统计与概率：概率与数列综合问题、概率中的最值与范围问题复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺复习

该高中数学高考复习讲义聚焦概率与数列综合、概率中的最值与范围两大核心考点，按知识点解析、解题原理、解题思路的逻辑架构梳理内容，通过考点梳理、方法指导、真题训练与变式巩固的教学环节，帮助学生系统构建知识网络，突破概率与数列交汇、函数最值应用等难点。 资料以数学思维和数学语言为导向，创新设计“递推关系构建—数列模型转化”“概率函数化—最值求解”等突破策略，如通过马尔可夫链模型分析概率递推，结合二次函数与基本不等式解决最值问题。设置分层例题与变式训练，确保高效复习，助力学生提升逻辑推理与模型应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 统计与概率：概率与数列综合问题、概率中的最值与范围问题复习讲义 考点目录 概率与数列综合问题 概率中的最值与范围问题 知识点解析 考点一 概率与数列综合问题 知识点 1. 概率基础：古典概型、互斥事件、相互独立事件、条件概率、分步概率 1. 数列核心：递推公式、通项公式、等差等比、累加法、累乘法、构造法 1. 常见模型：试验重复进行、状态转移、第次发生某事件概率 1. 核心关系：前后两次试验概率存在固定递推联系 解题原理 根据事件发生的先后逻辑，建立概率递推关系式，把概率问题转化为数列求通项、求和问题求解。 解题思路 1. 设出第次对应事件发生的概率 1. 分类讨论上一次事件发生/不发生，列出递推等式 1. 整理递推式，构造等差、等比数列 1. 求出概率通项公式 1. 依题意求指定项概率、概率和、极限概率 考点二 概率中的最值与范围问题 知识点 1. 变量来源：试验次数、抽取个数、分配数量、参数概率 1. 常用工具：二次函数最值、基本不等式、单调性、组合数范围 1. 常见题型：期望最值、概率取值范围、方差最值、最优方案选取 1. 限制条件：概率、正整数取值、实际情境约束 解题原理 把所求概率、数学期望、方差整理为单变量函数，结合概率取值范围与实际定义域，求函数最值与取值区间。 解题思路 1. 设未知变量，写出概率、期望、方差表达式 1. 化简为一次/二次/分式函数形式 1. 确定自变量整数范围与概率合法范围 1. 利用函数单调性或不等式求最值 1. 结合实际意义取舍，确定最终范围与最优值 考点一 概率与数列综合问题 【例题分析】 例1．（2026·湖南张家界·三模）某校高一、高二、高三三个篮球队为比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某队时，该队可挑战另外两队中的一队，且被挑战的队伍获得下一次的挑战权．已知高一篮球队挑战高二、高三篮球队的概率均为，高二篮球队挑战高一、高三篮球队的概率分别为、，高三篮球队挑战高一、高二篮球队的概率分别为、．经商定，高一篮球队获得首次挑战权． (1)经过次挑战后，高一篮球队已获得的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望； (2)若经过次挑战后，挑战权属于高一篮球队、高二篮球队和高三篮球队分别记为事件、、． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：当为偶数时，． 例2．（25-26高三上·福建厦门·月考）1907年物理学家Tatiana和Paul Ehrenfest为了解释热力学第二定律提出了一个分子扩散模型，编号为A和B的两个容器相互连通，当中仅用薄膜分割（允许分子在两容器间穿梭），当一个分子从一个容器转移到另一个容器，则称发生一次转移.发生n次转移后，容器A中的分子数记为，容器A的分子数从到的概率记为，即.初始状态时，容器A内有2个分子，容器B内有8个分子.假设每个分子发生转移的可能性相同，均为. (1)求，； (2)求2次转移后，容器A中的分子数的分布列与期望； (3)求出与的关系式，并解释当时的含义. 例3．（25-26高二下·吉林松原·期中）在自动驾驶系统的路径规划中，车辆的车道选择行为可用马尔可夫链模型描述. 设道路只有两条车道，分别记为车道0和车道1. 每隔一个固定时间步长，车辆会选择更换车道或者保持车道不变，记为第个时间步长车辆所在的车道（）. 马尔可夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态，记为一步转移概率.已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道，下一时刻变道至车道的概率为；若当前在车道，下一时刻变道至车道的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道的概率为，处于车道的概率为. ① 直接写出的值； ② 若时刻车辆处于车道，求时刻车辆处于车道的概率. (2)在第（1）问的初始概率条件下，记，求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 【变式训练】 变式1．（2026·四川德阳·二模）东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立． (1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差； (2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）． ①求，； ②求． 变式2．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图：一张的棋盘，横行编号：竖排编号.一颗棋子目前位于棋盘的处，它的移动规则是：每次移动到与自身所在格不相邻的异色格中.例如该棋子第一次移动可以从移动到或.棋子每次移动到不同目的地间的概率均为.    (1)①列举两次移动后，该棋子所有可能的位置. ②假设棋子两次移动后，最终停留到第1，2，3行时，分别能获得分，设得分为，求的分布列和数学期望. (2)现在于棋盘左下角处加入一颗棋子，他们运动规则相同，并且每次移动同时行动.移动次后，两棋子位于同一格的概率为，求的通项公式. 变式3．（2025·安徽安庆·模拟预测）2023年华为盘古气象大模型实现秒级预测全球天气，突破了传统NWP算力瓶颈，代表了AI在科学计算（AI  for  Science）的重要突破，推动了全球气象行业的智能化升级.未来天气预报或将进入“分钟级、街道级”的精准时代.现某城市根据气象数据有两种天气状态：晴天（S）和雨天（R），变化规律预测如下： ①如果今天是晴天，明天有80%的概率仍然是晴天，20%的概率会下雨； ②如果今天是雨天，明天有60%的概率仍然是雨天，40%的概率会转晴. 假设今天天气是晴天，回答以下问题： (1)从明天开始接下来的三天中，天气是晴天的天数用随机变量X表示，求X的分布列和数学期望； (2)长期来看，晴天和雨天的概率分布会趋于稳定，从今天算起第n天预测是晴天的概率用表示，求的表达式及趋于的稳定值. 考点二 概率中的最值与范围问题 【例题分析】 例1．（2026·四川·二模）社团课上，甲、乙、丙三位同学进行围棋比赛，约定：第1局甲、乙比赛，甲先手（每局中先走第一颗棋子），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为，每局比赛没有平局且结果相互独立. (1)若. （i）求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率； （ii）求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率； (2)若前4局中甲参与的平均次数不小于，求的取值范围. 例2．（2026·江西·三模）某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标，测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；否则机器人性能不合格.已知该型号机器人平地行走达标的概率为，斜坡行走达标的概率为，且两个项目是否达标相互独立. (1)随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； (2)随机抽取3台该机器人进行独立测试，设表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量的分布列和数学期望； (3)该企业对机器人进行技术升级后，重新测试，升级后每台机器人性能合格的概率提升至，若随机抽取4台机器人测试，至少有1台性能合格的概率不低于，求实数的取值范围. 例3．（2026·河北唐山·二模）甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，采用七局四胜制（当一人赢得四局胜利时，该人获胜，比赛结束）． 已知甲先赢了前两局． (1)若，求： （i）乙获胜的概率； （ii）比赛打满七局的概率； (2)设比赛结束时，已经比赛的总局数为随机变量，若，求的取值范围. 【变式训练】 变式1．（2026·山东枣庄·三模）为促进销售，某生产商联合商超对定价为100元的产品推出“摸奖+闯关”优惠活动，规则如下：进商超的消费者首先获得一次摸奖机会，可获得一张10元或20元的“基础优惠券”（摸到10元“基础优惠券”的概率为0.6，摸到20元“基础优惠券”的概率为0.4）；然后进行答题闯关游戏，闯关成功可再获得一张能叠加使用的20元“进阶优惠券”.记消费者答题闯关成功的概率为.已知摸奖与闯关优惠活动的结果相互独立. (1)记消费者购买一件该产品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和； (2)已知本次活动中优惠券的成本将由生产商承担“基础优惠券”面额的30%，“进阶优惠券”面额的50%.记生产商销售一件该产品的期望利润为（单位：元），消费者购买该产品的概率为.已知，商品成本为41元.试求的最大值及取得最大值时的值.（结果保留1位小数） 注：期望利润=消费者购买概率×（支付金额的期望－商品成本－优惠券成本的期望） 变式2．（2026·河北沧州·二模）已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止. (1)经过2次操作后，记盒子中红球的个数为，求的分布列和数学期望. (2)记次操作后游戏终止的概率为. (i)求关于的表达式; (ii)求的最大值. 变式3．（2026·陕西西安·模拟预测）某公司举办的活动的互动环节中，设置了一个有趣的摸球游戏，在一个黑箱中，装有个完全相同的小球． (1)若，从中有放回地每次摸取1个小球，记第1次摸出的小球为1号球，继续摸球． （ⅰ）求直到第4次又一次摸出1号球的概率． （ⅱ）记为又一次摸出1号球时摸球的次数，求． (2)若将黑箱中的小球编号为1，2，…，，从中一次性抽取个小球，记录下小球编号后放回并摇匀，再次从中一次性抽取个小球，并记录编号，记表示这两组小球中编号相同的个数，求取得最大值时的值（用含的式子表达）． 附：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 统计与概率：概率与数列综合问题、概率中的最值与范围问题复习讲义 考点目录 概率与数列综合问题 概率中的最值与范围问题 知识点解析 考点一 概率与数列综合问题 知识点 1. 概率基础：古典概型、互斥事件、相互独立事件、条件概率、分步概率 1. 数列核心：递推公式、通项公式、等差等比、累加法、累乘法、构造法 1. 常见模型：试验重复进行、状态转移、第次发生某事件概率 1. 核心关系：前后两次试验概率存在固定递推联系 解题原理 根据事件发生的先后逻辑，建立概率递推关系式，把概率问题转化为数列求通项、求和问题求解。 解题思路 1. 设出第次对应事件发生的概率 1. 分类讨论上一次事件发生/不发生，列出递推等式 1. 整理递推式，构造等差、等比数列 1. 求出概率通项公式 1. 依题意求指定项概率、概率和、极限概率 考点二 概率中的最值与范围问题 知识点 1. 变量来源：试验次数、抽取个数、分配数量、参数概率 1. 常用工具：二次函数最值、基本不等式、单调性、组合数范围 1. 常见题型：期望最值、概率取值范围、方差最值、最优方案选取 1. 限制条件：概率、正整数取值、实际情境约束 解题原理 把所求概率、数学期望、方差整理为单变量函数，结合概率取值范围与实际定义域，求函数最值与取值区间。 解题思路 1. 设未知变量，写出概率、期望、方差表达式 1. 化简为一次/二次/分式函数形式 1. 确定自变量整数范围与概率合法范围 1. 利用函数单调性或不等式求最值 1. 结合实际意义取舍，确定最终范围与最优值 考点一 概率与数列综合问题 【例题分析】 例1．（2026·湖南张家界·三模）某校高一、高二、高三三个篮球队为比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某队时，该队可挑战另外两队中的一队，且被挑战的队伍获得下一次的挑战权．已知高一篮球队挑战高二、高三篮球队的概率均为，高二篮球队挑战高一、高三篮球队的概率分别为、，高三篮球队挑战高一、高二篮球队的概率分别为、．经商定，高一篮球队获得首次挑战权． (1)经过次挑战后，高一篮球队已获得的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望； (2)若经过次挑战后，挑战权属于高一篮球队、高二篮球队和高三篮球队分别记为事件、、． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：当为偶数时，． 【答案】(1) 数学期望为 (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值有、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）（i）推导得出，，两式作差，结合可推得结论成立； （ii）分析可得，结合（i）推导得出，可得出，则有是以为首项，为公比的等比数列，求出数列的通项公式，可证得结论成立. 【详解】（1）随机变量的可能取值为和， 时，第一次高一篮球队挑战高二篮球队，第二次高二篮球队挑战高三篮球队，第三次高三篮球队挑战高二篮球队， 或者第一次高一篮球队挑战高三篮球队，第二次高三篮球队挑战高二篮球队，第三次高二篮球队挑战高三篮球队， 则，． 则的分布列为 则的数学期望为． （2）（ⅰ）若第次挑战权属于高二篮球队， 若第次挑战权属于高一篮球队，则第次高一篮球队挑战高二篮球队，其概率为， 若第次挑战权属于高三篮球队，则第次高三篮球队挑战高二篮球队，其概率为， 所以①，同理可得②， ②①得， 又，因此，因此； （ii）若第次挑战权属于高一篮球队， 若第次挑战权属于高二篮球队，则第次高二篮球队挑战高一篮球队，其概率为， 若第次挑战权属于高三篮球队，则第次高三篮球队挑战高一篮球队，其概率为， 所以，③ ①②，得， 由③知， 又， 从而有，所以， 第一次挑战权为高一篮球队，经过一次挑战后，挑战权不是高一篮球队，则， 故， 则有是以为首项，为公比的等比数列， 因此，，． 当为偶数时，，因此． 例2．（25-26高三上·福建厦门·月考）1907年物理学家Tatiana和Paul Ehrenfest为了解释热力学第二定律提出了一个分子扩散模型，编号为A和B的两个容器相互连通，当中仅用薄膜分割（允许分子在两容器间穿梭），当一个分子从一个容器转移到另一个容器，则称发生一次转移.发生n次转移后，容器A中的分子数记为，容器A的分子数从到的概率记为，即.初始状态时，容器A内有2个分子，容器B内有8个分子.假设每个分子发生转移的可能性相同，均为. (1)求，； (2)求2次转移后，容器A中的分子数的分布列与期望； (3)求出与的关系式，并解释当时的含义. 【答案】(1)， (2) X2 0 2 4 P . (3)，答案见解析 【分析】（1）弄清楚，的意义，根据古典概型的概率计算公式求值. （2）确定的可能值，求出对应概率，可得的分布列，再根据期望的概念求其期望. （3）先探索当时，与和的递推关系，再利用期望公式探索与的关系，利用数列求通项公式的方法求.进而解释的含义. 【详解】（1）∵每个分子等可能发生转移且分子数有限，∴本题是古典概型. 表示A中有1个分子转移到B，B中的分子不发生转移对应的概率，所以； 表示B中有1个分子转移到A，A中的分子不发生转移对应的概率，所以. （2）所有可能取值为0，2，4， 则， ， . 故的分布列为 X2 0 2 4 P ∴. （3）由题得，，， 当，则. 设，则， 解得. ∴， ∵，∴. 当时，. 解释：充分混合后，最终两容器分子数相等. *注：期望递推关系为： 例3．（25-26高二下·吉林松原·期中）在自动驾驶系统的路径规划中，车辆的车道选择行为可用马尔可夫链模型描述. 设道路只有两条车道，分别记为车道0和车道1. 每隔一个固定时间步长，车辆会选择更换车道或者保持车道不变，记为第个时间步长车辆所在的车道（）. 马尔可夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态，记为一步转移概率.已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道，下一时刻变道至车道的概率为；若当前在车道，下一时刻变道至车道的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道的概率为，处于车道的概率为. ① 直接写出的值； ② 若时刻车辆处于车道，求时刻车辆处于车道的概率. (2)在第（1）问的初始概率条件下，记，求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 【答案】(1)①；② (2)的分布列为 0 1 【分析】（1）①根据题设条件可求的值；②根据贝叶斯公式可求对应的条件概率； （2）根据全概率可得的递推关系，求出通项后可求分布列. 【详解】（1）①由题意，车道转移概率： 当前在车道0时，留在0的概率为，变道到1的概率为； 当前在车道1时，变道到0的概率为，留在1的概率为； 因此一步转移的概率矩阵为. ②设事件：时刻车辆在车道0，：时刻车辆在车道1，：时刻车辆在车道1， 已知，，，， 由贝叶斯公式. （2）设， 由全概率公式得递推关系， 则，且，此时， 故为等比数列且公比为，首项为，故. 而也满足此时，即, 所以. 故的分布列为 0 1 【变式训练】 变式1．（2026·四川德阳·二模）东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立． (1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差； (2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）． ①求，； ②求． 【答案】(1) X 0 1 2 3 P ， (2)①；；② 【分析】（1）分析可知，结合二项分布求X的分布列、均值和方差； （2）①分析人气值1点或2点所对应的可能性情况，结合独立事件概率的乘法公式运算求解；②分析可得，利用构造法和累加法，结合等比数列求. 【详解】（1）由题意可知：， 则，， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的均值，且方差. （2）①因为每位游客选择东门入园的概率是，则选择其他门入园的概率是， 若人气值为1点，则仅有1人入园且选择其他门入园，所以； 若人气值为2点，则仅有1人且选择东门入园，或仅有2人入园且均选择其他门入园， 所以； ②若人气值为点，可知在人气值为点的前提下仅有1人且选择东门入园，或在人气值为点的前提下仅有1人且选择其他门入园， 则，可得， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则， 当时，则 ， 且符合上式，所以. 