12.3 复数的几何意义-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦复数的几何意义，涵盖复平面、复数与点及向量的对应关系、模的概念及运算性质、加减运算的几何意义。通过高斯引入复数的历史情境导入，类比实数与数轴的对应，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以数学抽象和直观想象为核心，通过情境导入激发兴趣，系统讲解定义、性质与几何意义，典型例题结合通性通法总结。如利用复数模的几何意义解决最值问题，培养学生数形结合能力。学生能提升核心素养，教师可借助清晰结构和典型例题提高教学效率。

12.3　复数的几何意义 1 1.理解复平面的实轴、虚轴、复数的模的概念（数学抽象）. 2.理解复数的代数表示及其几何意义（直观想象）. 3.了解复数加、减运算的几何意义（直观想象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数 基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与 平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内 的点或有向线段（向量）建立了复数的几何基础. 复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在 性”，为进一步研究复数奠定了基础. 【问题】　实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　复平面及复数的几何意义 1. 复平面：把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作 ⁠ ， 轴叫作实轴， 轴叫作虚轴.实轴上的点都表示实数，除 原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复平 面　 x　 y　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 复数的几何意义 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 复数的模 复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为 ，则向量 的模叫作复数 z＝a＋bi的模（或绝对值），记作 或 .由模的定 义知：｜z｜＝｜a＋bi｜＝ ⁠. ｜z｜　 ｜a＋bi｜　 　 　　提醒：复数模的运算性质：①｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜，｜ ｜＝ ；②｜zn｜＝｜z｜n（n∈N*），z ＝｜z｜2；③｜z1｜－｜z2｜ ≤｜z1±z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　复数加、减法的几何意义 1. 复数加、减法的几何意义 设向量 ， 分别与复数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R）对应， 且 ， 不共线. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 复数加法 的几何意 义 以 ， 为两条邻边画▱OZ1ZZ2，则对角 线OZ所表示的向量 就是与复数（a＋c） ＋（b＋d）i对应的向量 复数减法 的几何意 义 从向量 的终点指向向量 的终点的向量 就是复数z1－z2对应的向量 　　提醒：（1）复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则； （2）复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 复数的差的模 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则｜z1－z2｜＝ ，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复 数对应的两点间的 ⁠. 距离　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. 实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数 B. 若一个数是实数，则其存在虚部 C. 复数z＝－i在复平面内对应点Z的坐标为（0，－1） D. 复数的模一定是正实数 √ √ 解析： 　对于A，原点在虚轴上，但对应的复数不是纯虚数，故A错 误；对于B，若一个数是实数，则其虚部存在且为0，故B正确；对于C， 复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为（0，－ 1），故C正确；对于D，复数的模可以为0，故D错误.故选B、C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. （2025·连云港期末）复数z＝ 在复平面内所对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 　z＝ ＝ ＝ ，所以复数z＝ 在复平面内 所对应的点为（ ，－ ），位于第四象限.故选D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知向量 对应的复数为2－3i，向量 对应的复数为3－4i，则向 量 对应的复数的模为 　 　. 解析： ＝ － ＝（3－4i）－（2－3i）＝1－i.则｜ ｜＝｜ 1－i｜＝ ＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜复数与复平面内的点、向量的关系 【例1】　（1）（链接教科书第130页例1）在复平面内，复数5＋6i，3－ 2i对应的点分别为A，B. 若C为线段AB的中点，则向量 对应的复数是 （　　） A. 8＋4i B. 2＋8i C. 4＋2i D. 1＋4i √ 解析： 复数5＋6i表示的点为A（5，6），复数3－2i表示的点为 B（3，－2），因为C为线段AB的中点，所以C（4，2），故向量 对 应的复数为4＋2i.故选C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）（链接教科书第131页练习3题）在复平面内，实数x分别取什么值 时，复数z＝（x2＋x－6）＋（x2－2x－15）i对应的点Z在： ①第三象限； ②直线x－y－3＝0上. 解：因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数. ①当实数x满足 即当－3＜x＜2时，点Z在第三象限. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ②z＝（x2＋x－6）＋（x2－2x－15）i对应点的坐标为Z（x2＋x－6，x2 －2x－15）， 当实数x满足（x2＋x－6）－（x2－2x－15）－3＝0， 即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以 用复平面内的点Z（a，b）来表示，这是解决此类问题的根据； （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过 解方程（组）或不等式（组）求解. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点 时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数；反之，复数对应的点确 定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量； （2）解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的 点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 复数4＋3i与－2－5i分别表示向量 与 ，则向量 表示的复数 是 ⁠. 解析：因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量 与 ，所以 ＝（4， 3）， ＝（－2，－5）.又 ＝ － ＝（－2，－5）－（4，3）＝ （－6，－8），所以向量 表示的复数是－6－8i. －6－8i　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 求当实数m为何值时，复数z＝（m2－8m＋15）＋（m2＋3m－28）i 在复平面内的对应点分别满足下列条件： （1）位于第四象限； 解： 由题意，知 解得 即－7＜m＜3. 故当－7＜m＜3时，复数z的对应点位于第四象限. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）位于x轴的负半轴上. 解： 由题意，知 由②得m＝－7或m＝4. 因为m＝－7不适合不等式①，m＝4适合不等式①， 所以m＝4. 故当m＝4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜复数的模及其几何意义的应用 【例2】　（链接教科书第130页例2、例3）已知复数z1＝ ＋i，z2＝－ ＋ i. （1）求｜z1｜及｜z2｜并比较大小； 解： 因为｜z1｜＝｜ ＋i｜＝ ＝2， ｜z2｜＝ － ＋ i ＝ ＝1， 所以｜z1｜＞｜z2｜. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）设z∈C，满足条件｜z｜＝｜z1｜的复数z对应的点Z的集合是什么 图形？ 解： 法一　设z＝x＋yi（x，y∈R），则点Z的坐标为（x，y）. 由｜z｜＝｜z1｜＝2，得 ＝2，即x2＋y2＝4. 所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆. 法二　由｜z｜＝｜z1｜＝2知｜ ｜＝2（O为坐标原点）， 所以Z到原点的距离为2. 所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 　（变条件，变设问）若本例（2）改为：设z∈C，满足｜z2｜≤｜z｜ ≤｜z1｜的复数z对应的点Z的集合是什么图形？ 解：因为｜z1｜＝2，｜z2｜＝1，所以1≤｜z｜≤2，可化 为不等式组 设z＝x＋yi（x，y∈R）， 因为不等式｜z｜≥1的解集是圆｜z｜＝1上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式｜z｜≤2的解集是圆｜z｜＝2上和该圆内部所有点组成的集合， 这两个集合的交集，就是满足条件1≤｜z｜≤2的点的集合. 所以满足条件1≤｜z｜≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 在计算复数的模时，应先把复数表示成标准的代数形式，找出复数的实 部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它 们的模可以比较大小. 2. 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：（1）复数z的 模｜z｜表示复数在复平面内对应的点Z到原点的距离，可依据｜z｜满足 的条件判断点Z的集合表示的图形；（2）利用复数的模的概念，把模的问 题转化为几何问题来解决. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z在复平面内对应点的 集合是（　　） A. 1个圆 B. 线段 C. 2个点 D. 2个圆 解析： 　由题意知（｜z｜－3）（｜z｜＋1）＝0，即｜z｜＝3或｜z｜ ＝－1，因为｜z｜≥0，所以｜z｜＝3，所以复数z在复平面内对应点的 集合是1个圆.故选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知复数z1＝m＋（m2－2m）i，z2＝1＋（－m2＋3m－1）i，其中 m∈R. （1）若复数z1为实数，求实数m的值； 解： 由复数z1为实数，则m2－2m＝0，解得m＝2或m＝0， 即若复数z1为实数，则实数m的值为2或0. （2）求｜z1＋z2｜的最小值. 解： 因为z1＋z2＝（m＋1）＋（m－1）i， 所以｜z1＋z2｜＝ ＝ ， 故｜z1＋z2｜的最小值为 ，此时m＝0. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜复数加、减法的几何意义 【例3】　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数 为0，3＋2i，－2＋4i. 求：（1） 及 对应的复数； 解：因为点A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i， 由复数的几何意义知 与 对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i. （1）因为 ＝－ ＝－（3＋2i）＝－3－2i， ＝ ＋ ＝（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i， 所以 及 对应的复数分别为－3－2i，1＋6i. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2） 对应的复数及｜ ｜. 解： 因为 ＝ － ＝（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i， 所以｜ ｜＝｜5－2i｜＝ ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 　　向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减 法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特 点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量 对应的复 数是zB－zA（终点对应的复数减去起点对应的复数）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　已知平行四边形ABCD中， 与 对应的复数分别是3＋2i与1＋4i， 两对角线AC与BD相交于O点. （1）求 对应的复数； 解： 由于四边形ABCD是平行四边形，所以 ＝ ＋ ， 于是 ＝ － ，而（1＋4i）－（3＋2i）＝－2＋2i，即 对应的复 数是－2＋2i. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）求 对应的复数. 解： 由于 ＝ － ，而（3＋2i）－（－2＋2i）＝5，所以 对应的复数是5. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型四｜复数差的模的几何意义 【例4】　复数z满足｜z＋3＋4i｜＝2，则｜z｜的最大值是（　　） A. 7 B. 9 C. 3 D. 5 √ 解析： 　由题意可知｜z－（－3－4i）｜＝2，即复数z 在复平面内对应的点与复数－3－4i在复平面内对应的点 的距离为2，复数z在复平面内对应的点在复平面内的轨 迹为如图所示的圆Q，数形结合可知｜z｜的最大值在点 P处取得，则其最大值为 ＋2＝7.故选A. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 两个复数差的模的几何意义 （1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝 对值号内变为两复数差的形式； （2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆； （3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式 的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，若1≤｜z｜≤4，则点Z所在区 域的面积为（　　） A. 15π B. 6π C. 3π D. 2π 解析： 　因为1≤｜z｜≤4，所以点Z所在区域为两个同心圆所形成的圆 环，其中一个半径为1，另一个半径为4，则其面积为π×42－π×12＝15π. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 若复数z满足｜z｜＝1，则 的最大值为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 解析： 　由｜z｜＝1可知，复数z对应的点在单位圆x2＋y2＝1上， 表示单位圆上的动点P（x，y）到点（0，－2）的距离，所以 的最大值为 ＋1＝3. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. i是虚数单位，则复数（3－i）（4－i）在复平面内对应的点位于 （　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 　z＝（3－i）（4－i）＝12－7i＋i2＝11－7i，z＝11－7i在复平面 内对应的点为（11，－7），它位于第四象限.故选D. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. （2025·泰州期末）复数z与复平面内的点（3，－4）对应，则 ＝ （　　） A. －7＋24i B. 25＋24i C. 2 D. 25 解析： 　由题意得z＝3－4i，所以 ＝3＋4i，所以 ＝（3＋4i）2＝－7 ＋24i.故选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 若复数z＝a＋i（a∈R）在复平面内对应点Z，则｜z｜＝ 时，点Z 与点（1，2）的距离为 ⁠. 解析：∵｜z｜＝ ＝ ，∴a＝±1.∴z＝1＋i或z＝－1＋i.