精品解析：陕西省渭南市临渭区2024-2025学年高三下学期质量检测（三模）数学试题

临渭区2025年高三质量检测试题 数学 注意事项： 1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若（为虚数单位）是纯虚数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念列方程求解可得. 【详解】因为（为虚数单位）是纯虚数， 所以，解得. 故选：D 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出集合的不等式，然后求这两个集合的并集. 【详解】集合的不等式为：，可求解为. 所以集合. 从而集合的并集为：. 故选：B. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合特殊值法即可判断. 【详解】由可知，或，，此时， 即“”“”； 但当时，取，，此时， 即“” “”， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知非零向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的定义代入计算可得，再由数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】非零向量在向量上的投影向量为，可得， 即，又，所以， 所以. 故选：C 5. 《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（ ） A. 0.62 B. 0.56 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用四边形的内角和为、余弦定理及诱导公式可求得结果. 【详解】如图所示， 设弧AB对应圆心是O，根据题意可知，，，则， 因为，，， 则在△ACB中，， 所以. 故选：A. 6. 自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（ ） A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知函数模型计算得出，再结合指数运算计算求解. 【详解】因为模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数， 因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍. 所以，所以， 若，则. 故选：C. 7. 已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得的值，结合其对称轴，求得的值，进而求得解析式.根据图像变换的知识求得的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得的单调递减区间. 【详解】解：已知函数，其中，，其图像关于直线对称， 对满足的，，有，∴. 再根据其图像关于直线对称，可得，. ∴，∴. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像. 令，求得， 则函数的单调递减区间是，， 故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题. 8. 如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，该曲线与圆锥的底面圆交于点、，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，得到及点坐标，即可求出，从而求出离心率. 【详解】设，该曲线与圆锥的底面圆交于点、， 因为，所以，即为等边三角形， 又为的中点，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴， 以直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设双曲线方程为， 所以，又，所以， 则点， 所以，解得（负值舍去）， 所以双曲线的离心率. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲､乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252 乙组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263 则下列说法正确的是（ ） A. 甲组数据的第80百分位数是249 B. 乙组数据的中位数是251 C. 从甲､乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率是 D. 乙组中存在这样的成员，将他调派到甲组后，甲､乙两组的跳远平均成绩都有提高 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用百分位数计算公式即可判断选项A；根据中位数定义即可判断选项B；根据古典概型概率公式和独立事件的乘法公式即可判断选项C；求出两者平均数并比较即可判断选项D. 【详解】由题意得甲组数据共有10个数字，而， 则甲组数据的第80百分位数是第8个数和第9个数的平均数， 即甲组数据的第80百分位数是，故选项A错误； 乙组数据共有12个数字，故乙组数据的中位数是第6个数和第7个数的平均数， 即乙组数据的中位数是，故选项B正确； 设“从甲组抽取的人跳远成绩在250厘米以上”为事件， ∵甲组中跳远成绩在250厘米以上的有2人，∴； 设“从乙组抽取的人跳远成绩在250厘米以上”为事件， ∵乙组中跳远成绩在250厘米以上的有7人，∴， 而从甲，乙两组各随机选取一个成员，则事件，事件相互独立， 所以由独立事件的概率乘法公式可知：“两人跳远成绩均在250厘米以上”概率为 ，故选项C正确； 甲组的跳远平均成绩为， 乙组的跳远平均成绩为， 则将乙组中跳远成绩为248厘米的成员调派到甲组后，甲，乙两组的跳远平均成绩都有提高，故选项D正确. 故选：BCD. 10. 如图，已知正四棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 4，点 ， 分别为 的中点，则（ ） A. B. 平面 平面 C. 三棱锥 的体积为 D. 四面体 的外接球的表面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由等积法可以判断C；建立空间直角坐标系，通过空间向量数量积运算可以判断A，B；根据题意设出球心，进而求出外接球半径及表面积. 【详解】 如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 对A，不是0，所以A不正确； 对B，设平面的法向量为，， 所以，令，则. 设平面的法向量为，， 所以，令，则. 所以，所以平面平面，故B正确； 对于C：，故C不正确； 对于D：三棱锥的外接球球心为，由， 四面体 的外接球的表面积为 ，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 存在实数使得为偶函数 B. 的导函数满足 C. 函数存在两个极小值点 D. 方程存在个不同的实根且 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数解析式可得定义域，根据偶函数的判定，可得A的正误；由抽象函数求导，可得B的正误；由函数解析式求导，根据导数与函数单调性的关系，结合极值的定义，可得C的正误；由零点的定义，结合函数的解析式，可得D的正误. 【详解】函数定义域为，因为，所以函数为偶函数，A正确； 由选项知，所以，B错误； ，， 由且，得，由，得， 由，得，所以有两个极小值点，C正确； 令，则，于是或，当时， 由得存在两个不同实根，，此时； 当时，由，知存在异于，的两个实根，且， 所以方程存在个不同的实根且，D错误． 故选：AC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程及椭圆的性质即可求解. 【详解】∵椭圆的一个焦点的坐标是, ∴，，∴，，，∴. 故答案为：. 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两角和正弦公式及切化弦得到，进而可求解. 【详解】由， 可得， 由，可得：， 即， 联立可得：， 所以， 故答案为： 14. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为________．（用数字作答） 【答案】14 【解析】 【分析】根据给定条件按三位数中是否有0分类，再利用排列组合应用问题列式计算得解. 【详解】将这些“凸数”分为两类：①含数字0，则0一定在个位上，有种； ②不含数字0，则有种， 所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为. 故答案为：14 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，再由与的关系，即可得到结果； （2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 当时，； 当时，， 且满足上式，所以. 【小问2详解】 ， ， 数列的前项和为. 16. 已知函数在处有极大值. （1）求实数的值； （2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案； （2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案. 【小问1详解】 由函数，求导可得， 由函数在处取极大值，则，解得或， 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极大值，符合题意. 综上所述，. 【小问2详解】 由（1）可得函数，求导可得， 令，解得或，可得下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数极大值为，极小值为， 函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点， 如下图： 由图可得，则. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，，为线段的中点. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，先证明，再利用线面平行的判定定理可证结论； （2）建立坐标系，求出平面法向量，利用线面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 连接BD交AC于点H，连接HE. 因为四边形ABCD是正方形，根据正方形对角线性质，可知H是BD的中点. 又因为E为线段PD的中点，在△PBD中，可得. 由于平面ACE，平面ACE，所以直线平面ACE. 【小问2详解】 因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以AB⊥AD. 又因为AB⊥PD，AD∩PD=D，且AD、PD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD. 在平面PAD内作Ax⊥AP，分别以Ax，AP，AB为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系A−xyz. 又底面ABCD为边长为2的正方形，，则， ，； ； 设平面PAC的一个法向量为，则，即， 令，得， 设直线AE与平面PAC所成角为θ，， 即直线AE与平面PAC所成角正弦值为. 18. 有一项高辐射的危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有A、B、C三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，且互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立． （1），如果按照A、B、C顺序先后进入； ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出人员数目 X的分布列和数学期望； （2）假定，试分析以怎样的先后顺序派出A、B、C三个人，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小. 【答案】（1）①；②分布列见解析，； （2）先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小. 【解析】 【分析】（1）①利用互斥事件、相互独立事件的概率公式列式计算；②求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）求出按照某种顺序完成任务的期望，再作差比较大小即可得解. 【小问1详解】 ①设按照A、B、C的顺序先后进入，任务被完成为事件， 则， ②可取1，2，3， ，，， 所以其分布列为 X 1 2 3 P 数学期望. 【小问2详解】 若按照某一指定顺序派人，A、B、C三人各自能完成任务的概率依次为，，， 其中，，是，，的一个排列， 结合（1）②知， 由，得要使X最小，前两人应从A和B中选，C最后派出， 若先派A，再派B，最后派C，则； 若先派B，再派A，最后派C，则， 而， 所以先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小. 19. 已知点，直线，动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线. （1）指出曲线是什么曲线，并求曲线的标准方程. （2）过点的动直线交曲线于两点，且点在第一象限，. ①求的面积的最小值. ②是否存在垂直于轴定直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由. 【答案】（1），曲线是抛物线 （2）①32；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义得，然后根据焦点坐标求出抛物线方程即可； （2）①设直线的方程为，与抛物线方程联立，韦达定理，求出弦长，进一步求出面积表达式，根据二次函数的性质求得最值即可； ②过点作，垂足为，设圆与直线的一个交点为，连接，根据垂径定理得，则当时，，求得弦长为定值. 【小问1详解】 由题意，点到定点的距离与它到定直线的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即曲线是抛物线.由题意知，抛物线开口向右，且，所以 ， 所以抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 ①设. 由题意知，直线的倾斜角不为0，设直线的方程为. 由消去，化简得 . ，则， 所以 . 因为， 当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值是32. ②假设存在直线满足题意.设以为直径的圆为圆，则 . 如图，过点作，垂足为. 设圆与直线的一个交点为，连接，则. 又，所以 当时，， 此时直线被以为直径的圆截得的弦长为定值. 因此存在直线满足题意 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临渭区2025年高三质量检测试题 数学 注意事项： 1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若（为虚数单位）是纯虚数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知非零向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 5. 《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（ ） A. 0.62 B. 0.56 C. D. 6. 自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（ ） A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 7. 已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是 A. B. C. D. 8. 如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分.若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲､乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252 乙组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263 则下列说法正确的是（ ） A. 甲组数据的第80百分位数是249 B. 乙组数据的中位数是251 C. 从甲､乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率是 D. 乙组中存在这样的成员，将他调派到甲组后，甲､乙两组的跳远平均成绩都有提高 10. 如图，已知正四棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 4，点 ， 分别为 的中点，则（ ） A. B. 平面 平面 C. 三棱锥 体积为 D. 四面体 的外接球的表面积为 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 存在实数使得为偶函数 B. 的导函数满足 C. 函数存在两个极小值点 D. 方程存在个不同的实根且 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为__________. 13. 已知，则__________. 14. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为________．（用数字作答） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列前项和满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 16. 已知函数在处有极大值. （1）求实数的值； （2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，，为线段的中点. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 有一项高辐射危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有A、B、C三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，且互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立． （1），如果按照A、B、C的顺序先后进入； ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出人员数目 X的分布列和数学期望； （2）假定，试分析以怎样的先后顺序派出A、B、C三个人，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小. 19. 已知点，直线，动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线. （1）指出曲线是什么曲线，并求曲线标准方程. （2）过点的动直线交曲线于两点，且点在第一象限，. ①求面积的最小值. ②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $