上海市虹口区2025-2026学年第二学期期末学生学习能力诊断测试高三数学试题

虹口区2025学年第二学期期末学生学习能力诊断测试 高三数学 （时间120分钟，满分150分） 2026.05 一、填空题 1．已知，则_____________． 2．已知全集为，集合，则_____________（用区间表示）． 3．已知等差数列的公差为2，若，则_____________． 4．甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________． 5．已知点为某个长轴长为6的椭圆上的一点，若点到该椭圆的一个焦点的距离为2，则点到该椭圆的另一个焦点的距离为_____________． 6．已知随机变量服从分布，则_____________． 7．在中，若，在上的投影为，则_____________． 8．设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是_____________． 9．已知事件和满足，，，则_____________． 10．已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 11．如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度） 12．已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为_____________． 二、选择题 13．设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，则“”是“”的（ ）条件： A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 14．已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（ ）． A． B． C． D． 15．若对于任意的，总存在，使得，则实数可以是（ ）． A． B． C． D． 16．若函数满足：在定义域内存在互不相同的三个数，，，当，，成等差数列，有，，成等比数列，则称满足“性质”．对于以下两个结论，说法正确的是（ ）． ①函数不满足“性质”； ②对于任意的正实数，都满足“性质”． A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 三、解答题 17．如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为4． （1）求正四棱柱的侧面积；并求二面角的余弦值； （2）若棱上的点满足，点是线段（含端点和）上的动点，求证：恒成立． 18．我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）． （1）技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； （2）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求； （3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001） 参考数据：若，则，． 19．设． （1）解不等式：； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 20．已知双曲线：，为原点． （1）求的右顶点到一条渐近线的距离； （2）若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； （3）过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 21．对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． （1）若，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； （2）设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； （3）若函数的图像是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 学科网（北京）股份有限公司 $