福建莆田第二中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 莆田二中高二下学期期中考数学卷，120分钟150分，以函数、立体几何、概率统计为核心，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及数据分析能力，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数导数、空间向量、概率|如第5题函数单调性讨论，基础中渗透逻辑推理| |多选题|3/18|随机变量、函数性质、立体几何|第11题结合正方体动态轨迹，考察空间观念与创新意识| |填空题|3/15|函数最值、立体几何、概率递推|第14题概率递推模型，体现数学思维的严谨性| |解答题|5/77|空间距离与夹角、概率统计应用、函数恒成立|第16题以体测调查为情境，用数据意识解决实际问题；第19题函数恒成立问题，深化逻辑推理与数学表达|

莆田二中2025-2026学年高二下学期期中考数学试卷 命题人:卓晓萍审核人:陈丽萍 考试时间:120分钟分值:150分 注意事项或温馨提示 1.本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟 2.答题前，考生先将自己的姓名、考号等内容填写清楚. 3.选择题部分必须使用2B铅笔填涂;非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，宇体工整、笔迹清楚、 4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区城书写的答案无效:在草稿纸、试题卷上答题无效， 5.保持答题卷面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液，涂改胶条. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数，则（       ） A．1 B．0 C．—1 D．—2 2．如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（       ）     A． B． C． D． 3．若平面的一个法向量为，平面内的一个向量为，且，则的值是（       ） A．—9 B．—3 C．3 D．9 4．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后比赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以3:1获得冠军的概率为（       ） A． B． C． D． 5．已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．随机事件、满足，，，下列说法正确的是（       ） A．事件与事件互斥 B． C． D． 7．已知某圆台的上、下底面的半径分别为4和2，且该圆台有内切球（球与圆台的侧面及两个底面均相切），在圆台上底面圆的圆周上取一点A，在圆台下底面圆的圆周上取一点B，且，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 8．已知函数，若当且仅当时成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知随机变量的分布列如下，则正确的是（    ） X 1 2 P m n A． B．= C．若，，则 D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的单调递减区间是 B．若，则方程有两个不等的实根 C．若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 D．若过点可以作曲线的三条切线，则 11．在棱长为的正方体中，M，N分别为，的中点，则（    ） A． B． C．点在正方形内，当平面时，点轨迹长度为 D．点在棱所在直线上，当平面时，四面体的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数f(x)=|x-1|-lnx的最小值为______． 13．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则______．    14．有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求点G到平面FBE的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 16．莆田二中高二某实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)现从该校随机抽取10参加体测的学生，给每位体测成绩“优秀"的学生计3分,给每位“非优秀”的学生计1分，求这10名学生的总得分的数学期望。 17．已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点. (1)证明：平面平面； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值； (3)设点为三棱锥的外接球的球心，试判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19．已知函数. (1)若， （i）求函数的单调区间； （ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点． (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A B D C D C 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AD ACD BCD 三、填空题 12． 0 13． 2 14． 四、解答题 15．(1) (2) 【详解】（1）如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； 点G到平面FBE的距离 （2）同（1）建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，即， 设平面与平面的夹角为， 则； 16．(1) (2) 0 1 2 3 . (3)数学期望为 【详解】（1）设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，知， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； （2）的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 随机变量服从超几何分布，且，，，所以； （3）设Y表示“优秀”学生人数，Z表示“总得分” 则，Z=3Y+10-Y=2Y+10 17．(1) (2)且. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 18．(1)证明见解析 (2) (3)是定值， 【详解】（1）平面平面，平面平面 ，，且平面，则平面， 因平面，则，又，则， 因平面，则平面， 又平面，故平面平面. （2）由平面，平面平面，平面，则 故为的中点，取的中点，连接，， 则平面，因平面，则， ，平面，所以平面 故可以为坐标原点，，所在直线为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意，，，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则，故可取， 设与平面所成角为，则. （3）由（1）知，平面，因平面，则，即为直角三角形， 又也为直角三角形，则三棱锥外接球的球心为线段的中点. ，即 ，在平面外，在平面内，则平面， 故点到平面的距离等于点到平面的距离，又等于点到平面的距离的一半. 故， 而，故. 19．(1)（i）单调递增区间为，单调递减区间为；（ii）证明见解析 (2) 【详解】（1）（i）函数的定义域为， 当时，， 则，令，得；令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （ii）因为， 令，则， 当时，所以，所以即在区间上单调递减， 故对任意，都有，所以在区间上单调递增， 又， 所以在区间上有且只有一个零点． （2）由对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，则， 所以，令， 则， 当时，对任意，则， 所以在上单调递减，所以，满足题意； 当时，在区间上恒成立，所以在区间上单调递减， 又， ①当，即时，恒成立， 所以在区间上单调递减，所以，满足题意； ②当且，即时， 由零点存在性定理知，，使得． 当时，，所以在上单调递增，所以，不满足题意； ③当，即时， 对任意单调递增，所以，不满足题意． 综上，实数的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $