第十九章《二次根式》同步单元基础与培优高分必刷卷-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》讲与练高分突破（新人教版）

第十九章《二次根式》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查代数式有意义的条件，需要分别根据二次根式、分式、零指数幂的有意义要求列不等式求解． 【详解】代数式有意义， ，， 且， 则实数x的取值范围是且． 2．下列式子中，二次根式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义（形如且的式子），逐一判断每个式子是否符合二次根式的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：根据二次根式的定义是形如（）的式子，需满足根指数为2且被开方数非负， ①：被开方数，根指数为2，是二次根式， ②：被开方数，无意义，不是二次根式， ③：，，根指数为2，是二次根式， ④：根指数为3，是三次根式，不是二次根式， ⑤：被开方数，根指数为2，是二次根式， ⑥：被开方数的取值随变化，可能小于0，不满足被开方数非负的确定性，不是二次根式， ⑦：，，，根指数为2，是二次根式， ∴符合条件的二次根式有①③⑤⑦，共4个． 故选：C． 3．下列计算正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质对A、B进行判断；利用二次根式的减法对C进行判断；利用分母有理化对D进行判断． 【详解】解：A．根据二次根式性质可知，故该选项不符合题意； B．根据平方运算法则可知，故该选项不符合题意； C．利用二次根式的性质化简后，结合二次根式的减法运算法则可知，故该选项不符合题意； D．利用分母有理化可知，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的运算与性质，熟练掌握二次根式的性质、二次根式减法运算及分母有理化是解决问题的关键． 4．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的应用和二次根式，利用平方差公式将转化为，再代入已知条件计算即可． 【详解】∵， 又∵，， ∴． 故选：D 5．若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．先根据被开方数非负求出x的值，再代入求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，解得， 将代入中得：． ∴． 故选:C． 6．已知，则的值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，由得到，从而得到，进而求得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：C 7．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意； B、，，故和是同类根式，该选项符合题意； C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意； D、和不是同类根式，该选项不符合题意； 故选：B． 8．按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先判断，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴输出的值为2． 9．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长是， ∴大正方形的面积是， ∴余下的面积是． 故选：A． 10．已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由的值进行化简到=，再求得，把式子两边平方，整理得到，再把两边平方，再整理得到，原式可变形为，利用整体代入即可求得答案． 【详解】解∵ = = ∴ ∴ 整理得 ∴ ∵ ∴ 整理得 ∴ ∴ ∴ = = = = = 故选：C 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若x，y为实数，且，则_____． 【答案】4 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的值， 再代入原式求出的值，最后代入计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得， 解得， 把代入， 得， 将，代入，得． 12．若最简二次根式能与合并为一项，则的取值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查同类二次根式，化简后被开方式相同的二次根式称为同类二次根式． 【详解】因为最简二次根式能与合并为一项，所以与是同类二次根式，可得 解得 故答案为： 13．如果与都是最简二次根式，又是同类二次根式，且+＝0，则xy=_____． 【答案】48 【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可． 【详解】∵与都是最简二次根式，又是同类二次根式， ∴3a-11=19-2a， ∴a=6， ， ， ， ∴x=8，y=6． ∴xy=48． 故答案为：48． 【点睛】考查了最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，解题关键是利用了二次根式是非负数． 14．将1、、、按下列方式排列．若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之积是________________． 1                           第一排                           第二排        1                       第三排            1                     第四排           1                       第五排 …                             … 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探索，二次根式的乘法．由题意得出该排列方式为1、、、四个数字循环排列，再求出表示第112个数，表示第4959个数，从而可求出表示的数为，表示的数为，最后计算乘法即可． 【详解】解：由图可知1、、、四个数字循环排列，第m排有m个数， ∴表示第个数，表示第个数． ∵，， ∴表示的数为，表示的数为， ∴与表示的两数之积是． 故答案为：． 15．计算_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律，二次根式的性质，发现数字规律并裂项是解题的关键． 通过观察一般项，发现每一项可化为 的形式，然后利用裂项法裂项，然后求和即可． 【详解】解：设一般项为 ，其中 从 1 到 2019， ∵ ∴原式． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式. 18．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，涉及平方差公式应用，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先求出，，然后将变形，再整体代入求值即可； （2）先将变形，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．已知实数，满足等式． (1)当时，求的值． (2)若，都是正整数，求的最小值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键； （1）把代入计算即可； （2）对二次根式进行变形再根据m、n的取值要求求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）解：，满足等式， 又∵m，n为正整数， ∴为正整数 ∴为完全平方数 由于， 则 又∵为奇数 最小值为9， 此时最小，值为4． 20．阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 【答案】 【分析】仿照文中的示例解答即可．本题考查了二次根式的化简，熟练掌握配方法化简是解题的关键． 【详解】解： ． 21．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题，已知，求的值，他是这样解答的： ，， ，即， ．． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)________ (2)化简 (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题意进行分母有理化即可； （2）把每个式子分母有理化后进行加减运算即可； （3）先求出，再得到，整体代入变形后的代数式即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2） （3）∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是___________；化简___________； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理化因式，平方差公式. （1）理解定义，利用平方差公式计算即可， （2）把分母都看成1，然后第一个式子的分子分母同时乘以，第二个式子分子分母同时乘以，然后比较所得结果的大小可得答案． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是； ； 故答案为：，； （2）， 理由如下： ， ， ， ， 所以． 23．阅读材料： 已知a,b为非负实数， ，当且仅当时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令a=x, ，则由，得 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ; (2)用篱笆围一个面积为100的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最值？最值为多少？ (4)若x为非零实数，代数式的值为m，则m范围为 【答案】(1)， (2)当长和宽都为10米时，篱笆最短，最短长度为40米 (3)当时，代数式取最大值，最大值为 (4)或 【分析】本题主要考察了“均值不等式”这一知识点，即对于非负实数、，有，当且仅当时等号成立．解题的关键在于根据题目所给代数式的形式，合理地将其转化为符合“均值不等式”的结构，通过设a、b的值，利用不等式求出最值，并确定取最值时自变量的值． (1)类比得出, 当时，即时，代数式取到最小值， 最小值为：; (2)设矩形的长为, 宽为, 可得出，当时取等号，进而求得及最值； (3)，由，时，取等号，进一步求最值； (4)，分情况讨论：当时，当时，求的取值范围． 【详解】（1）解：， ，当时，即时，代数式取得最小值，最小值为：． 故答案为： （2）设矩形的长为, 宽为， ， 当时，即时，的最小值为20， 当长和宽均为10时，篱笆的长度最短，最短为； （3）， ，时，取等号，的最小值为6， ∴的最大值为． （4） 当时，，，即时，取等号， , 当时，，，，即时，取等号， ，， 综上，的范围为或． 故答案为：或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章《二次根式》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．下列式子中，二次根式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列计算正确的是（　　　） A． B． C． D． 4．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 6．已知，则的值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 7．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（　　） A． B． C．2 D． 9．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 10．已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若x，y为实数，且，则_____． 12．若最简二次根式能与合并为一项，则的取值为________． 13．如果与都是最简二次根式，又是同类二次根式，且+＝0，则xy=_____． 14．将1、、、按下列方式排列．若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之积是________________． 1                           第一排                           第二排        1                       第三排            1                     第四排           1                       第五排 …                             … 15．计算_____． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．计算： (1)； (2)． 17．先化简，再求值：，其中． 18．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．已知实数，满足等式． (1)当时，求的值． (2)若，都是正整数，求的最小值． 20．阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 21．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题，已知，求的值，他是这样解答的： ，， ，即， ．． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)________ (2)化简 (3)若，求的值． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是___________；化简___________； (2)比较与的大小，并说明理由． 23．阅读材料： 已知a,b为非负实数， ，当且仅当时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令a=x, ，则由，得 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ; (2)用篱笆围一个面积为100的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最值？最值为多少？ (4)若x为非零实数，代数式的值为m，则m范围为 2 学科网（北京）股份有限公司 $