精品解析：山西阳泉市第二中学校等校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

高一数学期中考试试题 班级___________ 姓名___________ 考号___________ 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量加减法法则求解即得. 【详解】. 故选：D 2. 已知向量与的夹角为，则等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积公式代入计算即可. 【详解】因为向量与的夹角为， 所以. 故选：B. 3. 复数的共轭复数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法法则得到，根据共轭复数的概念得到答案. 【详解】，所以共轭复数为. 故选：A. 4. 在中，若，则B为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求角的大小. 【详解】由，又且， 所以或. 故选：B 5. 已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱体积公式求出圆柱的高，再代入侧面积公式求解即可. 【详解】设圆柱的高为h， ，解得， . 故选：D 6. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设该圆锥底面圆的半径为，则，解得， 所以该圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为. 7. 在中，内角所对的边分别为，已知，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理得 选B. 8. 如图，在中，，点是的中点．设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求得答案. 【详解】由题意在中，，点是的中点， 故 ， 故选：A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. 复数的虚部等于 B. C. D. 若是实数，是纯虚数，则 【答案】CD 【解析】 【分析】先化简复数，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，复数， 对于A项：，所以复数的虚部等于，故A错误； 对于B项：，故B错误； 对于C项：，故C正确； 对于D项：因为是纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，故D正确． 故选：CD. 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A，根据向量平行和数量积的坐标表示判断B，根据向量模长的坐标表示判断C，根据向量夹角的坐标表示判断D. 【详解】选项A，若，则，解得，故A项错误； 选项B，若，则，解得， 则，故B项正确； 选项C，若，则，所以，故C项正确； 选项D，，则，，， 所以，所以与的夹角不是，故D项错误， 故选：BC 11. 在中，若，则的形状可能为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦定理及余弦定理把题设中的边角关系转化为边的关系，化简后可判断三角形的形状. 【详解】法一：由正弦定理及余弦定理知， 原等式可化为， 整理得：， 或， 故三角形为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理，原等式可化为， ，， 又，， 或， 或， 故为等腰三角形或直角三角形． 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设母线为，高为，由侧面积公式求出，即可求出，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为圆台的上底面半径，下底面的半径，其侧面积为，设母线为，高为， 所以，即，解得， 所以， 所以该圆台的体积. 故答案为： 13. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，，， 所以， 则向量在方向上的投影向量为. 14. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为，则其外接球的表面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】可把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，得到三棱锥的外接球与该长方体的外接球是同一个球，设外接球的半径为，结合长方体的性质，求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，可把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体， 则三棱锥的外接球与该长方体的外接球是同一个球，设外接球的半径为， 因为长方体的对角线长为，可得，即， 所以外接球的表面积为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，与的夹角是． （1）计算； （2）当为何值时，？ 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积求出两个向量的数量积；利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模． （2）利用向量垂直的充要条件列出方程求出的值． 【小问1详解】 解：由已知， 所以． 【小问2详解】 解：若，则， ，则， ． 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求角A； （2）若，，求边c及的面积； 【答案】（1） （2）3； 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角即可得结果； （2）利用余弦定理可得，结合面积公式运算求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 且，则， 可得，则， 又因为，所以． 【小问2详解】 由余弦定理得，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积． 17. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造三角形的中位线，可得线线平行，再利用线面平行的判定定理可得线面平行. （2）寻找线面平行，根据面面平行的判定定理证明面面平行. 【小问1详解】 如图：连接BD，设，连接OM， ∵在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面，平面， 平面. 【小问2详解】 如图：连接，NB， 为的中点，为的中点， ，又， ∴四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面 由（1）知平面，，平面，平面， ∴平面平面. 18. 在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B的值； （2）若，判断的形状； （3）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 【答案】（1）60°； （2）等边三角形； （3）. 【解析】 【分析】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断；（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围. 【小问1详解】 ∵， ∴由正弦定理得， 即， 即， 即， 由余弦定理得， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形. 【小问3详解】 因为, 由正弦定理,得 所以 因为为锐角三角形,则, 从而, 所以. 19. 如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求： （1）正四棱锥的表面积； （2）侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）； （2）在侧棱上存在一点，使平面，满足． 【解析】 【分析】（1）根据棱锥的表面积的计算公式即可求出结果； （2）分析可得在侧棱上存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论. 【小问1详解】 正四棱锥中，，， 侧面的高， 正四棱锥的表面积． 【小问2详解】 在侧棱上存在一点，使平面，满足． 理由如下： 取中点为，因为，则， 过作的平行线交于，连接，． 在中，有， 平面，平面，平面， 由于，． 又由于， 平面，平面，平面， ，平面平面，得平面， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期中考试试题 班级___________ 姓名___________ 考号___________ 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. 0 C. D. 2. 已知向量与的夹角为，则等于（ ） A. B. C. D. 2 3. 复数的共轭复数为（    ） A. B. C. D. 4. 在中，若，则B为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角所对的边分别为，已知，，则 A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点是的中点．设，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. 复数的虚部等于 B. C. D. 若是实数，是纯虚数，则 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 11. 在中，若，则的形状可能为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的体积为__________． 13. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为________. 14. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为，则其外接球的表面积是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，与的夹角是． （1）计算； （2）当为何值时，？ 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求角A； （2）若，，求边c及的面积； 17. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求证：平面平面. 18. 在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B的值； （2）若，判断的形状； （3）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 19. 如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求： （1）正四棱锥的表面积； （2）侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $