第1章三角形的证明及应用 期中复习达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明及应用》 期中复习达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1.若一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是() A.九边形 B.八边形 C.六边形 D.五边形 2.用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设() A.没有一个内角是钝角 B.至少有一个内角是钝角 C.至少有两个内角是锐角 D.至少有两个内角是钝角 3.具备下列条件的三角形中，不为直角三角形的是() A.∠A十∠B=∠C B.∠A=90°-∠B C.∠A-∠B=90 D.一个外角等于和它相邻的一个内角 4.若等腰三角形的一个角是70°，则它的底角为() A.55o B.70 C.40°或70° D.55°或70 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=6,AD平分∠BAC交BC于D,若DC=2, 则△ABD的面积等于() B D A.3 B.6 C.12 D.24 6.如图，在△ABC中，ED‖BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F,G,若 FG=2,ED=6,则DB+EC的值为() F G A.3 B.4 C.5 D.8 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线分别与AB、BC交于点D、E, 连接AE,若AC=12,S△4EC=30,则BC的长为() D A.13 B.18 C.20 D.28 8.如图，己知AF=AB,∠FAB=60°，AE=AC,∠EAC=60°，CF和BE交于0点， 则下列结论：①CF=BE;②∠C0B=120°；③0A平分∠F0E;③0F=OA+OB.其 中正确的有(） M A.①② B.①②③ c.①②③④ D.①②④ 二、填空题（满分24分） 9.命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是 10.等腰三角形的腰长为25，底边长为14，则它底边上的高为 11.如图，用边长相等的3个正五边形和中间的正三角形密铺成了如图所示的花瓣形图案（每 个正五边形均与三角形有一组公共边)，则∠α的度数为 0 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90·,BD平分∠ABC交AC于点D,作DETBC交AB于 点E.若AE=5,BE=3,则△ADE的周长是 13.如图，ABICD,BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD,AD过点E,且与AB互相垂直， 点P为线段BC上一动点，连接PE.若AD=8,则PE的最小值为 14.如图，已知△ABC中，点D是BC中点，连接AD,过点B作BE⊥AD交AD延长线 于E,若∠CAD=45°，BE=4DE,△ACD的面积为20，则△ABE的面积为 15.如图，△ABC和△ECD均为等边三角形，连接ADAE、BE,其中BE交AC于点F.若 AE恰好平分∠CAD,且∠CAE=11°，则∠AFB的度数为 16.如图，已知△ABC中，∠BAC=120°，分别作AC,AB边的垂直平分线PM,PN交 于点P,分别交BC于点E和点F.则以下各说法中：①∠P=60·,②∠EAF=60°， ③点P到点B和点C的距离相等，④PE=PF.正确的说法是 (填序号) E M 三、解答题（满分72分） 17.如图，己知△ABC B (1)作中线AD; (2)作角平分线BE, 18.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，直线DE是AB的垂直平分线，与AB 交于点E,与BC交于点D,连接AD E C D B (1)求证：AD平分∠BAC (2)若CD=2,求△ABD的面积 19.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，点E、G分别是边AB、AD上一点，连接DE 、CG、AC.过点C作CF⊥AD于点F,已知AC平分∠BAD、AE=AG, 2DF+AE-AD (1)若BC=3,求CF的长度； (2)求证：点C在DE的垂直平分线上. 20.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC的中点，DE⊥BC于E,过 点C作CF‖AB交DE的延长线于点F,连接AF交BD于点G D G B (1)求证：①△BAD兰△ACF;②BD⊥AF: (2)连接BF,判断△ABF的形状，并说明理由. 