第一单元：三角形的证明及其应用测试卷2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦三角形证明及应用的单元复习卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查推理意识、几何直观与创新意识，适配初中数学单元学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|三角形全等（HL）、反证法|几何直观（方格图等腰三角形存在性）| |填空题|6/24|尺规作图（垂直平分线）、垂美四边形|数学文化（垂美四边形定义应用）| |解答题|5/56|动态探究（等边三角形运动）、对顶三角形性质|创新意识（点运动中角度与线段关系推理）|

第一章测试卷 范围：三角形的证明及其应用 满分:120分 时间：90分钟 题序 一 二 三 评卷人 总分 得分 一、选择题(共 10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是符合题意的) 1.某一水塘边的警示牌如图所示，牌面的形状是五边形，这个五边形的内角和是 ( ) A.900° B.720° C.540° D.360° 2.如图,在Rt△ABC和Rt△DEF中,点B,D,C,E在同一条直线上,点C和点E重合.∠B=∠DEF=90°,AB=DE,若添加一个条件后可用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DEF,添加的条件是 ( ) A. BC=EF B.∠BCA=∠F C. BA∥EF D. AC=DF 3.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设直角三角形中 ( ) A.有一个锐角小于45° B.每一个锐角都小于45° C.有一个锐角大于45° D.每一个锐角都大于45° 4. 如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于点E,CD=DE,∠A=38°,则∠CBD的度数为( ) A.34° B.26° C.24° D.18° 5.如图所示的是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格剩余顶点中确定一点C，连接AC和BC，使 是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 6. 如图，在 中,DE 垂直平分AC, 的周长为13，则 的周长为 ( ) A. 16 B.13 C.19 D.10 7.下列条件：①b²=c²-a²;②∠C=∠A-∠B;③a:b:c= ; ; 其中能判定 是直角三角形的有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 8.如图，在 中. 和 的平分线分别交 ED 于点F,G,若FG=2,ED=6,则DB+EC的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.9 9. 如图，在 中，AB，AC的垂直平分线 相交于点O，若 则 的度数为 ( ) A. B. C. D. 10.如图，已知 点 …在射线 ON 上,点 …在射线OM上， ⋯均为等边三角形，若 则 的边长为 ( ) A.16 B.32 C.64 D.128 二、填空题(共6小题，每小题4分，共24分) 11.一个多边形外角和是内角和的 则这个多边形的边数为 . 12. 如图,在 中，按以下步骤尺规作图：①分别以点B，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N；②作直线 MN交AB于点D,连接CD.若 则 的度数为 . 13. 如图,若 是等边三角形，AB=6,BD 是 的平分线，延长BC到E，使CE=CD,则 14.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O,若AD=3,BC=8,则 15. 如图,点P是 的平分线AD上一点. 于点 E，且PE=3,AE=4,点F 在边AB上运动，连接PF，当点 F 运动到某一位置时， 的面积恰好是 面积的 则此时AF的长是 . 16. 如图,A,B,C 在同一条直线上, 和 均为等边三角形，AE，FC 相交于点 D,同时分别交 FB,EB 于点 M,N,下列结论: △FBC;②AB=FN;③BM=BN;④∠ADF=60°;⑤DB平分 其中正确的有 .(填序号) 三、解答题(共56分) 17.(8分)如图,在 中，AB=AC,AD 为BC边上的中线,E 为AC 上一点，且 求 的度数. 学科网（北京）股份有限公司 18.(10分)在 中，D是BC的中点， ，垂足分别是E,F. (1)若BE=CF,求证:AD 是 的角平分线. (2)若AD是 的角平分线，求证：BE=CF. 19. (10分)如图, 中， 于D,EF垂直平分AC,交AC 于点F,交BC于点E，且BD=DE. (1)若 求 的度数. (2)若 的周长为20cm,AC=8cm,求DC的长. 20. (12分)我们将一对内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”.例如，在图①中， 的内角 与 的内角 互为对顶角，则 与 为对顶三角形，根据三角形内角和定理知对顶三角形有如下性质： (1)如图②. 与 为对顶三角形，E为OB上一点， 求证： (2)如图③,在 中,点D,E分别是边 AB,AC上的点, 若 比 大 求 的度数. 21. (16分)如图, 为等边三角形，点 D，E分别是边AB，BC 所在直线上的动点，若点 D，E以相同的速度，同时从点 A、点B出发，分别沿射线AB、射线 BC方向运动,直线AE,CD 交于点 O. (1)如图①,求证: (2)在点 D，E运动过程中，求 的度数. (3)如图②,点P为边AC的中点,连接BO,PO,当点 D,E分别在线段AB，BC上运动时，判断BO与PO的数量关系，并证明你的结论. 学科网（北京）股份有限公司 第一单元测试卷参考答案 1. C 2. D 3. D 4. B 5. C 如图所示,当点C在C₁,C₂,C₃,C₄的位置上时,AC=BC;当点C在C₅,C₆的位置上时,AB=BC.综上,满足条件的点C的个数是6. 故选 C. 6. C ∵DE 垂直平分AC,AE=3,∴DA=DC,AC=2AE=6,∵△ABD的周长为13,∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19.故选C. 7. C ①b²=c²-a²,即 是直角三角形，故①符合题意； ②∵∠A+∠B+∠C=180°,∠C=∠A-∠B, ∴∠A+∠B+∠A-∠B=180°,即∠A=90°, ∴△ABC是直角三角形，故②符合题意； 设 ∴△ABC不是直角三角形，故③不符合题意； ④∵∠A:∠B:∠C=3:4:5, 故△ABC不是直角三角形，故④不符合题意. 综上，符合题意的有①②，共2个.故选 C. 8. B ∵ED∥BC,∴∠DFB=∠FBC,∠EGC=∠GCB,∵∠DBF=∠FBC,∠ECG=∠GCB,∴∠DFB=∠DBF,∠ECG=∠EGC,∴BD=DF,CE=GE,∵FG=2,ED=6,∴DB+EC=DF+GE=ED-FG=6-2=4. 故选 B. 9. C 连接AO(图略),∵l₁垂直平分AB,l₂垂直平分AC,∴AO=BO,AO=CO, ∴∠OBA=∠OAB,∠OCA=∠OAC,BO=CO, ∴∠OBC=∠OCB, ∵∠OAB+∠OAC=∠BAC=78°, ∴∠OBA+∠OCA=∠OAB+∠OAC=78°, ∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-78°=102°, ∴∠OBC+∠OCB=∠ABC-∠OBA+∠ACB-∠OCA= ∴∠OBC=∠OCB=12°. 故选 C. 10. C ∵△A₁B₁A₂为等边三角形,∴ 同理可得 ∴△A₆B₆A₇的边长为64. 故选 C. 11.答案 11 12.答案 25° 13.答案 9 14.答案 73 15.答案 2 16.答案 ①③④⑤ 解析 ∵△ABF和△BCE均为等边三角形, ∴AB=FB,BC=BE,∠ABF=∠CBE=60°, ∴∠ABE=120°=∠FBC, 在△ABE 和△FBC中 ∴△ABE≌△FBC(SAS)(①正确), ∴∠BAM=∠BFN, 在△ABM 和△FBN中 ∴△ABM≌△FBN(ASA), ∴AM=FN,BM=BN,故③正确. ∵∠MAB<60°,∠ABF=60°, ∴∠AMB≠∠ABM,∴AB≠AM, ∴AB≠FN,故②错误. ∵△ABE≌△FBC,∴∠AEB=∠FCB, ∴∠ADF=∠DAC+∠ACD=∠DAC+∠AEB=∠CBE60°,故④正确. 过B作BP⊥AD,BQ⊥CD,垂足分别为 P,Q,如图, ∴∠BPM=∠BQN=90°, ∵△ABE≌△FBC, ∴由全等三角形的对应高相等可得BP=BQ， ∵BP⊥AD,BQ⊥CD, ∴DB是∠ADC的平分线,故⑤正确. 故答案为①③④⑤. 17.解析 ∵AB=AC,AD为BC边上的中线, ∴∠ADC=90°,∠CAD=∠BAD=50°, ∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-65°=25°. 18.证明:(1)∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴△BDE,△DCF 是直角三角形. ∵D是BC的中点,∴BD=DC. 在 Rt△BDE与 Rt△CDF中, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF, 又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD平分∠BAC, ∴AD是△ABC的角平分线. (2)∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE=DF, 在 Rt△BDE和Rt△CDF中, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴BE=CF. 19.解析 (1)∵AD⊥BC,BD=DE,∴AB=AE. ∵EF垂直平分AC,∴AB=AE=EC,∴∠C=∠CAE, ∵∠BAE=40°,AB=AE,∴∠AED=∠ABD=70°, (2)∵△ABC的周长为20cm,AC=8cm, ∴AB+BE+EC=12cm,即2DE+2EC=12cm, ∴DC=DE+EC=6cm. 20.解析 (1)证明:由题意可得∠OAB+∠B=∠C+∠D, ∴∠OAB-∠C=∠D-∠B, ∵∠EAO=∠C,∠D=2∠B, ∴∠OAB-∠EAO=∠B,即∠EAB=∠B. (2)由题意得∠ECD-∠DBE=20°, ∵∠DBE+∠BDO=∠ECD+∠OEC, ∴∠BDO-∠OEC=∠ECD-∠DBE=20°, ∵∠BOD=∠A,∠BOD+∠DOE=180°, ∴∠A+∠DOE=180°,∴∠ADO+∠AEO=180°, ∵∠BDO+∠ADO=180°,∴∠BDO=∠AEO, 又∠AEO+∠OEC=180°,∴∠BDO+∠OEC=180°, 又∠BDO-∠OEC=20°,∴∠BDO=100°. 21.解析 (1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴AB=CA,∠ABE=∠CAD=60°,由题意知 BE=AD,在△ABE 和 △CAD中 ∴△ABE≌△CAD(SAS). (2)①当点D,E分别在线段AB,BC上时,∵△ABC为等边三角形,∴ ∠BAC=60°,∵ △ABE≌△CAD,∴∠BAE=∠ACD,∵∠COE 是△ACO 的外角,∴∠COE=∠ACD+∠EAC=∠BAE+∠EAC=∠BAC=60°. ②当点 D，E分别在AB，BC的延长线上时，如图所示， 同(1)可证△ABE≌△CAD(SAS),∴∠BAE=∠ACD,∴∠COE=∠BAE+∠ADC=∠ACD+∠ADC=180°-∠BAC=120°. 综上所述,∠COE=60°或120°. (3)BO与PO的数量关系为 BO=2PO,理由如下: 延长OP到F,使PF=OP,连接CF,以OC为边作等边△COG,连接BG,如图所示,O ∵∠COE=60°,∴O,E,G三点共线,G ∵点P为边AC的中点,∴AP=CP, 在△APO和△CPF中 ∴△APO≌△CPF(SAS),∴AO=CF,∠AOP=∠F ∴CF∥AO,∴∠FCO=∠COE=60°, ∵△COG是等边三角形， ∴CO=OG=CG,∠GCO=∠CGO=60°, ∵∠ACB=∠OCG=60°,∴∠ACO=∠BCG, 在△ACO和△BCG中 ∴△ACO≌△BCG(SAS),∴∠BGC=∠AOC=180 ∠COE=120°,AO=BG,∴CF=BG,∠BGO=∠B( ∠CGO=120°-60°=60°,∴∠FCO=∠BGO, 在△FCO和△BGO中 ∴△FCO≌△BGO(SAS),∴BO=OF, ∵PF=OP,∴BO=2PO. 学科网（北京）股份有限公司 $