上海市虹口区2025-2026学年第二学期期末学生学习能力诊断测试高三数学试题

上海市虹口区2026届高三三模数学试卷详解 2026.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1一6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1.已知sin0=行，则cos20= 【答案】 23 25 z-a:-Po国 2.已知全集为R,集合A={x|x222x},则A= (用区间表示) 【答案】(0,2) 【解析】A={xx222x}=(-0,0]U[2,+0),则A=(0,2) 3.已知等差数列a,的公差为2，若a=4,则立4，=一 【答案】40 【解折】∑a,=4+6+8+10+12=40 4,甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为 【答米)片 【解析】P==! B-3 5.已知点P为某个长轴长为6的椭圆上的一点，若点P到该椭圆的一个焦点的距离为2，则点P到该椭圆 的另一个焦点的距离为— 【答案】4 【解析】6-2=4 2026届虹口区高三三模数学试卷第5页共14页 12 6,已知随机变量X服从分布 p0.3则10x-3)= 【答案】10 【解析】p+0.3=1→p=0.7,服从分布 10-320-3 故10X-3]=7×0.7+17×0.3=10 0.70.3 7.在△ABC中，若AB-sinC=AC.sin B,BC在B上的投影为，BA,则cosA=一 【答案1片 【解析】AB-sinC=AC.sin B→e-sinC=b.sin B=c2=b2=c=b,BC在BA上的投影为BA,故 b=a,所以△ABC为等边三角形，则cosA=cos=-】 32 8.设f(x)= x3x21 -x+2x<1则当x<1时，几/()表达式的二项展开式中r的系数是 【答案】-40 【解析】几f(x]=(2-x)'展开式中x2的系数是C.22.(-)=-40 9.已知事件4有B清足小=，P)=之，P@0=子，则P8刀= 【划月 【标1a0.0-K8n0-点，sn0=-sn0-g古音， m=1-片3e10:a0吾* P(A)1228 10.已知Z和乙是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和2，若1=4，|3-21，则 随着乙的运动，动点乙所形成的平面图形的面积为一 【答案】16π 【解析】引3=4，故点Z的轨迹为以(0,0)为國心，以4为半径的圆，又|z,-321,故点Z,的轨迹为以(0,0) 为圆心，内径为3，外径为5的圆环，故其面积为S=π(52-3)=16π. 2026届虹口区高三三摸数学试卷第6页共14页 11.如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园 主办方计划在孤AB上选取一点P,在扇形AOP内保留游乐景观，并修建三条观光道 OQ、PQ和OP(其中PQ⊥OA,Q∈OA)·若观光道每千米可带来收益3万元， 扇形AOP的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形AOP区域为公园 产生的净收益取得最大值时，∠POA=度（结果精确到0.1度） 【答案】38.2 【解析】设∠POA=0,OP=1,故Pg=sin0,Og=cos0,所以收益函数设为 f(0=3.(1+sin0+cos0-1.-0.12=3sin0+3cos0-0+3, 2 求号得/o=3os0-3n0-3v5cos0+到}片0，期得0382， 42 故当0°<0<38.2时，f'()>0,函数f()单调递增；当38.2<0<90时，()<0，函数f()单调 递减，故当∠POA≈38.2时，收益最大。 12.已知a、i、c是三个平面向量，且a为给定的单位向量。若1b-a=ba+1,1c-5al=2,则 21c-1+1c-a1的最小值为 【答案】4V5 【解析】a为给定的单位向量，不妨设a=OA=(L,0),i=OB=(:y),c=OC=(x), 由万-a=i-a+1→Vx,-)2+y,=x,+1→y,2=4x,得B的轨迹方程为y2=4x, 由c-5=2→(x2-5)+y,2=4,得C的轨迹方程为(x-5)+y2=4, 由2-+-d=2BC+4C,取Du,0),使得4C=2DC,即、Vc,-)2+万=2，-)+2， 结合(x-5)+2=4得1=4，故2-+-d-2BC+4C=2BC+2pC2BDl, 而2BDl=2Vx-4)+y2=22-8x,+16+4x=2Vk,-2+12248, 所以21c-b1+|c-a的最小值为4√5. 2026届虹口区高三三模数学议卷第7页共14页 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑。 13.设1、m分别为空间中的两条不同的直线，mC平面a,则“111m”是“111α”的()条件 A,充分非必要 B。必要非充分 C.充要 D。既非充分又非必要 【答案】D 【解析】11lm,有可能1ca;反之，I11a,有可能1、m异面，故选D 14.函数y=)是定义在R上的奇函数，且im)-/0=2,则函数y=)表达式可以是（） h A.f(x)=2e*+2 B.f(x)=e'-e*C.f(x)=cos'x D.f(x)=x-sinx 【答案】B 【解析】f(x)=e-e为定义在R上的奇函数，且f'(x)=e'+e',故f'(O)=e°+e°=2，故选B。 15.若对于任意的：∈0，]，总存在∈0，]，使得sinx+2si(x,+0+1=0,则实数0可以是() A 2 B.π 4 D.3 【答案】C 【解折们血+25++1=06+0=一n气+1小h-引， 6引+0a0:引，当0智，+0[,%+0[-引c 16.若函数y=f(x)满足：在定义域内存在互不相同的三个数x、x、x,当x、x、x成等差数列， 有f(x)、∫(x,)、(x)成等比数列，则称y=(x)满足“性质P”。对于以下两个结论，说法正确的是 () ①函数y=x2不满足“性质P”; ②对于任意的正实数a,y=tan(ax)都满足“性质P”. A.①、②都正确 B.①、②都错误 C.①正确，②错误 D.①错误，②正确 【答案】D 【解析】①取x=1-√2、x2=1、x3=1+V2时，①错误； ②对于任意的正实数口，存在x=无、名=元+二、无= +2，y=tan(a)都满足“性质p”. 4a 4a a 4a a 2026届虹口区高三三模数学议卷第8页共14页 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤。 