精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年九年级下学期5月阶段检测数学试题

2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（十一） 数学学科 时间：45分钟 满分：100分 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知圆锥的展开图是解题的关键．根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，即可得到答案． 【详解】解：根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，则该立体图形是圆锥， 故选：D． 2. 下列各因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解，运用平方差公式、完全平方公式、提取公因式法，对各选项逐一验证即可得到结果． 【详解】解：对选项A： 由平方差公式得 A正确． 对选项B： B错误． 对选项C： ，正确因式分解为 C错误． 对选项D： ，而 D错误． 3. 《数学之美》特种邮票于2025年3月14日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案不同，其余均相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚，两次抽取的邮票图案名称相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用树状图法或列表法，得到总的事件结果数和两次抽取的邮票图案名称相同的事件结果数，即可得到概率． 【详解】解：用字母A，B，C，D，分别表示抽取到圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带， 列表如下： 第一次 第二次 A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 如表，共有16个等可能的事件，其中两次抽取的邮票图案名称相同的事件有4个， 故概率为． 4. 如图，将矩形绕点逆时针旋转至矩形，点的旋转路径为弧，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设与交于点，连接，由题意得到，证明是等腰三角形，求出和即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 设与交于点，连接， 矩形绕点逆时针旋转至矩形， ， ， ， ∴， 是等腰直角三角形， ， ∵， ， 则阴影部分的面积为． 5. 下列说法中正确的个数为（ ）． （1）如果，则点C是线段的中点； （2）连结两点的线段叫做这两点间的距离； （3）射线比直线小一半； （4）射线和射线BA是同一条射线； （5）倒数等于本身的数有； （6）当时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段中点的定义，两点间的距离的定义，射线和直线的性质，倒数以及绝对值的意义逐项判断即可． 【详解】解：（1）如果，点A、C、B不共线时，点C不是线段的中点，原说法错误； （2）连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离，原说法错误； （3）射线与直线都是无限长的，原说法错误； （4）射线和射线不是同一条射线，原说法错误； （5）倒数等于本身的数有，说法正确； （6）当时，，说法正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了线段中点的定义，两点间的距离的定义，射线和直线的性质，倒数以及绝对值的意义，是基础题，熟记相关概念与性质是解题的关键． 6. 如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③函数的最大值为；④若关于的方程无实数根，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据二次函数的性质得出，，，即可判断①；根据对称轴即可判断②；根据交点，设抛物线的解析式为： ，代入即可判断③；根据一元二次方程的性质即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∵抛物线交轴于正半轴， ，故①正确， ∵抛物线的对称轴是直线 ，故②符合题意， ∵抛物线交轴于点, ， ∴可以设抛物线的解析式为： ， 当时，的值最大，最大值为，故③符合题意， 无实数根， 无实数根， ， ，故④符合题意， 综上，符合题意的4个， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 7. 在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是5，则___________． 【答案】1或 【解析】 【分析】根据坐标系中两点之间的距离，列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， ． 8. 用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 方程两边同除以3，得， 移项，得， 配方，得，， ∴． 9. 某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，提速前列车的平均速度为多少？设提速前这次列车的平均速度为，可列方程____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“提速前路程提速前速度提速后路程提速后速度”列出方程即可． 【详解】解：设提速前这次列车的平均速度为，可列方程， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系． 10. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得当时，最短，同样也最短，从而不难根据三角形的面积求得其值． 【详解】解：连接，如图： ∵在中，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，且过的中点， ∵M是的中点， ∴， 当时，最短，此时也最短， ∵， ∴， 即的最小值为． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 11. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）本题是实数混合运算题，按照运算顺序，先计算乘方，化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后合并同类项得到结果． （2）本题是解分式方程题，先去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，检验得到原分式方程的解． 【小问1详解】 解：       【小问2详解】 解：  方程两边同时乘以，得    展开整理得    解得   检验：当时， ， 因此是原分式方程的解． 四、解答题：本题共2小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 12. 如图，是的直径，点B在上，连接，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A，满足． （1）求证：是的切线； （2）若F是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ，是的中点， ， ∴是等边三角形， ， 的半径为3， ， ，， 阴影部分的面积． 13. 户太八号葡萄果肉柔软多汁，品质优良，深受广大消费者喜爱．如图①，在山坡上安装一个竖直喷水管向两侧喷水，浇灌葡萄园，喷出的水流呈抛物线状，且两侧水流关于喷水管所在的直线成轴对称，取图①的截面，建立如图②所示的平面直角坐标系，以喷水管底端点为坐标原点，喷头，水流落在山坡上的点和点处． （1）求山坡和轴右侧抛物线的函数表达式； （2）为了防治虫害，在葡萄树上露出地表的位置粘贴防虫胶带，若在坡段种植的葡萄树，则树上粘贴的胶带是否有被水流喷到的风险？请说明理由． 【答案】（1）， （2）粘贴的胶带没有被水流喷到的风险，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数解析式，二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出直线和轴右侧抛物线的表达式即可； （2）设水流所在的抛物线到山坡的竖直距离为，得出，求出，从而得出答案即可． 【小问1详解】 解：设山坡的函数表达式为． 过点， ，解得． 山坡的函数表达式为． 点． 右侧拋物线上点的对称点为． 设轴右侧抛物线的函数表达式为． 解得 轴右侧抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：粘贴的胶带没有被水流喷到的风险． 理由如下： 设水流所在的抛物线到山坡的竖直距离为， 粘贴的胶带没有被水流喷到的风险． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（十一） 数学学科 时间：45分钟 满分：100分 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 《数学之美》特种邮票于2025年3月14日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案不同，其余均相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚，两次抽取的邮票图案名称相同的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将矩形绕点逆时针旋转至矩形，点的旋转路径为弧，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的个数为（ ）． （1）如果，则点C是线段的中点； （2）连结两点的线段叫做这两点间的距离； （3）射线比直线小一半； （4）射线和射线BA是同一条射线； （5）倒数等于本身的数有； （6）当时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③函数的最大值为；④若关于的方程无实数根，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 7. 在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是5，则___________． 8. 用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值___________． 9. 某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，提速前列车的平均速度为多少？设提速前这次列车的平均速度为，可列方程____________________． 10. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为__________． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 11. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解分式方程：． 四、解答题：本题共2小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 12. 如图，是的直径，点B在上，连接，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A，满足． （1）求证：是的切线； （2）若F是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 13. 户太八号葡萄果肉柔软多汁，品质优良，深受广大消费者喜爱．如图①，在山坡上安装一个竖直喷水管向两侧喷水，浇灌葡萄园，喷出的水流呈抛物线状，且两侧水流关于喷水管所在的直线成轴对称，取图①的截面，建立如图②所示的平面直角坐标系，以喷水管底端点为坐标原点，喷头，水流落在山坡上的点和点处． （1）求山坡和轴右侧抛物线的函数表达式； （2）为了防治虫害，在葡萄树上露出地表的位置粘贴防虫胶带，若在坡段种植的葡萄树，则树上粘贴的胶带是否有被水流喷到的风险？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $