第6章 培优课 立体几何中的综合问题-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学单元复习课件聚焦空间向量与立体几何综合问题，系统梳理翻折问题、空间角与距离的探索性问题、最值问题等核心题型，通过“题型示例-通性通法-跟踪训练”的结构，将空间向量工具与立体几何证明、计算有机结合，构建完整知识网络。 其亮点在于以数学思维引导问题解决，如翻折问题中分析变与不变关系，探索性问题用空间直角坐标系参数化，最值问题转化为函数求最值，培养学生空间观念与逻辑推理能力。跟踪训练分层设计，从选择到解答题覆盖不同难度，助力学生巩固知识，教师可精准把握复习重点。

第六章　空间向量与立体几何 培优课　立体几何中的综合问题 1 题型一｜简单的翻折问题 【例1】　如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点， 以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF. （1）证明：平面PEF⊥平面ABFD； 解： 证明：由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝F，PF， EF⊂平面PEF，所以BF⊥平面PEF. 又BF⊂平面ABFD，所以平面 PEF⊥平面ABFD. 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 解：如图，作PH⊥EF，交EF于点H. 由（1）得，PH⊥平面ABFD. 以H为坐标原点， 的方向为y轴正方向，建立空间直角 坐标系H-xyz. 由（1）得，DE⊥PE. 设DP＝2，所以DE＝1，所以PE＝ . 又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF，所以PH＝ ，EH＝ ， 数学·选择性必修第二册（SJ） 则H（0，0，0），P（0，0， ），D（－1，－ ，0）， 则 ＝（1， ， ）， ＝（0，0， ）. 又 为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成的角 为θ， 则 sin θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ . 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 通性通法 立体几何中翻折问题的求解策略 （1）确定翻折前后变与不变的关系：位于“折痕”同侧的点、线、面之间 的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关 系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系 则要在立体图形中解决； （2）确定翻折后关键点的位置：关键点是指翻折过程中运动变化的点.要 清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位 置，从而进行有关的证明与计算. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 　〔多选〕将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的是 （　　） A. AC⊥BD B. AB，CD所成角为 C. △ADC为等边三角形 D. AB与平面BCD所成角为 √ √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析：　如图，取BD的中点O，连接 AO，CO，易知BD⊥平面AOC，故 BD⊥AC，故A正确；如图，建立空间直角坐 标系，设正方形边长为a，则A（ a，0，0），B（0，－ a，0），C（0，0， a），D（0， a，0），故 ＝（－ a，－ a，0）， ＝（0， a，－ a）.由两向量夹角公式得 cos ＜ ， ＞＝－ ，故两异面直线所成的角为 ，故B正确； 数学·选择性必修第二册（SJ） 在Rt△AOC中，由AO＝CO＝ a，AO⊥CO， 所以AC＝ AO＝a，故△ADC为等边三角形， 故C正确；易知∠ABO即为直线AB与平面 BCD所成的角，可求得∠ABO＝ ，故D错. 数学·选择性必修第二册（SJ） 题型二｜与空间角、距离有关的探索性问题 【例2】　在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱的长度都是2，M是BC边的 中点，试问：侧棱CC1上是否存在一点N，使得异面直线AB1和MN所成的 角等于45°？ 数学·选择性必修第二册（SJ） 解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 因为所有棱长都等于2，所以A（0，0，0），C（0，2，0），B（ ，1，0），B1（ ，1，2），M（ ， ，0）. 假设侧棱CC1上存在点N满足题意，可设N（0，2，m）（0≤m≤2），则 ＝（ ，1，2）， ＝（－ ， ，m）. 于是｜ ｜＝2 ，｜ ｜＝ ， · ＝ 2m－1. 如果异面直线AB1和MN所成的角等于45°，那么向量 和 的夹角是45°或135°， 数学·选择性必修第二册（SJ） 而 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ， 所以 ＝± ，解得m＝－ ，这与0≤m≤2矛 盾. 所以侧棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成 的角等于45°. 数学·选择性必修第二册（SJ） 通性通法 与空间角、距离有关的探索性问题的解题策略 　　借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数（变量） 表示，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程 或方程组.若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来确定 几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要 求的几何对象不存在. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 　四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面 ABCD，PA＝2，E为PD的中点. 试问：在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为 ？若 存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由. 数学·选择性必修第二册（SJ） 解：由PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∴PA，AB，AD两两互相垂直.以A为坐标原点，AB， AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空 间直角坐标系A-xyz， 则A（0，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1）， 假设存在满足题意的点F，且F（2，t，0）（0≤t≤2）. 易得 ＝（2，t，0）， ＝（0，0，2）， ＝（0， 1，1）. 设平面PAF的法向量为n＝（a，b，c）， 则 取a＝t，则b＝－2，c＝0， ∴n＝（t，－2，0）. 数学·选择性必修第二册（SJ） ∴点E到平面PAF的距离为 ＝ ＝ ，∴t＝ 1，此时点F为线段BC的中点. ∴当点F为线段BC的中点时，点E到平面PAF的距离为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 题型三｜最值（范围）问题 【例3】　正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在A1C上运动（包括端点）， 则BP与AD1所成角的取值范围是（　　） A. ［ ， ］ B. ［ ， ］ C. ［ ， ］ D. ［ ， ］ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 标系D-xyz，设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），B （1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），D1（0， 0，1），所以 ＝（－1，0，1）， ＝（－1，1，－ 1）.设P（x，y，z），因为点P在A1C上运动（包括端 点），所以 ＝λ （0≤λ≤1）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 又 ＝（x－1，y，z－1），所以 所以 所 以点P（1－λ，λ，1－λ），所以 ＝（－λ，λ－1，1－λ），所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ .因为0≤λ≤1，所以当λ＝ 时， cos ＜ ， ＞取 得最大值 ；当λ＝0时， cos ＜ ， ＞取得最小值 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 又＜ ， ＞∈[0，π]，所以＜ ， ＞∈［ ， ］，所以BP与AD1所成角的取值范围是［ ， ］，故选 D. 数学·选择性必修第二册（SJ） 通性通法 立体几何中最值（范围）问题的解题策略 　　在动态变化过程中产生的体积最大（小）、距离最大（小）、角的范 围等问题，常用的解题思路是： （1）直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相 应最大、最小值，即可求解； （2）函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数， 从而利用代数方法求目标函数的最值. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 　如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在 线段D1E上，求点P到直线CC1距离的最小值. 数学·选择性必修第二册（SJ） 解：法一　如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则D1 （0，0，2），E（1，2，0）. ＝（－1，－2，2）. 设P（x，y，z），则 ＝（x－1，y－2，z），设 ＝λ ，λ∈[0，1].所以（x－1，y－2，z）＝ λ（－1，－2，2）.解得x＝1－λ，y＝2－2λ，z＝ 2λ.所以P（1－λ，2－2λ，2λ），设点P在直线CC1上的垂足为Q，得Q（0，2，2λ），｜ ｜＝ ＝ .当λ＝ 时，｜ ｜min＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 法二　取B1C1的中点E1，连接D1E1，E1E，则CC1∥平面D1EE1.所以点P 到直线CC1的距离的最小值即为CC1与平面D1EE1的距离.过点C1作 C1F⊥D1E1于F，线段C1F的长即为所求.在Rt△C1D1E1中，C1F＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 课时作业 课时作业 1. 已知a＝（x，2，1），b＝（3，－x，－4），且a与b的夹角为钝 角，则x的取值范围是（　　） A. x＜4 B. －4＜x＜0 C. 0＜x＜4 D. x＞4 解析： 　易知a，b不共线，因为a与b的夹角为钝角，所以满足a·b＜ 0，所以代入坐标得出x＜4，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 2. 二面角α-l-β的平面角为120°，在平面α内，AB⊥l于B，AB＝2， 在平面β内，CD⊥l于D，CD＝3，BD＝1，M是棱l上的一个动点，则 AM＋CM的最小值为（　　） A. 6 B. C. D. 5 解析： 　将二面角α-l-β平摊开来，如图所示，当A， M，C在一条直线时AM＋CM取得最小值，最小值即为对 角线AC，而AE＝5，EC＝1，故AC＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 3. 如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满 足 ＝ － ＋ ，则｜ ｜2的值为（　　） A. B. 2 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　取BD的中点E，连接AE，CE（图略），则AE＝CE＝ ， ∠AEC＝90°，所以AC＝1.又AC⊥BD， ＝ － ＋ ＝ ＋ ，故｜ ｜2＝（ ＋ ）2＝ ＋ · ＋ ＝ ＋2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 4. 已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，沿对角线AC折叠之后，使得平面 BAC⊥平面DAC，则二面角B-CD-A的余弦值为（　　） A. 2 B. C. D. 解析： 　如图，取AC的中点E，连接BE，DE，BD. 因为四边形ABCD为菱形，所以BE⊥AC，DE⊥AC. 又 因为平面BAC⊥平面DAC，平面BAC∩平面DAC＝ AC，BE⊂平面BAC，所以BE⊥平面DAC. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 因为DE⊂平面DAC，所以BE⊥DE，即DE，AE，BE两两垂直，所以以 E为坐标原点，分别以ED，EA，EB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间 直角坐标系.设菱形ABCD的边长为2，则A（0，1，0），C（0，－1， 0），D（ ，0，0），B（0，0， ），所以 ＝（0，－1，－ ）， ＝（ ，0，－ ）.设平面BCD的法向量为n＝（x，y，z），则 即 所以n＝（ ，－3， ）.易得平面 ACD的一个法向量为m＝（0，0，1）.设二面角B-CD-A的平面角为θ， 则｜ cos θ｜＝ ＝ ＝ ，由图可知二面角B-CD-A为锐二 面角，所以 cos θ＝ ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 5. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，E，F分别是 BB1，DD1的中点，G为AE的中点且FG＝3，则△EFG的面积的最大值为 （　　） A. B. 3 C. 2 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　连接AC交BD于O，∵底面ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，以OC，OD，Oz为坐标轴建立空间直 角坐标系O-xyz，设OC＝a，OD＝b，棱柱的高为h， 则A（－a，0，0），E（0，－b， ），F（0，b， ），∴G（－ ，－ ， ）. ＝（－ ，－ ，－ ）， ＝（0，－ 2b，0），∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） ∴E到直线FG的距离d＝｜ ｜ sin ＜ ， ＞＝2b· ＝b ， ∴S△EFG＝ ·FG·d＝ b ＝ ≤ × ＝3.当 且仅当b2＝4－b2即b2＝2时取等号.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 6. 〔多选〕已知 ＝（0，1，1）， ＝（2，－1，2），BE⊥平面 BCD，则（　　） A. 点A到平面BCD的距离为 B. AB与平面BCD所成角的正弦值为 C. 点A到平面BCD的距离为 D. AB与平面BCD所成角的正弦值为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　因为BE⊥平面BCD，所以 是平面BCD的一个法向量， 所以点A到平面BCD的距离为 ＝ ，故A错误，C正确；AB与 平面BCD所成角的正弦值为 ＝ ＝ ，故B正确，D错误. 故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 7. 〔多选〕若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则（　　） A. AC与BD所成的角为90° B. AD与BC所成的角为45° C. BC与平面ACD所成角的正弦值为 D. 平面ABC与平面BCD所成二面角的正切值是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　如图所示，根据题意，取BD的中点O，连接 AO，CO，则OA⊥BD，OC⊥BD，OA⊥OC，则以点O为 原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OA所在直 线为z轴，建立空间直角坐标系.设OC＝1，则A（0，0，1），B（0，－1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），则 ＝（1，0，－1）， ＝（0，2，0）.因为 · ＝1×0＋0×2＋（－1）×0＝0，所以AC⊥BD，则选项A正确；因为 ＝（0，1，－1）， ＝（1，1，0），所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，所以AD与BC所成的角为60°，则选项B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 设平面ACD的一个法向量为t＝（x，y，z），则 取z＝1，则x＝y＝1，所以t＝（1，1， 1），设BC与平面ACD所成的角为θ，所以 sin θ＝｜ cos ＜ ，t＞｜＝ ＝ ＝ ，则选项C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 由题意易知平面BCD的一个法向量为n＝（0，0，1）， ＝ （0，1，1）， ＝（1，1，0），设平面ABC的一个法向量 为m＝（x'，y'，z'），则 取x'＝1，则y' ＝－1，z'＝1，所以m＝（1，－1，1），设平面ABC与平面 BCD的夹角为α，则 cos α＝｜ cos ＜m，n＞｜＝ ＝ ，所以 sin α＝ ，所以tan α＝ ，所以平面ABC与平 面BCD所成二面角的正切值为 ，则选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 8. 如图，在空间直角坐标系A-xyz中，E（0，0，1），B（1，0， 0），F（0，2，2），C（a，2，0）.则实数a＝ 时，点E，F， C，B共面. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： ＝（1，0，－1）， ＝（0，2，1）， ＝（a－1，2， 0），若点E，F，C，B共面，则存在实数x和y使得 ＝x ＋y ， 所以 解得 所以当实数a＝2时，点E，F，C， B共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 9. 如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于点E，现 将△ADE沿DE折起，使二面角A-DE-B为45°，此时点A在平面BCDE内 的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成角的大小为 ⁠. 90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析：建立空间直角坐标系，如图所示.由题意知△ABE 为等腰直角三角形.设CD＝1，则BE＝1，AB＝1，AE ＝ .设BC＝DE＝2a，则E（0，0，0），A（1，0， 1），N（1，a，0），D（0，2a，0），M（ ，a， ），所以 ＝（ ，0，－ ）， ＝（－1，0，－ 1），所以 · ＝（ ，0，－ ）·（－1，0，－1）＝ 0，故 ⊥ ，从而MN与AE所成角的大小为90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 10. 已知正四面体A-BCD的棱长为3，平面BCD内一动点P满足AP＝ 2 ，则｜BP｜的最小值是 　 － 　；直线AP与直线BC所成角的取 值范围为 ⁠. 解析：设A在平面BCD内的投影为E，故E为△BCD的中心， 故BE＝ ×3× ＝ ，AE＝ ＝ .AP＝ 2 ，PE＝ ＝ ，故P的轨迹为平面BCD内以 E为圆心， 为半径的圆.BE＝ ，当B，P，E三点共线， 且P在BE之间时，｜BP｜的最小值是 － .以E为原点，BE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系. － ［ ， ］ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 则A（0，0， ），B（ ，0，0），C（－ ， ，0），D（－ ， － ，0）.设P（ cos θ， sin θ，0），θ∈[0，2π），故 ＝ （ cos θ， sin θ，－ ）， ＝（－ ， ，0），设直线AP与 直线BC所成角为α， cos α＝ ＝ ＝ sin （θ － ）∈［－ ， ］，所以 cos α∈［－ ， ］，又α∈［0， ］，故 α∈［ ， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 11. 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2 ，∠ABC＝ 90°，如图①，把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，如图②. （1）求证：CD⊥AB； 解：证明：由已知条件可得BD＝2，CD ＝2，CD⊥BD. 因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面 BCD＝BD. 所以CD⊥平面ABD. 又因为AB⊂平面ABD，所以CD⊥AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离. 解：以D为坐标原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图.由已知条件可得D（0，0，0），A（1，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），M（1，1，0）， ＝（0，－2，0）， ＝（－1，0，－1）. 设平面ACD的一个法向量为n＝（x，y，z）， 则 ⊥n， ⊥n， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 所以 可得令x＝1，得平面ACD的一个法向量为n＝（1，0，－1）. 因为 ＝（－1，1，0）， 所以点M到平面ACD的距离d＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 12. 如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC ＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1. （1）求证：平面FBC⊥平面ACFE； 解：证明：在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝ DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，∴AB＝2. 在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－ 2AB·BC· cos 60°＝3， ∴AB2＝AC2＋BC2，∴BC⊥AC. ∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝ AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE. 又BC⊂平面FBC，所以平面FBC⊥平面ACFE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB的夹角为θ，试求 cos θ的取值范围. 解： 由（1）知可建立如图所示的空间直角坐标系C- xyz.令FM＝λ（0≤λ≤ ）， 则C（0，0，0），A（ ，0，0），B（0，1，0），M （λ，0，1）， ∴ ＝（－ ，1，0）， ＝（λ，－1，1）. 设n1＝（x，y，z）为平面MAB的法向量， 由 得 取x＝1，则n1＝（1， ， －λ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 易知n2＝（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，则 cos θ＝ ＝ ＝ . ∵0≤λ≤ ，∴当λ＝0时， cos θ有最小值 ，当λ ＝ 时， cos θ有最大值 ， ∴ cos θ的取值范围是［ ， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 13. 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝ 1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且 ＝λ . （1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 证明：∵ ＝（0，1， ）， ∴ · ＝0＋ － ＝0，∴ ⊥ ， ∴无论λ取何值，总有AM⊥PN. 解：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1 （0，0，1），B1（1，0，1），M（0，1， ），N（ ， ，0），故 ＝（1，0，0）， ＝（－ ， ， ）. ∵ ＝λ ＝（λ，0，0），∴P（λ，0，1）， ∴ ＝（ －λ， ，－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最 大值时的正切值； 解： ∵m＝（0，0，1）是平面ABC的一个法向量， ∴ sin θ＝｜ cos ＜m· ＞｜＝ ＝ . 又θ∈（0， ］，∴当λ＝ 时， sin θ取得最大值， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 即θ取得最大值，此时 sin θ＝ ， cos θ＝ ， ∴tan θ＝2. 故当λ＝ 时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大， 此时tan θ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） （3）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°？若 存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由. 解：不存在.理由如下：假设存在点P满足题意. 设n＝（x，y，z）是平面PMN的法向量. 由 得 令x＝3，得y＝1＋2λ，z＝2－2λ， ∴n＝（3，1＋2λ，2－2λ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 由（2）知平面ABC的一个法向量为m＝（0，0，1）， ∴｜ cos ＜m，n＞｜＝ ＝ ， 化简得4λ2＋10λ＋13＝0（*）. ∵Δ＝100－4×4×13＝－108＜0，∴方程（*）无解， ∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） $