黑龙江省哈尔滨市道里区2025-2026学年九年级下学期二模考试数学试题

2025-2026学年度下学期九年级调研测试（二） 数学学科试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列实数中，是无理数的是( (A)-2 (B)5 (C5 (D)1.414 2.下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是() 2 A 7 L 学校 (A) (B) (c) (D) 3. 2025年11月14日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积 结合非品品化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形 成仅0.7纳米的超精细界面，一款具备“负能界面的新型M(Mo)合金正式亮相.0.7 纳米=0.0000000007米，这个数用科学记数法表示为 ) 班级 (A)7×10 (B)7×10-0 (C0.7×10 (D)0.7×1010 4.下列立体图形中，主视图是圆的是( 姓名 (A) (B) (c) (D) 5.小明同学在将抛物线表达式化为y▣a(x+m)}+n形式时，他给出的结果是 y=4(x+2了+4，那么这条抛物线的顶点坐标为( (A)-2,4) (B)(-2,-4) (C(-4,4) D)（4,4) 6.对于任意实数m、m,定义一种新运算O”:刚0n=1 一， 这里等式右边是实数运算， 例如：2052京方 则方程0(-2)=2-1的解是( x-4 ) (A)x=3 B)x=4 (C)x=5 (D)x=6 7.综合实践小组的同学们利用自制密度计 (cm) 测量洛液的密度，当密度计悬浮在不同 溶液中时，没在溶液中的高度(m)与 20 溶液的密度p(8/cm')之间满足反比例函 数=台k:0p>0的关系，其图象如图 1 o(g/cm) 所示，当溶液密度p=4g/cm时，密度计浸在溶液中的高度h为( (A)2cm (B)3cm (C)4cm (D)5cm 8.某类简单化合物中，前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中白球代表碳原子， 小属球代表氢原子，按照这一规律，第26种化合物的分子结构模型中氢原子的个数 是( 第1[（共7页） ① ② ③ ④ (A)55 (B)54 (C53 (D)52 9.在课堂上，侯老师发给每人一张印有Rt△ABC(如图1)的卡片，然后要求同学们画 一个Rt△A'B'C,使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC,小张和小李同学先画出了∠MBN=90° 之后，后续商图的主要过程分别如图所示.对这两种画法的描述中错误的是( 第二步M 第二步 第一步 第二步 图1 小张同学 小李同学 (A)小张同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 (B)小张同学作图判定Rt△AB'C'≌Rt△ABC的依据是HL (C©小李同学第一步作图时，用园规截取的长度是线段AC的长 (D)小李同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△MBC的依据是SAS I0.如图，在矩形ABCD中，AB=4Cm,AD=8cm,动点P从A点出发，以1cms的速度沿 A-D-C的方向运动，动点Q同时从A点出发，以1cms的速度沿A-B-C的方向运 动，两动点到达C点停止运动.设运动的时间为xS,△APQ的面积为y(cm),则下 列y关于x的函数图象正确的是() D 4812 4812x 8 12 04812 (A) (B) (D) 二、填空题（每小题3分，共30分） 11.在函数y= X+1中，自变量x的取值范围是 2xr-5 12.分解因式：3ax2-6agy+3ay2= x+22-1, 13.不等式组 3x-1<2 的解集中，最大整数为 14.小鹤同学在研究一个扇形的弧长和面积时，发现一个扇形弧长的数值恰好等于面积的 数值，则此扇形的半径的值为 15.哈尔滨市位于美丽的松花江畔，是黑龙江省旅游的名片，这里有许多旅游景点：①中 第2页（共7页】 央大街步行街；②中华巴洛克景区：③冰雪大世界；④太阳岛公园若小亮从这四个 23 景点中随机选择两个进行主题宜传，则所选两个代表景点中恰好是“中央大街步行街” 和“冰雪大世界”的概率为 16.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BD、 BE、CE,若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为 E D (第16题图) (第18题图) (第20题图) 17.若关于x的一元二次方程x2+4x~m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范 围是 18.如图，平行四边形ABCD中，O为对角线交点，DP平分∠ADC,CP平分∠BCD, AB=8,AD=12,则OP的长为 19.在△ABC中，AB=AC-25,AD是底边上的中线，AD+BD-6,作△ABC的高线CH, 则∠HCB的正切值为 20.正方形ABCD中，O是对角线交点，E、F分别是AB、BC上的点，AE-BF,连接 DE、AF交于点，连接OG.下列结论中：①AF=DE;②则∠BEG+∠BOG=180°； ③若AB=3,OG子瓦，则BF-号：④K是AC上一点，连接EK、K,则EK+FR 的最小值等于CD的长.所有正确结论的序号是 三、解答题：(21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共60分) 21.先化简，再求代数式产(-)的值，共中x=5加45-om60 22.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点， A、B均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹） (I)画∠ABC45°，点C在格点上： ②在AB上找一点D,使得an ZACD号 (3)过B作BF⊥CD,交CD延长线于点F. 第3页（夫7页） 23.自2016年开始，每年4月24日是中国航天9，道里区某中学开展了“航空航天”知识 问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成锁中，各随机抽取 20名学生的成绩进行统计分析(6分及6r以上为合格).数据整理如图表： 七年级学生成绩统计图 八年级学生成绩统计图 20% 人数/名 15% 10分 5分 6分10% 7分 8分 0% 05678910 成绩分 30% 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 7.55 7.55 中位数 8 o 众数 a 7 合格率 b 85% 根据以上信息，解答下列问题： ()直接写出统计表中a,b,c的值： (②)若该校七年级有600名学生，请估计该校七年级学生成绩合格的人数： (3)若该校八年级有562名同学，请估计该校八年级分数在8分和8分以上的人数. (直接写出结果) 第4页（共7页） 24.定义：在等腰三角形中，若有一个内角是另一个内角的2倍，我们就称这样的三角形 为“二倍角等腰三角形” 问题I:如图I,在△ABC中，BD平分∠ABC,AD=BD=BC,求证：△ABC为二 倍角等腰三角形； 问题2：如图2，在△ABC中，∠A=45°，D在AC边上，E在CB延长线上，且AD=BE, DE交AB于点F,若DF=EF,求证：△ABC为二倍角等腰三角形. 在问题1和间题2中选一个进行证明： 学校 班级 2 1 (2)已知△ABC为二倍角等腰三角形，AB=AC,∠B-2∠BAC,以AC为边向外作二 倍角等腰三角形ACD,请直接写出∠BCD的度数. 姓名 25.某中学计划购买A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A比购买一个B多用 20元，若用400元购买A种学习用品的数量是用160元购买B种学习用品数量的一 半. ()求胸买一个A种学习用品和购买一个B种学习用品分别需要多少元？ (2)若该学校准备买两种学习用品一共200个，若购买A种学习用品的数量不超过B 种学习用品数量的二，求购买A种学习用品多少个时，学校费用最多，最多费用是 多少？ 第5页（共7页） 26.如图，AB是⊙0的直径，C、D为⊙0上AB两侧两点，且∠BCD叶∠CAB=∠B. (I)求证：AC=DC (②)过点C作⊙O的切线交DB的延长线于点E,求证：CE⊥DE: (3)在（②）的条件下，过点D作DF⊥AB,垂足为F,延长DP交BC于点G,连接EG 并延长交CD于K,分别交AB于点H,交AD于点M,∠AHM=∠ADC∠BDG, AD=I2,求GF长. C 0 B D 26题图1 E 0 B D 26题图2 公 0 B 26题图3 第6页（共7顶） 27.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=ax2+4的图象交x轴于A、B两 点（点A在点B左侧），交y轴于点C,连接AC,an∠OAC=l. (1)求a的值： (②)如图1，点P在第四象限抛物线上，连接AP交y轴于点D,设点P的横坐标为 t,△ACD的面积为S,求S与t的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围） (3)如图2，在(2)的条件下，连接BP,当∠APB=45时，过P作PE∥x轴交y轴于 点E,连接AE,点F在AE上，连接OF,过A作AG⊥OF,垂足为G,过G作∠AGF 的角平分线GH交AE于点H,连接BC,K在BC上，连接OK,过C作CL⊥OK 于点L,点S在OB上，连接LS,BK=√SO,点Q在第一象限抛物线上，连接EQ 交X轴于T,延长EQ至M,连接CM、AM、OM,∠CMO=∠APB,N在AM上， 连接ON、HN、CQ,若∠MON+∠OLS=90°，7TO+2HN=EM+CE,求CQ的长. 27题图1 M 27题图2 第7（共7) 参考答案 一、选择题（每题3分） 1.C2.A3.B4.D5.A6.C7.D8.B9.C10.D 二、填空题（每题3分） 11.x+2 12.3a-y}13.0 14.2 16.122° 17.m>-418.219.号或2 20.①②④ 三、解答题 21限可司1分 X =(x+x-可x+11分 xx+1 =(+1必x-可x1分 、1 x-11分 当x=2×5-5=1-5时， 2 1分 原式=↓5 =1-√3-132分 22, 三问按照3分、3分和1分分配分值 D 23.（1)=8,b=80%,c=7.5.3分 (2)600×(1-20%)=480(名) 答：估计该校七年级学生成绩合格的人数为480名.3分 (3)281 .…2分 24.(1)证明问题1： 设∠ABD=a ,BD平分∠ABC D ∴.∠CBD=∠ABD=&,∠ABC=2∠ABD=2a1分 .'AD=BD ∴.∠A=∠ABD=a ∴.∠BDC=∠A+∠ABD=2a 图1 .BD=BC.1分 ∴.∠C=∠BDC=2 ∴.∠C=2∠A,∠C=∠ABC ∴.AB=AC..1分 ∴.△ABC为二倍角等腰三角形1分 证明问题2： 过D作DH/BE交AB与H ∴.∠HDF=∠E 又.DF=EF,∠DFH=∠BFE .△DFH≌△EFB ∴.DH=BE.1分 又.AD=BE ∴.AD=DH .∠DHA=∠A=45°1分 ∴.∠ADH=180°-∠DHA-∠A=90° .'DH//CE ∴.∠C=∠ADH=90°，∠CBA=∠DHA=45° ∴.∠C=2∠A,∠CBA=∠A=45° ∴.AC=BC.1分 ∴.△ABC为二倍角等腰三角形.1分 (2)144°，117°，108°，162°.4分 25.解：(1)设购买一个B种学习用品花x元，则购买一个A种学习用品花(x+20)元 4001.160 2分 x+202x … 解得：x=5.1分 经检验，x=5是原分式方程的解.1分 .x+20=25 .1分 答：购买一个A种学习用品花25元，则购买一个B种学习用品花5元. (2)设购买m个A种学习用品，花费为w元. 依题意得：m≤（200-m)1分 4 解得：m≤40.1分 w=25m+5200-m=20m+1000.1分 .25>0,∴.v随m的增大而增大 .∴.当m=40时，w有最大值，此时w=20×40+1000=1800..2分 答：购买A种学习用品40个时，学校花费最多，最多花费是1800元. 26.(1).弧BD=弧BD C .∠BAD=∠BCD .1分 .∠BCD+∠CAB=∠B .∠BAD+∠CAB=∠B ∴.∠CAD=∠B .】分 0 又.弧AC=弧AC B ∴.∠B=∠D .∠CAD=∠D ∴.AC=DC 1分 (2)连接OC ∴.OC⊥CE ∴.∠0CE=90° 1分 ∴.∠OCB+∠ECB=90° .'OC=OB ∴.∠OCB=∠OBC ∴.∠ECB+∠OBC=90° ,四边形ACBD是圆的内接四边形 ∴.∠CAD+∠CBD=180 又：∠CBE+∠CBD=180° 0 .∠CAD=∠CBE1分 ∠CAD=∠ADC且∠CBA=∠ADC D ∴.∠CBE=∠CBO ∴.∠BCE+∠CBE=90° .∠E=90° 即CE⊥DE..1分 (3)连接CH .AB是直径 .∠ADB=∠ACB=90°，.∠DAB+∠ABD=90° DF⊥AB ∴.∠DFB=∠DFA=90° ∴.∠ABD+∠FDB=90° ∴.∠DAB=∠FDB ,∠AHM=∠ADC-∠BDG H B ∴.∠AHM=∠CAD-∠DAB 即∠AHM=∠CAB M .∴.AC/HE ,'∠CEB=90°且∠ADB=90° ∴.∠CEB+∠ADB=180° .∴.CE//AD .四边形AMEC是平行四边形 ∴.CE=AM.1分 .AC//EM .∠BGM=∠ACB=90° 即BG⊥EH .∠BGE=∠BGM=90° 又.∠CBE=∠CBA,BG=BG ∴.△BGH≌△BGE ..BH=BE,GH=GE .BG⊥EH .BC垂直平分EH .'.CH=CE,BH=BE .∠CHE=∠CEH,∠BHE=∠BEH ∴.∠CHB=∠CHE+∠BHE=∠CEH+∠BEH=∠CEB=90° 设∠ECG=x,∴.∠CEG=90°-∠ECG=90°-x .四边形AMEC是平行四边形 ∴.∠CAD=∠CEG=90°-a ,∠CDA=∠CAD ∴.∠ACD=180°-∠CDA-∠CAD=2a .AC//EM ∴.∠CKE=∠ACD=2a 在△KCE中，∠KCE=180°-∠KCE∠KEC=90°- .∠KCE=∠KEC ∴.CK=KE,且90°-∠KCE=90°-∠KEC ∴.∠KED=∠KDE ∴.KD=KE ∴.KC=KD=KE .MK∥AC MD_KD =1 MA KC ∴.MD=MA ∴.MD=MA= 40=6 ,四边形AMEC是平行四边形 ∴.CE=AM=6.1分 .DF⊥AB .∠DFH=90° ,∠CHB=90° ∴.∠DFH=∠CHB ,∠CKH=∠DKG,CK=DK .△CKH≌△DKG ..HK=KG .'HG=EG ∴HK=KG=HG=GE 2 2 设HK=m,则KG=m,EG=2HK=2m .∴.CK=EK=KG+EG=3m 在Rt△CKG中，CG2=CK2-KG2=(3m}-m2=8m2 在Rt△CEG中，CG2=CE2-EG2=62-(2m}=62-4m2 .8m2=62-4m2 m=±5 m>0,m=√5 ∴.CG=26,EG=25.1分 在Rt△GCE中， tan∠CEG=CG-2V6 =√2 CE2√5 .'∠CEG+∠BEG=90°，∠GBE+∠BEG=90° ∴.∠GBE=∠CEG ∴.tan∠GBE=tan∠CEG=√2 在RIAGBE中，an∠GBE=EC BG ÷25-5 BG ∴.BG=V6 在RtAHGB中，HB=VHG2+GB=VV+N6=3W2 3am=0F,B=方o-GB ∴.GF.3V2=2W3xV6 ∴.GF=2 1分 27.(1)令x=0,则y=4,即C0,4),.0C=4.1分 在R△A0C中，m∠0AC8%1,即1,0A4,即A4,0叭 OA 将4,0代入抛物线y=am2+4得：0=ax(4+4,·a=-}l分 (2)抛物线的解析式为y=-二x+4，作PILx轴于点I 令y0,则-x2+4=0“x=4,x=-4 4 .B(4,0),OB=4 .·P在抛物线上且横坐标为t P,-+4) .P=2-4,I(1,0) AI=t+4 4 ·在RtAAOD中，an∠OAD=OD-OD OA 4 在Rt△AP中，tan∠AP=P=' 2-4北+4-4) 4 A11+4 1+4 :1+40tm∠AP北-刘 '∠OAD=∠LAP,∴.tan∠OAD=tan∠IAP :.0D=北-4).0D-t-41分 44 .CD=0C+0D=t-4+4=t1分 S=CD.40=1x4=211分 2 2 (3)①.过B作BK⊥AP于K,作PILx轴交KB的 延长线于J. 由∠APB=45°可得KB=KP→△ABK≌△JPK 0 →JP=AB=8. 由△AOD≌△JIB→IJ=4→PI=4 =OE=P=4,∴.E(0,-4) ②作EU⊥OF交其延长线于U,延长GH交EU于V 由OA=OE→△AOG≌△OEU(AAS) →OG=UE,AG=OU 由GH平分∠AGF→△GUV为等腰直角三角形→ GU=UV ..EV-UV+UE-GU+OG=OU=AG →△AGH≌△EVH(AAS)∴.AH=EH ③过点O作OW平分∠B0C ∴.∠COW=∠OBK=45°→△COW≌△OBK →OW=BK=√2OS→△OWS为等腰直角三角形 →∠OSW=∠CLO=90°→双8字相似=→ ∴.∠OLS=∠OWS=45° (也可延长WL交OB于点Q'→ △OXS≌△WSQ→四边形LXSQ'对角互补→ ∠OLS=45°) ④作AW'⊥ON于W,ON的延长线交MC的延长线于Y 由∠MON+∠OLS=90°和∠CMO=45°三 △YOM为等腰直角三角形→ OY=YM,∠MYO=90°→ △4OW'≌AOCY(AAS)→AW'=OY=YM →△AW'N≌MYN(AAS) →AN=MN M ⑤由AH=EH和AN=MN →HN为△AEM的中位线，∴.EM=2HN 由7TO+2HN=EM+CE→7TO=CE=8 →T号，0)→直线ET的解析式为y=7x-4 B 一Q2,3)三化斜为直，勾股三CQ=V5 E 每步1分，共5分