有且仅有一个零点 C. 函数的最小正周期可能为 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】由求出的值，即可判断A；由函数在区间有且仅有两个极值点，得到，借助的范围，求出在区间上的零点个数即可判断B；利用周期公式求出的值，即可判断C；由在区间上单调递增求出的范围，即可判断D. 【详解】由可得，即，因为，所以，故A正确. 由选项A可得，当时， 因为在区间上有且仅有两个极值点， 所以方程在上有且仅有两个解， 所以，解得. 令，即，解得. 因为，即，解得. 因为，所以， 所以当时，，当时，， 所以函数在区间上可能有两个零点，故B错误； 若函数的最小正周期为，则，解得， 因为，故C正确； 函数的单调递增区间需满足， 当时，可得，解得， 若函数在区间上单调递增，则， 须满足，解得，由的范围可知，该条件恒成立，故D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱CD的中点，动点P在侧面内（含边界）运动，则（ ） A. 过点E，P的平面截正方体所得截面可能为五边形 B. 若三棱锥的体积为，则动点P的轨迹长度为2 C. 若P为的中点，则平面 D. 若P为棱的中点，则平面AEP截正方体所得截面面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，结合正方体的特点及图形即可判断；对于B，由三棱锥的体积公式结合题设可得到平面的距离为，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量列方程求出点P的轨迹方程，进而求解判断即可；对于C，建立空间直角坐标系，利用空间向量判断即可；对于D，连接并延长交的延长线于点，连接，可得平面AEP截正方体所得截面为梯形，进而求解判断即可. 【详解】对于A，如图，过点E，P的平面截正方体所得截面可能为五边形，故A正确； 对于B，由于， 则， 所以， 则， 设到平面的距离为， 由，则， 以为原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设 ， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 则，即， 所以点P的轨迹线段，而， 则动点P的轨迹长度为，故B错误； 对于C，建立同B选项的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以与不垂直， 则与平面不平行，故C错误； 对于D，连接并延长交的延长线于点，连接， 而为的中点，P为的中点，则为与的交点，为的中点， 即， 所以平面AEP截正方体所得截面为梯形， 而，则梯形的高为， 所以梯形的面积为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则________． 【答案】15 【解析】 【详解】 建立如图所示平面直角坐标系，，，， . 13. 若函数有两个极值点，则的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到有两个不等的零点，且在两零点的两侧，导函数符号相反，参变分离后构造，求导研究其单调性和极值，最值情况，画出图象，数形结合求出的取值范围. 【详解】由，得， ∵函数有两个极值点， ∴有两个零点，且在零点的两侧，导函数符号相反， 令，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 有极小值也是最小值为， 且当时，恒成立，当时，恒成立， 画出的图象，如下： 要使有两个不等实数根， 则，即，经验证，满足要求. 故的取值范围为． 故答案为：. 14. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，若此时，则________． 【答案】7 【解析】 【分析】通过构造辅助等比数列推导数列总和的正确递推通项，求出构造次数，归纳首个插入数的变化规律完成求解. 【详解】设第次构造后数列的总和为，单次构造新增插入数字的和为. 初始数列总和. 由插入规则，单次插入数字和为原数列所有相邻两项之和， 可得，. 联立化简得，变形为， 因此，是以为首项、为公比的等比数列， ，， 前次插入所有数字的总和满足， 结合题设，可得，，， 解得，即. 归纳首次插入数规律：第次，第次，第次，……，第次. 因此，第次构造时，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为,且． （1）求； （2）若的外接圆半径为1，求周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）正弦定理角化边，利用余弦定理求出角； （2）首先根据正弦定理求出，利用余弦定理列方程，结合均值不等式得，求出最值. 【小问1详解】 因为，则， 即， ， ，. 【小问2详解】 由，得， 由余弦定理得， 化简为，即， 因为， 则，， 当且仅当时等号成立，故三角形周长最大值为. 16. 已知为抛物线上一点，点到抛物线C焦点的距离是M到直线的距离的两倍． （1）求抛物线C的方程； （2）过点作C的两条切线，切点分别为．求证：以线段为直径的圆过点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)利用抛物线定义结合距离条件求解参数得到抛物线方程； (2)通过导数推导切线方程，确定切点弦的表达式，联立抛物线得到韦达定理，借助向量点积为零完成垂直证明. 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 由抛物线定义，点到焦点的距离为. 点到直线的距离为. 由题设距离关系，得， 解得，. 因此，抛物线的方程为. 【小问2详解】 由(1)得抛物线方程为，即，求导得. 设切点，，则抛物线在处的切线方程为，整理得. 结合，切线方程可化为. 切线过点，代入得，即. 同理可得. 因此，直线的方程为. 联立，消去得, 可得，，，， 以线段为直径的圆过点，等价于. ，， 则 ， 因此，，即以线段为直径的圆过点. 17. 如图，在四棱锥中，，，． （1）求证：平面平面； （2）线段PB上是否存在点M（不包括端点），使得平面PAB与平面MCD夹角的余弦值为？若存在，求出MB的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理、线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接 . 由题意得，故，又，， 因此， ，所以四边形、为平行四边形， 进而，， 即 均为边长为2的等边三角形. 因为​，是中点，故，且 . 又​，故，得. 因为， 平面，故平面. 又平面，因此平面平面. 【小问2详解】 建立如图所示空间直角坐标系： 由题意知：，，，， 假设存在点使得满足题意． 设，其中. 反解得：M点坐标为： 设平面ABP的法向量为， 设平面MCD的法向量为， 所以． 解得，又因为， 故不存在点M使得满足题意． 18. 在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. （1）求，； （2）求的分布列； （3）求. 【答案】（1）， （2） 1 2 3 … … （3）【解析】 【分析】（1）根据规则判断出和的情形，结合概率乘法公式求解即可. （2）结合题干规则推导出，进而求出，即可得到分布列. （3）结合错位相减法及等比数列的前项和公式求出，根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 表示第一次就生成并结束过程，即第一次预测为，且审核生成， . 表示第二次生成并结束过程，情况有：第一次预测为，且审核生成，第二次预测为；第一次预测为，审核必生成，第二次预测为，且审核生成. . 【小问2详解】 （，）时，第个词元输出为， 若前面个词元都预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故， 当时， 若前面个词元都没有预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故 所以的分布列为： 1 2 3 … … 【小问3详解】 由（1）得， 由（2）得， ， ， ， ， 所以 所以 19. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）当时，证明：对任意，都有； （3）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）对任意的，当时，要证，只需证明，变形为，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，即可证得结论成立； （3）由（2）得出，令，可得出，证明出，令，可得出，结合不等式的性质得出，再利用累加法可证得结论成立. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以，而， 则在点处的切线方程为. 【小问2详解】 任意的，当时，， 故只需证对任意的恒成立，整理得， 构造函数，其中， 则 ， 所以函数在上为减函数，故当时，，即， 故对任意的，， 故当时，对任意，都有. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，即， 令，则， 因为，所以， 构造函数，其中，则， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 令，得，即， 整理得， 则， 即， 所以，，，， 累加得 ， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三质量检测试题 数学 一、单项选择题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 28 B. 32 C. 36 D. 45 6. 已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 4 8. 已知点P为椭圆上任意一点，直线l过的圆心且与交于A，B两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组互不相等的数据从小到大排列为，去掉后，则下列说法正确的有（ ） A. 极差变小 B. 平均数变大 C. 方差变大 D. 50%分位数变大 10. 已知函数在区间有且仅有两个极值点，且，则（ ） A. B. 函数在区间上有且仅有一个零点 C. 函数的最小正周期可能为 D. 函数在区间上单调递增 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱CD的中点，动点P在侧面内（含边界）运动，则（ ） A. 过点E，P的平面截正方体所得截面可能为五边形 B. 若三棱锥的体积为，则动点P的轨迹长度为2 C. 若P为的中点，则平面 D. 若P为棱的中点，则平面AEP截正方体所得截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则________． 13. 若函数有两个极值点，则的取值范围为_____________ 14. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，若此时，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为,且． （1）求； （2）若的外接圆半径为1，求周长的最大值． 16. 已知为抛物线上一点，点到抛物线C焦点的距离是M到直线的距离的两倍． （1）求抛物线C的方程； （2）过点作C的两条切线，切点分别为．求证：以线段为直径的圆过点． 17. 如图，在四棱锥中，，，． （1）求证：平面平面； （2）线段PB上是否存在点M（不包括端点），使得平面PAB与平面MCD夹角的余弦值为？若存在，求出MB的长；若不存在，请说明理由． 18. 在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. （1）求，； （2）求的分布列； （3）求. 19. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）当时，证明：对任意，都有； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $