12.2复数的运算（第1课时）（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

12.2 复数的运算（第1课时） 第十二章 复数 学 习 目 标 1 2 3 掌握复数加减法、乘法的运算法则，理解其与多项式乘法的关联，能熟练进行复数的乘法运算，能否进行复数连乘、平方差形式的简便运算； 理解共轭复数的定义与表示方法，掌握共轭复数的核心性质，能写出任意复数的共轭复数； 经历复数运算法则的推导、运算律验证的探究过程，培养严谨的逻辑推理能力. 新课导入 上一节课我们学习了复数的代数形式,两个复数相等的充要条件是什么？数系扩充的过程中，我们始终遵循的核心规则是什么？ ①复数相等的充要条件：实部与虚部分别相等； ②数系扩充核心规则：原有运算律在新数集中仍然适用，原有运算性质尽可能保留. 实数有完整的加减乘除运算体系，按照数系扩充“保留原有运算律”的核心规则，我们该如何定义复定义复数的加减乘运算？ 为解决以上问题，本节课我们将定义复数的加减乘运算，探究其运算规律. 探究一：复数的加减法 新知探究 数系扩充“保留原有运算律”的核心规则，由此可得如下， 类比实数的加减法运算，结合“两个复数相等，当且仅当实部、虚部分别相等”的规则，你认为两个复数相加、相减，应该遵循怎样的运算规则？ 复数加减法的核心法则： 若 , () ①加法法则 ②减法法则 复数的加法运算，是否和实数意义满足交换律、结合律？ 新知探究 容易验证：对任何 ，有 加法交换律 加法结合律 借助运算律，还可以验证复数的减法法则： 把满足的复数 ()叫作复数 减去 所得的差 . 即： = 根据复数的加法法则和复数相等的定义，有 即 所以 新知探究 复数的加减法运算，和我们学过的多项式的哪类运算逻辑完全一致？运算的核心要点是什么？ 复数的加减法与多项式的合并同类项运算逻辑一致，核心要点是： ①实部与实部相加减 ②虚部与虚部相加减 最终结果仍为一个复数 典例分析 例1 计算 【分析】根据复数加减运算法则，将实部与实部相加减、虚部与虚部相加减，合并同类项得到结果. 解 ：原式 知识小结 复数的加减法 若 , () ①加法法则 ②减法法则 ③加法交换律 ④加法结合律 8 探究二：复数的乘法运算法则 新知探究 类比多项式的乘法法则，结合虚数单位 的核心规定 ，你能推导出 的通用运算结果吗？复数乘法的核心步骤是什么？ 复数乘法的核心法则： 提示：复数乘法与多项式乘法法则完全类似 核心关键是运算中把 换成 -1，再合并实部与虚部，两个复数的积仍是一个复数。 新知探究   实数的乘法满足交换律、结合律、分配律，类比复数乘法的法则，你认为这些运算律在复数范围内还成立吗？ 容易验证，复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律 即对任何,有 ①交换律 ②结合律 ③分配律 明确：实数范围内的乘法交换律、结合律、分配律，在复数范围内完全适用。 典例分析 例2 计算 . 【分析】按照复数乘法法则，先两两相乘（类比多项式乘法，利用化简），分步合并实部、虚部，最终得到结果。 解：原式 . 典例分析 例3 计算ii). 【分析】运用复数乘法法则（类似多項式乘法），展开后利用化简，通过抵消虚部项，得到共轭复数乘积为实数的结果。 解：原式iii i 知识小结 复数的乘法及运算律 ①法则： ②关键：类比多项式乘法，利用 将虚数单位转化，再合并实部、虚部。 ③运算律 ：对任意复数 ，有 交换律： 结合律： 分配律： 13 探究三：共轭复数 新知探究 观察例3中的两个复数和，它们的实部和虚部有什么关系？结合这个结构特点，我们该如何定义这类成对出现的复数？ 定义： 实部相等、虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数； 表示： 复数的共轭复数记作 即。 新知探究 从定义和例3的结论出发，你能探究出互为共轭的两个复数有哪些核心性质吗？（从运算、特殊值两个角度思考） 性质： ① 实数的共轭复数是它本身（虚部时，）； ② 互为共轭的两个复数的乘积是一个非负实数： ； ③ 加减运算性质：. 知识小结 共轭复数 ①定义：实部相等、虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数 若复数 ，则其共轭复数记作 ，即： ②性质 （1）实数的共轭复数是它本身（当虚部 时，）； （2）对任意复数 ，有： 16 即时训练 1.已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【分析】设，则，代入已知条件，利用复数相等的条件即可求解. 【详解】设，则， 因为，所以 所以， 所以，解得，所以. 故选：A. A 巩固提升 题型1 复数的加减运算 1.已知复数，其中i是虚数单位，是z的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 【分析】设，根据，解出即可. 【详解】设， 解得 所以， 故选：B B 巩固提升 题型2 复数的乘除运算 2.已知，，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【分析】根据复数代数形式的乘法运算和复数相等的概念求解. 【详解】因为 所以， 所以 解得. 故选：D D 巩固提升 题型2 复数的乘法运算 3.设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【分析】根据复数的乘法运算化简复数，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案. 【详解】 ， 由已知得 解得， 故选：D D 巩固提升 题型3 共轭复数 【分析】根据复数的定义、共轭复数、模长、平方根的相关概念，逐一验证每个选项的正确性，最终选出正确答案。 3.（多选）已知复数（是虚数单位），是的共轭复数，下列说法中正确的是（     ） A．的虚部为4； B．； C．； D．是的一个平方根 【解析】A，的虚部为4，A正确； B，，B正确； C，， ，故，C错误； D，，故是的一个平方根，D正确. ABD 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 课堂小结 复数的运算 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 核心运算法则 1. 复数的加减法 ● 设 z1 = a + bi, z2 = c + di，则： ● z1 ± z2 = (a ± c) + (b ± d)i。 ● 法则：实部与实部相加减，点击可见虚部与虚部相加减。 2. 复数的乘法 ● 法则：按多项式乘法展开，结合 i2 = 点击可见-1 进行化简。 ● 公式：(a + bi)(c + di) = (点击可见ac - bd) + (ad + bc)i。 3. 共轭复数 ● 定义：实部相等，虚部点击可见互为相反数的两个复数。 ● 表示：z = a + bi 的共轭复数为 z = a - bi。 ● 性质：z · z = 点击可见a2 + b2 = |z|2。 运算陷阱警示 ⚠️ 虚数单位的幂次 在乘法运算中，务必注意 i2 = -1，学生常误记为 1。 注意周期性：i1=i, i2=-1, i3=-i, i4=1。 ⚠️ 乘法公式中的符号 在计算 (a + bi)(c + di) 时，实部项为 ac - bd，符号极易出错。 ⚠️ 共轭复数的虚部 求共轭复数是改变虚部的符号，而不是改变中间的符号（当虚部在前时易错）。 例：z = bi + a 的共轭是 a - bi。 高效解题模型 1. 复数加减法的几何意义 复数的加减法对应向量的加减法（平行四边形法则或三角形法则）。 ● |z1 - z2| 表示复平面内两点间的距离。 2. 巧用共轭复数化简 在处理复数除法或分式化简时，分子分母同乘分母的共轭复数，使分母实数化。 公式：1a + bi = a - bia2 + b2 3. 常用计算结论（熟记提速） (1 + i)2 = 2i (1 - i)2 = -2i 1 + i1 - i = i 1 - i1 + i = -i $