4.2 指数函数讲义【知识清单+10大题型】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.2 指数函数 第一部分：知识清单 知识点一：指数函数的概念 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 知识点二：指数函数的图象与性质 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 知识点三：指数函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 知识点四：指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 第二部分：典型例题汇总 典例一 指数函数的概念 典例二 指数型函数图象过定点问题 典例三 根据指数型函数图象求参数 典例四 指数函数的图象的应用 典例五 指数型复合函数的单调性 典例六 利用指数函数的单调性比较大小 典例七 利用指数函数的单调性解不等式 典例八 与指数函数有关的定义域 典例九 与指数函数有关的值域或最值 典例十 与指数函数的相关的综合问题 第三部分：典型例题 典例一 指数函数的概念 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）若函数是指数函数，求的值. 【答案】4 【分析】根据指数函数的定义列式求解即可. 【详解】解：因为函数是指数函数， 所以，，即， 所以. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数中，哪些是指数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（是常数）. 【答案】(1)指数函数 (2)不是指数函数 (3)不是指数函数 (4)不是指数函数 (5)不是指数函数 【解析】略 3．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则______． 【答案】 / 【分析】先设出指数函数的标准解析式，代入已知点坐标求出底数，再将代入解析式计算结果. 【详解】设指数函数的解析式为（且）， 将点代入解析式，得，解得， 因此， 所以. 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，则______. 【答案】 【详解】， ， ． 典例二 指数型函数图象过定点问题 5．（26-27高三上·河北·阶段检测）若且，则函数的图象恒过的定点坐标为 ________________________． 【答案】 【分析】定点与底数无关，因此令指数，使，再求对应的函数值． 【详解】令，得． 因为且，所以，从而． 因此函数的图象恒过定点． 6．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）函数（且）的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则k的值为______． 【答案】 【分析】先得到，进而由幂函数定义得到，代入求解 【详解】中，令得，此时， 所以，又A在幂函数上， 所以，解得，所以， 故，解得. 7．（25-26高一上·四川泸州·阶段检测）若函数的图象恒过定点，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用指数函数过定点，由指数为0求出参数，再结合指数函数的单调性求出的范围，进而可求的取值范围. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以，解得，所以， 因为在上单调递增，所以，所以， 即的取值范围是. 8．（2026高一·全国·专题练习）函数（且）的图象必经过点________． 【答案】 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 典例三 根据指数型函数图象求参数 9．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由图象可知，函数为减函数，所以， ， 因为，所以，所以. 10．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的单调性以及判断的范围，即可得解. 【详解】由的图象可知， 由知， 所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上. 故选：C. 11．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】D 【分析】根据指数函数图象性质可知，对选项逐一判断可得出结论. 【详解】对于A，根据图象为单调递减的，可知，即A错误； 对于B，由函数图象与轴交点在负半轴上，即可得，可得，因此B错误； 对于C，根据已有分析可知，所以，即C错误； 对于D，由可知函数的图象单调递增，且与轴交点在正半轴上， 因此可知函数的图象不经过第四象限. 故选：D 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，是指数函数，，是幂函数，它们的图象如图所示，判断，，，的大小关系. 【答案】 【分析】先根据递减的指数函数图像得到，再由幂函数单调性判断、，从而比较出，，，大小. 【详解】由指数函数，单调递减，则 当时，有，即，所以. 由，是幂函数，由单调递增，则， 根据的函数图像，可得，单调递减，则. 所以. 典例四 指数函数的图象的应用 13．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从而可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定的取值范围. 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 14．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知实数满足等式，其中不可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系下画出和的图像，然后在坐标系中作水平直线即可得解. 【详解】 在同一坐标系下画出和的图像， 从上到下的三条虚线分别可以推出，，， 则ACD选项有可能，B选项不可能. 故选：B 15．（25-26高一上·河北承德·期末）函数的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性以及时，的范围排除错误选项可得答案. 【详解】由函数，得定义域为，关于原点对称． 又因为， 所以函数为上的奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，故A，D错误． 当时，，， 所以，即； 当时，，， 所以，即． 所以由图象可知，C错误，B正确． 故选：B 16．（25-26高一上·北京昌平·期末）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的图象和的图象的交点可求的解集. 【详解】的解集即的解集， 也就是的图象在的图象的下方的点的横坐标的全体， 而的图象和的图象如图所示： 由图可得的解集为， 故选：B. 典例五 指数型复合函数的单调性 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 【答案】单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】令，可得，结合指数函数性质和二次函数性质及复合函数的单调性判断方法即可确定结论. 【详解】函数的定义域为， 令，时，． ，， 函数为增函数， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 由复合函数法可知函数在上单调递减，在上单调递增． 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 18．（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间是________________． 【答案】 【详解】因为是减函数，在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数的单调性，所以函数的递增区间是. 19．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）若函数（，）满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数值求参数，再根据复合函数单调性法则求单调递减区间. 【详解】因为， 所以，即，解得或（舍）， 所以， 令，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数知，在定义域上单调递减， 所以在上单调递减. 20．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据复合函数同增异减，问题转换成二次函数在上单调递增，进而可求解． 【详解】令，由于底数 ， 所以指数函数在上单调递减， 因此的单调性与的单调性相反， 要使在上单调递减， 需使在区间上单调递增， 二次函数开口向上，对称轴为， 要使在区间上单调递增， 需满足对称轴在区间的左侧， 所以． 典例六 利用指数函数的单调性比较大小 21．（25-26高二上·山东·学业考试真题）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较即可得到答案． 【详解】比较a和b：由，则是减函数，又，故，即； 比较a和c：由，则是增函数，又，故，即． 综上，． 22．（2027高三·全国·专题练习）（多选）若，，，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数函数的单调性得到，结合不等式的性质及作差法判断即可. 【详解】因为，所以，． 对于A，若，则不等式不成立； 对于B，因为，所以成立； 对于C，若，，则不等式不成立； 对于D，因为，所以，不等式成立． 23．（26-27高一上·浙江·开学考试）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】指数函数的底数，故该函数在R上单调递减，因为，所以； 幂函数的指数，故该函数在上单调递增，因为，所以； 综上，. 24．（26-27高一上·全国·课后作业）比较大小； (1)与； (2)与； (3)与. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构造幂函数，再利用函数的单调性判断可得； （2）构造幂函数，再利用函数的单调性判断可得； （3）构造幂函数，再利用函数的单调性判断可得. 【详解】（1）因为，所以，因为幂函数在上单调递增， 所以，即. （2）因为幂函数在上单调递增，且， 所以，即. （3）因为幂函数在上单调递减，且， 所以，即. 典例七 利用指数函数的单调性解不等式 25．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知函数，若正实数满足，则的最小值是（    ） A．11 B．8 C．4 D．3 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，结合题设推导出，再通过“1”的代换结合基本不等式求解最小值即可. 【详解】函数的定义域为，， 故是上的奇函数，且， 可得， 因为函数和函数在定义域上单调递增， 所以函数单调递增，所以， 即，其中. 将代入，得， 因此： ， 当且仅当即时等号成立， 将代入，解得，满足的条件， 因此的最小值为. 26．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题设可得为奇函数，然后判断单调性，据此可得答案. 【详解】， 又定义域为，则为奇函数. 又注意到函数均在上单调递增， 则在上单调递增，结合奇偶性，可得在上单调递增. 则 ， 所以. 27．（26-27高三上·福建南平·开学考试）已知函数则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简函数解析式，得出其关于直线对称且在时单调递增，利用函数性质将不等式转化为绝对值不等式求解. 【详解】首先化简函数：，可知函数的图象关于直线对称. 当时，单调递增，故单调递增， 单调递增，故单调递减，因此在上单调递增，由对称性可知在上单调递减. 根据函数性质，等价于，因此不等式等价于，即， 两边平方得，展开整理得，因式分解为，解得. 28．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数， 得， 即，所以的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以由，可得，即. 所以，整理得，解得或． 故关于的不等式的解集为. 典例八 与指数函数有关的定义域 29．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 30．（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 【答案】 【分析】要使函数有意义，须使，解不等式可得函数 的定义域. 【详解】要使函数有意义，须使. 所以. 因为函数是减函数，所以，所以. 所以函数 的定义域是. 故答案为：. 31．（25-26高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 32．（25-26高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为______________． 【答案】 【分析】利用函数有意义列出不等式组，求解即得定义域. 【详解】函数的意义，则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 典例九 与指数函数有关的值域或最值 33．（26-27高一上·全国·课后作业）求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)定义域为，值域且 (2)定义域为R，值域 (3)定义域为，值域 (4)定义域为R，值域 【详解】（1）要使函数有意义，需，即，故所求函数的定义域为． 可知，所以， 因为，所以函数的值域为且. （2）可知定义域为R， 因为， 所以，所以函数的值域为. （3）要使函数有意义，应满足，即，所以函数的定义域为， 设，则， 则，故所求函数的值域为． （4）可知定义域为R. 因为， 因为，所以，得， 所以函数的值域为． 34．（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）的值域为，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时：当时，指数函数单调递增，故，值域为 ， 当时，一次函数的斜率， 函数单调递减，最大值为， 当时 ，故值域为 ，，， 所以两部分值域的并集为 ，无法覆盖大于的实数， 值域不为，不符合题意. 当时：当时，指数函数单调递减，故，值域为 ， 时，一次函数斜率，函数单调递减， 最大值为 ，当时 ，故值域为 ， 若函数值域为，需两段值域覆盖全体实数，即满足， 由于，两边同乘得， 解得或（舍去），结合，得. 综上所述，的取值范围是. 35．（25-26高一上·安徽宿州·期末）记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】先求得，求得，得到时，，根据题意，转化为在上的值域为值域的子集，得到 ，结合，即可求解. 【详解】令，可得， 当时，；当时，，所以， 故在上的最小值为，即， 由， 令，可得，则，解得或， 当时，， 对于，，使得成立， 即在上的值域为值域的子集， 所以需要在上的值域是的子集， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 36．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域为上的偶函数． (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据偶函数定义列式求得的值，进而计算得解； （2）先根据定义法判断的单调性，结合偶函数性质，即可求解不等式的解集； （3）令，则可转化为关于的函数，分别讨论与，即可求得的值. 【详解】（1）因为是定义域为上的偶函数， 则，即， 所以，即， 所以，，； （2）由（1）可知， 任取，则，， 则， 所以，所以在上单调递增，又因为是偶函数， 故由式可得， 所以，即， 解得或，故不等式的解集为； （3）， 所以 ， 令，由，在上单调递增，则，则可转化为关于的函数，对称轴为. 当时，则时，，解得； 当时，则时，，解得，舍去； 综上，可知． 典例十 与指数函数的相关的综合问题 37．（26-27高三上·上海松江·阶段检测）已知函数. (1)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由参变量分离可得，令，则，结合二次函数的基本性质求解即可； （2）令，可得，求得，令，化简得出，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，即可得出的最小值的表达式，即为所求. 【详解】（1）若存在，使得，可得， 令，则， 令，其中， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，故实数的取值范围是. （2）， 令，则， 故， 因为函数、在上均为增函数， 故在上为增函数， 当时，， 设，其中， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，即当时，函数在上单调递增，此时； ②当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； ③当时，即当时，函数在上单调递减， 此时. 综上，. 38．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）设函数（，，）且为奇函数． (1)若，求的解析式； (2)在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，先求得，然后结合的值求得，从而求得的解析式. （2）利用换元法，结合函数的单调性求得的最小值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）因为函数（且）是上的奇函数，则， 即， ，可得，即， 由，得，解得（舍）或， . （2）由（1）得， 在上恒成立， 可转化为：，在上恒成立． ， 令，则在上为增函数，所以， ，所以当时，取得最小值， 所以的取值范围为． 39．（25-26高二下·吉林延边·期末）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意得函数关于对称，利用二次函数对称性即可求解； （2）先利用指数函数性质将问题转化，分离参数转化为不等式恒成立问题，再结合二次函数的图象与性质分析求解即可. 【详解】（1）因为函数在和上的单调性相反， 所以函数为二次函数且对称轴为， 即， 所以. （2）由题意得：即， 即在上恒成立， 由在上单调递减， 所以问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 等价于求在上的最大值， 令，由，则， 则， 由该函数对称轴为，且该二次函数开口向下， 所以在上单调递减， 所以， 所以，又，所以的取值范围是． 40．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数， (1)当时，求在上的值域； (2)若对于定义域内的任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先化简，利用对勾函数的性质求其值域. （2）将化为分段函数后分类讨论，分别分离参数求解. （3）先根据函数的性质缩小的取值范围，然后根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】（1）当时，. 当时，， 则，当，即时等号成立， 即在上的值域为． （2）. 当时，由，得， 因为，所以，所以，所以． 当时，由， 法一：当时，由， 得， 令，， 则， 由对勾函数的性质，可知， ，即． 综上所述，实数的取值范围． 法二：令，，则不等式化为， 由上述分析可知，只需考虑时的情况： 当时，有在上恒成立； 当时，则，故在时恒成立． 综上所述，实数的取值范围． （3）当时，，因为当时，， 所以在区间内必须恒大于等于0，且单调递减， 所以，解得． 当时，． 令，，则， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 故只需，即. 故实数的取值范围为． 第四部分：课后检测 1．（26-27高二上·云南文山·阶段检测）若函数是指数函数，则（   ） A．或 B． C． D．，且 【答案】C 【分析】根据指数函数的概念，即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得，满足，且. 2．（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，令，可得，则， 所以函数（且）的图象恒过定点坐标为. 3．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若为偶函数，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】利用偶函数的定义恒成立，即可求. 【详解】由题设，函数的定义域为R，且， 所以恒成立，则恒成立，故. 故选：B 4．（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数在上的值域，对实数的取值进行分类讨论，求出该函数在上的值域，结合已知条件可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则，故， 若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为，不是，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 5．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 6．（25-26高一上·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确复合函数的构成，根据同增异减确定单调区间. 【详解】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 7．（2026·江苏·一模）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为正数可得，根据为正数及为上的增函数可得，从而可得正确的选项. 【详解】因为为正数，故. 由题设有， 而，故，故， 故，且， 故 设，因为均为上的增函数， 故为上的增函数，而，故， 故A正确，BCD错误. 8．（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析辅助函数的奇偶性、单调性来判断原函数的单调性，将不等式问题转化为求辅助函数的值域问题进行解答. 【详解】函数， 令函数，即， ，故是奇函数， 因为是上的增函数， 所以是上的减函数，是上的减函数， 因此是上的减函数，也是上的减函数， 将代入不等式， 即，化简可得， 因为是奇函数，所以， 代入可得， 因为是减函数，，所以， 令，，故，， 是对勾函数，在上单调递增， 因此当时，，当时，， 即，则， 在上有解，即大于在上的下确界， 因此实数的取值范围是. 9．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知函数，.则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．的值域为 C．在上单调递增 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用奇偶性的定义即可判断奇函数，利用分离常数及已知函数单调性结合复合函数思想即可判断B选项和C选项，利用特殊值即可验证D选项． 【详解】对于A选项，定义域为，关于原点对称，又因为， 所以是奇函数，故A正确； 对于B选项，由， 令，则，， 因为，所以，，，则， 所以的值域为，故B正确； 对于C选项，由选项B的分析可知， 由是在上的增函数，由复合函数的单调性可得是在上单调递增，故C正确； 对于D选项，因为若，不妨令，，则，故D错误． 10．（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）（多选）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，则（ ） A． B． C．不等式的解集是 D．在上恒成立 【答案】ABC 【分析】先利用函数奇偶性构造方程组求解出函数的解析式，判断AB选项；选项C利用奇函数的性质转化为解不等式的形式，再利用的增减性解不等式；选项D可以通过代入特殊值判断. 【详解】已知①， 将替换成，可以得到：， 由是奇函数得，是偶函数得， 则②. 用①②得：，即，则，故AB正确； 对于C，不等式，即 ， 因为为增函数，所以， 令，则，， 不等式转化为：，解得，即，解得，故C正确； 对于D，取，由，，此时的， 故在上不恒成立，故D错误. 11．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】当时，，因此时，，且在上单调递增，故C符合，AB不符合； 当时，，因此时，，且在上单调递减，故D符合． 12．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数，若．则的最小值是______；若的最小值是，则______． 【答案】 / 【分析】对第一个空，求解分段函数的最小值，需分别分析每一段的单调性与最值： 时利用指数函数的单调性求最小值，时通过二次函数的顶点公式求最小值，再比较两段最小值得到整体最小值；对第二个空已知最小值求参数时，先根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论，确定两段函数的最小值，再令整体最小值等于列方程求解，最后验证解是否符合对应分类的前提条件. 【详解】当时，， 当时，单调递增，因此单调递增，最小值为， 当时，是开口向上的二次函数， 对称轴为（在区间内），最小值为， 比较两段最小值和，得的最小值为； 当时，单调递增，最小值为， 当时，是开口向上的二次函数，对称轴为， 分情况讨论： 若，则对称轴，时单调递减， ，，，所以时无最小值； 令，方程无解，该情况不成立； 若，则对称轴，时二次函数的最小值为 此时段的最小值为， 由题意最小值为，结合，应有， 解方程，得（舍去）或， 当时，，的最小值为，，的最小值为， 所以的最小值为，符合题意， 综上， 13．（26-27高三上·四川达州·阶段检测）若函数 满足，且在单调递增，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据函数的对称性确定，再由函数的单调性即可得解. 【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称， 故，且函数在上是增函数， 依题意，有，故得. 故的取值范围是. 14．（26-27高三上·天津河东·阶段检测）已知函数，则__________；不等式的解集是__________． 【答案】 【详解】易得，，则； 若，则由得或，故； 若，则由得， 故的解集是. 15．（26-27高三上·河北·阶段检测）已知函数是奇函数，且． (1)求，的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据可得，再结合，即可求，的值. （2）结合函数的奇偶性，原不等式可化为，再结合函数的单调性，可把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】（1）因为是奇函数，所以， 则． 因为， 所以． 又，所以， 解得，． （2）由（1）可得， 易得在上单调递增． 因为， 所以等价于， 则，解得或， 故不等式的解集为． 16．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)若，直线与曲线至少有3个交点，求实数的取值范围； (3)若，，，求实数的取值范围． 【答案】(1)的单调递减区间为，；单调递增区间为， (2) (3) 【分析】（1）作出的函数图像，进而求解； （2）由（1）得在上为拱段，在两侧为，分类讨论即可求解； （3）先判断的单调性，进而求出在的最大值，再转化为，进而得对任意恒成立，分别求在区间的最大值和的最小值即可求解. 【详解】（1）依题意，，      作出函数的大致图象如下所示， 观察可知，的单调递减区间为，， 单调递增区间为，； （2）结合（1）中的图象可知， 在上为拱段，在两侧为． 直线与两侧支的交点满足， 两根之积为，且负根、正根， 故恒有2个有效交点， 因此“至少有3个交点”等价于直线与拱段有交点． 临界状态为直线与该拱段相切， 联立，整理得，      则，解得或， 又，舍去， 当时，切点，确在拱段上；更大时直线与拱段有2个交点． 综上，实数的取值范围为； （3）设，化为， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，最大值为；      则化为对任意恒成立， 则，可得：对任意恒成立，      函数在区间单调递增，有最大值2， 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 指数函数 第一部分：知识清单 知识点一：指数函数的概念 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 知识点二：指数函数的图象与性质 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 2、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 知识点三：指数函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 知识点四：指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 第二部分：典型例题汇总 典例一 指数函数的概念 典例二 指数型函数图象过定点问题 典例三 根据指数型函数图象求参数 典例四 指数函数的图象的应用 典例五 指数型复合函数的单调性 典例六 利用指数函数的单调性比较大小 典例七 利用指数函数的单调性解不等式 典例八 与指数函数有关的定义域 典例九 与指数函数有关的值域或最值 典例十 与指数函数的相关的综合问题 第三部分：典型例题 典例一 指数函数的概念 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）若函数是指数函数，求的值. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数中，哪些是指数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（是常数）. 3．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则______． 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，则______. 典例二 指数型函数图象过定点问题 5．（26-27高三上·河北·阶段检测）若且，则函数的图象恒过的定点坐标为 ________________________． 6．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）函数（且）的图象恒过定点A，且A在幂函数的图象上，则k的值为______． 7．（25-26高一上·四川泸州·阶段检测）若函数的图象恒过定点，则的取值范围是_________. 8．（2026高一·全国·专题练习）函数（且）的图象必经过点________． 典例三 根据指数型函数图象求参数 9．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，是指数函数，，是幂函数，它们的图象如图所示，判断，，，的大小关系. 典例四 指数函数的图象的应用 13．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知实数满足等式，其中不可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·河北承德·期末）函数的大致图象是（    ） A．B． C． D． 16．（25-26高一上·北京昌平·期末）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 典例五 指数型复合函数的单调性 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 18．（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间是________________． 19．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）若函数（，）满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例六 利用指数函数的单调性比较大小 21．（25-26高二上·山东·学业考试真题）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 22．（2027高三·全国·专题练习）（多选）若，，，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 23．（26-27高一上·浙江·开学考试）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（26-27高一上·全国·课后作业）比较大小； (1)与； (2)与； (3)与. 典例七 利用指数函数的单调性解不等式 25．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知函数，若正实数满足，则的最小值是（    ） A．11 B．8 C．4 D．3 26．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围是______． 27．（26-27高三上·福建南平·开学考试）已知函数则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 典例八 与指数函数有关的定义域 29．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 30．（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 31．（25-26高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为______________． 典例九 与指数函数有关的值域或最值 33．（26-27高一上·全国·课后作业）求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 34．（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）的值域为，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·安徽宿州·期末）记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是_____________. 36．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域为上的偶函数． (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值． 典例十 与指数函数的相关的综合问题 37．（26-27高三上·上海松江·阶段检测）已知函数. (1)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (2)若，求函数的最小值. 38．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）设函数（，，）且为奇函数． (1)若，求的解析式； (2)在（1）的条件下，若函数在上恒成立，求实数的取值范围． 39．（25-26高二下·吉林延边·期末）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 40．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数， (1)当时，求在上的值域； (2)若对于定义域内的任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围. 第四部分：课后检测 1．（26-27高二上·云南文山·阶段检测）若函数是指数函数，则（   ） A．或 B． C． D．，且 2．（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若为偶函数，则（   ） A． B．0 C． D．1 4．（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏·一模）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知函数，.则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．的值域为 C．在上单调递增 D．若，则 10．（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）（多选）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，则（ ） A． B． C．不等式的解集是 D．在上恒成立 11．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 12．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数，若．则的最小值是______；若的最小值是，则______． 13．（26-27高三上·四川达州·阶段检测）若函数 满足，且在单调递增，则的取值范围是_______． 14．（26-27高三上·天津河东·阶段检测）已知函数，则__________；不等式的解集是__________． 15．（26-27高三上·河北·阶段检测）已知函数是奇函数，且． (1)求，的值； (2)求不等式的解集． 16．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)若，直线与曲线至少有3个交点，求实数的取值范围； (3)若，，，求实数的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $