山东省德州市庆云县2025-2026学年九年级二模数学试题

2026年05月09日李洪蕾的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一.选择题（共10小题） 题号 2 3 4 6 8 9 10 答案 C B B D D 二.填空题（共5小题） 11.x≤3且x≠0. 12.45°. 13.2026. 14.6. 15.①②③. 三.解答题（共8小题） 16.【解答】解：(1)原式=-4+4+1+2-√3 =3-√5： (2)原式-名品器 a+1_.a-1 21 =a-1-a-可 1 =a了 -10分 17.【解答】解：(1)50，-- -1分 C; --2分 5 (2)E组优秀率为50×100%=10%， 所以这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数为200×10%=20（人），- ----6分 (3)由成绩统计表得跳绳个数在161~190的选手共有50-5-8-23=4人，依次记为A1,A2,A, A4,画树状图如下： 第1页（共10页) 开始 A3 A2A3A4 A1A3A4 Al A2A4 A A2A3 -9分 由树状图可知：共有12种不同的情况，且每一种可能性都相同，其中恰好抽到选手A1,A2的有两种， ·恰好抽到选手A1,A的概率为P=2= 21 --10分 18.【解答】解：(1)在Rt△ACD中，∠ADC=75°，CD=0.9m, :tanzADC=eS=0S≈3.7. ACAC .AC≈3.7×0.9≈3.3（m), 答：AC的长约为3.3m; -4分 （2)在Rt△BCD中，∠BDC=35°， tan-BDC-8-tan350.7, ∴.BC≈0.7CD 在Rt△ACD中，∠ADC=75°， tan∠ADC=S=3.7 ∴.AC≈3.7CD, ∴.AB=AC-BC≈(3.7-0.7)CD=1.8m, 解得CD≈0.6m, 答：遮阳篷CD的长约为0.6m. -10分 19.【解答】解：（1)由题意，设租用大型客车每辆x元，租用小型客车每辆y元， -8+98y6060o ∴.x=450,y=350. 答：租用大型客车每辆450元，租用小型客车每辆350元； -------- -4分 (2)由题意，大型a辆，则小型（25-a)辆， a-(25-a)≥5 a≤2(25-a) 15≤s9, 第2页（共10页) 又a为整数， ∴.a=15或16. -6分 又，W=450a+350（25-a)=100+8750,且k=100>0, -8分 ∴.w随a增大而增大， ∴.当a=15时费用最少，此时大型客车为15辆，小型客车：25-15=10（辆）. 9分 ∴.最少费用：W=100×15+8750=10250（元).- --10分 20.【解答】解：(1)一次函数1=ax+b与反比例函数的图象交于点A(1,6),B(n,-2), ∴.m=1×6=-2n, ∴m=6,n=-3, 反比例函数的表达式为n=,B(-3,-2), -2分 把点A,点B的坐标分别代入Ⅵ=ax+b得： ∫a+b=6 -3a+b=-2' 第得份二子 ∴.一次函数的表达式为y=2x+4;- --4分 (2)①若P在线段AB上，如图1，过B点作平行于x轴的直线BM,过P点作PML BM垂直于直 线BM于M点，过A点作AN垂直于直线BM于N点. P 图1 设P(a,2a计4)， ,PM∥AN .∴.△PBM∽△ABN, 第3页（共10页） PM BP AN=BA .AP=2BP, PM BP 1 AN=BA-3 12a+6 “3=8 解得一3 P点的华标为(-子号》： -8分 ②当点P在B点的下方时，如图2，过B点作平行于x轴的直线BE,过A点作AE垂直于直线BE于 E点，过P点作PF垂直于AE的延长线于F点. 2 A 01 B -E P 图2 设P(a,2at4), BE∥PF, ∴.△ABG△APF, BE AB PF=AP AP=2BP, BE AB 1 PF=AP=2 41 1-a=2 第4页（共10页) 解得：a=-7（经检验，是分式方程的解，且符合题意)， ∴.P点的坐标为(-7，-10). 综上所述，P点的坐标为(，或(-7，-10)：宁 -12分 21.【解答】(1)证明：连接OD, E :AB为⊙O的直径， ∴.∠C=90° , .∠CAB叶∠ABC=90°， OA=OD. ∴.∠BAC=∠ODA, .·∠BOD=∠BACH∠ODA, .∴.∠BOD=2∠BAD .'∠ABC=2∠BAD ∴.∠ABC=∠DOE, .AC∥DE, .∠A=∠E, :∠A+∠ABC=90°， ..∠E+∠EOD=90°， ∴.∠ODE=90°， OD是⊙O的半径， ∴.DE是⊙O的切线；-- -6分 2):器-号 ∴.设OF=5k,FB=6k ∴.AO=OD=OB=11k, ,∠BOD=∠ABC, 第5页（共10页) ∴.OD∥BC, ∴.△OFD∽△BFC, OD OF BC-BF 11k5 BC-6' BC-5. .'∠ABC=∠EOD,∠CAB=∠DEO, ∴.△ABCM△EOD, 、ABBC 0E=0D 22k 11k+4=11k 6 k仁 AF=22k-6k=16K= 96 -12分 22.【解答】解：(1)该抛物线顶点P的坐标为（1，-5)； -2分 (2)①如图1，过M点作MNLx轴于点N,过P点作PE⊥x轴于点E. y M 0 EN 图1 ,2a+b=0. ∴.b=-2a, .y=ax2-2ax+c,抛物线的对称轴为直线x=1, .MN⊥ON,PE⊥ON,OM=OP, ∴.∠MNO=∠OEP=90°，∠OM4∠MON=90°，∠MON4EOP=90°， ∴.∠OMN=∠POE, 在△MON和△OPE中， 第6页（共10页) ∠OMN=∠POE ∠MNO=∠OEP, LOM=PO ∴.△MON≌△OPE(AAS), ∴.MN=OE,ON=PE, M(2,m), ∴.MN=OE=m,ON=PE=-2, P点坐标为（m,-2), P点坐标为（1，-2)， .M点坐标为（2,1)， 将P(1,-2),M(2,1)代人y=ax2-2ax+c,得： a-2a+c=-2, 4a-4a+c=1, a=3, 解得： c=1, ∴c的值为1；---------7分 ②由①知b=-2a,抛物线的对称轴为直线x=1, :抛物线与x轴的一个交点坐标为（3,0)， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1,0)， ∴.抛物线的解析式为y=a(+1)（x-3)=ax2-2ax-3a, ∴C点坐标为(0，-3a),顶点P坐标为(1，-4a), a>0, .-3a<0,-4a<0,OC=3a, 如图2，过点P作直线PG与直线x=1成30°角，与抛物线的交点为G,交y轴于点H,过点D作 DQL PG,垂足为Q. 第7页（共10页) y A x=l B C, D.0 H 图2 在Rt△PDQ中，DQ=PD:sin30°=2PD. 当C,D,Q三点共线，且CQL PG时，2DC+DP取得最小值， 过点C作CF∥PG交x轴于F, ∴.∠OCF=30°， 又.2DC+DP=(1+3), :.2(DC+7DP)=1+3.DC+DQ=CQ=3 在Rt△CHQ中，∠CHQ=∠DPQ=30°， CH=2c0=2x(3)=1+3.即10H-0C1=1+V5. 在Rt△ocF中，tanL0CF=OC,即3OF 13=3a .OF=√3a,即F点坐标为(3a,0), 则直线CF的解析式为y=V3x-3a, PG∥CF, .设直线PG的解析式为y=√3x+m, 把P(1,-4a)代入得：-4a=3+m, 解得：m=-4a-√3， ∴.直线PG的解析式为y=√3x-4a-√3， .0H=4a+V3, 又OC=3a,a>0, ∴H点在C点下方， 第8页（共10页) ..CH=OH-OC=4a+3-3a=a+3, 1+3=a+3, ∴a的值为1. --13分 23.【解答】解：（1)：AC绕点C顺时针旋转30°得到线段CD, ∴.CD=AC=BC,∠ACD=30°， ∴.∠BCD=90°，∠CBD=∠CDB=45°， ∠CDA=∠CAD=180°-ACD=75°. 2 .∴.∠ADB=∠CDA-∠BDC=30°：--- --3分 (2)BF=DF+2CF: 证明：如图2，过C作CG⊥CF交BF于点G,则∠ACE卧∠ACG=90°， F B 图2 .∠ACGt∠BCG=∠ACB=90°， ∴.∠ACE=∠BCG, 由（1)得CD=AC, ,E是AD的中点， .∴.∠ACE=∠DCE, ∴.∠DCE=∠BCG, CD=AC=BC, ∴.∠CDB=∠CBD 在△CDF和△CBG中， (∠CDF=∠CBG CD=CB N∠DCF=∠BCG ∴.△CDF≌△CBG(ASA), ∴.DF=BG,CF=CG, .FG=2CF, 第9页（共10页) ..BF=BG+FG=DF+2CF; ---8分 (3) ACDN的值为3-1.13分 S△ABC 第10页（共10页） 九年级数学试题 2026年5月 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1．中国传统经典纹样，广泛应用于器物、建筑与服饰、千古流传，影响深远，下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．如意纹 B．风车纹 C．柿蒂纹 D．冰裂纹 2．在下列四个数中，其中是无理数的是（ ） A． B． C． D． 3．某几何体的三视图如图所示，该几何体为（ ） A． B． C． D． 4．如图，点A，B分别在平面直角坐标系x轴和y轴上，连接，已知，，将绕点B顺时针旋转得到，则点D的坐标为（ ） A．4 B．2 C． D． 5．某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多25%，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产x个零件，可列方程为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，对角线、相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则（ ）  A．7 B．14 C．10 D．12 7．如图，在，，，，为上一点，，动点，分别在边和射线上（点不与点，重合），，令，的面积为，则关于的函数图象是（ ） A． B． C． D． 8．如图，中，点，分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，，则的长是（ ） A．3 B． C． D．3.5 9．如图，以为直径画半圆，点为半圆的中点，连接，，点在弦上，，过点作的垂线交的延长线于点，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．