变式2．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图：一张的棋盘，横行编号：竖排编号.一颗棋子目前位于棋盘的处，它的移动规则是：每次移动到与自身所在格不相邻的异色格中.例如该棋子第一次移动可以从移动到或.棋子每次移动到不同目的地间的概率均为.    (1)①列举两次移动后，该棋子所有可能的位置. ②假设棋子两次移动后，最终停留到第1，2，3行时，分别能获得分，设得分为，求的分布列和数学期望. (2)现在于棋盘左下角处加入一颗棋子，他们运动规则相同，并且每次移动同时行动.移动次后，两棋子位于同一格的概率为，求的通项公式. 【答案】(1)①，，；②分布列见解析；. (2) 【分析】（1）列出所有两次移动的路径，求出其概率，根据得分规则，可得的分布列，并求期望. （2）先探讨棋子的运动轨迹，记两棋子之间的距离为，明确的值，求出对应的概率，设“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，列出，，之间的关系，可求. 【详解】（1）①两次移动的所有路径可能如下： ；；；. 所以两次移动后，该棋子所有可能的位置有：，，. ②棋子两次移动后，最终停留在时，得1分，对应概率为：； 棋子两次移动后，最终停留在时，得1分，对应概率为：； 棋子两次移动后，最终停留在时，得3分，对应概率为：. 所以，. 所以最终得分的分布列为： 1 3 所以. （2）将棋盘按如图所示编号：    将棋子可以去的区域用箭头连接起来，若从3可以连接到4或8，记做；从8可以连接3或1，记做；然后将它们串联起来：.依次类推，可以串联处环状回路：，如下图所示：    则棋子等价于在这个环状回路中运动. 问题（2）可以转化为将两个棋子放在环状回路中的3号、7号位置，每回合3号、7号棋子有四种运动模式：（顺，顺），（顺，逆），（逆，顺），（逆，逆），发生概率均为. 为了转化问题，现规定：“两棋子之间的最短节点数”，例如：    特别规定两棋子重合时，.并统计四种运动模式下会如何变化. 假设3号棋子顺时针走过个节点可以与7号棋子重合；或逆时针走过个节点也可以与之重合. 为了简化问题，不妨假设，于是有下表： （顺，顺） （顺，逆） （逆，顺） （逆，逆） 设“回合后，的概率”， “回合后，的概率”， “回合后，的概率”， 则有：， 所以， 显然：，，所以， 所以. 【点睛】方法点睛：在第（2）问中，先探讨棋子的运动轨迹，记两棋子之间的距离为，明确的值，求出对应的概率，设“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，“回合后，的概率”，列出，，之间的关系，可求. 变式3．（2025·安徽安庆·模拟预测）2023年华为盘古气象大模型实现秒级预测全球天气，突破了传统NWP算力瓶颈，代表了AI在科学计算（AI  for  Science）的重要突破，推动了全球气象行业的智能化升级.未来天气预报或将进入“分钟级、街道级”的精准时代.现某城市根据气象数据有两种天气状态：晴天（S）和雨天（R），变化规律预测如下： ①如果今天是晴天，明天有80%的概率仍然是晴天，20%的概率会下雨； ②如果今天是雨天，明天有60%的概率仍然是雨天，40%的概率会转晴. 假设今天天气是晴天，回答以下问题： (1)从明天开始接下来的三天中，天气是晴天的天数用随机变量X表示，求X的分布列和数学期望； (2)长期来看，晴天和雨天的概率分布会趋于稳定，从今天算起第n天预测是晴天的概率用表示，求的表达式及趋于的稳定值. 【答案】(1)分布列见解析，. (2)，趋于的稳定值为. 【分析】（1）列出的可能取值，求出对应概率，可得的分布列，再根据期望的求法求期望. （2）找出数列的递推公式，构造等比数列，求的通项公式与极限即可. 【详解】（1）由题意可知：的值可以为：. 且， ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以 （2）由题意：数列中：，. 设， 由. 所以，且. 所以是以为首项，以为公比的等比数列. 所以. 因为，所以趋于的稳定值为. 考点二 概率中的最值与范围问题 【例题分析】 例1．（2026·四川·二模）社团课上，甲、乙、丙三位同学进行围棋比赛，约定：第1局甲、乙比赛，甲先手（每局中先走第一颗棋子），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为，每局比赛没有平局且结果相互独立. (1)若. （i）求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率； （ii）求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率； (2)若前4局中甲参与的平均次数不小于，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）先明确三人各参与两局对应每人恰好轮空一次的比赛顺序，再分第 1 局甲胜或乙胜两种情况，计算每种情况下第 2 局负者轮空、第 3 局再由前一轮轮空者先手获胜的概率，最后将两种情况的概率相加；（ii）先确定第 2 局的参与者为第 1 局胜者与丙，再分第 1 局甲胜或乙胜两种情况，枚举第 2、3 局的胜负结果，筛选出第 4 局参与者与第 2 局完全相同的路径，将所有符合条件的路径概率相加； （2）确定甲出场次数的所有可能取值并计算对应概率，再求出甲参与次数的期望，最后解不等式 得到的取值范围. 【详解】（1）（i）要使三人都参与两局，则每人恰好轮空一次，这要求第1局的胜者在第2局必须输掉， 若第1局甲胜乙，则第2局丙必须胜甲，概率为；若第1局乙胜甲，则第2局丙必须胜乙，概率为， 所以前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率为； （ii）若第1局甲胜乙，则第2局参与的同学是甲和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形： ①第2局甲胜丙，第3局甲胜乙；②第2局丙胜甲，第3局丙胜乙. 第①种情形概率为；第②种情形为. 若第1局乙胜甲，则第2局参与的同学是乙和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形： ①第2局乙胜丙，第3局乙胜甲；②第2局丙胜乙，第3局丙胜甲. 第①种情形概率为；第②种情形为. 所以第2局和第4局参与的同学完全相同的概率为 ； （2）设甲在前4局的参与次数为随机变量，则， ， ， ， 所以 由， 得， 令，则， 整理得， 解得，所以，又， 所以的取值范围为. 例2．（2026·江西·三模）某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标，测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；否则机器人性能不合格.已知该型号机器人平地行走达标的概率为，斜坡行走达标的概率为，且两个项目是否达标相互独立. (1)随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； (2)随机抽取3台该机器人进行独立测试，设表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量的分布列和数学期望； (3)该企业对机器人进行技术升级后，重新测试，升级后每台机器人性能合格的概率提升至，若随机抽取4台机器人测试，至少有1台性能合格的概率不低于，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 期望 (3) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式计算求解； （2）由题意可得服从二项分布，根据二项分布求解分布列和数学期望； （3）根据二项分布的概率计算公式结合题意列不等式计算求解. 【详解】（1）设事件：机器人平地行走达标，；设事件：机器人斜坡行走达标，； 由题意，事件与相互独立，则性能合格为事件. 根据独立事件概率乘法公式：. （2）由题意，服从二项分布：的可能取值为. 根据二项分布概率公式，； 的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望. （3）设升级后，4台机器人中性能合格的台数为，则. “至少有1台合格”的对立事件为“4台均不合格”，其概率为. 由题意：， 整理得：，又，解得：， 故实数的取值范围为. 例3．（2026·河北唐山·二模）甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，采用七局四胜制（当一人赢得四局胜利时，该人获胜，比赛结束）． 已知甲先赢了前两局． (1)若，求： （i）乙获胜的概率； （ii）比赛打满七局的概率； (2)设比赛结束时，已经比赛的总局数为随机变量，若，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)或 【分析】（1）（i）应用独立事件乘积公式计算求解；（ii）应用n次独立重复试验应用互斥事件概率和公式计算； （2）应用n次独立重复试验和互斥事件概率和公式计算得出概率范围. 【详解】（1）（i）乙获胜有两种情况： ①乙连胜四局，概率为， ②乙第三局到第六局胜三局且第七局胜， 概率为， 所以当甲先赢了前两局时，乙获胜的概率为. （ii）记“比赛打满七局甲胜”为事件，“比赛打满七局乙胜”为事件， 则， ， 所以比赛打满七局的概率为. （2）， ， 由已知整理得： ， 解得：或， 因为， 所以或， 综上：或时，． 【变式训练】 变式1．（2026·山东枣庄·三模）为促进销售，某生产商联合商超对定价为100元的产品推出“摸奖+闯关”优惠活动，规则如下：进商超的消费者首先获得一次摸奖机会，可获得一张10元或20元的“基础优惠券”（摸到10元“基础优惠券”的概率为0.6，摸到20元“基础优惠券”的概率为0.4）；然后进行答题闯关游戏，闯关成功可再获得一张能叠加使用的20元“进阶优惠券”.记消费者答题闯关成功的概率为.已知摸奖与闯关优惠活动的结果相互独立. (1)记消费者购买一件该产品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和； (2)已知本次活动中优惠券的成本将由生产商承担“基础优惠券”面额的30%，“进阶优惠券”面额的50%.记生产商销售一件该产品的期望利润为（单位：元），消费者购买该产品的概率为.已知，商品成本为41元.试求的最大值及取得最大值时的值.（结果保留1位小数） 注：期望利润=消费者购买概率×（支付金额的期望－商品成本－优惠券成本的期望） 【答案】(1)分布列如下： 60 70 80 90 数学期望 (2)的最大值为11.7，取得最大值时的值为. 【分析】（1）分为四种情况，对四种情况依次分析即可； （2）优惠券成本=基础优惠券+进阶优惠券，再利用公式求导计算最大值即可. 【详解】（1）由题可知，可能取值为：60、70、80、90. ， ， ， ， 所以消费者购买一件该产品的实际支付金额的分布列为： 60 70 80 90 数学期望为： . （2）设优惠券实际成本为，则 且支付金额的期望 ， 所以， 即： 求导得： ， 令，解得： ， 所以函数在 上单调递增，在 上单调递减， 所以当时，取得最大值，此时 ， 即：的最大值约为11.7，取得最大值时的值约为. 变式2．（2026·河北沧州·二模）已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止. (1)经过2次操作后，记盒子中红球的个数为，求的分布列和数学期望. (2)记次操作后游戏终止的概率为. (i)求关于的表达式; (ii)求的最大值. 【答案】(1)的分布列为 0 1 2 的数学期望 (2)(i) ；(ii) 【分析】（1）先确定每个随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式计算期望即可； （2）(i)先求出初始项，再分两种情形推导时的递推关系，通过构造等比数列即可求出； (ii)先作差得到的表达式，通过解不等式判断的增减性，得出是的最大值并计算具体数值即可. 【详解】（1）由题意知，的所有可能取值为0，1，2， 且， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 的数学期望. （2）（i）由题意知：， 当时，第次操作后游戏终止分两种情形： ①第1次摸出的是黑球，则还需次摸球游戏才能终止，则； ②第1次摸出的是红球，则剩下次摸球中，最后1次摸出红球，中间次摸出的都是黑球，则， 所以， 即当时，. 又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. (ii)当时，， 令，得， 两边同时乘以得：，所以，即， 当时上述不等式成立，故， 当时，， 因为是减函数，所以当时，，故， 所以最大，即的最大值为. 变式3．（2026·陕西西安·模拟预测）某公司举办的活动的互动环节中，设置了一个有趣的摸球游戏，在一个黑箱中，装有个完全相同的小球． (1)若，从中有放回地每次摸取1个小球，记第1次摸出的小球为1号球，继续摸球． （ⅰ）求直到第4次又一次摸出1号球的概率． （ⅱ）记为又一次摸出1号球时摸球的次数，求． (2)若将黑箱中的小球编号为1，2，…，，从中一次性抽取个小球，记录下小球编号后放回并摇匀，再次从中一次性抽取个小球，并记录编号，记表示这两组小球中编号相同的个数，求取得最大值时的值（用含的式子表达）． 附：． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（ⅰ）根据古典概型的概率公式计算即可．（ⅱ）根据题意求出的概率，根据数学期望的计算公式，结合数列错位相减法求和即可求解； （2）先确定“”的事件总数，再得出表达式．通过，与1比较大小，得到的范围．最后根据是否取整，得出）取最大值时的值． 【详解】（1）（ⅰ）由题意知，第2，3次摸出的是另外一个球，第4次才摸出1号球， 故． （ⅱ）依题意可得，， 则，， 所以， 设，， ， 作差可得， 所以， 又，所以． （2）由题意得，整数满足， 其中． “”所包含的事件总数为，所以． 设，则 ， ， 令解得 则当时，在或处达到最大值； 当时，在表示不超过的最大整数）处达到最大值． 综上，使取得最大值时， 2 学科网（北京）股份有限公司 $