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分。 如图，已知正四棱柱的ABCD-A,B,C,D,的底面边长为2，高为4， (1)求正四棱柱的ABCD-A,B,C,D,的侧面积；并求二面角A-BD-C,的余弦值； (2)若棱AA上的点E满足AA=4AE,点F是线段BD(含端点B和D)上的动点，求证：CE⊥C,F 恒成立。 【答案】(1)32，-了；（②）证明见解析. D 【解析】(1)S则=4×4×2=32； B 如图所示，建立空间直角坐标系D-2, 则4A(2,0,0),B2,2,0),C(0,2,0),C(0,2,4), DB=(2,2,0),DC=(0,2,4), E 设平面BDA和平面BDC的法向量分别为m=(0,0,I) A 和n=(x,八，2)， D丽元=0=2r+2=0 DCm=0{2y+42=0,令2=l,则元=(2，-2,1)， 设西角4-0-G的等看角为0,0后小则如0：青 n31 (2)由A4=4AE得E(2,0,1),CE=(2,-2,I)=m,,故CE⊥平面BDC,而C,FC平面BDC,故 CE⊥C,F恒成立。 2026届虹口区高三三摸数学试卷第9页共14页 18.(本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分。 我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚 突破，提高核心竞争力。设备生产的零件的直径为X(单位m)· (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床 转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为0.75、0.88、0.42，请 按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10m的有4个。现从这7个零件中随机抽取2个。记Y 表示取出的零件中直径大于I0m的零件的个数，求DY门； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径X~N(9,0.2),从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一 独立地进行检验，求至多有1个零件小于8.6nm的概率。（结果精确到0.0001） 参考数据：若X~N(4,o2),则P(X-4o)≈0.6827，P0X-42o)≈0.9545. 【答案】(1)②①③；(2) 49；(3)0.9794 2 【解析】(1)相关性从强到弱的排序为②①③； 0 a)v=0=g,w==答-号.r=-g分 12 合分，则分布列为日 Bn=I号2号号a0内=r号2x号-号，散D0m=a)-0nf-9: 28 (3)X~N9,0.22),“=9,0=0.2,故μ-20=8.6， 令R=P(X<8.6)=PX<u-2a)=PX-川>2a)=1-PX-4>2o]≈-0.954)=0.02275， 所以P=1-P)°+CP1-P)≈0.9794. 2026届虹口区高三三模数学试卷第10页共14页 19。(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分。 设f(x)=lnx. (1)解不等式：f(x)<f①； x-1 (2)若f(e“)+x2>f(x)恒成立，求实数a的取值范围。 【答案】(1)(-0,0)；(2)(-1，+0). 【解折)()八台)<f0血<l0吉1x（0): x-1 (2)fe)+x2>f→1ne+x>hx→a>hx-x在0，+o)上恒成立， 令g)=nx-x,xe0,切，g=1-nr-c, 令)=1-nx-x,x∈(0，o),h)=--2x<0,故h)在(0，o)上单调递诚，且h0=0, 故当x∈(0,1)时，h(x)>0,即g'()>0,g(x)单调递增；当x∈(1，+o)时，g'(x)<0,g(x)单谓递减， 所以g(x)=g(0)=-1,故a∈(-l,+90). 2026届虹口区高三三模数学试卷第11页共14页 20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分。 已知双曲线r:x-上=1,0为原点。 2 (1)求厂的右顶点到一条浙近线的距离； (2)若点P在第一象限且P∈「，若P、E(-1,0)、F(2,0)为一个等题三角形的三个顶点，求点P的横坐 标； (3)过点(0，)的直线I与「交于两个不同的交点A和B,若OAOB=m,求实数m的取值范围。 【答案】(1) 5:a)子：o)(u0+ 3 【解析】(1)右顶点(1,0)到一条渐近线y=√2x的距离为d= 6 P+(2列 2)DlE=PF1,则=之2=，不合题意，奔去： 2 ②EP=|EF=3,故 (xp+1)2+yp2=9 2xp2-y2=2 ，解得，=5- 3 7 ③FP=EF=3,故 (xp-2)2+yp2=9 2xp2-yp2=2 ，解得，=3 缘上可得，可或子： 3 (3)设直线AB的方程为y=+1,设A(,y),Bx2,片)， [2-k2≠0 数=众+1 △=24-8k2>0→k2<3 -2k 12x2-y2-2=0 →(2-k2)x2-2x-3=0→ x+53=k2-2 3 4=-2 5 所以m=01-0B=0+kk3+k,+x+1=2+22ke0,2U2,3, 2026届虹口区高三三模数学试卷第12页共14页 21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分。 对于定义域为R的函数y=f(x)以及给定的n(n之3)个实数C,C2,,c,若存在项数为n且严格增的有 限数列{an},满足Gf(a)+cf(a)+…+c∫(an)=0,则称函数f(x)关于数列{c,}具有“性质P(n)”. (1)若G=C2=…=cg=C1=1,请分别判断(x)=x2、(x)=x是否关于数列{c,}具有“性质P100)” (无需说明理由)； (2)设G=(仁，1=1.2,99，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列a,使得函数 y=x关于数列{c}具有“性质P(999)”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列{a};若不存在，请说 明理由； (3)若函数y=f(x)的图像是连续曲线，集合{x|f(x)>0;和{x|f(x)<0)均不为空集，且{x|f(x)=0) 为有限集，求证：对任意给定的n(n≥3)个正数C,G2,…,C。,均存在严格增的有限等差数列{a},使得 函数y=f(x)对数列{C,}具有“性质P(n)”. 【答案】(1)(x)不具有，5(x)具有；(2)不存在；(3)证明见解析。 【解析】(1)f(x)=x2,a2+a2+…+aw2=0→an=0(n=1,2,…,100)显然不具有“性质P100)”; (x)=x,a3+a'++ao’=0→a+ao-4=0且{a}单调递增即可，故5(x)具有“性质P100)”. 1 (2）G=山，9=-2G了“…，假设存在等比数列a,}使其成立： 设a,=g→c/a)+c/a,)+tcfa,)=g-29+9 99g9%, 设80=g-+2-+g”，9>1,8g=1-g+g+9.1上2 ->0, 1+g 故gg)在L,+o)上单调递增，所以gg)>g0=1-2十3 1 …十 >0, 999 故g(q)=0无解，即Gf(a)+cf(a)+…+cf(a）=0无解，故不存在{a}使其成立。 (3)由题意，设存在零点x,6>0,f(x)<0(x∈(x。-,x),f(x)>0(xe(xx+8), 设公差为d=>0,则项数为m,公差为d的等差数列总跨度(n-d=口-心<d, 故整个数列可以完全落入长度为6的某一侧领域之内，对首项为1=a1,记a,(t)=1+(i-)d(i=1,2,,m), 定义g)=∑ca,),因为f)连续，故g0在R上连续， 2026属虹口区高三三模数学试卷第13页共14页 令4=a=a,-(n-1)d=x,-(n-1)d,此时g(4)<0, 令4=4=，此时g(0)>0,故存在∈(4,42)，使g(0)>0, 故若存在零点为，6>0，f(x)>0(x∈(x。-8,x),f(x)<0(x∈(xo,x+δ)，同理可证； 综上，对任意给定的n(n之3)个正数G,C,…,Cn,均存在严格增的有限等差数列{a.},使得函数y=f(x)对 数列{c}具有“性质P(n)”. 2026届虹口区高三三模数学议卷第14页共14页 虹口区2025学年第二学期期末学生学习能力诊断测试 高三数学 （时间120分钟，满分150分） 2026.05 一、填空题 1．已知，则_____________． 2．已知全集为，集合，则_____________（用区间表示）． 3．已知等差数列的公差为2，若，则_____________． 4．甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________． 5．已知点为某个长轴长为6的椭圆上的一点，若点到该椭圆的一个焦点的距离为2，则点到该椭圆的另一个焦点的距离为_____________． 6．已知随机变量服从分布，则_____________． 7．在中，若，在上的投影为，则_____________． 8．设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是_____________． 9．已知事件和满足，，，则_____________． 10．已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 11．如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度） 12．已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为_____________． 二、选择题 13．设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，则“”是“”的（ ）条件： A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 14．已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（ ）． A． B． C． D． 15．若对于任意的，总存在，使得，则实数可以是（ ）． A． B． C． D． 16．若函数满足：在定义域内存在互不相同的三个数，，，当，，成等差数列，有，，成等比数列，则称满足“性质”．对于以下两个结论，说法正确的是（ ）． ①函数不满足“性质”； ②对于任意的正实数，都满足“性质”． A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 三、解答题 17．如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为4． （1）求正四棱柱的侧面积；并求二面角的余弦值； （2）若棱上的点满足，点是线段（含端点和）上的动点，求证：恒成立． 18．我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）． （1）技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； （2）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求； （3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001） 参考数据：若，则，． 19．设． （1）解不等式：； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 20．已知双曲线：，为原点． （1）求的右顶点到一条渐近线的距离； （2）若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； （3）过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 21．对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． （1）若，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； （2）设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； （3）若函数的图像是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 学科网（北京）股份有限公司 $