12.1 复数的概念课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦复数的概念，涵盖复数的引入、定义、分类及相等条件。从实数集扩充的必要性（如方程x²+1=0无解）引入虚数单位i，通过规定i²=-1及运算律构建复数a+bi的概念，再分类和明确相等条件，形成从问题到概念的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和分层训练培养核心素养，通过方程无解情境引导学生用数学眼光发现数系扩充的必要性，题型分析中分类讨论（如例2根据虚部判断复数类型）和逻辑推理（如例3利用相等条件列方程组）发展数学思维，复数相等条件的应用（如跟踪训练3求λ范围）强化数学语言的精确表达。学生能深化概念理解和推理能力，教师可借助结构化资源提升教学效率。

第12章　复数 12.1　复数的概念 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.理解数系的扩充与引进复数的必要性. 2.理解复数的有关概念. 3.掌握复数相等的充要条件及其应用. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　复数的引入和概念 1.复数的引入 为了使方程x2+1=0有解,使实数的开方运算总可以实施,实数集的扩充就从引入平方等于-1的“新数”开始.为此,我们引入一个新数i,叫作虚数单位,并规定:(1)i2=-1;(2)实数可以与i进行四则运算,进行四则运算时,原有的加法、乘法运算律仍然成立. 在这种规定下,i可以与实数b相乘,再与实数a相加.由于满足乘法交换律及加法交换律,从而可以把结果写成a+bi.这样,数的范围又扩充了. 2.复数概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数.全体复数所组成的集合叫作复数集,记作C. 3.复数的表示 复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部. 知识点二　复数的分类 对于复数z=a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,z是实数a;当b≠0时,z叫作虚数.特别地,当a=0且b≠0时,z=bi叫作纯虚数.具体来说,复数z=a+bi 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可用下图表示. 知识点三　复数相等 如果两个复数的实部与虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,即a+bi=c+di⇔ 这就是说,两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)已知i为虚数单位,若a≠0,则ai是纯虚数.(　　) (2)虚部为-的虚数有无数个.(　　) (3)实数集在复数集中的补集是虚数集.(　　) (4)两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等.(　　) × √ √ √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】对复数概念的理解 例1 [链接教材习题12.1,T2]下列命题中,真命题的个数是　　　　.  ①实数集与虚数集的交集是{0}; ②若x2+y2=0且x,y∈C,则x=y=0; ③若z=1-2i,则复数z的虚部是2. 0 解析 ①实数集与虚数集的交集是空集,所以①是假命题;②当x=1,y=i时, x2+y2=0同样成立,所以②是假命题;③复数z的虚部是-2,所以③是假命题.故真命题的个数为0. 题后反思　1.要注意b称为虚部而不是虚部系数. 2.虚数不能比较大小,只有相等与不相等之分. 跟踪训练1 (多选题)下列说法中,不正确的有(　 　) A.1-ai(a∈R)是一个复数 B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数 C.两个复数一定不能比较大小 D.若a>b,则a+i>b+i BCD 解析 由复数的定义可知A正确;形如a+bi(b∈R)的数,当b=0时,它不是虚数,故B错误;若两个复数全是实数,则可以比较大小,故C错误;两个虚数不能比较大小,故D错误.故选BCD. 【题型二】复数分类及其应用 例 2 [链接教材例2]已知复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i. (1)若复数z是实数,求实数m的值; (2)若复数z是虚数,求实数m的取值范围; (3)若复数z是纯虚数,求实数m的值; (4)若复数z是0,求实数m的值. 解 (1)当m2-2m-15=0时,复数z为实数, 解得m=5或m=-3. (2)当m2-2m-15≠0时,复数z为虚数. 解得m≠5且m≠-3. 所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠-3}. (3)当时,复数z是纯虚数,解得m=-2. (4)当时,复数z是0,解得m=-3. 题后反思　利用复数分类求参数的方法 (1)利用复数的分类求参数时,首先应将复数化为z=a+bi(a,b∈R)的形式.若不是这种形式,则应先化为这种形式,得到实部与虚部的值,再求解. (2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解. (3)要特别注意复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0. 跟踪训练2 已知m∈R,复数z=lg m+(m2-1)i,当m满足何条件时, (1)z为实数?(2)z为虚数?(3)z为纯虚数? 解 (1)当z为实数时,m需满足 解得m=1. (2)当z为虚数时,m需满足 解得m>0,且m≠1. (3)当z为纯虚数时,m需满足无解,即不存在m的值使z为纯虚数. 【题型三】使复数相等的充要条件的应用 例 3 [链接教材例3]已知A={1,2,a2-3a-1+(a2-5a-6)i}(a∈R),B={-1,3}, A∩B={3},求实数a的值. 解 由题意知,a2-3a-1+(a2-5a-6)i=3, 所以解得a=-1. 题后反思　复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据,多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解. 跟踪训练3 (1)复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(m,λ,θ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围是　　　　.  [-,7] 解析 ∵z1=z2, 两式化简得, λ=4-4cos2θ-3sin θ=4sin2θ-3sin θ=4(sin θ-)2-, ∵-1≤sin θ≤1,∴当sin θ=时,λmin=-, 当sin θ=-1时,λmax=7, ∴λ的取值范围是[-,7].故答案为[-,7]. (2)已知sin θ+icos θ=i,θ∈[0,2π],则θ=　　　　.  解析 因为sin θ+icos θ=i,故 又θ∈[0,2π],故θ=故答案为 $