12.1 复数的概念-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦复数的概念、分类及复数相等的充要条件，通过数集扩充的历史脉络（从自然数集到实数集的运算矛盾）引入情境，以问题“x²=-1无解如何解决”搭建学习支架，帮助学生理解复数引入的必要性。 其亮点在于以问题驱动和分层训练培养核心素养，情境导入通过数集扩充问题链渗透数学抽象，典例研析结合母题探究（如复数分类中列方程求参数）强化逻辑推理。通性通法总结助力学生掌握解题思路，对学生提升数学思维有帮助，为教师提供系统教学资源和清晰流程。

12.1　复数的概念 1 1.通过方程的解，了解引进复数的必要性（数学抽象）. 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件（逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充，它的每一次扩充，解决了 某些运算在原有数集中不能实施的矛盾，数集的扩充过程，也可以从方程 是否有解的角度来理解： 　　在自然数集中，方程x＋4＝3无解，为此引入负数，数集扩充到整 数集； 　　在整数集中，方程2x＝5无解，为此引入分数，数集扩充到有理数集； 数学·必修第二册（SJ） 目 录 　　在有理数集中，方程x2＝7无解，为此引入无理数，数集扩充到实 数集. 【问题】　在实数集中，类似x2＝－1的方程无解，能否引入一种新数，使 得方程有解并将实数集进行扩充呢？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　复数的概念及分类 1. 虚数单位：引入一个新数i，叫作 ，并规定： （1）i2＝ ⁠； （2） 可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘 法运算律仍然成立. 2. 复数的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫作复数. ⁠所 组成的集合叫作复数集，记作C. 3. 复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a， b∈R），其中a与b分别叫作复数z的 与 ⁠. 虚数单位　 －1　 实数　 全体复数　 实部　 虚部　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 复数的分类 （1）复数z＝a＋bi（a，b∈R） （2）集合表示 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　复数相等 　如果两个复数的 与 分别相等，那么我们就说这两个复 数相等，即a＋bi＝c＋di⇔ 这就是说，两个复数相等的充要条件 是它们的 和 分别相等. 　　提醒：在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c， d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略 前提条件，则结论不能成立. 实部　 虚部　 实部　 虚部　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕对于复数z＝a＋bi（a，b∈R），则下列结论中错误的是 （　　） A. 若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B. 若z＝3－2i，则a＝3，b＝2 C. 若b＝0，则a＋bi为实数 D. 若a＝b＝0，则z不是复数 √ √ √ 解析： 　对于A，当a＝0，b＝0时，a＋bi为实数，故A错误；对于 B，若z＝3－2i，则a＝3，b＝－2，故B错误；对于C，若b＝0，则a＋ bi为实数，故C正确；对于D，若a＝b＝0，则z是实数，故D错误.故选 A、B、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知a∈R，若a－1＋（a－2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝ （　　） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 解析： 　依题意得a－2＝0，∴a＝2.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知x－3i＝（8x－y）i（x，y∈R），则x＝ ，y＝ ⁠. 解析：依题意得 即 0　 3　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜复数的概念 【例1】　（1）（链接教科书第120页例1）写出下列复数的实部和虚部： －2＋ i， ＋i， ，－ i，i，0； 解： －2＋ i， ＋i， ，－ i，i，0的实部分别为－2， ， ，0，0，0；虚部分别为 ，1，0，－ ，1，0. （2）判断N*，N，Z，Q，R，C的关系. 解： 根据各数集的含义可知，N*⫋N⫋Z⫋Q⫋R⫋C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 复数概念的几个关注点 （1）复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实 部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b； （2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数 的两大构成部分； （3）如果两个复数都是实数可以比较大小，否则不能比较大小. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关 系为（　　） A. A⫋B⫋C B. B⫋A⫋C C. B⫋C⫋A D. A⫋C⫋B 解析： 　根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非 纯虚数.因此只有B正确.故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 若复数z＝（2a－1）＋（3＋a）i（a∈R）的实部与虚部相等，则a ＝ ⁠. 解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4. 4　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜复数的分类 【例2】　（链接教科书第120页例2）当m取何值时，复数z＝ ＋ （m2－2m－15）i是： （1）虚数？ 解： 当 即m≠5且m≠－3时，z是虚数. （2）纯虚数？ 解： 当 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3）实数？ 解： 当 即m＝5时，z是实数. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 1. （变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z＞0. 解：因为z＞0，所以z为实数，需满足 解得m＝5. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. （变条件，变设问）已知z＝log2（1＋m）＋[lo （3－m）]i （m∈R），若z是虚数，求m的取值范围. 解：∵z是虚数，∴lo （3－m）≠0，且1＋m＞0， 即 ∴－1＜m＜2或2＜m＜3. ∴m的取值范围为（－1，2）∪（2，3）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 复数分类问题的求解方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形 式，以确定实部和虚部； （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的 条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等 式）即可； （3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）， ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 若复数z＝（a2＋2a－3）＋（a＋3）i是纯虚数，则实数a的值是 （　　） A. 1 B. 3 C. －3 D. －1 解析： 　根据纯虚数的概念知， 解得a＝1，所以实 数a的值是1.故选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 若复数a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚数，则 （　　） A. a＝－1 B. a≠－1且a≠2 C. a≠－1 D. a≠2 解析： 　复数a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚数，则 有a2－a－2≠0或｜a－1｜－1＝0，解得a≠－1.故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜复数相等 【例3】　（1）（链接教科书第121页例3）若（x＋y）＋yi＝（x＋1） i，求实数x，y的值； 解： 由复数相等的充要条件， 得 解得 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）关于x的方程3x2－ x－1＝（10－x－2x2）i有实根，求实数a的值. 解： 设方程的实根为x＝m， 则原方程可变为3m2－ m－1＝（10－m－2m2）i， 所以 由②解得m＝2或m＝－ ， 分别代入①式，得a＝11或a＝－ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相 等列方程组求解； （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思 想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知x，y∈R，若（x－3y）＋（2x＋y）i＝－i＋1，则x＝ ⁠ 　，y＝ 　－ 　. 解析：由题意得 解得 － 　 － 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知（a2＋am）＋2ai＝－2－mi（a，m∈R），求实数a的值. 解：因为a，m∈R，所以由复数相等的充要条件， 可得 解得 或 所以a＝± . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 已知复数z＝1＋i，则下列结论正确的是（　　） A. z的实部为1 B. z的虚部为i C. z＞0 D. z是纯虚数 解析： 复数z＝1＋i的实部为1，虚部为1，复数z＝1＋i不能与0 比较大 小，且不是纯虚数.故选A. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕对于复数a＋bi（a，b∈R），下列说法正确的是（　　） A. 若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B. 若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1 C. 若b＝0，则a＋bi为实数 D. i的平方等于1 解析： 　对于A，当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数，故A错误；对于 B，若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1，故B正确；对于C，若b ＝0，则a＋bi＝a为实数，故C正确；对于D，i的平方为－1，故D错误. 故选B、C. √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为纯虚数，则实数m的值为 ⁠. 解析：由题意得 即m＝1. 4. 已知复数z＝k2－3k＋（k2－5k＋6）i（k∈R），且z＜0，求实数k 的值. 解：因为z＜0， 所以z∈R，所以 所以k＝2. 1　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 复数z＝ cos ＋i sin ，则复数z的虚部是（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　因为z＝ cos ＋i sin ＝ ＋ i，所以虚部为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a＝ （　　） A. －3 B. 3 C. －1 D. 1 解析： 　易知1＋3i的实部为1，－1－ai的虚部为－a，则a＝－1.故 选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 如果z＝m（m＋1）＋（m2－1）i为纯虚数，则实数m的值为（　　） A. 1 B. 0 C. －1 D. －1或1 解析： 　由题意知 ∴m＝0.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，a∈R，若z1＝z2，则a＝ （　　） A. 2 B. 3 C. －3 D. 9 解析： 　因为z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，且z1＝z2，所以有 解得a＝3.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕下列命题正确的是（　　） A. （a2＋1）i（a∈R）是纯虚数 B. －i2＝1 C. 1＋4i＞3i D. 若z∈C，则z2≥0 √ √ 解析： 　对于A：因为a2＋1≥1，所以（a2＋1）i（a∈R）是纯虚数， 故正确；对于B：i2＝－1，所以－i2＝1，故正确；对于C：复数不能比较 大小，故错误；对于D：当z＝i时，z2＝i2＝－1＜0，故错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕下列命题为真命题的是（　　） A. 复数集是实数集与纯虚数集的并集 B. i2＋i的虚部是1 C. 已知复数z1，z2，若z1＞z2，则z1－z2＞0 D. i是－1的一个平方根 √ √ √ 解析： 　复数集是实数集和虚数集的并集，A为假命题；i2＋i＝－1＋ i，其虚部是1，B为真命题；两个复数z1，z2满足z1＞z2，说明z1，z2都是 实数，显然有z1－z2＞0，C为真命题；根据虚数单位i的定义，D为真命题. 故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝ ⁠. 解析：由xi－i2＝y＋2i可得1＋xi＝y＋2i，则 所以x＋yi＝2＋i. 2＋i　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知z1＝－4a＋1＋（2a2＋3a）i，z2＝2a＋（a2＋a）i，其中 a∈R，若z1为纯虚数，则a＝ .若z1＞z2，则a＝ ⁠. 解析：由z1为纯虚数，则 ∴a＝ .由z1＞z2，得 解得a＝0. 　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 定义：复数b＋ai是z＝a＋bi（a，b∈R）的转置复数，已知a， b∈R，i是虚数单位，若a＋2i＝1－bi，则复数z＝a＋bi的转置复数 是 ⁠. 解析：由a＋2i＝1－bi，得a＝1，b＝－2.所以复数z＝a＋bi＝1－2i， 故复数z＝1－2i的转置复数是－2＋i. －2＋i　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 当实数m取什么值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－8）i是 下列数？ （1）实数； （1）当m2－2m－8＝0时，复数z为实数，∴m＝4或m＝－2. 解：由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3，由m2－2m－8＝0，得m＝ 4或m＝－2. （2）虚数； 解：当m2－2m－8≠0时，复数z为虚数，∴m≠4且m≠－2. （3）纯虚数； 解：当 时，复数z是纯虚数，∴m＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （4）0. 解：当 时，复数z＝0，∴m＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数根n， 且z＝m＋ni，则复数z＝（　　） A. 3＋i B. 3－i C. －3－i D. －3＋i 解析： 　由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，即 解 得 ∴z＝3－i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的实数m的取 值集合是 ⁠. 解析：由已知，得 解得m＝3，所以所求实数m的取 值集合是{3}. {3}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 定义运算 ＝ad－bc，若（x＋y）＋（x＋3）i＝ （i为虚数单位），则实数x＝ ，实数y＝ ⁠. 解析：由题意 ＝3x＋2y＋yi，则 ∴ －1　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 分别求满足下列条件的实数x，y的值. （1）2x－1＋（y＋1）i＝x－y＋（－x－y）i； 解： 因为x，y∈R，所以由复数相等的充要条件得 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2） ＋（x2－2x－3）i＝0. 解： 因为x∈R，所以由复数相等的充要条件得 即 所以x＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2 sin θ＋（ cos θ－2）i （其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）. （1）若z1为纯虚数，求实数m的值； 解： ∵z1为纯虚数， ∴ ∴m＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若z1＝z2，求实数λ的取值范围. 解： 由z1＝z2，得 ∴λ＝4－ cos 2θ－2 sin θ＝ sin 2θ－2 sin θ＋3＝（ sin θ－1）2＋2. 又∵－1≤ sin θ≤1， ∴当 sin θ＝1时，λmin＝2， 当 sin θ＝－1时，λmax＝6. ∴2≤λ≤6， 即λ的取值范围为[2，6]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $