福建莆田第一中学2025-2026学年下学期第一学段考试试卷高二数学

莆田一中2025−2026学年度下学期第一学段考试试卷 高二数学 选择性必修一､选择性必修二､选择性必修三 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，，则为（ ） A. 10 B. －10 C. 12 D. －12 2. 袋中装有大小相同的个黑球，个白球，从袋中每次任意取出个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 盒中有个玩具，其中有个是坏的，现从盒中随机地抽取个，在至少一个玩具是坏的条件下，另一个是好的的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是各项均为正数的数列的前项和，，则是为等差数列的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，超市统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高 气温 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为400（单位：瓶）时，（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图，将、、、四个数字填在个“”中，每个“”中填一个数字，有线段连接的两个不能填相同数字，四个数字都使用，则不同的填数方法数有（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设离散型随机变量的分布列如下所示，若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（ ） 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 A. B. C. D. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 二项式系数最大的项是第项 B. 展开式中常数项为第项 C. 展开式中第项、第项、第项的系数成等差数列 D. 展开式中奇数项的二项式系数和为 11. 记为数列的前项和，已知，为实数，则（ ） A. 当时，不是等比数列 B. 当时，则 C. 当时，数列的前项和为 D. 当时，数列第项的值最大 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 请举一个随机变量的例子：__________. 13. 甲、乙两人同时对飞碟进行射击，两人击中的概率分别为、，飞碟被一人击中而击落的概率为，若两人都击中，飞碟必定被击落，则飞碟被击落的概率为__________. 14. 甲､乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所得卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知随机变量的分布列如表所示 （1）求证：； （2）若随机变量满足，求证：. 16. 甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为、、. （1）若甲、乙、丙都去破译密码，求密码能被成功破译的概率； （2）若只安排一个人去破译密码，甲、乙、丙被选到的概率分别为、、，求密码能被成功破译的概率. 17. 如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接、，得到图②的四棱锥，为中点. （1）若为线段中点，求证：、、、四点共面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的大小. 18. 已知数列是单调递增的等比数列，是的前项和，是数列的前项和，且. （1）若， ①求的通项公式； ②求证：是等比数列； （2）若是等比数列，，且，求证：. 19. 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率）. （1）若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； （2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. ①请用表示； ②设备升级后，已知该企业现有控制系统中有个元件（此时该系统处于正常运行），若增加个元件，则单位时间内的期望利润是否提高？ 莆田一中2025−2026学年度下学期第一学段考试试卷 高二数学 选择性必修一､选择性必修二､选择性必修三 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABCD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】用于植树造林的棵树苗，已知每棵树苗的成活率为，记这棵树苗中成活的棵数为（答案不唯一）. 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1）①；②证明见解析； （2）证明见解析； 【19题答案】 【答案】（1） 期望为， （2）①②若，增加个元件后利润提高； 若时，增加2个元件后利润没有提高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $