8.2.4超几何分布课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦超几何分布，系统讲解其概念、分布列及均值，课堂导入从离散型随机变量分布列切入，通过摸球、产品抽样等实例搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合具体实例（如摸球得分、产品质量抽样），用数学眼光观察现实问题，通过对比超几何分布与二项分布培养数学思维，以分布列表格和公式推导强化数学语言表达。规律方法总结助力学生结构化学习，教师可高效教学，提升学生应用能力。

8.2 离散型随机变量及其分布列 8.2.4 超几何分布 1 【课标要求】 1.通过具体实例,了解超几何分布及其均值. 2.能用超几何分布解决简单的实际问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点 超几何分布 若一个随机变量的分布列为,其中,1,2,3, ,, , ,则称服从超几何分布,记为,并将 记为 ;,, . 当时,,其中, . 名师点睛 超几何分布和二项分布都可以描述随机抽取的 件产品中次品数的分布规律,并且 二者的均值相同.对于不放回抽样,当远远小于时,每抽取一次后,对 的影响很小,此 时,超几何分布可以近似看成二项分布. 4 题型分析·能力素养提升 5 【题型一】超几何分布的简单应用 例1 从放有10个红球与15个白球的暗箱中随机摸出5个球,规定取到一个白球得1分、 一个红球得2分,求某人摸出5个球,恰好得7分的概率. 解 设摸出的红球个数为,则服从超几何分布,其中,, ,由于摸出5 个球,得7分,仅有恰好摸出两个红球、三个白球一种可能情况,那么恰好得7分的概率为 . 规律方法（1）解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布. （2）注意公式中,, 的含义. 6 跟踪训练1 100只灯泡中含有 只不合格品,若从中一次任取10只,记“恰好 含有2只不合格品”的概率为,当取得最大值时, ____. 20 [解析] 由题意, , 由, , 可得, , , . 7 【题型二】超几何分布的综合应用 例2 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有 2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球. （1）求取出的3个球的颜色都不相同的概率; 解 从袋中一次随机抽取3个球,所有取法的总数 ,取出的3个球的颜色都不 相同包含的样本点的个数为 ,所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为 . 8 （2）记取得1号球的个数为随机变量,求随机变量 的分布列. 解 由题意知 ,1,2,3. , , , , 所以 的概率分布为 0 1 2 3 9 规律方法 超几何分布的求解步骤 （1）辨模型:结合实际情境分析所求概率分布问题是否能转化为超几何分布模型. （2）算概率:可以直接借助公式 求解,也可以利用排列、组合 及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数,,, 的含义. （3）列分布列:把求得的概率值通过表格表示出来. 10 变式探究1 在本例条件下,若记取到白球的个数为随机变量 ,求随机变量 的分布列. 解 由题意可知,1,服从两点分布.又,所以 的概率分布为 0 1 11 变式探究2 将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次,每次抽取1个球”,其他条件 不变,结果又如何? （1）解 取出3个球颜色都不相同的概率 . （2）解 由题意知 ,1,2,3. , , , . 所以 的概率分布为 0 1 2 3 12 【题型三】二项分布与超几何分布的区别与联系 例3 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情 况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们 的质量（单位:克）,质量的分组区间为 , , , ,由此得到样本的频率直方图如 图. （1）根据频率直方图,求质量超过505克的产品数量; 解 质量超过505克的产品的频率为 , 所以质量超过505克的产品数量为 （件）. 13 （2）在上述抽取的40件产品中任取2件,设为质量超过505克的产品数量,求 的分布 列,并求其均值; 14 解 由（1）知,质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为 28件,的可能取值为0,1,2, 服从超几何分布. , , , 所以 的概率分布为 0 1 2 所以由超几何分布的性质，得的均值 . （3）从该流水线上任取2件产品,设为质量超过505克的产品数量,求 的分布列. 解 根据样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超过505克的概率为 . 从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成2重伯努利试验,质量超过505克的件数 的可能取值为0,1,2,且， , , ,1,2, 所以 , , , 16 0 1 2 规律方法 不放回抽样服从超几何分布,放回抽样服从二项分布,求均值可利用公式代入 计算. 所以 的概率分布为 跟踪训练2 在10件产品中有2件次品,连续抽3次,每次抽1件,求: （1）不放回抽样时,抽取次品数 的均值; 解 （方法一）由题意知, 的可能取值为0,1,2. , , , 随机变量 的概率分布为 0 1 2 . （方法二）由题意知, ,1,2, 随机变量服从超几何分布,,, , . （2）放回抽样时,抽取次品数 的均值与方差. 解 由题意知,抽取1次取到次品的概率为 , 随机变量服从二项分布, , , . 21 $