21.如图，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=2CD=1,点B在AD的延长线上， BD=1,连接BC. (1)求BC的长： (2)动点P从点A出发，沿射线AB运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒. ①当t为何值时，△PDC兰△BDC: ②当t为何值时，△PBC是等腰三角形？ 22.如图1，△ABD中，AD=2,BD⊥AD于点D,BD平分∠ABC,∠ABC=60°， BD与AC相交于点E. (图1) (图2 (图3) (1)求AB的长： (2)延长AD与BC相交于一点P,如图2，求证：△ABP是等边三角形： 3)如图3，点M是AB中点，点N是BD上一动点，连接MN,AN.当BD=2N3时，求 △BMN面积的最大值. 23.如图①，等腰△ABC中，AB=AC,点0在底边BC上（异于点B,C),点D是AO延 长线上一点，若△BCD为等腰三角形，则称点D为△ABC的"同类点”. M D 图① 图② 图③ (1)如图③，以点A为原点建立平面直角坐标系，在5×5的正方形网格图上有一个△ABC, 点A,B,C均在格点上，在给出的网格图上有一个格点D,使得点D为△ABC的“同类点”， 请写出符合条件的点D坐标为_； (2)如图②，BG平分∠MBN,过射线BM上的点A作ADIBN,交射线BG于点D,点O为 BD上一点，连接AO并延长交射线BN于点C,若∠BAD=100°，∠BCD=70°，求证： 点C是△ABD的“同类点”： (3)凸四边形ABCD中，∠ABC=110°，DA=AB=BC,对角线AC、BD交于点O,且 BD≠CD,若点C为△ABD的“同类点”，请直接写出所有满足条件的∠ADC的度数。 参考答案 1.解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：(n-2)×180°=1260°， 解得：n=9, 即这个多边形是九边形， 2.解：：原命题三角形的内角中最多有一个内角是钝角”的否定是“至少有两个内角是钝角”， :反证法时应先假设“至少有两个内角是钝角”. 故选：D. 3.解：对A::∠A十∠B=∠C,÷2∠C=180°，得∠C=90°，该三角形是直角三 角形： 对B::∠A=90°-∠B,÷∠A+∠B=90°，÷∠C=180°-90°=90°，该三角 形是直角三角形： 对C::∠A-∠B=90°，·∠A=90+∠B>90°，该三角形为钝角三角形，不是直 角三角形： 对D::三角形的一个外角与和它相邻的内角和为180°，且外角等于相邻内角，∴.这个内 角为四=90°，该三角形是直角三角形。 4.解：分两种情况讨论： 若70°的角是底角，则底角为70°， 此时顶角为180°一70°一70°=40°，符合三角形内角和定理； 若70°的角是顶角 :等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°， :底角为18027亚=55°， .该等腰三角形的底角为55°或70°. 5.解：过点D作DE⊥AB交AB于点E, :AD平分∠BAC交BC于D, DE⊥AB,AC⊥BC,DC=2, ·DE=CD=2, S△4BD=支×ABX DE=麦X6X2=6. E 6.解：ED‖BC, ∠DFB=∠FBC,∠EGC=∠BCG, :∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F,G, :∠DBF=∠FBC,∠GCE=∠BCG, ∠DFB=∠DBF,∠EGC=∠GCE, :DF=DB,EG=EC, FG=2,ED=6, :DB+EC=DF+EG=6-2=4. 7.解：“∠C=90°，AC=12,S△4Ec=30, .支×12CB=30, CE=5,则AE=VCE2+AC2=N52+122=13, :AB边的垂直平分线分别与AB、BC交于点D、E, .BE=AE=13, ∴BC=BE+CE=13+5=18. 8.解：：AF=AB,∠FAB=60°，AE=AC,∠EAC=60°， ·.△ABF和△ACE是等边三角形， :∠FAB=∠EAC=60°， ∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC, 即∠FAC=∠BAE, AF-AB 在△ABE与△AFC中， ∠FAC=∠BAE AE-AC .△ABE≌△AFC(SAS), .BE=FC,∠AEB=∠ACF, 故①正确； 又：∠EAN+∠ANE+∠AEB=180°，∠C0N+∠CN0+∠ACF=180°， ∠ANE=∠CNO, ∠C0N=∠CAE=60°=∠MOB, ∠B0C=180°-∠C0N=120°， 故②正确； 连接AO,过A分别作AP⊥CF于P,AQ⊥BE于Q,如图1， M 图1 :△ABE≌△AFC, ∴S△4BE=S△AFC, 专CFAP=专·BEAQ, :CF=BE, .AP=AQ, :AP⊥CF,AQ⊥BE, OA平分∠F0E, 所以③正确； 如图2，在0F上截取0D=0B, D M B 图2 ∠B0F=60°， :△OBD是等边三角形， .BD=B0,∠DB0=60°， :∠FBD+∠ABD=∠ABO+∠ABD=60· .∠FBD=∠ABO. BF=AB,BD=BO :△FBD≌△ABO(SAS), :DF-0A, .OF=DF+OD-0A+0B, 故④正确。 故选：C 9.解：原命题“等腰三角形的两底角相等”中， 题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“它有两个角相等”， 交换题设和结论，得到逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 10.解：过点A作AD⊥BC于D,如图所示： :AB=AC=25,BC=14, .BD=CD=BC=支X14=7, 在Rt△ADC中，由勾股定理得： AD=AC2-CD2=V252-72=V625-49=576=24, 它底边上的高为24. 11.解：：正五边形的内角为5-2180=108，正三角形的内角为60°， 5 ∠a=360°-60°-2×108°=84° 12.解：：BD平分∠ABC交AC于点D, ∠ABD=∠CBD, DEBC,BE=3 .∠C=∠ADE=90°，∠CBD=∠EDB, :∠ABD=∠EDB, DE=BE=3, :在Rt△ADE中，AE=5, :AD =VAE2-DE2=V52-32=4, .△ADE的周长=AD+DE+AE=4+3+5=12 13.解：过E作EH⊥BC于H, B ABIICD,AD⊥AB, .AD⊥CD, :BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD, ·AE=EH,DE=EH, AE=DE=专AD=4, ∴EH=4, PE≥EH, PE的最小值为4， 14.解：如图所示，过点C作CF⊥AE于点F, D B ∠AFC=∠EFC=90°； :点D是BC中点， :BD=CD; :BE⊥AD, ∠BED=90o=∠CFD, 又：∠BDE=∠CDF, :.△BDE≌△CDF(AAS), :CF=BE,DE=DF; BE=4DE, :CF=4DE=4DF: :∠CAD=45°，∠AFC=90°， ·.△ACF是等腰直角三角形， :.AF=CF=4DF, :AD-AF+DF-5DF,AE-AF+DF+DE-6DF, :△ACD的面积为20， AD·CF=20, 克×5DF.4DF=20, DF2=2 ∴S△4BE=AE·BE=支×6DF.4DF=24. 15.解：·AE平分∠CAD,且∠CAE=11°， ∠CAD=2∠CAE=2×11°=22°， :△ABC和△ECD均为等边三角形， .BC=AC,EC=DC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠ECD=60°， .∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠ECD,即∠BCE=∠ACD, 在△BCE和△ACD中， BC=AC ∠BCE=∠ACD EC=DC :△BCE≌△ACD(SAS), .∠CBE=∠CAD=22°， :∠AFB=∠CBE十∠ACB=22°十60°=82°. 16.解：如图： B 3 M ∠BAC=120° ÷∠B+∠C=180°-120°=600 :PM垂直平分AC,PN垂直平分AB ·EA=EC,FA=FB :∠1=∠C,∠6=∠B ·∠EAF=∠BAC-∠1-∠6=∠BAC-(∠B+∠C)=120·-60°=60°，故说 法②正确： :PM垂直平分AC,PN垂直平分AB .∠PMA=∠PNA=90o, ∠3=∠2=180°-∠C-90°=90°-∠C=90°-∠1，同理 ∠4=5=900-∠6， ∠P=180°-∠2-∠4=180°-(90°-∠1)-(90°-∠6)=∠1+∠6=∠B+∠C=60°， 故①正确： 连接PB、PC :PM垂直平分AC,PN垂直平分AB ÷PC=PA,PB=PA ·PB=PC,即点P到点B和点C的距离相等，故③说法正确 :△ABC不一定是等腰三角形 :PE与PF的大小无法确定，故④说法错误， .说法正确的为①②③. 17.(1)解：如图，AD即为所求； (2)解：如图，BE即为所求； 米 18.(1)解：：直线DE是AB的垂直平分线， :AD=BD, .∠DAE=∠B=30°， :∠C=90°，∠B=30°， .∠BAC=60°， ∠CAD=∠DAB=30°， AD平分∠BAC: (2)解：由(1)得∠CAD=30°，∠C=90°， .AD=2CD=4, ∴BD=AD=4, 由勾股定理得AC=VAD2-CD2=V16-4=2W3, :△ABD的面积为号BD·AC=-专×4×2W3=43 19.(1)解：∠B=90°， BC⊥AB, :CF⊥AD,AC平分∠BAD, .∠BAC=∠CAF, AC=AC, .Rt△ABC≌Rt△AFC(HL), BC=CF, BC=3, CF=3; (2)解：连接CE, 小 由(1)知BC=CF,Rt△ABC≌Rt△AFC, ∴AB=AF, AE=AG, AB-AE=AF-AG,即BE=GF, 2DF+AE=AD,DF+GF+AG=AD, :.DF=GF, :DF=BE, :∠B=∠CFD=90o, :△BCE≌△FCD(SAS), :.CE=CD, ·.点C在DE的垂直平分线上。 20.(1)证明：①∠BAC=90°，AB=AC, .∠CBA=∠BCA=45°， :CF‖AB, .∠FCE=∠ABC=45°， ∠ACF=90°， 又：DE⊥BC, ∠FDC=90o-∠BCA=45°， ∠DFC=45°=∠FDC, ∴CD=CF, 又：D为AC的中点， :AD =CD, :AD =CF, 在△BAD和△ACF中， AD=CF ∠BAD=∠ACF AB=AC △BAD兰△ACF(SAS): ②由①知△BAD兰△ACF, ∴∠ABD=∠CAF, ∠BAG+∠ABD=90o, .∠AGB=90°， 即BD⊥AF (2)解：△ABF是等腰三角形： 理由如下：：DC=CF,DF⊥BC, :DE=EF BD=BF, :△BAD≌△ACF, :BD=AF, AF=BF, ∴△ABF是等腰三角形 21.(1)解：：∠BDC=180°-∠ADC=90°，CD=1,BD=1, :BC=VCD2+BD2=V12+12=V2: (2)解：①：△PDC≌△BDC,AP=t,AD=2, .PD=BD=1,PD=AD-AP=2-t=1, 解得t=1, 所以当t=1时，△PDC兰△BDC; ②当PC=BC时，△PBC是等腰三角形， :PD=BD=1, :AP=AD-PD=1, 此时t=1; 当PB=BC=V2时，△PBC是等腰三角形， :.AP=AB-PB=3-V2, 此时t=3-V2； 当点P与点D重合时，△PBC是等腰三角形， ∴AP=AD=2, 此时t=2; 当点P在线段AB的延长线上时，当PB=BC=V2时，△PBC是等腰三角形， AP=AB+PB=3+2. 此时t=3+V2. D 所以当t=1或3-V2或2或3+V2时，△PBC是等腰三角形. 22.(1)解：：BD平分∠ABC,∠ABC=60°， :∠ABD=克∠ABC=支×60°=30°， :BD⊥AD, .∠D=90。, 在Rt△ABD中，∠ABD=30°， AB=2AD=2×2=4. (2)证明：：BD平分∠ABC,∠ABC=60°， .∠ABD=∠CBD=30°， BD⊥AD, ∠BDA=90°， .∠BAD=60o, ∠P=180°-∠ABC-∠BAD=180°-60°-60°=60°， ∠ABC=∠BAD=∠P, ∴△ABP是等边三角形： (3)解：过点M作△BMN边BN上的高MH,如图， 则△BMN的面积S△BMN=BN·MH, :点M是AB中点， 点M是定点， ∴MH为定值， 当BN的值最大时，△BMN的面积最大， :点N是线段BD上一动点， .当点N与点D重合时，BN的值最大， 如图，当点N与点D重合时，过点D作DG⊥AB于点G, B DN) :AD=2,BD=2N3,BD⊥AD, ·S△4BD=支×AD×BD=是×2×2V3=2W3, :点M是AB中点， AM=BM, :SAAMD=支×AMXDG,S△BND=克XBMXDG, SAAMD=S△BwD=SA4BD=方X2V3=V5, :当点N与点D重合时，△BMN面积的最大值为5. 23.(1)解：如图，为所有可能的点D D 据图可知，在AO的延长线上，且能够使△BDC为等腰三角形的点有4个， 当以BC为底边：D2 当以BD为底边：D1,D4: 当以CD为底边：D3 即符合条件的点D有(1，-4)，(1，-3)，(2，-3)，(3，-4). (2)证明：：ADIBN,∠BAD=100°， .∠MBN=80°， :BG平分∠MBN, :∠DBC=40°， :∠BCD=70°， ÷∠BDC=180°-40°-70°=70°， :BD=BC, :点O在BD上，点C在AO的延长线上， ·点C是△ABD的“同类点” (3)解：己知∠ABC=110°，DA=AB=BC,BD≠CD,点C为△ABD的“同类点”， 分两种情况讨论： ①如图，当BD=BC, D C 则DA=AB=BC=BD,△ABD为等边三角形， :∠ABD=60°， ÷∠DBC=110°-60°=50°， BD=BC, 4∠BDC=180,50°=650， 2 :∠ADC=∠ADB十∠BDC=60°+65°=125°； ②如图，当BC=DC, DA-AB-BC=CD, 则∠ADB=∠ABD,∠CDB=∠CBD, 可得∠ADB+∠CDB=∠ABD+∠CBD,即∠ADC=∠ABC=110°. 综上，∠ADC度数为125°或110°.