当z ＝1＋i时，Z为（1，1），两点间距离为 ＝1； 当z＝－1＋i时，Z为（－1，1），两点间的距离为 ＝ . 1或 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知方程z2－2z＋4＝0的两根为z1，z2，对应点为Z1，Z2，求△OZ1Z2 的面积. 解：因为z2－2z＋4＝（z－1）2＋3＝0，所以（z－1）2＝－3，即 （ ）2＝－1， 又因为i2＝－1，所以（ ）2＝i2，所以 ＝±i，即z＝1± i. 即方程z2－2z＋4＝0的两根为z1＝1＋ i，z2＝1－ i，对应点为Z1 （1， ），Z2（1，－ ）， 所以△OZ1Z2的面积为 ×1×2 ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 复数z＝（a2－2a）＋（a2－a－2）i（a∈R）对应的点在虚轴上，则 （　　） A. a≠2或a≠1 B. a≠2或a≠－1 C. a＝2或a＝0 D. a＝0 解析： 由题意知a2－2a＝0，解得a＝0或2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在复平面内，复数z1，z2对应的两个点关于虚轴对称，已知z1＝1＋i， 则z1z2＝（　　） A. －2 B. 2 C. －2－i D. －2＋i 解析： 　因为复数z1，z2对应的两个点关于虚轴对称，z1＝1＋i，所以z2 ＝－1＋i，所以z1z2＝（1＋i）（－1＋i）＝－2.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 若z＝1＋i，则｜z2－2z｜＝（　　） A. 0 B. 1 C. D. 2 √ 解析： 　法一　∵z＝1＋i，∴｜z2－2z｜＝｜（1＋i）2－2（1＋i）｜ ＝｜2i－2i－2｜＝｜－2｜＝2.故选D. 法二　∵z＝1＋i，∴｜z2－2z｜＝｜z｜｜z－2｜＝ ×｜－1＋i｜＝ × ＝2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 设复数z满足｜z－i｜＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则 （　　） A. （x＋1）2＋y2＝1 B. （x－1）2＋y2＝1 C. x2＋（y－1）2＝1 D. x2＋（y＋1）2＝1 解析： 　依题意z＝x＋yi，代入｜z－i｜＝1，得｜x＋（y－1）i｜＝ 1，∴ ＝1，即x2＋（y－1）2＝1.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕（2025·盐城期末）若复数z＝2－2i（i为虚数单位），则下列 结论正确的有（　　） A. ｜z｜＝2 B. z的虚部为－2i C. z＋ ＝4 D. z在复平面内对应的点在第二象限 解析： 　因为z＝2－2i，所以｜z｜＝ ＝2 ，故A正 确；z的虚部为－2，故B错误； ＝2＋2i，所以z＋ ＝2－2i＋2＋2i＝4， 故C正确；z在复平面内对应的点为（2，－2），位于第四象限，故D错 误.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕已知z为复数，则下列结论正确的是（　　） A. ｜z｜2＝z B. 若 ＝ ，则z为纯虚数 C. 若 ＋ ＝2，则z为实数 D. － ＝2（z＋ ） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　设z＝a＋bi，a，b∈R，则 ＝a－bi，对于A，｜z｜2＝ ＝a2＋b2，z ＝（a＋bi）·（a－bi）＝a2＋b2，所以｜ z｜2＝z 成立，故A正确；对于B，当z＝0时，有 ＝ 成立， 但此时z为实数，故B错误；对于C，因为 ＋ ＝2，所以 ＋ ＝2，设f（z）＝ ＋ ， 当z∈ 时，才有f（z）＝2成立，解得b＝0，所以z＝a，且 a∈ ，故z为实数，故C正确；对于D，因为 ＝（a＋1）2 ＋b2， ＝（a－1）2＋b2，所以 － ＝4a，而2（z ＋ ）＝2（a＋bi＋a－bi）＝4a，所以 － ＝2（z＋ ） 成立，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. i是虚数单位，设（1＋i）x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy ＝ ，｜x＋yi｜＝ ⁠. 解析：由（1＋i）x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，∴x＝y＝1，∴xy＝ 1，｜x＋yi｜＝｜1＋i｜＝ . 1　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知i为虚数单位，复数z＝ ，则｜z｜＝ 　 　，复数z的共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为 ⁠. 解析：由题意得，z＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，所以｜z｜＝ ＝ ， ＝ － i，所以复数z的共轭复数 在复平面内对应 的点的坐标为 . 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 若复数z＝（a－2）＋（a＋1）i，a∈R对应的点位于第二象限，则｜ z｜的取值范围是 ⁠. 解析：复数z＝（a－2）＋（a＋1）i对应的点的坐标为（a－2，a＋ 1），因为该点位于第二象限，所以 解得－1＜a＜2.由条件 得｜z｜＝ ＝ ＝ ＝ .因为－1＜a＜2，所以｜z｜ ∈［ ，3）. ［ ，3）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 已知复数z在复平面上对应的点在第一象限，且｜z｜＝ ，z2的虚部 为2. （1）求复数z； 解： 设z＝a＋bi（a，b∈R），则｜z｜＝ ，z2＝（a＋ bi）2＝（a2－b2）＋2abi， 因为｜z｜＝ ，z2的虚部为2，所以 解得 或 又复数z在复平面上对应的点在第一象限，所以 故z＝1＋i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）设复数z，z2，z－z2在复平面上对应点分别为A，B，C，求 · 的值. 解： 因为z＝1＋i，所以z2＝（1＋i）2＝2i，z－z2＝1＋i－2i＝1 －i， 所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1）， · ＝（－1，1）·（0，－2）＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足｜z－ z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，则z对应的点是△ABC的（　　） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解析： 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应 的点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕定义复数运算：z1⊕z2＝ ·z2＋（z1＋1）· .若z0⊕z＝－3 －i，且z0＝－i（i是虚数单位），则（　　） A. z的虚部为i B. z的模为 C. ＝－1－i D. z在复平面内对应的点位于第二象限 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　设z＝a＋bi，a，b∈R，由题意知i（a＋bi）＋（1－i） （a－bi）＝－3－i，即a－2b－bi＝－3－i，则 解得a ＝－1，b＝1，所以z＝－1＋i，对于A，因为z＝－1＋i的虚部为1，故A 错误；对于B，因为｜z｜＝ ＝ ，故B正确；对于C，因 为 ＝－1－i，故C正确；对于D，因为复数z＝－1＋i在复平面内对应的点 （－1，1）在第二象限，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝ ＋i，则｜z1－z2｜ ＝ ⁠. 解析：法一　设z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R），z2＝x2＋y2i（x2，y2∈R）， 则由｜z1｜＝｜z2｜＝2，得 ＋ ＝ ＋ ＝4.因为z1＋z2＝x1＋x2＋ （y1＋y2）i＝ ＋i，所以｜z1＋z2｜2＝（x1＋x2）2＋（y1＋y2）2＝ ＋ ＋ ＋ ＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝（ ）2＋12＝4，所 以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以｜z1－z2｜＝｜x1－x2＋（y1－y2）i｜＝ ＝ ＝ ＝2 . 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 法二　设z1＝a＋bi（a，b∈R），则z2＝ －a＋（1－b）i，则 即 所以｜z1－ z2｜2＝（2a－ ）2＋（2b－1）2＝4（a2＋b2）－4（ a＋b）＋4＝ 4×4－4×2＋4＝12，所以｜z1－z2｜＝2 . 法三　设z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，O为坐标原点，z1＋z2 ＝z＝ ＋i，则z在复平面内对应的点为P（ ，1），所以｜z1＋z2｜ ＝｜z｜＝2，由平行四边形法则知四边形OAPB是边长为2，一条对角线 也为2的菱形，则另一条对角线的长为｜z1－z2｜＝2× ×2＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 已知复数z＝1＋mi（i是虚数单位，m∈R），且 ·（3＋i）为纯虚数 （ 是z的共轭复数）. （1）设复数z1＝ ，求｜z1｜； （1）z1＝ ＝－ － i，∴｜z1｜＝ . 解：∵z＝1＋mi，∴ ＝1－mi. ∴ ·（3＋i）＝（1－mi）（3＋i）＝（3＋m）＋（1－3m）i. 又∵ ·（3＋i）为纯虚数， ∴ 解得m＝－3.∴z＝1－3i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）设复数z2＝ ，且复数z2在复平面内所对应的点在第一象限，求 实数a的取值范围. 解： ∵z＝1－3i，i2 025＝i2024·i＝i，∴z2＝ ＝ . 又∵复数z2在复平面内所对应的点在第一象限， ∴ 解得a＞ . 即实数a的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量 对应的复数为1＋2i，向量 对应的复数为3－i，求： （1）点C，D对应的复数； 解： ∵向量 对应的复数为1＋2i，向量 对应的复数为3－i， ∴向量 对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i. 又∵ ＝ ＋ ， ∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i. ∵ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ∴向量 对应的复数为3－i， 即 ＝（3，－1）.设D（x，y）， 则 ＝（x－2，y－1）＝（3，－1）， ∴ 解得 ∴点D对应的复数为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）平行四边形ABCD的面积. 解： ∵ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos B， ∴ cos B＝ ＝ ＝ . ∵0＜B＜π，∴ sin B＝ ， ∴S四边形ABCD＝｜ ｜｜ ｜ sin B＝ × × ＝7， ∴平行四边形ABCD的面积为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $