2026届高考数学二轮复习数列求通项的六种方法讲义

该高中数学讲义聚焦高考数列通项公式核心考点，系统梳理观察法、定义法、累加法、累乘法、前n项和法及构造法六大求法，按“方法适用条件-步骤拆解-典例解析”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导与真题训练，帮助学生突破构造法等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义采用分层教学策略，基础题巩固方法应用，综合题提升解题能力，如构造法中通过配常数转化等比数列、同除转化等差结构，培养学生数学思维与推理能力。设置当堂总结与分层作业，确保复习高效，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

1. 观察法 2. 定义法 适用：明确等差/等比。 步骤：求 → 代入公式 → 验证。 3. 累加法 适用：。 步骤：列差式 → 左右累加 → 左边消元 → 右边求和 → 得。 4. 累乘法 适用：。 步骤：列比例式 → 左右累乘 → 左边约分 → 右边求积 → 得。 5. 求（必考） 公式： 步骤：求 → 求表达式 → 验证 → 合并/分段。 6. 构造法（高频难点，考点） 型：配常数，使为等比。 型：两边同除，转化为等差结构。 分式型：取倒数，化为线性递推。 【一、观察法】 1．已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察数列各项的符号、分子、分母的规律，即可得到该数列的通项公式. 【详解】根据数列的规律，可知该数列的一个通项公式可以为． 2．数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别观察各项的整数部分和分数部分，找出规律后即得. 【详解】． 【二、定义法】 3．已知是等差数列的前项和，. 求； 【答案】(1)； 【分析】设等差数列的公差为，依题意列出方程组，求得，即可写出通项； 【详解】设等差数列的公差为，因，可得， 解得，故； 4．等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，．求和的通项公式； 【答案】； 【分析】通过基本量运算求得公差和公比，得到通项公式； 【详解】设等差数列公差为，等比数列公比为， 则，解得，所以，； 【三、累加法】 5．（1）已知数列满足，则＝______. 【答案】 【分析】利用累加法和等差数列的前项和公式求解. 【详解】， ，，，，， ， . （2）已知数列满足，则数列的通项公式为______. 【分析】利用累加法求出数列的通项公式. 【详解】由题意可得，且， 所以当时，，……，， 累加得， 所以， 验证当时，所以对成立， 6．在数列中，，则的值为（    ） A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D． 【答案】B 【详解】由可得， 则 . 7．已知数列满足，则的通项公式为_____． 【答案】 【分析】首先构造新数列，然后利用累加法即可求解. 【详解】 令，可得 又． 所以是首项为2，公比为2的等比数列，故 即 所以． 故答案为：. 8．已知数列满足，，若对，，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将整理成，利用累加法求出，从而得到， 对，恒成立，即，将整理为，利用基本不等式即可求出实数m的取值范围. 【详解】，， 当时，， 即，当时也满足，， 对，恒成立，， ， 当且仅当时，等号成立，，即， 实数m的取值范围是. 【四、累乘法】 9．（1）已知数列满足，当时，，则______． 【答案】/ 【分析】根据累乘法得，再结合裂项求和法求解即可. 【详解】在数列中，，因为当时，， 即，所以，，，…，， 上述等式两边分别相乘， 得， 所以，又也满足， 所以 所以， 所以 故答案为： （2）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，再根据进行裂项相消法求和即得. 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 【五、求】 10．（1）已知数列的前项和为，且，，则数列的通项公式_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用与的关系求出数列的通项公式. 【详解】在数列中，，当时，， 两式相减得，则，而， 因此当时，数列是以为首项，以3为公比的等比数列，， 所以数列的通项公式. （2）（多选）已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，，得到方程，求出，A正确；B选项，根据时，，得到为公差为1的等差数列，首项为，得到；C选项，分和两种情况，得到；D选项，分和两种情况，得到. 【详解】A选项，中，得，即，解得，A正确； B选项，因为时，，由得，即， 所以为公差为1的等差数列，首项为，所以，故，B错误； C选项，当时，当时，，时，， 当时，当时，，时，，综上，C正确； D选项，若，时，，显然此时满足上式，故， 此时， 若，时，，显然此时满足上式，故， 此时，综上，D正确. 11．已知正项数列的前项和为，且，则__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数列前项和与第项的关系化简给定等式，利用等差数列定义求出即可. 【详解】正项数列中，当时，， 整理得，则数列是首项，公差为1的等差数列， ，当时，，因此，而不满足上式， 所以. 12．（1）已知数列满足．求数列的通项公式． 【答案】 【分析】降次作差，再验证即可； 【详解】由题意，当 时，. ①， 当 时， ②， ①②得 ，即 . 当 时，故数列的通项公式为 . （2）已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足.设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是__________. 【答案】 【分析】先根据条件求出，，再根据探索数列的通项公式，代入，根据，分为奇数、偶数讨论的取值范围，最后根据为非零整数确定它的值. 【详解】因为，且 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，则， 可得， 即，则， 可得， 且，则，且，可知数列是首项和公差均为1的等差数列， 则，可得， 对任意，有恒成立，则恒成立， 因为 ， 即， 若是奇数时，则，即，可得； 若为偶数时，则，即，可得； 综上可得：，又因为是非零整数，所以． 【六、构造法】 13．（1）在数列中，，，则数列的通项公式为___________． 【答案】 【分析】由，构造等比数列，求得数列的通项公式，从而求得数列的通项公式. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以. 所以数列的通项公式为． （2）在数列中，，则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件先判断出是等比数列，然后可求的通项公式. 【详解】因为，所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，所以， （3）已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 【答案】 【分析】由构造法可得是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到结果. 【详解】 又 是以2为首项，2为公比的等比数列 ， . 14．（1）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】根据数列的递推式构造等比数列，求出其通项，进而求得的通项公式. 【详解】由两边同除以，可得， 令，则，设，对照上式可得， 即得，因，则数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，即，故. （2）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后得到原数列通项． 【详解】在递推公式的两边同时除以，得． 令，则，所以．又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，即， 所以． 15．（1）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意可得：，令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. （2）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，构造等比数列求出的通项公式，再分、、三种情况讨论数列，结合给出判断. 【详解】因为，，所以， 设，则，所以 若，则，则，与矛盾，所以，故， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，故， 若，则，则数列为递增数列，且， 所以数列为递减数列，与已知矛盾； 若，则， 所以数列为递减数列，且， 所以数列为递增数列，满足条件； 当时， ，故，所以数列为递减数列， 解不等式，得，可得， 因为，所以当，且时，， 当，且时，，与条件矛盾， 且若时有无意义， 所以的取值范围是， 【当堂总结】 【作业】 1. 设为数列的前n项和，当时，，已知，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 【答案】(1)证明见解析;(2);(3) 【分析】（1）将变为，则，整理得，利用等比数列的概念证明即可. （2）根据等比数列通项公式求得，变形为，然后根据等差数列的定义及通项公式求解即可. （3）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）当时，， 即， 则，而，则， 于是时，，整理得， 又， 所以数列是首项和公比都是2的等比数列． （2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列， 则，因此， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，， 所以数列的通项公式． （3）由（2）知，， ， 两式相减得，， 则． 2. （1）已知数列满足，求的通项公式； （2）在数列中，已知，求数列的通项公式． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用取倒数法，结合构造法、等差数列的定义进行求解即可； （2）运用累乘法进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 由， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）因为， 所以由， 因此由， 当时，， 显然也适合上式， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $