12.2 复数的运算课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦复数的四则运算、运算律及复数集内解方程，课堂导入从实数运算复习切入，通过对比实数运算律引出复数运算特殊性，以虚数单位i为支架连接前后知识，帮助学生构建从已知到未知的认知脉络。 其亮点在于题型分析结合跟踪训练与题后反思，以数学思维（运算能力、推理意识）和数学语言（模型应用）为核心，如例2共轭复数运算、跟踪训练4解方程实例，培养学生逻辑推理与问题解决能力。学生能系统掌握运算方法，教师可直接利用题型与诊断题提升教学效率。

第12章　复数 12.2　复数的运算 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.掌握复数的四则运算. 2.理解复数四则运算的运算律. 3.能在复数集内解有关方程问题. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　复数的加减运算 1.复数的加法、减法运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,复数的加法、减法按照以下的法则进行运算: z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i, z2-z1=(c+di)-(a+bi)=(c-a)+(d-b)i. 由此可见,两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减). 2.复数的加法运算律 对任意z1,z2,z3∈C. (1)交换律:z1+z2=z2+z1. (2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 知识点二　复数的乘除运算 1.乘法、除法运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数. (1)乘法法则 复数的乘法按照以下的法则进行运算: z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 显然,两个复数的积仍是一个复数. 复数的乘法法则与多项式的乘法法则是类似的,只是在运算过程中要把i2换成-1,然后把实部与虚部分别合并. (2)除法法则 复数的除法按照以下的进行运算: i(z2≠0). 由此可见,两个复数的商仍是一个复数. 2.乘法运算律 对任何z1,z2,z3∈C,有 (1)交换律:z1z2=z2z1. (2)结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3). (3)分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 在复数范围内,正整数指数幂的运算律仍然成立.即对任何z,z1,z2∈C及m,n∈N*,有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=. 3.常用公式 (1)(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R). (2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R). (3)(1±i)2=±2i. (4)=-i;=i;=-i. 知识点三　共轭复数 1.我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数,复数z=a+bi的共轭复数记作,即=a-bi. 当复数z=a+bi的虚部b=0时,z=,也就是说,实数的共轭复数是它本身. 2.设z=a+bi,=a-bi(a,b∈R),则有 (1)z=⇔z为实数; (2)=-z且z≠0⇔z为纯虚数; (3)z+=2a,z-=2bi,z·=a2+b2. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若z1,z2互为共轭复数,则z1z2为实数.(　　) (2)若i为虚数单位,n为正整数,则i4n+3=i.(　　) (3)已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的一个根,则a+b=-1.(　　) √ × √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】复数的加法与减法运算 例 1 [链接教材例1](1)计算:(i)+(2-i)-(i); (2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,求z. 解 (1)(i)+(2-i)-(i)=(+2-)+(-1+)i=1+i. (2)因为z+1-3i=5-2i,所以z=5-2i+3i-1=4+i. 题后反思　解决复数加减运算问题的思路 两个复数相加(减),就是把这两个复数的实部相加(减),虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时,可将这些复数的所有实部相加(减),所有虚部相加(减). 跟踪训练1 设z1=x+2i,z2=3-yi,x,y∈R,i是虚数单位,且z1+z2=5-6i,求z1-z2. 解 ∵z1=x+2i,z2=3-yi,z1+z2=5-6i, ∴z1+z2=(3+x)+(2-y)i=5-6i, z1=2+2i,z2=3-8i, ∴z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=(2-3)+[2-(-8)]i=-1+10i. 【题型二】复数的乘法与除法运算 例 2 [链接教材例3、例5](1)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=(　　) A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i D 解析 因为a-i与2+bi互为共轭复数,所以a=2,b=1,所以(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.故选D. (2)已知=(x+yi)i(其中i是虚数单位,x,y∈R),则x+y=　　　　.  解析 因为=(x+yi)i, 所以i=(x+yi)i=-y+xi, 所以所以x+y=- 故答案为- - 题后反思　1.两个复数代数形式乘法的运算步骤 (1)按多项式的乘法展开;(2)将i2换成-1;(3)进行复数的加、减运算. 2.两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)将除式写为分式;(2)将分子、分母同乘分母的共轭复数;(3)将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式. 跟踪训练2 (1)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=　 .  2+3i 解析 因为(z-2i)(2-i)=5, 所以z=+2i=+2i=+2i=2+i+2i=2+3i.故答案为2+3i. (2)已知i为虚数单位,若复数z=,z的共轭复数为,则z·=　　　　.  1 解析 依题意,得z==i,则=-i, 所以z=i·(-i)=1. (3)计算:+(2+i)(1-i). 解 +(2+i)(1-i)=+3-i=2-i+3-i=5-2i. 【题型三】i的周期性运算 例 3 [链接教材习题12.2,T15]已知复数z满足zi2 025=4i2 026-3i2 027,则z=(　　) A.4+3i B.4-3i C.3+4i D.3-4i C 解析 因为i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,所以由zi2 025=4i2 026-3i2 027可得zi=4i2-3i3,即z=3+4i,故选C. 题后反思　虚数单位i的周期性 (1)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*). (2)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*). 跟踪训练3 (1)已知f(n)=(n∈N*),则集合{x|x=f(n),n∈N*}中元素的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B 解析 ∵f(n)==(i2)n+[(-i)2]n =(-1)n+(-1)n=2×(-1)n, ∴{x|x=f(n),n∈N*}={2,-2}, ∴集合{x|x=f(n),n∈N*}中元素的个数为2.故选B. (2)计算()2 025+()2 025=(　　) A.-2i B.0 C.2i D.2 B 解析 因为=i,=-i, 所以()2 025+()2 025=i2 025+(-i)2 025=(i4)506·i+[(-i)4]506·(-i)=i-i=0.故选B. 【题型四】在复数集内解方程 例 4 [链接教材例6]在复数集C内解下列方程: (1)3z2+9=0; (2)z2-4z+8=0; (3)2z2+3z+5=0. 解 (1)由题意得z2+3=0, 设z=x+yi(x,y∈R),则(x+yi)2+3=0, 即(x2-y2+3)+2xyi=0,所以 解得z=i或z=-i. (2)配方,得(z-2)2=-4, 则z-2=2i或z-2=-2i,∴z=2+2i或z=2-2i. (3)由题意得(z+)2=-, 解得z+i或z+=-i, 所以z=-i或z=-i. 题后反思　1.与复数有关的方程问题,一般是利用复数相等的充要条件,把复数问题实数化再进行求解,其中根与系数的关系仍适用. 2.当a>0时,方程z2+a=0的根为z1=i,z2=-i. 跟踪训练4 已知复数z满足z(1+i)=2i. (1)求; (2)若z是方程x2+ax+b=0(a∈R,b∈R)的一个根,求a+b的值. 解 (1)由z(1+i)=2i,得z==1+i,则=1-i. (2)若z是方程x2+ax+b=0(a∈R,b∈R)的一个根,则=1-i也是方程x2+ax+b=0(a∈R,b∈R)的一个根, 故解得故a+b=0. $