对某一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数”，下列结论： ①一次函数是“2型闭函数”； ②若一次函数是“1型闭函数”，则； ③反比例函数且是“k型闭函数”，且，则； ④二次函数是“k型闭函数”．则的取值范围是． 其中正确的是（ ） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 12．如图，一束光线沿着平行于主光轴的方向射向凸透镜，经过凸透镜折射后，其折射光线恰与一束经过光心的光线相交于点（，，共线）．若，，则的度数为________． 13．设，为一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 14．如图，在平面直角坐标系中，、为反比例函数图象上的两点，点的横坐标为3，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，，则的值为________． 15．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有________． 三．大题（本大题共8小题，共90分） 16．计算： （1）计算：； （2）． 17．【项目背景】 为切实关心青少年身心健康，学校开展阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计． 【数据收集与整理】 （一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（表示成绩，单位：米）进行整理． 组：；组：；组：；组：；组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀． （二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下． 一分钟限时跳绳比赛成绩统计表 成绩（个/分钟） 60~100 101~130 131~160 161~190 人数 5 8 23 a 【数据分析与应用】 （1）任务一：掷实心球的女生有________人；掷实心球的女生成绩的中位数落在________组； （2）任务二：若该校九年级共有200名女生，请估计这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数； （3）任务三：将跳绳个数在161~190的选手依次记为，，，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手，的概率． 18．数学课题小组对住房窗户“如何设计遮阳篷”进行了以下探究： 【方案设计】 要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面，表示窗户． 【数据收集】 如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． 【问题提出】 （1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长； （2）如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天的阳光，又能最大限度地使冬天的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长． （结果精确到0.1 m）（参考数据：，，，，，） 19．为提升学生动手实践操作能力，开阔学生视野，某校决定九年级学生到中小学实践基地进行为期两周的实训，现需要租用大、小两种型号的客车，若租用9辆大型客车和6辆小型客车，则一共需要6150元，若租用8辆大型客车和12辆小型客车，则一共需要7800元． （1）租用每辆大型客车、每辆小型客车的价格分别是多少元？ （2）经学校研究决定九年级全体任课教师共同参与本次实训活动，若该校计划租用大、小两种型号的客车共25辆，其中租用大型客车辆，且大型客车的数量至少比小型客车的数量多5辆，又不超过小型客车的数量的2倍，怎样租车，才能使总费用最少？并求出最少租车费用． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数及反比例函数的表达式； （2）若为直线上一动点，当时，求点的坐标； 21．如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E （1）求证：是的切线； （2）连接交于点F，若，，求的长． 22．已知抛物线（a，b，c为常数，，）的顶点为P，与y轴交于点C，O为坐标原点． （1）当，，时，则该抛物线顶点P的坐标为________； （2）若． ①M是抛物线上第一象限内一点，设，，且，求c的值； ②若抛物线与x轴的一个交点坐标为，点D在抛物线的对称轴上，当的最小值为时，求a的值． 23．如图，在中，． （1）如图1，若，将绕点C顺时针旋转30°得到线段，连接，，求的度数； （2）如图2，若，将绕点C顺时针旋转（0°＜＜90°）得到线段，连接，，点E是的中点，连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，将绕点C旋转得到线段，连接，当取最大值时，在直线上取一点M，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $